13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2....... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m gdzie a ij, b i F dla i = 1,..., m, j = 1,..., n. Macierz A = [a ij ] 1 i m,1 j n nazywamy macierzą układu (lub macierzą współczynników), macierz X = [x 1 x 2... x n ] T macierzą niewiadowmych, macierz B = [b 1 b 2... b m ] T macierzą wyrazów wolnych, zaś macierz A u = [A.B] = macierzą uzupełnioną tego układu. a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2....... a m1 a m2... a mn b m Uwaga 1 Zgodnie z definicją mnożenia macierzy układ równań liniowych o macierzy A, wyrazach wolnych B i niewiadomych X można zapisać jako AX = B Definicja 13.2 Układ równań liniowych o zerowej macierzy wyrazów wolnych nazywamy jednorodnym układem równań liniowych. Definicja 13.3 Rozwiązaniem układu równań liniowych AX = B, gdzie A M mn (F ) nazywamy każdy układ skalarów S = (s 1,..., s n ) spełniający ten układ, to znaczy taki, że AS = B. Układ równań posiadający co najmniej jedno rozwiązanie nazywamy układem niesprzecznym, a układ nie posiadający żadnego rozwiązania układem sprzecznym. Przykład 13.4 Jednorodny układ równań jest niesprzeczny, bo jego rozwiązaniem jest układ zerowy θ. Definicja 13.5 Dwa układy równań liniowych o tych samych niewiadomych są równoważne, jeżeli oba są sprzeczne lub gdy ich zbiory wszystkich rozwiązań są równe. 1

Stwierdzenie 13.6 Zbiór Fund (A) wszystkich rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych AX = θ, gdzie A M mn (F ), jest podprzestrzenią liniową przestrzeni F n. Dowód: 11.9 mamy Jeżeli X 1, X 2 Fund (A) oraz a 1, a 2 F, to ze stwierdzenia A(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) = a 1 (AX 1 ) + a 2 (AX 2 ) = a 1 θ + a 1 θ = θ, czyli także a 1 X 1 + a 2 X 2 Fund (A). Stwierdzenie 13.7 Jeżeli układ równań liniowych AX = B jest niesprzeczny, a S jest pewnym jego rozwiązaniem, to zbiorem wszystkich rozwiązań tego układu jest S + Fund (A) = {S + Y ; AY = θ}. Dowód: Z założenia jeżeli Z jest rozwiązaniem układu AX = B, to A(Z S) = AZ AS = B B = θ. Zatem Z S Fund (A) i oczywiście Z = S + (Z S). Na odwrót, jeżeli Y Fund (A), to A(S + Y ) = AS + AY = B + θ = B, czyli S + Y jest rozwiązaniem układu AX = B. Definicja 13.8 W zapisie S + Fund (A) ogółu rozwiązań niesprzecznego układu równań liniowych AX = B rozwiązanie S nazywamy rozwiązaniem szczególnym, a każdą bazę podprzestrzeni Fund (A) układem fundamentalnym (rozwiązań) danego układu równań. Twierdzenie 13.9 (Cramera) Jeżeli macierz kwadratowa A stopnia n jest taka, że det A 0, to układ równań liniowych AX = B posiada dla każdego B M n1 dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem x j = det A j det A, j = 1,..., n gdzie A j oznacza macierz A, w której j tą kolumnę zastąpiono jedyną kolumną macierzy B. Dowód: Jeżeli det A 0, to na mocy stwierdzenia 12.19 macierz A jest nieosobliwa. Mnożąc obie strony równania macierzowego AX = B lewostronnie przez A 1 dostaniemy X = A 1 B. Stosujemy zaczerpnięty z tego samego stwierdzenia wzór na macierz odwrotną, który implikuje dla j = 1,..., n n x j = ( 1) i+j det A ji det A b i = 1 n ( 1) i+j det A ji b i = 1 det A det A det A j i=1 i=1 2

