O ODPORNOŚCI KONWENCJONALNEGO OBSERWATORA LUENBERGERA ZREDUKOWANEGO RZĘDU

XVII Krajowa Konferencja Automatyki KKA 2011, 19-22.06.2011 Kielce-Cedzyna 1 O ODPORNOŚCI KONWENCJONALNEGO OBSERWATORA LUENBERGERA ZREDUKOWANEGO RZĘDU Ryszard GESSING 1 1 Instytut Automatyki, Politechnika Śląska, ul. Akademicka 16, 44-101 Gliwice, rgessing@polsl.pl Streszczenie: Wykorzystując pewne określenie współrzędnych stanu, zauważa się, że z szybszymi modami konwencjonalnego obserwatora Luenbergera związana jest jego mniejsza wrażliwość na zmiany parametrów obiektu. W szczególności dla obiektów z jednym wejściem i jednym wyjściem (SISO) których funkcja przejścia (FP) nie posiada zer, pokazuje się, że dostatecznie szybki obserwator ma znikomo małą wrażliwośc na zmiany wszystkich parametrów obiektu. Dla obiektów SISO z zerami, liczba parametrów obiektu na zmianę których obserwator jest prawie niewrażliwy zmniejsza się, gdy liczba zer się zwiększa. Otrzymane wyniki uogólnia się na przypadek obiektów z wieloma wejściami i jednym wyjściem (MISO) i dla obiektów z wieloma wejściami i wieloma wyjściami (MIMO). Te spostrzeżenia zostały potwierdzone przez opisane wyniki symulacji. Słowa kluczowe: Obserwator Luenbergera, Zredukowany rząd, Odporność, Wrażliwość, Zmienne stanu. 1. WPROWADZENIE Wiadomo, że znajomość wszystkich wspórzędnych stanu obiektu może znacznie poprawić jakość sterowania. Jednak zazwyczaj tylko wyjścia obiektu, a nie wszystkie wspórzędne stanu są mierzone. W tym przypadku różne wersje obserwatora mogą być wykorzystane dla wyznaczenia ocen nie mierzonych współrzędnych stanu. Jednym z nich jest opracowany z wykorzystaniem podejścia deterministycznego obserwator Luenbergera pełnego, lub zredukowanego rzędu 5. Innym, wyprowadzonym z wykorzystaniem podejścia stochastycznego jest filtr Kalmana 3. Wiadomo także, że wspomniane obserwatory można zaprojektować jeśli znany jest model obiektu w postaci opisujących go równań stanu. Ten fakt może wpłynąć na odporność tych obserwatorów, ponieważ dla zmienionych parametrów obiektu obserwator może wyznaczyć oceny współrzędnych stanu z błędami, które są nie do zaakceptowania. Rzeczywiście w literaturze powszechnie wyrażana jest opinia, że te obserwatory są wrażliwe na zmiany parametrów obiektu, dlatego na przykład w 4, 7, 11 i w wielu cytowanych w nich pracach, opisywane są różne zmodyfikowane wersje obserwatorów. Rozważania niniejszej pracy dotyczą konwencjonalnego obserwatora Luenbergera zredukowanego rzędu w postaci opisanej na przykład w 8. Na podstawie tych rozważań i wiedzy autora niniejszej pracy wydaje się, że pewne własności tego obserwatora zostały przeoczone w literaturze, chociaż mają one znaczenie poznawcze. Mianowicie w niniejszej pracy zauważa się, że

