Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 1 / 14

Istnienie częstości normalnych i modów normalnych Twierdzenie: Jeśli macierze K i L są rzeczywiste i symetryczne, a macierz L jest dodatnio określona to wszystkie uogólnione wartości własne w problemie własnym K x = λl x są rzeczywiste. Jeśli macierz L jest dodatkowo dodatnio określona to wartości własne są także dodatnie. Ponieważ macierze energii kinetycznej T i energii potencjalnej V są symetryczne i dodatnio określone, więc jeśli wymiar macierzy jest n n to w problemie modów normalnych istnieje n wartości ω 2 (uogólnionych wartości własnych), niekoniecznie różnych (w szczególności jeśli układ posiada jakąś symetrię). Jeśli wszystkie wartości ω 2 są różne to równania na amplitudy a: (V ω 2 T) a = 0 mają n różnych rozwiązań, a więc dla każdej częstości normalnej istnieje tylko jeden mod normalny. Jeśli któraś z wartości ω 2 powtarza się k razy, to istnieje do niej k liniowo niezależnych wektorów a, a więc k modów. Mówimy, że ta częstość jest zdegenerowana. Wniosek: Całkowita liczba modów jest zawsze równa liczbie stopni swobody n układu. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 2 / 14

Ortogonalność modów normalnych Twierdzenie: Niech K i L będą symetrycznymi macierzami n n oraz niech x 1 i x 2 będą uogólnionymi wektorami własnymi do różnych wartości własnych. Wówczas wektory x 1 i x 2 są wzajemnie ortogonalne względem macierzy L, tzn. x T 1 L x 2 = 0. Ponieważ macierze T i V są rzeczywiste i symetryczne, oznacza to, że jesli a 1 i a 2 są wektorami aplitud modów normalnych do różnych częstości normalnych to zachodzi: a T 1 L a 2 = 0 W przypadku zdegenerowanych częstości własnych zawsze można wybrać wektory amplitud tak aby były ortogonalne. Wniosek: Wektory amplitud a 1, a 2,..., a n modów normalnych spełniają (lub można sprawić aby spełniały) relacje ortogonalności: a T j L a k = 0, dla j k Ogólne rozwiązanie problemu małych drgań przyjmuje postać kombinacji liniowej modów normalnych: q(t) = C 1 a 1 cos (ω 1 t γ 1 ) + C 2 a 2 cos (ω 2 t γ 2 ) +... + C n a n cos (ω n t γ n ) gdzie stałe C j oraz fazy γ j należy wyznaczyć z warunków początkowych. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 3 / 14

Współrzędne normalne Definicja: Współrzędnymi normalnymi nazywamy zbiór współrzędnych uogólnionych w których macierze T i V są diagonalne. Rozważmy zmianę zmiennych: q = P η gdzie P jest dowolną macierzą nieosobliwą: T app = q T T q = (P η) T T (P η) = η T (P T T P) η V app = q T T q = (P η) T V (P η) = η T (P T V P) η Macierz P = ( a 1 a 2... a n ) przy założeniu, że a i są ortnormalne, tzn. { a T 0 j k j T a k = 1 j = k diagonalizuje jednocześnie macierze T i V: Ponieważ: a T 1 T P T a T T P = 2. T ( a 1 a 2... a n ) = I a T j V a k = a T j (V a k ) = a T j (ω 2 k T a k ) = ω 2 k ( a T j T a k ) = a T n { 0 j k j = k ωj 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 4 / 14

Współrzędne normalne Dla macierzy V otrzymujemy: ω1 2 0... 0 P T V P = Ω 2 0 ω2 2... 0 =... 0 0... ωn 2 A więc współrzędne normalne mają postać: η = P 1 q = (P T T) q η j = ( a T j T) q (1 j n) Równania małych drgań we współrzędnych normalnych przyjmują postać: η + Ω 2 η = 0 η j + ω 2 j η j = 0 (1 j n) Przykład: Podwójne wahadło, cd. Wcześniej znaleźliśmy: T = 1 ( ) ( ) ( ) 4 1 1 1 2 mb2, a 1 1 1 =, a 2 1 = 2 Współrzędne normalne: ( ) 4 1 η 1 = (1, 2) 1 1 ( 4 1 η 2 = (1, 2) 1 1 ( ) θ φ ) ( θ φ = 6θ + 3φ ) = 2θ φ M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 5 / 14

