Rezonator prostopadłościenny

napisał Michał Wierzbicki Rezonator prostopadłościenny Rozważmy prostopadłościan o bokach a > b > d (pusty w środku), którego scianki wykonane są z idealnego przewodnika. Wewnątrz takiego rezonatora będziemy mieli do czynienia ze stojącą falą elektromagnetyczną. Wektor natężenia pola elektrycznego wewnątrz rezonatora spełnia jednorodne równanie falowe: E 1 c 2 2 E t 2 = 0 (1) Zakładając harmoniczną zależność od czasu z czynnikiem e iωt można zapisać równanie (1) w układzie kartezjańskim w postaci: 2 E x + 2 E 2 y + 2 E 2 z + ω2 E 2 c = 0 (2) 2 Równanie (2) powinno być spełnione niezależnie dla trzech składowych kartezjańskich pola elektrycznego E = (E x, E y, E z ). Do rozwiązania trzech równań typu (2) możemy zastosować metodę rozdzielenia zmiennych, zakładając E x (x, y, z) = f 1 (x) g 1 (y) h 1 (z) E y (x, y, z) = f 2 (x) g 2 (y) h 2 (z) E z (x, y, z) = f 3 (x) g 3 (y) h 3 (z) (3) Z prawa Gaussa E = 0 wynika następująca równość E x x + E y y + E z z = f 1 g 1 h 1 + f 2 g 2 h 2 + f 3 g 3 h 3 = 0 (4) Przepiszmy powyższe równanie do postaci: f 3 (x 0 ) = f 1 (x 0) g1(y) h 1 (z) g 3 (y) h 3 (z) f 2(x 0 ) g 2 (y )h 2(z) g 3 (y) h 3 (z) (5) Przy ustalonej wartości x 0 lewa strona tego równania jest stała, a więc także prawa strona musi być stała. Będzie to możliwe, jeśli dla każdego y, z Z kolei przy ustalonym y 0 z równości g 1 (y) h 1 (z) g 3 (y) h 3 (z) = const oraz g 2 (y) h 2(z) g 3 (y) h = const (6) 3 (z) g 1 (y 0 ) = g 3(y 0 ) h 3 (z) h 1 (z) 1 const (7)

wynika, że dla każdego z musi zachodzić równość h 3 (z) h 1 (z) = const (8) Kolejność wyboru funkcji w łańcuchu równań (4-8) była arbitralna. Równość typu (8) powinna zachodzić więc także dla innych par funkcji. Ostatecznie dochodzimy do wniosku, że aby równanie (4) było spełnione musżą być do siebie proporcjonalne trójki funkcji: f 1 f 2 f 3, g 1 g 2 g 3 oraz h 1 h 2 h 3. Wykonajmy teraz rozdzielenie zmiennych dla równania falowego składowej E x 2 E x x 2 + 2 E x y 2 + 2 E x z 2 + ω2 c 2 E x = 0 (9) Po podzieleniu stronami przez iloczyn f 1 g 1 h 1 otrzymujemy równość z rozdzielonymi zmiennymi: f 1 f 1 + g 1 + h 1 + ω2 g 1 h 1 c = 0 (10) 2 Oznaczając odpowiednie stałe rozdzielenia zmiennych przez α 2, β 2, γ 2 otrzymujemy układ równań różniczkowych zywczajnych: z warunkiem f (x) = α 2 f (x), g (y) = β 2 g(y), h (z) = γ 2 h(z) (11) α 2 + β 2 + γ 2 = ω2 (12) c 2 Wektor pola elektrycznego powinien spełniać warunek brzegowy na powierzchni rezonatora: składowa styczna do powierzchni równa się zeru E = 0. Składowej E x musi więc być równa zeru na czterech ściankach rezonatora danych warunkami: y = 0, y = b, z = 0 i z = d. Aby spełnić te warunki wybieramy rozwiązania równań różniczkowych na g(y) i h(z) w postaci trygonometrycznej, jako fale stojące: g(y) = sin βy, h(z) = sin γz (13) gdzie β = nπ/b, γ = pπ/d, n, p = 0, 1, 2,.... Funkcja f 1 (x) powinna być proporcjonalna do funkcji f 2 (x) dla składowej E y. Ta składowa powinna być równa zeru na czterech ściankach rezonatora określonych równaniami: x = 0, x = a, z = 0, z = d. Aby spełnić warunek dla zmiennej x funkcja f 2 (x) także musi mieć postac fali stojącej. Możemy to zapewnić, jeśli wybierzemy funkcję f 1 (x) w postaci cos αx, gdzie α = mπ/a, m = 0, 1, 2,.... Ostatecznie dochodzimy do wniosku, że wyrażenia na składowe pola elektrycznego, spełniające warunki brzegowe na ściankach rezonatora są następujące: 2