przy zastosowaniu rozwinięcia Laplace a względem j tej kolumny macierzy A j. Przykład 13.10 1. n = 1. Układ ax = b, gdzie a, b F, spełnia warunek det A 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a 0 i wówczas ma dokładnie jedno rozwiązanie x = b a. 2. n = 2. Dla układu { ax + by = e cx + dy = f gdzie a, b, c, d, e, f F warunek det A 0 jest równoważny ad bc 0. Wówczas układ ma dokładnie jedno rozwiązanie { x = ed bf ad bc y = af ec ad bc Twierdzenie 13.11 (Kroneckera Capellego) Niech dany będzie układ rónań liniowych AX = B, gdzie A M mn. Wówczas 1. układ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy r A u = r A 2. jeżeli układ jest niesprzeczny, to przestrzeń jego wszystkich rozwiązań jest (n r A) wymiarowa w tym sensie, że dim Fund (A) = n r A 3. układ ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy Dowód: r A u = r A = n. 1. Niech C 1,..., C n oznaczają kolumny macierzy A. Układ AX = B można zapisać w postaci x 1 C 1 +... + x n C n = B. Jeżeli więc (s 1,..., s n ) jest rozwiązaniem tego układu, to B lin (C 1,..., C n ), więc na podstawie wniosku 12.24 r A u = dim lin (C 1,..., C n, B) = dim lin (C 1,..., C n ) = r A. Gdyby zaś układ był sprzeczny, to B lin (C 1,..., C n ) i jak wyżej r A u > r A. 3

2. Wystarczy pokazać, że dim Fund (A) = n r A. Rozważmy przekształcenie liniowe ϕ : F n F m dane wzorem ϕ(x) = Ax T dla x F n. oraz ϕ(e 1 ),..., ϕ(e n ) są kolumnami macierzy A, a ponadto generują im ϕ. Stąd i ze stwierdzenia 9.11 mamy dim Fund (A) = dim ker ϕ = n dim im ϕ =n dim lin (ϕ(e 1 ),..., ϕ(e n )) =n dim lin (C 1,..., C n ) = n r A 3. Z (2) i stwierdzenia 13.7 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r A = n, co na mocy (1) jest równoważne r A u = n. Uwaga 2 Jeżeli układ AX = B jest niesprzeczny, to jego rozwiązanie można otrzymać stosując twierdzenia Cramera i Kroneckera Capellego w następujący sposób: Niech r = r A = r A u i niech i 1,..., i r oraz j 1,..., j r będą numerami wierszy i kolumn macierzy A, które tworzą podmacierz à niezerowego minora najwyższego stopnia. Rozważamy układ à X = B, złożony z równań układu AX = B o numerach i 1,..., i r, w którym niewiadomymi są x j1,..., x jr ; pozostałe niewiadome dołaczamy do wyrazów wolnych tworząc macierz B. Układ à X = B spełnia założenia twierdzenia Cramera, posiada więc dokładnie jedno rozwiązanie zależne od niewiadomych o numerach spoza {x j1,..., x jr } określmy je macierzą ˆX. Rozwiązanie szczególne otrzymujemy przyjmując ˆX = θ, a układ fundamentalny biorąc za ˆX kolejne wektory e 1,..., e n r z bazy kanonicznej przestrzeni F n r. Stwierdzenie 13.12 Operacje elementarne na wierszach macierzy uzupełnionej układu równań liniowych prowadzą do układu mu równoważnego. Dowód: Niech E będzie macierzą operacji elementarnej e na wierszach macierzy A u. Jeżeli S jest rozwiązaniem układu równań o macierzy uzupełnionej A u = [A.B], czyli AS = B, to (EA)S = E(AS) = EB, czyli S spełnia także układ o macierzy uzupełnionej e(a u ). Wystarczy już tylko zauważyć, że operacje elementarne (a także ich macierze) są odwracalne. Definicja 13.13 Mówimy, że macierz D = [d ij ] M pq o wierszach R 1,..., R p i kolumnach C 1,..., C q jest w postaci trójkątnej zredukowanej, jeżeli jednocześnie spełnione są warunki: 4