Twierdzenie Liouville a Twierdzenie: W ruchu układu opisanego Hamiltonianem zachowana jest objętość w przestrzeni fazowej ( q, p). Dowód: Oznaczenia: ( q, p) ozn (x 1, x 2,..., x 2n ) Oznaczając prawe strony równań Hamiltona q k = H, p k F 1, F 2,..., F 2n, równania te przyjmują postać x = F ( x, t) x R 0 ṗ k = H q k X ( x, t ) R t przez Ograniczamy się do dwuwymiarowej przestrzeni fazowej. Typowy punkt x z obszaru R 0 po czasie t znajdzie się w punkcie X = X( x, t) obszaru R t. Objetość obszaru R t wynosi: v(t) = dx 1 dx 2 = Jdx 1 dx 2 gdzie J = X 1/ x 1 X 1 / x 2 R t R 0 X 2 / x 1 X 2 / x 2 Dla małych t mamy: X( x, t) = X( x, 0) + t X J = 1 + t [ F1 x 1 + F 2 x 2 t ( x, 0) + O(t2 ) = x + t F ( x, t) + O(t 2 ) ] + O(t 2 ) = 1 + t div F ( x, 0) + O(t 2 ) t=0 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 6 / 14

Twierdzenie Liouville a Objętość obszaru R t jest więc dla małych t równa: ( v(t) = 1 + t div F ) ( x, 0) dx 1 dx 2 +O(t 2 ) dv dt = div F ( x, 0) dx 1 dx 2 t=0 R 0 R 0 Ponieważ chwila t = 0 może byc wybrana dowolnie, więc powyższe zachodzi dla dowolnego t: dv dt = div F ( x, 0) dx 1 dx 2 R t W przypadku gdy spełnione są równania Hamiltona mamy: div F = F 1 + F 2 = ( ) H + ( H ) = 0 x 1 x 2 q p p q dv dt = 0 Twierdzenie Poincare go o powracaniu: Niech S będzie układem autonomicznym, tzn. H = H( q, p). Rozważamy ruch punktów w przestrzeni fazowej znajdujących się początkowo w obszarze R 0. Jeśli ścieżki w przestrzeni fazowej wszystkich tych punktów leżą przez cały czas w ograniczonym obszarze, to niektóre z tych punktów wrócą w końcu do obszaru R 0. z z = F (x, y) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 7 / 14 x y

Nawiasy Poissona Niech F = F (q, p, t). Pochodna zupełna po czasie ma postać: df dt = ( F q k + F ) ṗ k + F q k p k t = k k ( H p k F q k H q k F p k ) + F t Definicja: Nawiasami Poissona nazywamy dla wielkości F i G nazywamy {F, G} q,p ( F G F ) G q k p k p k q k k Własności: {F, G} = {G, F }, {F, c} = 0, gdzie c jest dowolną stałą, {F 1 + F 2, g} = {F 1, G} + {F 2, G}, {F 1 F 2, G} = F 1 {F 2, G} + F 2 {F 1, G}, { } { F {F, G} = t t, G + F, G }, t tożsamość Jacobiego: {F, {G, H}} + {G, {H, F }} + {H, {F, G}} = 0 Jeśli F jest stałą ruchu to df dt = F + {F, H} = 0. t M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 8 / 14

Transformacje kanoniczne W szczególności mamy: {q j, q k } = {p j, p k } = 0, {q j, p k } = δ jk, {q k, G} = G p k, {p k, G} = G q k Transformacje współrzędnych w przestrzeni konfiguracyjnej (tzw. punktowe, zmiana zmiennych): Qk = Q k (q 1, q 2,..., q n, t) k = 1,..., n Transformacje kontaktowe w przestrzeni fazowej (współrzędne i pędy jako niezależne zmienne): Q = Q(q, p, t), P = P (q, p, t) Definicja: Transformacje kanoniczne to transformacje sprzężonych kanonicznie współrzędnych q i pędów p w nowy układ zmiennych (Q, P ), które są również wzajemnie sprzężone kanonicznie i zachowują strukturę równań Hamiltona dla wszystkich układów dynamicznych. Równania ruchu są takie same dla lagranżjanów różniących się pełną pochodną czasową dowolnej funkcji współrzędnych i czasu. Rozważmy transformację: L(Q, Q, t) = L(q, q, t) df (q, Q, t) dt Aby transformacja była odwracalna musi zachodzić 2 F q Q 0. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 9 / 14

