ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15
Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17 5 Maªe Twierdzenie Fermata 20 6 Twierdzenie Eulera 23 7 Twierdzenie Lagrange'a 27 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 30 9 RSA i gra w orªa i reszk przez telefon 34 10 Kongruencje wy»szych stopni 38 11 Liczby pseudopierwsze 44 12 Pierwiastki pierwotne 49 13 Istnienie pierwiastków pierwotnych 53 14 Logarytm dyskretny 58 15 Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 61 2
Wykªad 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach Twierdzenie, które tu przedstawimy zostaªo odkryte i wykorzystywane w ±redniowiecznych Chinach. Przyczyn tego odkrycia byªy trudno±ci z mno»eniem i dodawaniem du»ych liczb ªatwiej jest nauczy si na pami kilku kombinacji, ni» wykonywa dziaªania arytmetyczne w pami ci. A dokªadnie, kiedy dowódca chciaª zliczy swoje wojsko, kazaª ustawi si»oªnierzom w dwu-szeregu, nast pnie w trzy-szeregu, potem w pi cio-szeregu itd. Liczba,,niesparowanych»oªnierzy w ka»dym z tych ustawie«(czyli reszty z dzielenia ogólnej liczby»oªnierzy przez 2, 3, 5,... ) dawaªy liczb wszystkich»oªnierzy. eby skonkretyzowa nasze my±lenie, rozwa»my nast puj cy przykªad. 8.1 Przykªad. Po ustawieniu caªego wojska w 3-, 5- i 7-szeregu dostali±my, odpowiednio 2, 1 oraz 6 niesparowanych»oªnierzy. Jaka jest liczebno± oddziaªu, je»eli wiadomo,»e»oªnierzy jest mniej ni» 100? Formalizuj c zadanie, niech x b dzie liczb»oªnierzy. Zatem reszty z dzielenia x przez 3, 5 oraz 7, to 2, 1 i 6. St d x 2 (mod 3) (8.1) x 1 (mod 5) (8.2) x 6 (mod 7) (8.3) Powy»szy ukªad trzech kongruencji rozwi»emy w nast puj cy sposób. Z kongruencji (8.1) mamy x = 3k + 2. Podstawiaj c do (8.2), otrzymujemy 3k + 2 1 (mod 5), czyli 3k 1 (mod 5). Znajdujemy liczb odwrotn do 3 modulo 5 i rozwi zujemy ostatni kongruencj otrzymuj c k 2 (mod 5). Zatem k = 5r 2 oraz x = 3 (5r 2)+2 = 15r 4. Podstawiaj c t posta x do (8.3) dostajemy 15r 4 6 (mod 7), a nast pnie r 3 (mod 7). St d 30
mamy r = 7s + 3, czyli x = 15 (7s + 3) 4 = 105s + 41. Zatem wszystkich»oªnierzy jest 41 (nast pna mo»liwo± to 146, ale jak zaznaczyli±my,»oªnierzy jest mniej ni» 100). Dowódca, oczywi±cie, nie musiaª przeprowadza powy»szych rachunków, a jedynie zapami ta,»e ukªadowi 2-1-6 odpowiada liczba 41. Pami taª on te» zapewne, jakim ukªadom odpowiadaj s siednie liczby: ukªad liczba ukªad liczba 2-0-0 35 2-1-6 41 0-1-1 36 0-2-0 42 1-2-2 37 1-3-1 43 2-3-3 38 2-4-2 44 0-4-4 39 0-0-3 45 1-0-5 40 1-1-4 46 Ide powy»szego przykªadu uogólnimy i podamy w dowodzie nast puj cego twierdzenia. 