Równania różniczkowe zwyczajne

Transkrypt

1 Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Automatyka i robotyka studia stacjonarne sem. I, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne Równaniem różniczkowym nazywamy równanie, w którym występuje związek funkcji niewiadomej i jej pochodnych. Rząd równania różniczkowego jest równy największemu rzędowi występujących w nim pochodnych. jeżeliniewiadomafunkcjazależytylkoodjednegoargumentu,np.y +x y=sinx. cząstkowe jeżeli niewiadoma funkcja zależy od kilku argumentów. 1 Równania różniczkowe zwyczajne Definicja 1.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie postaci F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0, (1) wktórymniewiadomąjestfunkcjay=y(x)iwktórymwystępujepochodnarzęduntejfunkcji wrazzpochodnyminiższychrzędów,tzn.y = dy dx,y = d2 y = dn y dx 2,...,y(n) dx n. Przykład 1.2. y +3x y 2 =8 równanieróżniczkowerzędupierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 równanieróżniczkowerzędudrugiego 1

2 d 3 s 3 t s2 ds dt dt =5 równanieróżniczkowerzędutrzeciego d 5 y dt 5 t y3 =sint równanieróżniczkowerzędupiątego y (4) y =5xy równanieróżniczkowerzęduczwartego 2 Rozwiązanie lub całka równania różniczkowego zwyczajnego Definicja2.1.RozwiązaniemlubcałkąrównaniaróżniczkowegoF ( x,y,y,y,...,y (n)) =0w przedziale(a, b) nazywamy każdą funkcje zmiennej x wyrażoną w postaci jawnej y=y(x) lub w postaci uwikłanej h(x,y)=0, któramapochodnedorzędunwłącznieispełniarównanief ( x,y,y,y,...,y (n)) =0dlax (a,b). Przykład2.2.Funkcja y=2x jestcałkąrównania x 2 y 2xy +2y=0, gdyż y =2 i y =0 orazx 2 0 2x 2+2 2x=0. Przykład.Funkcja x 2 +y 2 =4 jestcałkąrównania x+yy =0, gdyż 2xdx+2ydy=0 ipopodzieleniuprzez2dxotrzymujemyrównanie x+y dy dx =0. Definicja2.3.Wykrescałkiy=y(x)równaniaróżniczkowegoF ( x,y,y,y,...,y (n)) =0nazywamy krzywą całkową tego równania. Przykład2.4.Krzywecałkowerównaniay = y: y x 2

3 Definicja2.5.RozwiązaniemogólnymlubcałkąogólnąrównaniaF ( x,y,y,y,...,y (n)) = 0 w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0 zależneodndowolnychstałychc 1,C 2,...C n wyrażonewpostacijawnej y=y(x,c 1,C 2,...,C n ) lub w postaci uwikłanej h(x,y,c 1,C 2,...,C n )=0, itakie,żepodstawiającdowolnewartościzac 1,C 2,...C n otrzymamywszystkieznajdującesię wtymobszarzekrzywecałkoweitylkotekrzywe. Definicja2.6.PodstawiajączaC 1,C 2,...C n konkretnewartościotrzymamytzw. całkę szczególną lub rozwiązanie szczególne równaniaf ( x,y,y,y,...,y (n)) =0. Przykład 2.7. Funkcja y= C 1 x +C 2 jestcałkąogólnąrównaniaxy +2y =0,zaśfunkcje y= 1 x, y= 3 +5, y= 1, x tocałkiszczególnerównaniaxy +2y =0. Geometrycznie każdej całce szczególnej odpowiada pewna linia płaska(wykres całki), a całce ogólnej odpowiada zbiór(rodzina) wszystkich krzywych całkowych. Definicja 2.8. Rozwiązanie osobliwe(lub całka osobliwa) jest to rozwiązanie równania F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0, któregoniemożnaotrzymaćzrozwiązaniaogólnegoprzezpodstawieniezac 1,C 2,...C n dowolnych wartości. Przykład2.9.Funkcja y=0 jestrozwiązaniemosobliwymrównaniay =2 y. Całkąogólnątegorównaniajest y=t+c,gdziet+c Zagadnienie Cauchy ego(zagadnienie początkowe) Definicja2.10.ZagadnieniemCauchy egodlarównaniaf ( x,y,y,y,...,y (n)) =0nazywamy zagadnienie znalezienia całki szczególnej tego równania, spełniającej jednocześnie warunki początkowe: y(x 0 )=y 0, y (x 0 )=y 1,,...y (n 1) (x 0 )=y n 1 gdziex 0,y 0,y 1,...y n 1 nazywamywartościamipoczątkowymi. 3

