RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje w sposób jawn) sprowadza się przez podstawienie do równania ' u( F ( x, u, u') 0
Równania różniczkowe rzędu drugiego Przkład Rozwiązać równanie ( " ' C, CR jest jednm z rozwiązań równania. C stosując podstawienie ' u( otrzmujem ( u' u du dx u x i całkując obustronnie dostajem ln u ln x ln C, czli u C( d C Cx dx C( x C Funkcja Dla Rozdzielając zmienne Zatem Stąd 3
Równania różniczkowe rzędu drugiego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F (, ', ") 0 (x nie wstępuje w sposób jawn) sprowadza się przez podstawienie do równania " ' u( ) du F(, u, u ) 0 d d' dx du d d dx du u d (ponieważ ) 4
Równania różniczkowe rzędu drugiego Przkład Wznaczć całkę ogólną równania +( ) = Po podstawieniu = u() ( = u = u u ) dostajem +u = uu Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennch rozdzielonch udu u ln( u ln C u C d u ' ) ln ln, C C ln C ln C, C 0 5
Równania różniczkowe rzędu drugiego Przkład (c. d.) Podstawiajac zatem d C C C C x C, i ostatecznie dx C z dz dx, mam dz C dx Cd C z C x C 4( C ) ( C x C) dz i d C C dz 4 ( C C C, 6
Definicja Równaniem różniczkowm liniowm rzędu drugiego nazwam równanie postaci " p( q( f ( Jeśli f( 0, to równanie nazwam jednorodnm, Jeśli f( 0, to równanie nazwam niejednorodnm Twierdzenie Jeżeli p, q, f są ciągłe na przedziale (a, b) oraz x 0 (a, b), 0, R, to zagadnienie Cauchego " p( q( ( x0) 0. '( x ) ma dokładnie jedno rozwiązanie na przedziale (a, b) 0 f ( 7
Uwaga Podobnie jak w przpadku równania pierwszego rzędu, rozwiązwanie równania liniowego niejednorodnego rzędu drugiego polega na wznaczeniu CORJ, a następnie zastosowaniu metod uzmiennienia stałch, bądź przewidwań. 8
Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego " p( q( 0 Uwaga Równanie liniowe jednorodne ma zawsze rozwiązanie zerowe ( ( 0). Twierdzenie Jeżeli funkcje ( i ( są całkami szczególnmi równania liniowego jednorodnego, to ( = C ( + C ( (kombinacja liniowa) jest też rozwiązaniem tego równania. Definicja Funkcje ( i ( są liniowo niezależne na przedziale (a, b) jeżeli C ( + C ( 0 C = C = 0 9
Twierdzenie Józef Hoene-Wroński (776-853) Funkcje ( i ( klas C (a, b) są liniowo niezależne, wted i tlko wted gd wznacznik Wrońskiego (wrońskian) ( W( ' ' ( ( ( 0 dla x( a, b) Definicja Liniowo niezależne rozwiązania równania liniowego jednorodnego nazwam układem fundamentalnm (podstawowm) rozwiązań tego równania. Twierdzenie Jeżeli funkcje ( i ( tworzą fundamentaln układ rozwiązań, to ( = C ( + C ( jest CORJ. 0
Uwaga Nie istnieje ogólna metoda wznaczania układu fundamentalnego rozwiązań dla dowolnego równania różniczkowego liniowego jednorodnego drugiego rzędu. Układ fundamentaln rozwiązań można zawsze wznaczć w przpadku równań o stałch współcznnikach
Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego o stałch współcznnikach Definicja Równaniem różniczkowm liniowm jednorodnm rzędu drugiego o stałch współcznnikach nazwam równanie postaci gdzie p, q R. " p q 0 Poszukujem rozwiązań tego równania w postaci funkcji rx rx e ( ' re, " r e rx rx Wstawiając do równania i dzieląc obustronnie przez e dostajem równanie r pr q 0. Jest to tzw. równanie charakterstczne. ) Twierdzenie Jeżeli r jest pierwiastkiem równania charakterstcznego, to funkcja rozwiązaniem równania. e rx jest
Wznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań Jeżeli równanie charakterstczne ma dwa różne pierwiastki rzeczwiste r i r ( > 0), to układ fundamentaln równania tworzą funkcje r x r x ( e i ( e, a CORJ ma postać r x r x C e C e. ( Jeżeli równanie charakterstczne ma podwójn pierwiastek rzeczwist r ( = 0), to układ fundamentaln równania tworzą funkcje rx rx ( e i ( xe, a CORJ ma postać rx rx C e C xe. ( Jeżeli równanie charakterstczne ma dwa pierwiastki zespolone r = + i oraz r = - i ( < 0), to układ fundamentaln równania tworzą funkcje a CORJ ma postać ( x x e cosx i ( e sin x, ( x x e ( C cosx C sin ). 3
Przkład Rozwiązać równanie " 0 Równanie charakterstczne r 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczwiste r = i r = -, więc CORJ jest postaci x ( C e C e x Przkład Rozwiązać równanie " ' 0 Równanie charakterstczne r r 0 ma rzeczwist pierwiastek podwójn r = -, więc CORJ jest postaci x ( C e C xe x 4