Funkcje generujące Funkcję F nazywamy funkcją generującą, ponieważ pozwala znaleźć relacje pomiędzy starymi i nowymi zmiennymi: L = L df dt P Q H = p q H df dt df (q, Q, t) = F F F F dq + dq + dt p = q Q t q, Hamiltonian w nowych zmiennych: H(Q, P, t) P Q L = F Q Q L + F F q + q Q Q + F t F (q(q, P ), Q, t) = H(q(Q, P ), p(q, P ), t) + t df = p dq P dq (H H)dt P = F Q = p q L + F t Uwaga: Dla większej liczby stopni swobody mamy F = F (q 1,.., q n, Q 1,..., Q n ) i musimy rozwiązać układ 2n równań z 2n niewiadomymi Q k, P k : p k = F q k, P k = F Q k M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 10 / 14

Transformacje kanoniczne - przykłady Przykład: Wykorzystanie transformacji kanonicznych do rozwiązania problemu prostego oscylatora harmonicznego. Hamiltonian układu ma postać: H = p2 2m + kq2 2 = 1 ( p 2 + m 2 ω 2 q 2) 2m Wykorzystamy funkcję generującą postaci F 1 (q, Q) = 1 2 mωq2 ctg Q Otrzymujemy: p = F 1 q = mωq ctg Q, P = F 1 Q = mωq2 2 sin 2 Q skąd 2P wyznaczamy: q = sin Q, mω p = 2P mω cos Q W nowych zmiennych (Q, P ) Hamiltonian przyjmuje postać H = ωp. Ponieważ hamiltonian nie zależy od Q, więc P = E/ω jest stałą ruchu. Równanie ruchu dla zmienej Q ma postać: Q = H P = ω Q = ωt + α Równania ruchu dla zmiennych (q, p) przyjmują postać: 2E q = mω 2 sin (ωt + α), p = 2mE cos (ωt + α) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 11 / 14

Inne typy funkcji generujących Istnieją cztery typy f. gen. F 1 (q, Q, t), F 2 (q, P, t), F 3 (p, Q, t), F 4 (p, P, t). Przejścia pomiędzy zmiennymi wykonywane są za pomocą transf. Legandre a. Uwaga: Wszystkie cztery typy funkcji generujących, otrzymane w ten sposób prowadzą do tej samej transformacji kanonicznej. Przejście F 1 (q, Q, t) F 3 (p, Q, t) = F 1 (q, Q, t) qp df 3 = df 1 d(qp) = qdp P dq (H H)dt q = F 3 p, P = F 3 Q Przykład: Oscylator harmoniczny. F 1 (q, Q) = 1 2 mωq2 ctg Q p = F 1 q Stąd otrzymujemy: F 3 (p, Q, t) = F 1 (q, Q, t) qp = 1 2 mω ( p ω tg Q ) 2 ctg Q p 2 oraz P = F 3 Q = p2 2mω 1 cos 2 Q = mωq2 2 sin 2 Q = mωq ctg Q q(p, Q) = p mω tg Q mω tg Q = p2 2mω tg Q M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 12 / 14

Pozostałe typy funkcji generujących Pozostałe funkcje generujące: F 4 (p, P, t) = F 3 (p, Q, t) + P Q q = F 4 p, Q = F 4 P F 2 (q, P, t) = F 1 (q, Q, t) + QP p = F 2 q, Q = F 2 P Wykorzystanie nawiasów Poissona: {F, G} q,p n k=1 ( F G F ) G q k p k p k q k {F, G} q,p F G q p F G p q Twierdzenie: Wartość nawiasów Poissona nie zależy od wyboru zmiennych kanonicznych, tzn. { F, G} Q,P = {F, G} q,p W szczególności: {Q, P } Q,P = {Q(q, p), P (q, p)} q,p = 1 Pozwala to stwierdzić bez znajomości funkcji generującej dla transformacji q, p Q, P, czy dana relacja jest kanoniczna czy nie. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 13 / 14

Transformacje kanoniczne - przykłady Przykład: Nawiasy Poissona dla przykładu z oscylatorem harmonicznym, Q, P q, p q Q = P mω cos Q p P = mω P cos Q q P = m ωp sin Q p Q = {q, p} Q,P = q p Q P q p P Q = 1 ωp m cos Q A więc przejście od zmiennych q, P do Q, P jest transformacją kanoniczną. Przykład: dla jakich wartości parametrów α i β, transformacje Q = αp q P = βq 2 są kanoniczne? Q q = αp q 2, P p = 0, Q p = α q, P q = 2βq {Q, P } = 2αβ = 1 β = 1 2α A więc podane transformacje są kanoniczne jeśli stałe spełniają ten warunek. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład 9 14 / 14 i