4 Przykład Wyznaczmy rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego dla y(0)=2 równania y =6x iwarunkówpoczątkowych: y (0)=3. Otrzymujemy y =6x y =3x 2 +C 1 y=x 3 +C 1 x+c 2 } { y(0)=2 C 2 =2 jestcałkąszczególnąrównaniay y y=x 3 +3x+2 =6x (0)=3 C 1 =3 będącą rozwiązaniem podanego zagadnienia Cauchy ego. 3 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego Definicja 3.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci F(x,y,y )=0, (2) gdzie y = y(x) jest funkcją niewiadomą zmiennej x. Definicja 3.2. Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania(2) w przedziale(a, b) nazywamy każdą funkcję zależną od dowolnej stałej C i wyrażoną w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x,c) h(x,y,c)=0, która ma pochodną rzędu pierwszego i spełnia równanie(2) dla x (a, b). Wówczas podstawiając dowolne wartości za C otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Definicja 3.3. Całką szczególną lub rozwiązaniem szczególnym równania(2) nazywamy każdą funkcję wyrażoną w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x) h(x,y)=0, któramapochodnąrzędupierwszegoispełniarównanief(x,y,y )=0dlax (a,b). Uwaga3.4.Jeżelizrównania(2),możnawyznaczyćy,torównanietoprzyjmujepostać y =f(x,y). Będziemy posługiwali się również tzw. formą różniczkową równania różniczkowego, czyli równaniem postaci: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0. 4

5 3.1 Zagadnienie Cauchy ego(zagadnienie początkowe) Mając daną całkę ogólną y = y(x, C) równania(2) można rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla tego równania, które polega na wyznaczeniu całki szczególnej równania(2) spełniającej warunek początkowy y(x 0 )=y 0.Wówczaszrównania y 0 =y(x 0,C) wyznaczamystałąc=c(x 0,y 0 ).NastępniepopodstawieniuotrzymanejstałejCdorozwiązania ogólnego otrzymujemy szukaną całkę szczególną Interpretacja geometryczna zagadnienia Cauchy ego y W interpretacji geometrycznej zagadnienie Cauchy ego polega na wybraniu z rodziny krzywych całkowych jednej krzywej, która przechodzi przez z góry zadany punkt(x 0,y 0 ). Na przykład całką ogólną równania y = 2xy y 0 x 0 x jest afunkcja y=ce x2, y=y 0 e x2 +x 2 0 jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego odpowiadającego warunkowipoczątkowemu y(x 0 )=y 0. 4 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Niechf:(a,b) R,h:(c,d) Rbędąfunkcjamiciągłymi,gdzie(a,b),(c,d)-sątoskończone lubnieskończoneprzedziałyorazh(y) 0dlawszystkichy (c,d). Definicja 4.1. Równanie różniczkowe dy dx =f(x) h(y), (3) o funkcji niewiadomej y(x) nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Równanie(3) można zapisać równoważnie w formie różniczkowej następująco: h(y)dy=f(x)dx. Stwierdzenie 4.2. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f w(a, b), zaś H funkcją pierwotna funkcji h w(c, d). Wtedy zbiór rozwiązań równania(3) jest taki sam jak zbiór rozwiązań równania H(y(x))=F(x)+C, gdziec R;CjestdowolnąstałądobranądofunkcjiF,H,y. 5