Przkład Rozwiązać równanie " 0 Równanie charakterstczne r 0 ma dwa pierwiastki urojone r = i oraz r = -i ( = 0, = ), więc CORJ ma postać Równania różniczkowe liniowe rzędu II ( C cosx C sin x. Przkład Rozwiązać równanie " 8' 5 0 Równanie charakterstczne r 8r 5 0 ma dwa pierwiastki zespolone r = -4-3i oraz r = -4 + 3i ( = -4, = 3), więc CORJ ma postać 4x ( e ( C cos3x C sin3 5
Metoda uzmiennienia stałch dla równania liniowego niejednorodnego rzędu drugiego Podobnie jak w przpadku równania pierwszego rzędu uzmienniam stałe w CORJ ( C ( ( C( ( ( '( C '( ( C ( '( C'( ( C( '( ) i wstawiam do równania niejednorodnego. Po przekształceniach otrzmujem układ równań C C '( '( ( C'( ( 0 '( C '( '( z którego wznaczam C (, C '( ). ' x f ( Po scałkowaniu wznaczonch funkcji wznaczam CORN. 6
Przkład Rozwiązać równanie " 3 cos x CORJ ma postać ( C cosx C sin x. Uzmienniając stałe otrzmujem układ równań Stąd C '( cosx C'( sin x 0 C '( sin x C'( cosx cos CORN: Równania różniczkowe liniowe rzędu II 3 x sin x C '(, C 3 ( D cos x cos x C' (, C ( tg x D cos x ( D cosx tg x D sin x D cosx D sin x cos x cosx cosx 7
Metoda przewidwań dla równania liniowego niejednorodnego rzędu drugiego o stałch współcznnikach Metodę przewidwań możem stosować w przpadku równań o stałch współcznnikach, gd wraz woln ma jedną z postaci przedstawionch w kolumnie tabeli zamieszczonej w kolejnm slajdzie. Wznaczam CSRN i wkorzstujem zależność CORN = CORJ + CSRN Podobnie jak w przpadku równań rzędu pierwszego możem też wkorzstać twierdzenie Twierdzenie Suma całki szczególnej równania i całki szczególnej równania jest całką szczególną równania ' p( ' p( f( f( ' p( f( f( 8
Równania różniczkowe rzędu drugiego Przewidwana postać CSRN dla równania liniowego niejednorodnego o stałch współcznnikach Lp Prawa strona równania - f( Równanie charakterstczne Przewidwana postać CSRN a b P n ( wielomian stopnia n Liczba 0 nie jest pierwiastkiem równania charakterstcznego Liczba 0 jest m-krotnm pierwiastkiem równania charakterstcznego W n ( ogólna postać wielomianu stopnia n x m W n ( a b P n (e kx, k R Liczba k nie jest pierwiastkiem równania charakterstcznego Liczba k jest m-krotnm pierwiastkiem równania charakterstcznego W n (e kx x m W n (e kx 3 a b P n (cosx + Q n (sinx Liczba i nie jest pierwiastkiem równania charakterstcznego Liczba i jest m-krotnm pierwiastkiem równania charakterstcznego W n (cosx + V n (sinx x m (W n (cosx + V n (sin 4 a b P n (e x cosx + Q n ( e x sinx Liczba i nie jest pierwiastkiem równania charakterstcznego Liczba ijest m-krotnm pierwiastkiem równania charakterstcznego W n (e x cosx + V n ( e x sinx x m (W n (e x cosx + V n ( e x sin P n (, Q n ( wielomian stopnia n W n (, V n ( wielomian stopnia n o nieokreślonch współcznnikach (w postaci ogólnej) 9
Przkład Rozwiązać równanie ' ' 9 xcosx. CORJ: Ccos3x C sin 3x. CSRN przewidujem w postaci ( ax b)cos x ( cx d) sin x. Obliczam pochodne ' ( a cx d)cos x ( c ax b) sin x, '' (c ax b)cos x ( a cx i wstawiam do równania (c ax b)cos x ( a cx d)sin 9( cx d)sin x xcosx Po przekształceniach dostajem d) sin x ( 8ax 8b c)cos x (8cx 8d a)sin x x 9( ax b)cos x xcos x. 0
Przkład (c. d.) Porównując obie stron mam 8a,8 bc 0,8c 0,8d a 0 a, b 0, c 0, d 8 skąd 3 CSRN: CORN: xcosx 8 sin 3 x. C cos3x C sin3x xcos x 8 sin 3 x.
Przkład Rozwiązać zagadnienie Cauch'ego " x (0) 0, CORJ ma postać '(0) ( C cosx C sin x. CSRN wznaczm metodą przewidwań, poszukując jej w postaci wielomianu stopnia drugiego tzn. = Ax + Bx +C. Stąd '' = A i po wstawieniu do równania dostajem A Ax BxC x Równość ta będzie spełniona dla dowolnego x wted i tlko wted, gd A =, B = 0, C = -. Wówczas = x -, i CORN ma postać ( C cosx C sin x x
Przkład (c. d.) Stałe C i C wznaczam z warunków początkowch. Obliczam pierwszą pochodną ' ( C sin x C cosx x i zapisujem warunki początkowe 0 C cos0 C sin 00 C sin 0 C cos0 0 Stąd C =, C = i całka szczególna spełniająca warunki początkowe ma postać ( cosx sin x x. 3
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ 4