8.2 Twierdzenie (Chi«skie twierdzenie o resztach). Przypu± my,»e m 1, m 2,..., m r s parami wzgl dnie pierwsze. Wówczas ukªad kongruencji x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ).................. x a r (mod m r ) (8.4) ma jednoznaczne rozwi zanie modulo m 1 m 2... m r. Dowód. Wprowad¹my nast puj ce oznaczenia: M = m 1 m 2... m r, M i = M m i, oraz x i = M 1 i mod m i dla 1 i r. Rozwa»my teraz liczb x = a 1 M 1 x 1 + a 2 M 2 x 2 + + a r M r x r. Poniewa» dla j i zachodzi M j 0 (mod x i ), wi c x a i M i x i (mod m i ) dla ka»dego i. Ale M i x i 1 (mod m i ), wi c x a i (mod m i ) dla 1 i r. Pozostaje jeszcze udowodni jednoznaczno±. Niech x oraz x b d dwoma rozwi zaniami ukªadu (8.4). Zatem x x (mod m i ) dla 1 i r. St d m i x x, a poniewa» m 1, m 2,... m r s parami wzgl dnie pierwsze, wi c M x x. Zatem dwa rozwi zania ukªadu (8.4) ró»ni si o wielokrotno± M i ukªad ten ma jednoznaczne rozwi zanie modulo M. 31
W odró»nieniu od dowodów wielu innych podobnych twierdze«, dowód chi«skiego twierdzenia o resztach daje wzór na rozwi zanie ukªadu kongruencji typu (8.4). 8.3 Przykªad. Rozwa»my ukªad kongruencji z przykªadu 8.1. Stosuj c oznaczenia dowodu twierdzenia 8.2, mamy M = 105 oraz i m i a i M i x i 1 3 2 35 2 2 5 1 21 1 3 7 6 15 1 St d x 2 35 2 + 1 21 1 + 6 15 1 (mod 105) 140 + 21 + 90 (mod 105) 251 (mod 105) 41 (mod 105). Zaªo»enie o kopierwszo±ci moduªów jest do± istotnym ograniczeniem. Rozwa»my dla przykªadu, ukªad kongruencji x 3 (mod 8) x 7 (mod 12). (8.5) Nie mo»na go rozwi za stosuj c twierdzenie 8.2, poniewa» 8 oraz 12 nie s wzgl dnie pierwsze. Nie oznacza to jednak,»e ukªad ten nie ma rozwi zania. Rozwi»emy go w nast pnym przykªadzie. 8.4 Przykªad. Aby rozwi za ukªad kongruencji (8.5) zapiszmy najpierw 12 = 4 3 i rozbijmy drug kongruencj ukªadu na dwie kongruencje x 7 3 (mod 4) i x 7 1 (mod 3). Mamy zatem ukªad trzech kongruencji x 3 (mod 8) x 3 (mod 4) x 1 (mod 3). (8.6) 32
Ale rozwi zanie pierwszej kongruencji ukªadu (8.6) speªnia te» drug kongruencj, wi c druga kongruencja jest niepotrzebna. Otrzymujemy wi c równowa»ny (8.5) ukªad kongruencji x 3 (mod 8) x 1 (mod 3). Ostatni ukªad rozwi zujemy stosuj c chi«skie twierdzenie o resztach (8.2) i otrzymujemy x 19 (mod 24). Podamy teraz uogólnienie chi«skiego twierdzenia o resztach, które pozwala rozwi zywa ukªady kongruencji podobne do (8.5). 