6 Uwaga 4.3. Równanie H(y(x)) = F(x) + C, zapisujemy w następujący sposób: h(y)dy = f(x)dx+c. Twierdzenie4.4.Jeżelif:(a,b) Rih:(c,d) Rsąfunkcjamiciągłymiih(y) 0dla wszystkichy (c,d),to wzór h(y)dy = f(x)dx + C przedstawia całkę ogólną równania(3), przezkażdypunkt(x 0,y 0 ),gdziex 0 (a,b)iy 0 (c,d),przechodzidokładniejednakrzywa całkowa równania(3). Krzywa ta jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego Przykład 4.5. Rozpatrzmy następujące równanie y = f(x) h(y), y(x 0)=y 0. y = 2xy. (4) Rozdzielamyzmienne dy y = 2xdxiwyznaczamycałkęogólnąrównania(mówimy,żecałkujemy równanie): dy y = 2 xdx ln y = x 2 +ln C, gdziec 0 StąddlaC 0funkcja y=ce x2 jestrozwiązaniemrównania. GdyC=0,toy=0 y =0.Zatemrównanie(4)jestspełnionedlay=0,czyliy=0jest krzywą całkową równania(4). Stąd rodzina y=ce x2, dlac R jest całką ogólną(rozwiązaniem ogólnym) równania(4). 4.1 Szczególne przypadki równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych Rozpatrzmyrównanie y =f(x), gdziefjestciągłanaprzedziale(a,b) R. Wówczas całkując obie strony względem zmiennej x otrzymujemy: y= f(x)dx y=f(x)+c, gdzief (x)=f(x),dlax (a,b). Rozpatrzmyrównanie y =g(y), 6

7 gdziegmaciągłąpochodnąnaprzedziale(c,d) R. Wówczas dy g(y) = dx G(y)=x+C, gdzie G (y)= 1 g(y),dlay (c,g). 5 Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzalne do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych 5.1 Równaniejednorodne Niechfbędziefunkcjąciągłanaprzedziale(a,b)orazf(u) u.równanieróżniczkowe ( ) dy y dx =f, (5) x o funkcji niewiadomej y(x) nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym. Aby rozwiązać równanie jednorodne stosujemy podstawienie u(x)= y x, Wtedy y=ux dy dx =du iotrzymujemynastępującerównanieróżniczkowe dx x+u o zmiennych rozdzielonych Rozwiązanie równania du dx x+u=f(u) du f(u) u =dx x du f(u) u =dx x wiążezesobązmienneuix. Abyuzyskaćkońcowerozwiązanienależypodstawić u= y x. Przykład 5.1. Rozważmy równanie y = x+y x. (6) Wówczas y =1+ y x.stosującpodstawienie u(x)=y x,otrzymujemy x u =1 du= dx x dx du= x u=ln x +C y=x ln x +Cx. 7

8 5.2 Równanieróżniczkowepostaciy =f(ax+by+c) Niecha,b,c Rib 0orazfbędziefunkcjąciągłą. Równanie dy dx =f(ax+by+c) rozwiązujemy przez podst.: u=ax+by+c, gdzie u = u(x) jest nową funkcją niewiadomą zmiennej x. Wtedy du dx =a+bdy dx dy ( ) du dx =1 b dx a i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych: du dx =b f(u)+a du a+bf(u) =dx du a+bf(u) = Rozwiązanie {}}{ równaniawiążezesobązmienneuix. Abyuzyskaćkońcowerozwiązanienależypodstawić u=ax+by+c. Przykład 5.2. Rozważmy równanie Stosującpodstawienie u(x)=x y,otrzymujemy y =cos(x y). (7) dx u =1 cosu du 1 cosu =dx. Ponieważ1 cosu=2 sin 2u 2,więc du 2 sin 2u 2 = dx ctg u 2 =x+c. Zatem ctg x y 2 =x+c,dlac Riy x 2kπ. Ponadto,jeśliy=x 2kπ,toy =1icos(x y)=cos2kπ=1. Zatem y=x 2kπ jestrównieżcałkąrównania(7). Otrzymaliśmy y=x 2kπ ctg x y 2 =x+c, dlac R k Z. 8