E x = A cos(mπx/a) sin(nπy/b) sin(pπz/d) E y = B sin(mπx/a) cos(nπy/b) sin(pπz/d) E z = C sin(mπx/a) sin(nπy/b) cos(pπz/d) Aby przynajmniej jedna ze składowych pola elektrycznego była różna od zera wewnątrz rezonatora, przynajmniej dwie z liczb m, n, p powinny być większe od zera. Częstość drgań modu (m, n, p) wynosi zgodnie z równaniem (12) (mπ ) 2 ( nπ ) 2 ( pπ ) 2 ω m,n,p = c + + (15) a b d Aby prawo Gaussa (4) było spełnione musi zachodzić następujący warunek pomiędzy amplitudami A, B, C składowych pola elektrycznego: (14) A mπ a + B nπ b + C pπ d = 0 (16) Niech wektor E 0 = [A, B, C] oznacza wektor amplitud składowych pola elektrycznego. Wektor [ mπ k = a, nπ b, pπ ] (17) c można zinterpretować jako wektor falowy fali o numerze m, n, p stojącej w rezonatorze 1. Warunek (16) można zapisać w skrócie jako: k E 0 = 0 (18) Pole elektryczne fali stojącej leży więc w płaszczyźnie prostopadłej do wektora k. Drganie m, n, p jest więc w ogólności podwójnie zdegenerowane, to znaczy drganie o danej częstości możemy rozłożyć na dwie składowe o różnych polaryzacjach leżących w płaszczyźnie prostopadłej do k. 2 Składowe pola magnetycznego obliczamy z prawa Faradaya E = iω B: B x = i ( Ez ω y E ) y = i ( z ω B y = i ( Ex ω z E ) z = i x ω B z = i ( Ey ω x E ) x = i y ω C nπ b B pπ d ( A pπ d C mπ a ( B mπ a Anπ b ) sin(mπx/a) cos(nπy/b) cos(pπz/d) ) cos(mπx/a) sin(nπy/b) cos(pπz/d) ) cos(mπx/a) cos(nπy/b) sin(pπz/d) (19) 1 W ogólnym przypadku fala stojąca składa się z ośmiu fal odbitych od poszczególnych ścianek rezonatora o wektorach falowych k = [±mπ/a, ±nπ/b, ±pπ/c] 2 Degeneracji nie ma jeśli jeden z numerów m, n, p jest równy zeru. 3

Na powierzchni granicznej rezonatora składowa pola magnetycznego prostopadła do powierzchni powinna być równa zeru: B = 0. Dla składowej B x powinno to zachodzić na dwóch sciankach danych równaniami: x = 0 i x = a, dla składowej B y dla y = 0 i y = b, oraz dla składowej B z na ściankach z = 0, z = a. Pole magnetyczne dane równaniami (19) spełnia te warunki brzegowe. Można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że także spełnione jest prawo Gaussa B = 0 i prawo Ampera z prądem przesunięcia: B = iω/c 2 E. E x = A 0 Cos[m π x/a] Sin[n π y/b] Sin[p π z/d]; E y = B 0 Sin[m π x/a] Cos[n π y/b] Sin[p π z/d]; E z = C 0 Sin[m π x/a] Sin[n π y/b] Cos[p π z/d]; B x = I/ω (D[E z, y] D[E y, z])//simplify; B y = I/ω (D[E x, z] D[E z, x])//simplify; B z = I/ω (D[E y, x] D[E x, y])//simplify; prawo Gaussa D[B x, x] + D[B y, y] + D[B z, z]//simplify 0 prawo Ampera {D[B z, y] D[B y, z] I ω E x, D[B x, z] D[B z, x] I ω E y, D[B y, x] D[B x, y] I ω E z }/. {ω Sqrt[(m π/a) 2 + (n π/b) 2 + (p π/d) 2 ]} /.{C 0 d/(p π) (m π.a 0 /a + n π.b 0 /b)}//simplify {0, 0, 0} Można łatwo sprawdzić, że linie sił pola elektrycznego są prostopadłe do linii sił pola magnetycznego, obliczając iloczyn skalarny E B. E x B x + E y B y + E z B z /.{ω Sqrt[(m π/a) 2 + (n π/b) 2 + (p π/c) 2 ]}/. {C 0 c/(p π) (m π.a 0 /a + n π.b 0 /b)}//simplify 0 Przy założeniu, że boki rezonatora spełniają nierówność a > b > d najniższą częstość drgań będzie miał mod (1, 1, 0): ω 1,1,0 = πc 1/a 2 + 1/b 2 = 0,942 GHz 1/a 2 + 1/b 2 (20) gdzie przyjęliśmy, że jednostką długości jest 1 metr. Typowe rozmiary kuchenki mikrofalowej to 35 25 20 cm. Zgodnie ze wzorem (20) ω 1,1,0 = 0,942 1/0,35 2 + 1/0, 30 2 4,1 GHz (21) 4

