KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 2 Działania na wektoach w układzie współzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etapez.pl Stona 1
Część 1: TEST Zaznacz popawną odpowiedź (tylko jedna jest pawdziwa). Pytanie 1 Któe własności działań na wektoach óżnią się dla wektoów bez układu współzędnych i wektoów w układzie współzędnych? a) Własności iloczynu wektoowego b) Żadne c) Własności iloczynu skalanego d) Własności wszystkich działań Pytanie 2 Dwa ówne wektoy na pewno... a) Mają takie same wszystkie współzędne b) Mają taki początek i koniec w tym samym punkcie c) Mają początek w tym samym punkcie d) Mają koniec w tym samym punkcie Pytanie 3 Czy wektoy a = [ 4,8, m] i b = [ 8,12,3] 'm'? a) Nie b) Tak mogą być ównoległe dla pewnej watości paametu www.etapez.pl Stona 2
Pytanie 4 Weso wektoa a można zdefiniować jako: a) Wekto jednostkowy o takim samym kieunku, co wekto a b) Wekto o takim samym kieunku, co wekto a c) Wekto jednostkowy powstały z wektoa a d) Wekto jednostkowy o takim samym kieunku i zwocie, co wekto a Pytanie 5 Jaki będzie wynik mnożenia skalanego dwóch wektoów ównoległych? a) Liczba 0 b) Wekto zeowy c) Na pewno nie będzie to liczba 0 d) Być może liczba 0 Pytanie 6 Co to jest iloczyn skalany dwóch wektoów a ib? a) Liczba 0 b) Liczba powstała pzez dodanie do siebie odpowiadających sobie współzędnych wektoów i pzemnożenie wyników c) Liczba powstała pzez zsumowanie odpowiadających sobie współzędnych wektoów d) Liczba powstała pzez pzemnożenie pzez siebie odpowiadających sobie współzędnych wektoów i zsumowanie wyników www.etapez.pl Stona 3
Pytanie 7 Iloczyn wektoowy obliczyć można kozystając z wiadomości z... a) Pochodnych b) Całek c) Ganic d) Maciezy Pytanie 8 i j k 1 1 1 1 1,1,1 1,0,1 = 1 1 1 = [,?, ] - jakie wyażenie powinno się znaleźć jako 0 1 1 0 1 0 1 [ ] [ ] duga współzędna iloczynu wektoowego? a) 1 1 0 1 b) 1 1 1 1 c) 1 1 0 1 d) 1 1 1 1 www.etapez.pl Stona 4
Pytanie 9 Iloczyn mieszany wektoów w układzie współzędnych jest... a) Liczbą b) Wektoem c) Wymieszaniem wektoa i liczby d) Wyznacznikiem wektoa Pytanie 10 Czy objętość sześcianu można obliczyć kozystając z iloczynu mieszanego? a) Nie b) Tak www.etapez.pl Stona 5
Część 2: ZADANIA Zad.1 uuu Znajdź współzędne wektoa AB, mając dane współzędne punktów A i B: a) A(5, 2, 4) B(3, 2, 8) b) A(0, -1, -3) B(4, 0, -2) c) A(2, -2, -1) B(2, 3, -5) d) A(4, 4, 0) B(-10, -7, 11) Zad.2 uuu uuu Znajdź współzędne końca wektoa AB, mając dane współzędne punktu A i wektoa AB : uuu a) A(5,0,2) AB = [ 3,4,5] uuu b) A(-3,2,-1) AB = [ 1,0,4 ] uuu c) A(2,-3,-5) AB = [ 3, 1, 5] uuu d) A(1,-3,-2) AB = [ 10,5, 2] Zad.3 uuu uuu Znajdź współzędne początku wektoa AB, mając dane współzędne punktu B i wektoa AB uuu a) AB = [ 2,4,6] uuu b) AB = [ 1,3,0 ] B(10,8,8) B(-5,-2,1) uuu c) AB = [ 3, 5,2] uuu d) AB = [ 3, 4,1] B(-4,-3,-1) B(-1,4,-3) www.etapez.pl Stona 6