9 6 Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Definicja 6.1. Równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci: dy +p(x)y=q(x), (8) dx gdzie p, q są danymi funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale(a, b). Jeśliq 0,torównanie(8)nazywamyjednorodnymioznaczamyRJ. Jeśliq 0,totorównanie(8)nazywamyniejednorodnymioznaczamyRN 6.1 Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego I-szego rzędu Aby wyznaczyć rozwiązanie RN postaci(8) szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ: funkcjay 0jestrozwiązaniemRJ(równania(9)) dy +p(x)y=0 (9) dx jeśliy 0,tootrzymujemyrównanieozmiennychrozdzielonych dy dx = p(x)y Rozdzielając zmienne dy y = p(x)dx, całkując dy y = p(x)dx ln y = p(x)dx+ln C, gdzie C 0, i przekształcając otrzymujemy kolejno y p(x)dx C =e y = C e p(x)dx y=c e p(x)dx, C 0 Jednakże, jeśli C = 0, to otrzymujemy wcześniej wyznaczone rozwiązanie y = 0. Zatem Całką Ogólną Równania Jednorodnego(ozn. CORJ) jest rodzina krzywych y=c e p(x)dx, dlac R. Twierdzenie6.2.Jeślipjestfunkcjąciągłanaprzedziale(a,b) R,to y=c e p(x)dx, dlac R. 9

10 jestcałkąogólnąrj(9),ponadtoprzezkażdypunktobszarud={(x,y): x (a,b) y R} przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania(9). Uwaga 6.3. Całka ogólna RJ zawiera wszystkie krzywe całkowe RJ. Aby wyznaczyć stosujemy jedną z dwóch metod. CORN(Całkę Ogólną Równania Niejednorodnego) postaci(8) 1 MetodaI MetodaII CORJ 2 CORN Metoda I: Metoda uzmienniania stałej StałąCzastępujemytakąfunkcjąC(x),abyfunkcja y=c(x) e p(x)dx (10) była CORN. Wtedy stąd Zatem i dy dx =C (x) e p(x)dx +C(x) e p(x)dx ( p(x)) y {}} y { C (x) e { p(x)dx C(x) p(x) e p(x)dx }}{ +p(x) C(x) e p(x)dx =q(x) C (x)=q(x) e p(x)dx C(x)= q(x) e p(x)dx dx+c 1, gdziec 1 R. Po podstawieniu C(x) do(10) otrzymujemy: ( CORN y(x) = ) q(x) e p(x)dx dx+c 1 e p(x)dx CORN y(x)=c 1 e p(x)dx +e ( p(x)dx ) q(x) e p(x)dx dx. Twierdzenie6.4.Jeślip,qsąfunkcjamiciągłyminaprzedziale(a,b) R,to y(x)=c 1 e p(x)dx +e ( p(x)dx ) q(x) e p(x)dx dx, dlac 1 R,jestCORN,ponadtoprzezkażdypunktobszaruD={(x,y): x (a,b) y R} przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania(8). 10

11 Twierdzenie 6.5. Niech y(x) CORJ, Wtedy tzn. y s (x) CSRN=CałkaSzczególnaRN. CORN = CORJ+CSRN, CORN = y(x)+y s (x). Przykład 6.6. Rozważmy równanie y +2xy=x e x2. (11) SzukamyrozwiązańRJ: y +2xy=0 dy dx = 2xy dy dy rozdzielamy zmienne y = 2xdx, całkujemy y = gdziec 0,iotrzymujemykolejno 2xdx ln y = x 2 +ln C, ln y =lne x2 +ln C y = C e x2 y=c e x2, dlac 0 Ponieważy=0jestcałkąszczególnąrównaniay +2xy=0ijeżeliC=0,tootrzymujemyy=0, więc CORJ ma postać: StałąCzastępujemytakąfunkcjąC(x),aby y=c e x2, dlac R y=c(x) e x2 ( ) było CORN. Wtedy y =C (x) e x2 +C(x) e x2 ( 2x) Ponieważ więc Zatem y =C (x) e x2 2xC(x) e x2, y {}} { C (x) e x2 2x C(x) e x2 y {}}{ +2x C(x) e x2 =x e x2 C (x) e x2 =x e x2 C (x)=x 11