co odpowiada częstotliwości f = ω/(2π) = 0,66 GHz. Częstotliwość mikrofal generowanych w magnetronie kuchenki jest równa f 0 = 2,45 GHz. Jest ona wyższa niż częstotliwość podstawowa rezonatora 3 Poniższa tabelka przedstawia listę modów, dla rezonatora o podanych wyżej wymiarach, których częstotliwość drgań f odchyla się od częstotliwości f 0 o mniej niż 10 MHz: n l m f [MHz] 0 1 4 1,5 3 4 1 2,2 5 0 2 6,0 Pole elektryczne modu (1, 1, 0) ma różną od zera tylko składową z-ową (wzdłuż najkrótszego boku rezonatora): E x = 0, E y = 0, E z = C sin(πx/a) sin(πy/b) (22) a pole magnetyczne leży w płaszczyźnie (x, y): B x = iπ C sin(πx/a) cos(πy/b), ωb B y = iπ ωa C cos(πx/a) sin(πy/b), B z = 0 (23) Mod (1, 1, 0) nie jest zdegenerowany. Związek pomiędzy składowymi pola elektrycznego i magnetycznego podaje prawo Faradaya iωb x = E z y, iωb y = E z x Łatwo zauważyć, że równanie linii pola magnetycznego w płaszczyźnie (x, y): daje się sprowadzić do różniczki zupełnej (24) dx = dy (25) B x B y E z x dx + E z dy = 0 (26) y Równaniem linii sił pola magnetycznego jest więc E z = const. Energia zgromadzona w pojedynczej fali stojącej w rezonatorze Całkowita energia zgromadzona w polu elektromagnetycznym fali stojącej w objętości rezonatora wynosi 3 Szczegóły dotyczace podstaw fizycznych działania kuchenki mikrofalowej można poznać w artykule Michaella ollmera Physics of the microwave oven, Physics Education 39 (2004) 74 5

Rysunek 1: Linie sił pola magnetycznego modu (1, 1, 0) w płaszczyźnie (x, y). W(t) = W e (t) + W m (t) (27) gdzie energia zgromadzona w polu elektrycznym jest równa: ɛ 0 E(t) 2 W e (t) = d (28) 2 a energia zgromadzona w polu magnetycznym wynosi: B(t) 2 W m (t) = d (29) 2µ 0 W powyższych wzorach należy podstawić chwilowe wartości rzeczywistych pól, z uwzględnieniem czynnika e iωt. Wzory (14) na składowe pola elektrycznego mnożymy więc przez czynnik cos ωt. We wzorach (19) na składowe pola magnetycznego występuje czynnik i. W składowych pola magnetycznego opuszczamy więc czynnik urojony i mnożymy je przez sin ωt. Stąd: oraz W e (t) = cos 2 ωt W m (t) = sin 2 ωt Powyższe całki można obliczyć w programie Mathematica. ɛ 0 2 (E2 x + E 2 y + E 2 z ) d (30) c 2 ɛ 0 2 (B2 x + B 2 y + B 2 z ) d (31) 6