2 R. Gessing jeżeli obserwator ma dostatecznie szybkie mody (tzn. jego macierz tranzycji ma dostatecznie duże ujemne części rzeczywiste wartości własnych) wtedy jest on prawie niewrażliwy na zmiany większości parametrów obiektu. W szczególności jeżeli rząd względny obiektu jest równy jego rzędowi (tzn. funkcja przejścia (FP) obiektu nie ma zer), wtedy obserwator jest prawie niewrażliwy na zmianę wszystkich parametrów obiektu. Jeżeli FP obiektu posiada zera wtedy, przy dostatecznie szybkich modach, obserwator jest prawie niewrażliwy na zmiany pewnych określonych parametrów obiektu. 2. PRZYPADEK OBIEKTU SISO Rozważmy obiekt liniowy SISO opisany przez FP K(s) = Y (s) U(s) = b 0s m + b 1 s m 1 +... + b m 1 s + b m s n + a 1 s n 1 +... + a n 1 s + a n (1) gdzie U(s) i Y (s) są transformatami Laplace a odpowiednio wejścia u(t) i wyjścia y(t), a a i i = 1, 2,..., n i b j, j = 0, 1,...m są stałymi współczynnikami, m < n. Aby otrzymać równoważny opis obiektu (1) w postaci współrzędnych stanu wprowadźmy nasępujące określenie współrzędnych stanu x = x 1, x 2,..., x n 1, 2 x 1 = y x 2 = y (1)... x n m = y (n m 1) x n m+1 = y (n m) γ 0 u x n m+2 = y (n m+1) γ 0 u (1) γ 1 u... x n = y (n 1) γ 0 u (m 1) γ 1 u (m 2)... γ m 1 u (2) gdzie wspóczynniki γ i, i = 1, 2,..., m są określone przez następujący wzór rekurencyjny γ i =b i a 1 γ i 1 a 2 γ i 2... a i γ 0, i = 1, 2,..., m, (3) i dodatkowo γ 0 = b 0 Dla tak określonych zmiennych stanu, równania stanu równoważne FP (1) przyjmują postać ẋ 1 = x 2... ẋ n m 1 = x n m ẋ n m = x n m+1 + γ 0 u ẋ n m+1 = x n m+2 + γ 1 u... ẋ n = a n x 1 a n 1 x 2... a 1 x n + γ m u (4) Ostatnie równania mogą być zapisane w postaci zwartej ẋ = Ax + Bu, y = Cx (5) gdzie x = x 1, x 2,..., x n jest wektorem stanu, a u i y są skalarami odpowiednio wejścia i wyjścia.

XVII Krajowa Konferencja Automatyki KKA 2011, 19-22.06.2011 Kielce-Cedzyna 3 Macierz A, n n i wektory B i C odpowiednio kolumnowy n 1 i wierszowy 1 n przyjmują postać 0 1 0... 0 0 0 1... 0 A =............... (6) 0 0 0... 1 a n a n 1 a n 2... a 1 B = 0,..., 0, γ 0, γ 1,..., γ m, C = 1, 0,..., 0 3. OBSERVATOR LUENBERGERA ZREDUKOWANEGO RZĘDU Wiadomo, że zadaniem obserwatora Luenbergera jest wyznaczenie oceny niemierzonych zmiennych stanu, przy wykorzystaniu pomiarów wejścia u i wyjścia y. Może być on również zastosowany dla obiektów MIMO, gdy u i y są wektorami. Równania obserwatora zredukowanego rzędu dla obiektu MIMO opisanego przez (5), gdzie teraz y and u są odpowiednio p i r wymiarowymi wektorami, p < n, r < n, mają postać 8 ˆv = Eˆv + Fy + Gu ˆx = V ˆv + Wy (7) gdzie ˆx i ˆv są wektorami ocen odpowiednio stanu obiektu i stanu obserwatora, n i l wymiarowymi, l = n p; E, F, G, V, W są stałymi macierzami o odpowiednim wymiarze; wybór E jest taki, że obserwator (7) jest stabilny, tzn. wartości własne λ i, i = 1, 2,..., l maciezry E spełniają nierówność Re λ i < 0. Dodatkowo, istnieje macierz P, l n -wymiarowa spełniająca równania Aby to objaśnić, oznaczmy PA EP = FC G = PB WC + V P = I n (8) v = Px (9) Mnożąc obie strony pierwszego równania (5) przez P, lewostronnie i trzecie równanie (8) przez x, prawostronnie i uwzględniając (8), (5) i (9) otrzymujemy v = Ev + Fy + Gu x = V v + Wy (10) Jeżeli x 0 nie jest znane, wtedy ani v, ani x nie jest znane, ale ˆv(t) v(t) i ˆx(t) x(t) gdy t. Tak więc ˆv określa ocenę stanu v, a równania (7) określają obserwator Luenbergera zredukowanego rzędu. Zauważmy, że istnieje dowolność w wyborze macierzy E, F (i wartości własnych λ i ), co gwarantuje szybką zbieżnośc obserwatora. W przypadku obiektu SISO mamy p = 1, r = 1 i l = n 1.