12 i C(x)= xdx+c 1 = 1 2 x2 +C 1, gdziec 1 R. PodstawiającC(x)= 1 2 x2 +C 1 do y=c(x) e x2 otrzymujemy: CORN ( ) 1 y(x)= 2 x2 +C 1 e x2 y(x)=c 1 e x x2 e x2. = y(x)=c 1 e x2 + 1 x2 x2 e. }{{} 2 CORJ }{{} CSRN Metoda II: Metoda przewidywania Metoda przewidywania polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia otrzymujemy Metodę stosujemy, gdy CORN = CORJ + CSRN. p(x)=const wielomian stopnia n q(x)= asinωx+bcosωx ae λx, lub q(x) jest sumą lub iloczynem funkcji obok. Przewidywaniepostacicałkiszczególnejy s (x)równaniarnpostaci y +py=q(x), p R Postaćq(x) Postaćprzewidywanay s (x) P n (x)= p 0 A n x n +...+A 1 x+a 0 =a n x n +...+a 1 x+a 0 p=0 x(a n x n +...+A 1 x+a 0 ) a e λx λ p Ae λx λ= p Axe λx P n (x) e λx λ p (A n x n +...+A 0 )e λx λ= p x(a n x n +...+A 0 )e λx acosωx+bsinωx Acosωx+Bsinωx P n (x)cosωx+q m (x)sinωx, nm W n (x)cosωx+m n (x)sinωx P n (x)e λx cosωx+q m (x)e λx sinωx, nm W n (x)e λx cosωx+m n (x)e λx sinωx gdziew n (x)=a n x n +...+A 0 im n (x)=b n x n +...+B 0 Przykład 6.7. y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x 12

13 y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 3 5 y=sinx = y s(x)=asinx+bcosx y 3 5 y=e 3 5 x sinx y s (x)=ae 3 5 x sinx+be 3 5 x cosx y 2y=e 2x = y s (x)=axe 2x 13

14 7 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 7.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F(x,y,y,y )=0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y = y(x) i w którym występuje pochodna pierwszego i drugiego rzędutejfunkcji,tzn.y = dy dx,y = d2 y dx Rozwiązanie lub całka równania różniczkowego różniczkowego drugiego rzędu Definicja 7.2.RozwiązaniemlubcałkąrównaniaróżniczkowegoF(x,y,y,y )=0w przedziale(a, b) nazywamy każdą funkcje zmiennej x wyrażoną wpostacijawnej y=y(x) lubwpostaciuwikłanej h(x,y)=0, któramapochodnedorzędunwłącznieispełniarównanief(x,y,y,y )=0dlax (a,b). Definicja7.3.RozwiązaniemogólnymlubcałkąogólnąrównaniaF(x,y,y,y )=0w obszarzeistnieniaijednoznacznościrozwiązańnazywamyrozwiązanierównaniaf(x,y,y,y )=0 zależneoddwóchdowolnychstałychc 1,C 2 wyrażone wpostacijawnej y=y(x,c 1,C 2 ) lubwpostaciuwikłanej h(x,y,c 1,C 2 )=0, itakie,żepodstawiającdowolnewartościzac 1,C 2 otrzymamywszystkieznajdującesięwtym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. PodstawiajączaC 1,C 2 konkretnewartościotrzymamytzw. równaniaf(x,y,y,y )=0. całkę szczególną lub rozwiązanie szczególne 7.2 Zagadnienie Cauchy ego(zagadnienie początkowe) ZagadnienieCauchy egodlarównaniaf(x,y,y,y )=0poleganaznalezieniucałkiszczególnej tego równania, spełniającej warunki początkowe: (W) y(x 0 )=y 0, y (x 0 )=y 1 gdziewartośćpoczątkowax 0 (a,b),zaśwartościpoczątkowey 0 iy 1 sądowolnymizgóry wybranymi liczbami. 7.3 Równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu pierwszego Równaniepostaci F(x,y,y )=0 sprowadzamydorównaniaróżniczkowegorzędupierwszego przez podstawienie 14