8.5 Twierdzenie. Przypu± my,»e m 1, m 2..., m r s liczbami naturalnymi. Wówczas ukªad kongruencji (8.4) ma rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(m i, m j ) a i a j dla i j. Otrzymane rozwi zanie jest jednoznaczne modulo NWW(m 1, m 2,..., m r ). Dowód. Rozwa»my najpierw przypadek, gdy m i = p e i, gdzie 1 i r, e i jest liczb nieujemn, a p jest liczb pierwsz. Mo»emy, oczywi±cie, zaªo»y,»e e 1 e 2 e r. Przypu± my teraz,»e taki ukªad kongruencji ma rozwi zanie x 0 i niech i < j. Zatem NWD(m i, m j ) = m j = p e j. Skoro zachodz kongruencje x 0 a i (mod p e i ) oraz x 0 a j (mod p e j ), wi c p e j dzieli x 0 a j oraz, poniewa» p e j p e i, p e j dzieli tak»e x 0 a j. St d p e j a i a j. W drug stron, je±li i < j, to rozwi zanie kongruencji x 0 a i (mod p e i ) jest te» rozwi zaniem kongruencji x 0 a j (mod p e j ), wi c, w szczególno±ci, rozwi zanie pierwszej kongruencji (jednoznaczne modulo p e 1 ) jest te» rozwi zaniem pozostaªych kongruencji. Aby zako«czy t cz ± dowodu, zauwa»my jeszcze,»e p e 1 = NWW(m 1, m 2,..., m r ). Przejd¹my teraz do ogólnego przypadku. Zapiszmy m 1 = p e 11 1 p e 12 2... p e 1k k m 2 = p e 21 1 p e 22 2... p e 2k k.................. m r = p e r1 1 p e r2 2... p e rk k. Wówczas ukªad kongruencji (8.4) jest równowa»ny ukªadowi, skªadaj cemu 33
si z podukªadów postaci x a 1 (mod p e 1s s ) x a 2 (mod p e 2s s ).................. x a r (mod p ers s ), (8.7) gdzie 1 s k. Oznaczmy e s = max {e ts : 1 t r}. Ka»dy z podukªadów (8.7) ma jednoznaczne modulo p e s ( s rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, e gdy NWD p is s, p e ) js s ai a j dla i j, co wynika z pierwszej cz ±ci dowodu. Co wi cej, rozwi zanie y s tego podukªadu jest rozwi zaniem kongruencji o module p e s s, wi c ukªad (8.4) jest równowa»ny ukªadowi x y 1 (mod p e 1 1 ) x y 2 (mod p e 2 2 ).................. x y k (mod p e k k ). (8.8) Ostatni ukªad ma rozwi zanie z uwagi na chi«skie twierdzenie o resztach oraz, je±li rozwi zanie istnieje, to jest ono jednoznaczne modulo p e 1 1 p e 2 2... p e k k = NWW(m 1, m 2,..., m r ). Poniewa» rozwi zanie ukªadu (8.4) przy zaªo»eniach dowodzonego twierdzenia jest równowa»ne rozwi zaniu ukªadu (8.8), wi c twierdzenie jest udowodnione. Powy»szy dowód podaje te» sposób na rozwi zanie ukªadu kongruencji. Sposób ten zostaª ju» zademonstrowany w przykªadzie (8.4). Dla utrwalenia rozwi»my jeszcze jeden ukªad kongruencji. 8.6 Przykªad. Ukªad kongruencji x 5 (mod 8) x 7 (mod 14) x 21 (mod 35) 34
ma rozwi zanie, poniewa» zachodzi NWD(8, 35) = 1, NWD(14, 35) 7 21 oraz NWD(8, 14) 5 7. Aby rozwi za nasz ukªad zapisujemy 8 = 2 3 5 0 7 0 14 = 2 1 5 0 7 1 35 = 2 0 5 1 7 1 i zast pujemy ukªadem równowa»nym (przy czym pomijamy kongruencje o module 1) x 5 (mod 8) x 21 (mod 5) x 7 (mod 7) x 7 (mod 2) x 21 (mod 7) Rozwi zaniami trzech podukªadów s odpowiednio 5, 1 oraz 0. Zatem nasz ukªad kongruencji sprowadza si do ukªadu x 5 (mod 8) x 1 (mod 5) x 0 (mod 7), który rozwi zujemy stosuj c chi«skie twierdzenie o resztach i otrzymujemy rozwi zanie x = 21 jednoznaczne modulo 280. 35