(Ex 2 + Ey 2 + Ez 2 ) d = 8 (A2 + B 2 + C 2 ) (32) Przy upraszczaniu całki dla pola magnetycznego można wykorzystać równości (15) i (16). (B 2 x + By 2 + Bz 2 ) d = 8c 2 (A2 + B 2 + C 2 ) (33) Jak widać całkowita energia zgromadzona w polu elektromagnetycznym nie zależy od czasu i wynosi W = ɛ 0 16 (A2 + B 2 + C 2 ) (34) Średnie po czasie wartości energii pola elektrycznego i magnetycznego są sobie równe. W trakcie drgań stojącej fali elektromagnetycznej energia przelewa się od pola elektrycznego do magnetycznego i z powrotem, tak jak w zwykłym obwodzie drgającym LC. Całkowita energia zgromadzona w polu elektromagnetycznym rezonatora Jeśli w rezonatorze wykonać mały otwór to będzie on dobrym modelem ciała doskonale czarnego. Jeśli ścianki rezonatora utrzymywane są w stałej temperaturze T, to zachodzi równowaga termodynamiczna pomiędzy ściankami rezonatora i promieniowaniem wewnątrz. W danej chwili czasu ta sama ilość energii elektromagnetycznej jest pochłaniana przez ścianki rezonatora, jak i emitowana do wewnątrz w postaci fali elektromagnetycznej 4. Zgodnie z zasadą ekwipartycji energii energia każdego modu rezonatora jest równa średnio 1 2 k BT, gdzie k B jest stałą Boltzmanna. Obliczenie całkowitej energii zgromadzonej w polu elektromagnetycznym rezonatora sprowadza się do wyznaczenia całkowitej liczby fal stojących. Łatwo zauważyć, że jest ich nieskończenie wiele, a więc z punktu widzenia fizyki klasycznej albo energia zgromadzona w polu elektromagnetycznym jest nieskończenie duża, albo rezonator nigdy nie osiągnie stanu równowagi termodynamicznej. Oba wnioski są bezsensowne z punktu widzenia doświadczenia. Liczbę fal stojących dla danej wartości wektora falowego k oblicza się zauważając, że w tak zwanej przestrzeni odwrotnej, w której osie układu kartezjańskiego oznaczone 4 Ciepło przenoszone jest przez promieniowanie elektromagnetyczne. W temperaturze pokojowej głównie w zakresie podczerwonym. 7

są przez k x, k y, k z danej fali stojącej zgodnie ze wzorem (17) odpowiada punkt o współrzędnych (mπ/a, nπ/b, pπ/d). Objętość 0 w przestrzeni odwrotnej, która odpowiada jednej fali stojącej wynosi: 0 = π a π b π c = π3 (35) gdzie = abd jest objętością rezonatora. Jeżeli umówimy się, że interesuje nas liczba fal stojących N(k) o wartości wektora falowego z przedziału k, k + dk, to w przestrzeni odwrotnej będziemy mieli do czynienia z warstwą sferyczną o objętości (k) = 4πk 2 dk. Ponieważ składowe wektora fali stojącej są umownie większe lub równe zeru, musimy wziąć tylko 1 tej objętości: 8 Liczba fal stojących z przedziału k, k + dk wynosi więc (k) = π 2 k2 dk (36) N(k) = (k) = 0 2π 2 k2 dk (37) Zamieniając wektor falowy przez częstość fali zgodnie z relacją dyspersji k = ω /c mamy N(ω) = 2π 2 c 3 ω2 dω (38) W przypadku fal elektromagnetycznych, mających dwie polaryzacje dla danej częstości drgań, musimy tę liczbę pomnożyć przez 2. Energia fal stojących o częstości z przedziału ω, ω + dω wynosi E(ω) = k B T 2π 2 c 3 ω2 dω (39) Jeśli podzielimy tę wielkość przez to otrzymamy wzór Rayleigha-Jeansa na gęstość energii u(ω, T) promieniowania w rezonatorze u(ω, T) = k BT 2π 2 c 3 ω2 (40) Całkowita gęstość energii jest oczywiście nieskończona u(ω, T) dω = + (41) 0 Nieskończoność ta nazywa się obrazowo katastrofą w ultrafiolecie. W roku 1900 Max Planck w celu uniknięcia tej nieskończonosci założył, że energia między polem elektromagnetycznym i ściankami rezonatora wymieniana jest w postaci kwantów E = hν, gdzie ν = ω/(2π). Od tego momentu zaczęła się mechanika kwantowa. 8