15 y =u Wówczas y =u iotrzymujemyrównanieróżniczkowerzędupierwszegopostaci: F(x,u,u )=0. Równaniepostaci F(y,y,y )=0 sprowadzamydorównaniaróżniczkowegorzędupierwszego przez podstawienie Wówczas y =v(y) y = dy dx =dv dx =dv dy dy dx =v y =v v iotrzymujemyrównanieróżniczkowerzędupierwszegopostaci: F(y,v,v )=0. Przykład7.4.Rozważmyrównanie y (x 2 +1)=2xy. Stosującpodstawienie u=y,otrzymujemy u (x 2 +1)=2xu du u = 2x x 2 +1 dx du u = Ponieważ u=y,więcotrzymujemy Rozważmy zagadnienie Cauchy ego 2x x 2 +1 dx ln u =ln ( x 2 +1 ) +ln C 1 u=c 1 (x 2 +1 ). y =C 1 (x 2 +1 ) ) 1 y=c 1 ( 3 x3 +x +C 2. y (x 2 +1)=2xy, y(0)=1,y (0)=3, Wówczas C 2 =1 i C 1 =3.ZatemrozwiązaniemdanegozagadnieniaCauchy egojestcałka y=x 3 +3x+1. Przykład7.5.Rozważmyrównanie y y =(y ) 2. Stosującpodstawienie y =v(y) y =v v,otrzymujemy yv v=v 2 v = v y dv v =dy y dv dy v = y Ponieważ v=y,więcotrzymujemy ln v =ln y +ln C 1 v=c 1 y. y =C 1 y dy y =C 1 dx ln y =C 1 x+ln C 2 y=c 2 e C 1x. 15

16 8 Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów Definicja 8.1. Równaniem różniczkowym liniowym rzędu n nazywamy równanie postaci: y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=f(x), (13) gdziea 1,a 2,...,a n ifsądanymifunkcjamiciągłymina(a,b). Jeślif 0,torównanie(17)nazywamyjednorodnymioznaczamyRJ. Jeślif 0,totorównanie(17)nazywamyniejednorodnymioznaczamyRN 8.1 Układ fundamentalny całek(rozwiązań) Definicja8.2.Rozwiązaniay 1,y 2,...,y n sąliniowoniezależnenaprzedziale(a,b) dlakażdego x (a,b)spełnionyjestwarunek y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) y 1(x) y 2(x)... y n(x) (14). y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x)... y n (n 1) (x) Wyznacznik występujący w(14) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego(lub wrońskianem) iozn.symbolemw[y 1,y 2,...,y n ](x). Definicja 8.3. Układem fundamentalnym całek(rozwiązań) nazywamy układ n liniowo niezależnych rozwiązań. 8.2 Całka ogólna(rozwiązanie ogólne) liniowego równania niejednorodnego Niechcałkiy 1,y 2,...,y n będąfundamentalnymukłademrozwiązańrównania RJ y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=0, wówczas całka ogólna równania RJ jest kombinacją liniową tych rozwiązań, tzn. Twierdzenie 8.4. Niech y=c 1 y 1 +C 2 y C n y n, y 1, y 2,..., y n liniowoniezależnerozwiązaniarównaniarjnaprzedziale(a,b) R y s całkaszczególnarn. Wtedy całka ogólna równania różniczkowego liniowego niejednorodnego ma postać y=c 1 y 1 +C 2 y C n y n +y s, czyli CORN = CORJ + CSRN. 16

17 8.3 Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego Definicja 8.5. Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci: gdziep,q Rzaśfjestdanąfunkcjąciągłąna(a,b). y +py +qy=f(x), (15) Jeślif 0,torównanie(15)nazywamyjednorodnymioznaczamyRJ. Jeślif 0,totorównanie(15)nazywamyniejednorodnymioznaczamyRN 8.4 Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego II-ego rzędu o stałych współczynnikach Aby wyznaczyć rozwiązanie RN y +py +qy=f(x), szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ: RJ y +py +qy=0 Rozwiązania RJ poszukujemy w postaci wykładniczej: y=e rx Wtedy y=e rx y =re rx y =r 2 e rx i podstawiając funkcję y do RJ otrzymujemy równanie r 2 +pr+q=0 zwane równaniem charakterystycznym. Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego r 2 +pr+q=0 ( ) Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ fundamentalny całek(rozwiązań). Pierwiastki( ) Całki szczególne RJ Całka ogólna RJ >0 r 1 r 2 y 1 =e r 1x,y 2 =e r 2x y=c 1 e r 1x +C 2 e r 2x =0 r 0 y 1 =e r 0x,y 2 =xe r 0x y=c 1 e r 0x +C 2 xe r 0x <0 r 1,2 =α±βi y 1 =e αx sinβx y=c 1 e αx sinβx+c 2 e αx cosβx y 2 =e αx cosβx 17

