Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Wydział Mechaniczny Technoogiczny oitechnika Śąska LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE
BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 1. CEL ĆWICZENIA Doświadczane wyznaczenie zaeżności strzałki ugięcia pręta wyboczonego od wiekości przyłożonej siły i przedstawienie jej na wyesie. d Wyznaczenie wartości siły ytycznej da danego pręta korzystając z danych doświadczanych przy różnych sposobach mocowania pręta. Obiczenie modułu Younga E na podstawie wyników doświadczanych i porównania tej wartości z danymi z tabic materiałowych. Obiczenie siły ytycznej ze wzoru Euera. Obiczenie błędu wzgędnego pomiarów.. WROWADZENIE Równowaga ciał może być stateczna, niestateczna ub obojętna. Równowagą stateczną (stałą, stabiną, trwałą) nazywamy taką formę równowagi, w której ciało wychyone z położenia pierwotnego z powrotem do niego powraca (rys. 1a). Inaczej mówiąc, ruch ciała jest taki, że wychyenia dowonego punktu ciała są nie większe od początkowych. O równowadze niestatecznej (chwiejnej) mówimy wówczas, gdy ciało wychyone z położenia pierwotnego nie powraca do tego położenia, ae przechodzi do innego (rys. 1b). Jeśi ciało znajduje się w potencjanym pou sił, wówczas położeniu równowagi statecznej odpowiada minimum energii potencjanej, zaś równowadze niestatecznej odpowiada maksimum energii potencjanej. Szczegóny przypadek, gdy przy dowonie małym wychyeniu wartość energii potencjanej nie zmienia się, nazywamy równowagą obojętną (rys. 1c). g b) a) c) Rys. 1. Rodzaje równowagi ciała: a) stateczna; b) niestateczna; c) obojętna Żadne ciało praktycznie nie może pozostawać w położeniu równowagi niestatecznej, będącej stanem granicznym. Ciało przechodzi do innego możiwego położenia. rzejście to może charakteryzować się dużymi przemieszczeniami, powstaniem pastycznych odkształceń, zniszczeniem układu itp. Taką formę przejścia z jednego położenia równowagi do drugiego nazywamy utratą stateczności. W praktyce często mamy do czynienia ze zjawiskiem, gdy do przeprowadzenia układu w stan równowagi chwiejnej potrzebna jest na tye mała iość energii, że w danych warunkach może ona być dostarczona zupełnie przypadkowo (rys. ). Wówczas mówi się, że stateczność układu jest niewystarczająca.
BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 3 g Rys.. Układ o małej stateczności Stateczność układu może zaeżeć nie tyko od jego geometrycznej postaci, ae i od wiekości działających sił. Jeśi np. siła obciążająca układ będzie mniejsza od pewnej charakterystycznej wartości, to stateczność będzie zachowana; przy sie większej układ znajdzie się w położeniu równowagi niestatecznej. rzejście siły przez tę szczegóną wartość powoduje zmianę równowagi układu ze statecznej na niestateczną. Tę charakterystyczną wartość siły obciążającej oeśamy mianem siły ytycznej. Obecnie w wieu konstrukcjach zasadniczymi eementami decydującymi o ich wytrzymałości są pręty ściskane siłami osiowymi, datego też zagadnienie wyboczenia pręta stanowi ważną część obiczeń inżynierskich. Wyboczenie niekoniecznie musi prowadzić do zniszczenia pręta, ae utrata stateczności najczęściej prowadzi do utraty nośności całej konstrukcji. onadto w praktyce nie przeprowadza się anaizy stanu równowagi układu po utracie stateczności i uważa się obciążenie ytyczne za szczegónie niebezpieczne. Niebezpieczeństwo utraty stateczności jest tym większe, im konstrukcja jest żejsza. Zagadnienie to jest o tye istotne i ważne, że utrata stateczności następuje nage, bez widocznych objawów poprzedzających niebezpieczny stan konstrukcji. Datego przedstawienie eksperymentanego sposobu oeśenia siły ytycznej przy wyboczeniu sprężystym i porównanie z wynikiem uzyskanym anaitycznie (wzór Euera) pozwaa na szersze rozeznanie w zagadnieniach stateczności prętów ściskanych. 3. ODSTAWY TEORETYCZNE 3.1 Utrata stateczności prętów ściskanych W przeciwieństwie do układów sztywnych w układach odkształcanych wartości występujących sił mają wpływ na rodzaj równowagi. Rozpatrywany jest nieważki pręt AB ściskany siłą osiową (rys. 3a) na tye małą, że oś pręta pozostaje prosta. Jeśi na pręt zadziała się statycznie siłą Q prostopadłą do osi pręta, to siła ta spowoduje ugięcie pręta. o cofnięciu siły Q pręt powraca do swej początkowej (prostej) postaci. Jeśi działanie siłą Q będzie działaniem dynamicznym, wówczas wywoła ona drgania pręta wokół prostej osi. Zwiększenie wartości siły powoduje początkowo jedynie wzrost oesu drgań. Jednakże po przeoczeniu pewnej charakterystycznej wartości siły, zwanej siłą ytyczną, pręt po chwiowym zadziałaniu siły Q nie powróci do swej pierwotnej postaci. o przeoczeniu przez siłę wartości ytycznej pręt znajdzie się w równowadze chwiejnej i gwałtownie przybierze nową postać równowagi stałej o osi wygiętej. Towarzyszy temu nagły wzrost przemieszczeń końca B pręta. Wygięcie pręta spowodowane przeoczeniem przez siłę ściskającą wartości ytycznej nazywamy wyboczeniem.
BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 4 B B Q M 1 3 A R = a) b) Rys. 3. a) Nieważki pręt ściskany osiowo; b) zaeżność u- Rysunek 3b przedstawia zaeżność pomiędzy przemieszczeniem u końca B pręta AB a wartością siły ściskającej. rosta 1 odpowiada sytuacji, gdy pręt prosty jest wyłącznie ściskany. o osiągnięciu przez siłę wartości ytycznej charakterystyka rozdwaja się w punkcie M. unkt ten zwany jest punktem bifurkacji (rozdwojenia). Zwiększenie wartości siły ściskającej powyżej wartości spowoduje bądź równowagę niestateczną pręta, który pozostanie nada prosty (prosta 1), bądź równowagę stateczną pręt o osi wygiętej (zywa ). Linia 0-M- zwana jest ścieżką równowagi. Założenie całkowicie osiowego ściskania jest oczywiście ideaizacją w praktyce zawsze ma się do czynienia z pewnym mimośrodem. Krzywa 3 na wyesie jest wyesem zaeżności u- przy założeniu istnienia małego początkowego mimośrodu. Im mimośród jest mniejszy, tym zywa początkowo dokładniej poywa się z prostą 1, by później uec gwałtowniejszemu zazywieniu (gwałtowniejszy wzrost przemieszczeń). 0 u 3. Sprężyste wyboczenie pręta Wyboczeniem sprężystym nazywać będziemy taki przypadek utraty stateczności, w którym siła ytyczna spowoduje powstanie naprężeń normanych mniejszych od granicy proporcjonaności R H. odstawy teoretyczne sprężystego wyboczenia prętów prostych dał Euer wyprowadzając wzór na siłę ytyczną (wyboczeniową) przy ściskaniu pręta prostego podpartego dwustronnie przegubowo (rys. 4). Jako że warunki podparcia nie oeśają uprzywiejowanego kierunku wygięcia pręta, zatem wygięcie nastąpi w płaszczyźnie najmniejszej sztywności na zginanie. W stanie równowagi w postaci wygiętej pojawia się dodatkowo moment gnący, którego wartość w dowonym przeoju wynosi: Równanie osi ugiętej ma postać: Mg = y (1) d y M g dx = ()
BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 5 y x y Stąd można zapisać: x Rys. 4. ręt prosty ściskany osiowo rzekształcając powyższą zaeżność otrzymuje się: ub gdzie d y y dx = (3) d y 0 y dx + = (4) d y k y 0 dx + =, (5) k = (6) Otrzymano równanie różniczkowe iniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach, da którego poszukuje się rozwiązania w postaci: y = C sin kx + D cos kx (7) Uwzgędniamy warunki brzegowe w miejscach podparcia pręta w postaci: y ( x = 0) = 0 (8) y ( x = ) = 0 (9) Z warunku (8) wynika, iż D = 0. Równanie osi ugiętej przyjmuje postać: odstawiając warunek brzegowy (9) otrzymuje się: y = C sin kx (10) C sin k = 0 (11) Równanie powyższe jest spełnione w następujących przypadkach: a) C = 0, wówczas da każdego x otrzymuje się y = 0 wyboczenie nie występuje, a pręt pozostaje prosty (przypadek trywiany); b) sink = 0, co jest spełnione, gdy k = nπ, n = 0, 1,,...
BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 6 Z warunku b) otrzymuje się: Wyznaczając z powyższego równania siłę uzyskuje się: k = = nπ (1) n π = (13) Da n = 0 otrzymuje się = 0. Z koei podstawiając n = 1 obicza się maksymaną wartość siły ściskającej, da której możiwe jest zachowanie równowagi pręta w postaci wygiętej jest to tzw. euerowska siła ytyczna: π = (14) Da tej wartości siły ytycznej równanie różniczkowe osi ugiętej przyjmuje postać: π y = C sin x (15) Tak więc oś ugięta jest sinusoidą, przy czym C = y Jeśi za k podstawi się dasze wartości (k = π, k = 3π itd.), wówczas otrzymuje się: 4π k = π = 9π k = 3 π = itd. Oś ugięta przyjmuje wówczas postać dwu, trzech ub więcej sinusoidanych półfa (rys. 5). Te większe wartości siły ytycznej nie mają praktycznego znaczenia, gdyż już po osiągnięciu pierwszej wartości ytycznej (da n = 1) siła powoduje wygięcie pręta w kształcie jednej półfai i nie jest możiwa zmiana tego kształtu. (16) (17) 3 3 3 a) Rys. 5. ostaci wyboczenia da a) n = ; b) n = 3 b)
BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 7 W ogónym przypadku podaje się zaeżność uwzgędniającą różne sposoby podparcia: gdzie: w = µ długość wyboczeniowa pręta; π =, (18) min w µ współczynnik zaeżny od sposobu mocowania pręta (np. da mocowania dwustronnie przegubowego µ = 1). Jeżei chce się wyznaczyć naprężenia ytyczne, to siłę ytyczną naeży podzieić przez poe przeoju poprzecznego pręta A. Uzyskuje się wtedy zaeżność: gdzie: π π Ei σ = =, (19) min min Aw w I i = promień bezwładności przeoju poprzecznego pręta. A Inaczej można zapisać zaeżność (19) w postaci: gdzie: λ smukłość pręta: σ π E =, (0) λ λ = w (1) i Graficzną interpretacją wzoru (0) jest hiperboa Euera przedstawiona na rys. 6. Na rysunku tym przedstawiono również zaes stosowaności wzoru Euera. Wzór ten może być stosowany wyłącznie w zaesie sprężystym (da σ σ H ), czemu odpowiadają wartości smukłości λ λ. gr σ zywa doświadczana zywa Johnsona-Ostenfeda prosta Tetmajera-Jasińskiego σ H zywa Euera λ gr λ Rys. 6. Zaeżność naprężeń ytycznych od smukłości pręta uegającego wyboczeniu Wartość graniczną smukłości wyznacza się z zaeżności: E = () λgr π σ H
BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 8 W zaesie sprężysto-pastycznym (posprężystym) stosuje się przeważnie jedną z dwóch aproksymacji: 1) prostą Tetmajera-Jasińskiego: ) paraboą Johnsona-Ostenfeda: σ = A Bλ (3) = λ (4) σ a b Współczynniki materiałowe A i B oraz a i b wyznacza się da danego materiału pręta odpowiednio z zaeżności: A = R Re RH RH B = π E a = R e e R b = 4Eπ W iteraturze można spotkać gotowe tabice współczynników A, B oraz a i b da różnych materiałów. W przypadku obiczeń wytrzymałościowych na wyboczenie naeży zawsze sprawdzić, w jakim przedziae mieści się smukłość pręta λ i w zaeżności od tego stosować odpowiednie wzory. Jeżei λ λ gr, to można stosować wzór Euera (18) na siłę ytyczną. Jeżei λ < λ gr, to naeży stosować wzory do wyboczenia sprężysto-pastycznego, czyi odpowiednio: aproksymację prostą Tetmajera-Jasińskiego (3) ub paraboą Johnsona-Ostenfeda (4). Naeży ponadto zwrócić uwagę, że smukłość pręta λ zaeży tyko od wiekości geometrycznych pręta (1), zaś smukłość graniczna λ gr zaeży tyko od własności materiałowych (). e (5) 3.3 Wyboczenie pręta o wstępnej zywiźnie Rozważany jest pręt zamocowany obustronnie przegubowo jak na rys. 7. x y y y 1 y 0 x Rys. 7. Wyboczenie pręta o wstępnej zywiźnie
BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 9 Zakłada się, że pręt (np. na skutek wieootnego przeprowadzania na nim doświadczenia) nie jest prosty, ecz posiada pewną niewieką zywiznę. Niech oś tego pręta przed przyłożeniem siły będzie zywą, którą można opisać równaniem: ( ) y0 = y0 x, x 0, (6) rzyłożenie do pręta osiowej siły spowoduje, że każdy punkt osi o współrzędnej x przemieści się o wiekość y 1 (x). Tak więc zywą będącą teraz osią pręta można zapisać w postaci: Równanie osi ugiętej beki ma postać: gdzie: czyi: ( ) ( ) ( ) y x = y x + y x (7) 1 0 d y M g dx =, (8) M = y = ( y + y ), (9) g 1 0 d y 1 0 dx = (30) y y o podzieeniu obu stron przez i uporządkowaniu otrzymuje się: gdzie: d y K y 1 K y0 dx + =, (31) K = (3) Zajmijmy się obecnie osią pręta przed odkształceniem. Wiadomo, że oś pręta wyboczonego można opisać równaniem: π y0 = C sin x, (33) gdzie: C = y = y (34) 0 W pręcie pierwotnie prostym wskutek wieootnego przeprowadzania na nim doświadczenia, podczas którego jego oś wyginała się zgodnie z równaniem (33), powstały pewne niewiekie odkształcenia trwałe. Jest zatem uzasadnione przyjąć, że po pewnym czasie oś prosta stała się zywą o równaniu (33) oczywiście y 0 jest bardzo małe. odstawiając zaeżność (33) do równania (31) otrzymuje się: π x + = (35) d y K y 1 K y0 sin dx Zgodnie z metodą przewidywań da zwyczajnych niejednorodnych równań różniczkowych o stałych współczynnikach rozwiązania równania (35) poszukuje się w postaci anaogicznej do jego prawej strony. Rozwiązanie to powinno spełniać ponadto warunki brzegowe, które w tym przypadku przyjmują postać: y 0 = y = 0 (36) ( ) ( ) 1 1
BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 10 Łatwo sprawdzić, że funkcja oeśona równaniem: ( ) sin π y x 1 x = c (37) spełnia warunki (36). Wystarczy zatem dobrać parametr c tak, aby spełniała ona również równanie (35). odstawiając (37) do (35) otrzymuje się po uporządkowaniu: c K π x x π π sin = K y 0 sin Aby równanie powyższe było tożsamością, musi być spełniony warunek: Wprowadza się oznaczenie: c = = K K K y0 y0 π π 1 (38) (39) β = = = = K π π π (40) Uwzgędniając powyższe oznaczenie w równaniu (39) otrzymuje się: c β y 1 β Tak więc rozwiązaniem równania (35) jest funkcja: rzyrost strzałki ugięcia wynosi: 0 = (41) β sin π x y1 = y0 (4) 1 β β y x = = y = y 1 β 1 1 0 Całkowitą strzałkę ugięcia można oeśić z zaeżności: β y0 y = y0 + y1 = y0 + y0 = 1 β 1 β Uwzgędniając oznaczenie (40) w powyższej zaeżności otrzymuje się: ub y y0 + y = 0 1 (43) (44) (45) y1 y1 = y0 (46) y1 Równanie to jest iniowe ze wzgędu na zmienne y 1 oraz, co można przedstawić na wyesie (rys. 8). Tangens kąta nachyenia prostej na wyesie jest równy : q tgγ = = (47) p
BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 11 y 1 q γ p y 1 Rys. 8. Graficzne przedstawienie zaeżności (46) 4. RZEBIEG ĆWICZENIA Sposób przeprowadzenia ćwiczenia zostanie przedstawiony w trakcie zajęć aboratoryjnych. 5. ORACOWANIE WYNIKÓW I WYTYCZNE DO SRAWOZDANIA Sprawozdanie powinno zawierać: I. Ce ćwiczenia II. Wstęp teoretyczny III. Rysunek i opis stanowiska pomiarowego IV. Część obiczeniową, w której naeży zawrzeć eementy podane przez prowadzącego na zajęciach V. Wnioski z ćwiczenia. 6. RZYKŁADOWE YTANIA KONTROLNE 1. Omów rodzaje równowagi.. Co to jest: stateczność, utrata stateczności, siła ytyczna? 3. Co nazywamy wyboczeniem (sprężystym) pręta? 4. Co to jest siła ytyczna? 5. Omów wzór Euera na siłę ytyczną. 6. Jak jest zaes stosowania wzoru Euera? 7. Jak można wyiczyć siłę ytyczną w zaesie posprężystym? 8. Co to jest smukłość pręta? Jak wyznacza się smukłość graniczną?
BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 1 7. LITERATURA 1. Beuch W., Burczyński T., Fedeiński., John A., Kokot G., Kuś W.: Laboratorium z wytrzymałości materiałów. Wyd. oitechniki Śąskiej, Sypt nr 85, Giwice, 00.. Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z eementami ujęcia komputerowego, WNT, Warszawa 001. 3. Dyąg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów, t. I-II, WNT, Warszawa 1996-97. 4. Timoshenko S..: Teoria stateczności prętów, Arkady 1961.