1. istnieje takie r p, że R i = θ dla i > r oraz R i θ dla i r, czyli wiersze zerowe występują na dole macierzy; 2. dla każdego i r istnieje l i 1 takie, że d ij = 0 dla j < l i oraz d ili = 1, czyli każdy niezerowy wiersz zaczyna się (być może pustym) ciągiem zer, po których następuje jedynka zwana wiodącą jedynką tego wiersza; 3. dla i < i r zachodzi l i < l i, czyli wiodące jedynki przesuwają się coraz bardziej w prawo; 4. dla każdego i r kolumna C li = e i, czyli wiodąca jedynka niezerowego wiersza jest jedynym niezerowym elementem w swojej kolumnie. Wniosek 13.14 Rząd macierzy będącej w postaci trójkątnej zredukowanej jest równy liczbie jej wiodących jedynek. Dowód: Przy oznaczeniach jak w definicji macierz ma dokładnie r wierszy różnych od θ, czyli jest jej rząd nie przekracza r. Z drugiej strony macierz pochodząca uzyskana przez skreślenie wierszy o numerze większym od r i kolumn bez wiodących jedynek jest macierzą jednostkową, więc istnieje minor stopnia r o wyznaczniku 1 0. Stwierdzenie 13.15 Załóżmy, że macierz uzupełniona A u układu równań liniowych AX = B, gdzie A M mn (F ) jest w postaci trójkątnej zredukowanej. Wówczas 1. Jeżeli w pewnym wierszu macierzy A u wiodąca jedynka jest w kolumnie (n + 1) szej, to układ jest sprzeczny. 2. Jeżeli r jest najwyższym numerem niezerowego wiersza, a wiodąca jedynka jest w nim na miejscu l r n, to układ jest niesprzeczny. Ponadto, jeżeli J = {j 1,..., j r } jest zbiorem numerów kolumn zawierających wiodące jedynki, to (a) rozwiązaniem szczególnym układu jest (s 1,..., s n ), gdzie s ili = b i dla i = 1,..., r oraz s j = 0 dla j J; (b) układ fundamentalny składa się z wektorów v j = (v j1,..., v jn ), j {1,..., n} \ J, przy czym v jj = 1, v jk = a kj dla k J oraz v jk = 0 dla k J {j}. Dowód: 1. Układ zawiera równanie sprzeczne 0 = 1, czyli sam jest sprzeczny. 5

2. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami układ AX = B jest równoważny układowi x li = b i + j J ( a ij)x j i = 1,..., r x j F j J Postać rozwiązania szczególnego wynika stąd natychmiast, a podstawiając za ˆX = (x j ) j J wektory bazy kanonicznej przestrzeni F n r otrzymujemy n r wektorów liniowo niezależnych, czyli bazę przestrzeni Fund (A). Twierdzenie 13.16 (metoda Gaussa) Każdy układ równań liniowych jest równoważny układowi, którego macierz uzupełniona jest w postaci trójkątnej zredukowanej. Dowód: Ze stwierdzenia 13.12 wynika, że wystarczy pokazać, możliwość sprowadzenia dowolnej macierzy do postaci trójkątnej zredukowanej przy pomocy operacji elementarnych na wierszach. Niech D = [d ij ] M pq. Jeżeli D = θ, to D jest szukanej postaci. Załóżmy więc, że D θ i niech j 1 = min{j ; C j θ}. Niech dalej i 1 = min{i ; d ij1 0}. Jeżeli i 1 1, dokonajmy zamiany wierszy o numerach 1 oraz i 1 i podzielmy nowy pierwszy wiersz przez d i1 j 1. Ponadto (w obecnej numeracji) dodajmy do wiersza i-tego wiersz pierwszy pomnożony przez d i1 j 1, i = 1,..., p, i 1. Wówczas wiodąca jedynka w wierszu 1 szym ma w kolumnach na lewo od siebie same zera (ewentualnie) w swoim wierszu i wszystkich poniżej oraz w swojej kolumnie jest jedynym wyrazem różnym od zera. Przypuśćmy, że po pewnym operacjach elementarnych na wierszach dla i = 1,..., k wiodąca jedynka w wierszu i tym (znajdująca się w kolumnie j i tej) ma w kolumnach na lewo od siebie same zera w swoim wierszu i wszystkich poniżej oraz w swojej kolumnie jest jedynym wyrazem różnym od zera. Jeżeli pozostałe wiersze są zerowe, to macierz jest już w postaci trójkątnej zredukowanej. W przeciwnym wypadku niech j k+1 = min{j ; d ij 0, i > k}. Z założenia indukcyjnego j k+1 > j k. Niech i k+1 = min{i > k ; d ijk+1 0}. Jeżeli i k+1 k + 1, to zamieńmy wiersze o numerach k + 1 oraz i k+1 i podzielmy nowy wiersz (k + 1) szy przez d ik+1 j k+1. Ponadto (w obecnej numeracji) dodajmy do wiersza i-tego wiersz (k+1) szy pomnożony przez d ik+1 j k+1, i = 1,..., p, i k + 1. Wten oto sposób dla i = 1,..., k + 1 wiodąca jedynka w wierszu i tym (znajdująca się w kolumnie j i tej) ma w kolumnach na lewo od siebie same zera w swoim wierszu i wszystkich poniżej oraz w swojej kolumnie jest jedynym wyrazem różnym od zera. 6

Zasada indukcji matematycznej gwarantuje, że proces ten doprowadzi poprzez operacje elementarne na wierszach do macierzy w postaci trójkątnej zredukowanej. Wniosek 13.17 Dla każdej macierzy istnieje ciąg operacji elementarnych na wierszach, który przeprowadza ją na macierz w postaci trójkątnej zredukowanej. 7