18 W celu znalezienia rozwiązania liniowego równania różniczkowego niejednorodnego rzędu drugiego postaci stosujemy na przykład y +py +qy=f(x),p,q R Metodę wpółczynników nieoznaczonych(metoda przewidywania) która polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia: Metodę stosujemy, gdy CORN = CORJ + CSRN. równanieróżniczkowejestrównaniemostałychwspółczynnikach(p,q R) wielomian stopnia n f(x)= asinωx+bcosωx ae λx, Przewidywanepostaciecałkiszczególnejy s (x)równania lubf(x)jestsumąlubiloczynemfunkcjiobok. RN y +py +qy=f(x),, p,q R Niechλ+ωi,λ,ω R,będziek-krotnympierwiastkiemrównaniacharakterystycznegor 2 +pr+q= 0. Wówczas Postaćf(x) Postaćprzewidywanay s (x) P n (x)=a n x n +...+a 1 x+a 0 x k (A n x n +...+A 1 x+a 0 ) a e λx Ax k e λx P n (x) e λx x k (A n x n +...+A 0 )e λx acosωx+bsinωx x k (Acosωx+Bsinωx) P n (x)cosωx+q m (x)sinωx, nm x k W n (x)cosωx+x k M n (x)sinωx P n (x)e λx cosωx+q m (x)e λx sinωx, nm x k W n (x)e λx cosωx+x k M n (x)e λx sinωx gdziew n (x)=a n x n +...+A 0 im n (x)=b n x n +...+B 0 Przykład 8.6. y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 4 y +4y=x e 2x y s (x)=x 2 (Ax+B) e 2x 18

19 y +9y=sin3x = y s (x)=axsin3x+bxcos3x Innym sposobem wyznaczenia całki równania postaci jest y +py +qy=f(x),p,q R Metoda uzmienniania stałych Jeżelifunkcjey 1 (x),y 2 (x)tworząukładfundamentalnyrównaniarj y +py +qy=0,p,q R, tocałkaogólnarównania RN y +py +qy=f(x),p,q R,mapostać y(x)=c 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x), gdziec 1 (x),c 2 (x)jestdowolnymrozwiązaniemukładu [ ] [ ] y1 (x) y 2 (x) C y 1(x) y 2(x) 1 (x) C 2(x) = Przykład8.7.Rozważmyrównanie y y= 8 e 2x +1. [ ] 0. (16) f(x) Równaniejednorodne y y=0 manastępującerównaniecharakterystyczne r 2 1=0, któregopierwiastkamisą r 1 =1 i r 2 = 1. Zatem CORJ ma postać y=c 1 e x +C 2 e x, CORN znajdziemy metodą uzmienniania stałych, tzn. y=c 1 (x)e x +C 2 (x)e x, WceluwyznaczeniafunkcjiC 1 (x),c 2 (x)rozwiązujemyukład: e x C 1 (x)+e x C 2 (x)=0 e x C 1(x) e x C 2(x)= 8 e 2x +1 C 1(x)= 4e x C e 2x 1 (x)= 4e x 4arctge x + C 1 +1 C 2 4ex (x)= C e 2x 2 (x)= 4arctge x + C 2 +1 Wtedy y(x)= C 1 e x + C 2 e x 4 4e x arctge x 4e x arctge x. 9 Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Definicja 9.1. Równaniem różniczkowym liniowym rzędu n o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci: y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x), (17) gdziea 1,...,a n Rsądanymiliczbamirzeczywistymi,zaśfjestdanąfunkcjąciągłąnaprzedziale (a,b). 19