Zad.4 uuu Wyznacz długość wektoa AB : uuu a) AB = [ 2,1,2 ] uuu b) AB = [ 4,3,0] uuu c) AB = [ 1, 1,5 ] Zad.5 Mając dane wektoy a = [ 2,3, 5] i b = [ 4, 1,2 ] oblicz długość wektoa: c = 2a b Zad.6 Wyznaczyć długość pzekątnych ównoległoboku opatego na wektoach a = [ 4,1, 1] b = [ 5,5, 2] i Zad.7 Wyznacz watości paametów a i b, dla któych wektoy a = [ 2, a, b 1] i b = [ 4, a + 1,8 ] ównoległe (kolineane). Zad.8 x = 6, 8,0 Znajdź weso wektoa [ ] są Zad.9 Znajdź wekto jednostkowy dzielący na dwie ówne połowy kat pomiędzy wektoami a = 2, 2,1 b = 6,3, 6 [ ] i [ ] www.etapez.pl Stona 7
Zad.10 Oblicz iloczyn skalany wektoów a ib, jeśli: a) a = [ 2, 1,4 ] i b = [ 3,7,5] b) a = [ 0, 12, 5] i b = [ 3,1,7 ] c) a = 5i + 2 j 3k ib = i + 2 j + 2k Zad.11 Oblicz kąt pomiędzy wektoami a ib, jeśli: a) a = [ 1,2,3 ] i b = [ 2,3,1 ] b) a = [ 2, 2,3] i b = [ 2,3,1] Zad.12 Oblicz kąt pomiędzy pzekątnymi ównoległoboku ABCD opatego na wektoach uuu uuu AB = AD = 1,2, 3 [ 4,3,1] i [ ] Zad.13 Znajdź kąty wewnętzne tójkąta ABC o wiezchołkach A(3, 0, -1), B(-3, 2, 5), C(5, 4, 1) Zad.14 Spawdź, dla jakich watości paametu a wektoy a = [ 7, 1, a + 2] i b = [ a 1, a,8] postopadłe? Zad.15 Spawdź, czy czwookąt ABCD o wiezchołkach A(5, 2, 6), B(6, 4, 4), C(4, 3, 2) i D(3, 1, 4) jest kwadatem. są www.etapez.pl Stona 8
Zad.16 Znajdź zut wektoa a = [ 2,5,1] na oś o kieunku wektoa b = [ 4, 4,7] Zad.17 Oblicz iloczyn wektoowy wektoów a ib, jeśli: a) a = [ 1,1,3 ] i b = [ 2,4,6] b) a = [ 1, 2,2] i b = [ 0,3, 3] c) a = [ 2, 1,4 ] i b = [ 4,2, 8] d) a = [ 5,2, 5] i b = [ 1, 2,1] Zad.18 Mając dane punkty A(2, 7, -1), B(3, 5, 2) i C(4, -1, 1) wyznacz: uuu uuu a) AB AC uuu uuu b) BC CA uuu uuu uuu AB + CB BA c) ( 4 2 ) uuu uuu uuu AB AC BC d) ( ) Zad.19 Oblicz pole ównoległoboku opatego na wektoach a = [ 7, 1,2 ] i b = [ 2,2,3] Zad.20 Oblicz pole tójkąta o wiezchołkach A(1, -2,8), B(0, 0, 4), C(6, 2, 0) oaz długość wysokości opuszczonej z wiezchołka B. www.etapez.pl Stona 9
Zad.21 Oblicz pole tójkąta o wiezchołkach A(-1, 0, -1), B(4, 4, 1), C(0, 2, -3). Zad.22 a = 1,2, 1 b = Znajdź wekto jednostkowy postopadły do wektoów [ ] i [ 2, 1,1 ]. Zad.23 Wykaż, że wektoy a = [ 2, 3, 4], b = [ 1,3,2 ], c = [ 3,12, 6] są komplanane. Zad.24 Oblicz objętość czwoościanu zbudowanego na wektoach a = [ 1,0,1 ], b = [ 1,1,1 ] i c = [ 2,1,0 ] Zad.25 Oblicz objętość ównoległościanu opatego na wektoach a = [ 6,1, 4], b = [ 2,3, 3] c = [ 0, 2,2] i Zad.26 Oblicz objętość czwoościanu o wiezchołkach A(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 6), D(2, 3, 8), oaz długość wysokości opuszczonej z wiezchołka D. KONIEC www.etapez.pl Stona 10