20 9.0.1 Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego n-tego rzędu o stałych współczynnikach Aby wyznaczyć rozwiązanie RN y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x), szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu: y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0 (18) Rozwiązania równania jednorodnego(18) poszukujemy w postaci wykładniczej: y=e rx Wtedy y=e rx y =re rx. y (n) =r n e rx i podstawiając funkcję y do RJ otrzymujemy równanie r n +a 1 r n a n 1 r+a n =0 (19) zwane równaniem charakterystycznym. Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego(19). Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ fundamentalny całek(rozwiązań). Rozkład lewej strony równania(19) na czynniki postaci: Rozwiązania szczególne równania jednorodnego RJ r a y 1 =e ax (r a) k, (k>1) y 1 =e ax,y 2 =xe ax,...y k =x k 1 e ax r 2 +pr+q y 1 =e αx cosβx,y 2 =e αx sinβx gdziep 2 4q<0 gdzieα= p,β=1 4q p 2 (r 2 +pr+q) k, (k>1) y 1 =e αx cosβx,y 3 =xe αx cosβx,...,y 2k 1 =x k 1 e αx cosβx α= p,β=1 4q p 2 y 2 =e αx sinβx,y 4 =xe αx sinβx,...,y 2k =x k 1 e αx sinβx RozwiązanieogólneRJ: y=c 1 y 1 +C 2 y C n y n Metoda wpółczynników nieoznaczonych(metoda przewidywania) Metoda ta polega na odgadnięciu CSRN postaci(17), gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia: CORN = CORJ + CSRN. 20

21 Metodę stosujemy, gdy równanieróżniczkowejestrównaniemostałychwspółczynnikach(a i R,i=1,2,...,n) wielomian stopnia n f(x)= asinωx+bcosωx ae λx, Przewidywaniepostacicałkiszczególnejy s (x)równania lubf(x)jestsumąlubiloczynemfunkcjiobok. RN y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x), gdziea i R,i=1,...,n Niech λ + ωi, λ, ω R, będzie k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego Wówczas Postaćf(x) r n +a 1 r n a n 1 r+a n =0. Postaćprzewidywanay s (x) P n (x)=p n x n +...+p 1 x+p 0 x k (A n x n +...+A 1 x+a 0 ) a e λx Ax k e λx P n (x) e λx x k (A n x n +...+A 0 )e λx acosωx+bsinωx x k (Acosωx+Bsinωx) P n (x)cosωx+q m (x)sinωx, nm x k W n (x)cosωx+x k M n (x)sinωx P n (x)e λx cosωx+q m (x)e λx sinωx, nm x k W n (x)e λx cosωx+x k M n (x)e λx sinωx gdziew n (x)=a n x n +...+A 0 im n (x)=b n x n +...+B 0 Przykład 9.2. y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x y 6y +6y 8y=xe 2x y s (x)=x 3 (Ax+B)e 2x y (4) +18y +81y=cos3x y s (x)=ax 2 sin3x+bx 2 cos3x Metoda uzmienniania stałych Jeżelifunkcjey 1 (x),y 2 (x),...y n (x)tworząukładfundamentalnyrównania RJ y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0,a i R, 21

22 to całka ogólna równania RN y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x),a i R, ma postać y(x)=c 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x)+...+c n (x)y n (x), gdziec 1 (x),c 2 (x),...,c n (x)jestdowolnymrozwiązaniemukładu y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) C 1 y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) (x) 0 C (x) 0 =.... y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x)... y n (n 1) (x) C n (x) f(x) Przykład9.3.Rozważmyrównanie y +y = sinx cos 2 x. Równaniejednorodne y +y =0 manastępującerównaniecharakterystyczne r 3 +r=0, któregopierwiastkamisą r 1 =0 i r 2,3 =±i. Zatem CORJ ma postać y=c 1 +C 2 cosx+c 3 sinx, CORN znajdziemy metodą uzmienniania stałych, tzn. y=c 1 (x)+c 2 (x)cosx+c 3 (x)sinx, WceluwyznaczeniafunkcjiC 1 (x),c 2 (x),c 3 (x)rozwiązujemyukład: C 1 sinx (x)= cos 2 x C 1 (x)+cosxc 2 (x)+sinxc 3 (x)=0 sinxc 2(x)+cosxC 3(x)=0 cosxc 2 sinx (x) sinxc 3 (x)= cos 2 x C 1 (x)= 1 cosx + C 1 C 2 (x)= tgx C 2(x)=ln cosx + C 2. C 3 (x)= tg2 x C 3 (x)= tgx+x+ C 2 Wtedy y(x)= C 1 + C 2 cosx+ C 3 sinx+ 1 cosx +cosxln cosx sinxtgx+xsinx 22