4 R. Gessing 4. WŁASNOŚCI OBSERWATORA Aby obliczyć macierze spełniające równania (8), najpierw wybieramy macierze E and F. Macierz E powinna mieć dostatecznie duże ujemne wartości własne λ i < 0, i = 1, 2,..., l aby zapewnić szybkie przebiegi nieustalone obserwatora i szybkie jego zdążanie do prawdziwych wartości zmiennych stanu obiektu. Mówimy, że wtedy obserwator ma szybkie mody. Macierz E może mieć postać diagonalną E = diag λ 1, λ 2,..., λ l, w przypadku gdy wartości własne λ i są różne. W przypadku gdy dla pewnych/wszystkich wartości własnych przyjmujemy tę samą wartość wielokrotną λ j = λ j+1 =,..., = λ j+q = λ, 0 j l, q l, wtedy macierz E, zamiast postaci diagonalnej, powinna zawierać odpowiednie klatki Jordana 10. Nie ma specialnych wymagań co do macierzy F, za wyjątkiem tego, że powinna mieć odpowiedni wymiar i niezyt małe elementy. Elementy macierzy P wynikają z rozwiązania pierwszego równania (8), które jest liniowe względem tych elementów. Macierz G wynika z drugigo równania (8), a macierze V i W można obliczyć ze wzoru 1 P V W = (11) C gdzie V W i P C są macierzami blokowymi, w których P jest już obliczone, a C jest znane. Warto zwrócić uwagę na pewne własności macierzy P, G, gdy wartości własne λ i λ macierzy E są duże ujemne. Z pierwszego równania (8) wynika, że każdy element drugiej macierzy ( EP) w pierwszym równaniu (8) jest znacznie większy od odpowiadającego mu elementu pierwszej macierzy P A i macież P A odgrywa wtedy w równaniu pomijalną rolę. Dlatego w przypadku granicznym, gdy λ macierz P pierwszego równania (8) dąży wtedy do macierzy ( E) 1 FC, (12) która jest niezależna od elementów macieży A i B, a także od parametrów obiektu (5), (6) (lub (1)), (ponieważ C = 1, 0,..., 0 porównaj (6)). Dodatkowo, ponieważ macież F C, występująca po prawej stronie pierwszego równania (8), ma niezerowe wartości tylko w pierwszej kolumnie, a w pozostałych kolumnach ma zera (z powodu postaci macierzy C), więc w przypadku granicznym macierz P zawiera także tylko w pierwszej kolumnie wartości niezerowe i zera w pozostałych kolumnach, co wynika z (12). Jednak przypadek graniczny nie może określać parametrów obserwatora z rozwiązania równań (8), ponieważ można zauważyć, że macierz występująca po prawej stronie równania (11) jest wtedy osobliwa i nie może być odwrócona. Ale na podstawie powyższego rozumowania dotyczącego przypadku granicznego można sformułować następjące spostrzeżenia. 4.1 Przypadek obiektu SISO bez zer W przypadku obiektu SISO (1) (lub (5), (6)) nie zawierającym zer, (m = 0) i przy dużych ujemnych wartościach własnych λ i, i = 1, 2,..., l macierzy E, występuje pomijalna zależnośc elementów macierzy P od parametrów macierzy A. Dodatkowo, macierz P ma wtedy bardzo małe elementy w ostatnich (n 1)-kolumnach, co powoduje, że elementy macierzy G są bliskie 0. Ostatnie spostrzeżenie wynika z drugiego równania (8) i z postaci macierzy B wynikającej z (4).

XVII Krajowa Konferencja Automatyki KKA 2011, 19-22.06.2011 Kielce-Cedzyna 5 Własność 1. W przypadku obiektu SISO z m = 0 i dużych ujemnych wartościach własnych macierzy E, występuje pomijalna zależnośc parametrów obserwatora (7), od parametrów obiektu (1), tzn., że obserwator (7) jest odporny na zmiany parametrów obiektu (1). Oznacza to, że niezależnie od parametrów obiektu obserwator wyznacza wyjście i przybliżenia jego kolejnych pochodnych y, y (1),..., y (n 1) odpowiednio jako oceny zmiennych stanu obiektu x 1, x 2,..., x n. Uwaga 1. Jeżeli występują szumy pomiarowe, wtedy przybliżenia kolejnych pochodnych dają w rezultacie wzmocnienie tych szumów, w szczególności wtedy, gdy wartości własne macierzy E są duże ujemne. Jest to uzasadnione przez fakt, że z dużymi ujemnymi wartościami własnymi są związane małe stałe czasowe i mniejsza zdolność filtrowania obserwatora. Dlatego aby poprawić filtrowanie trzeba odpowiednio zmniejszyć duże negatywne wartości własne macierzy E (tzn. ujemne wartości λ i powinny być powiększone). Ale stosując obserwator z wolniejszymi modami (związane z powiększeniem λ i ), powoduje, że obserwator staje się bardziej wrażliwy na zmiany parametrów obiektu. Dlatego w wyborze parametrów obserwatora potrzebny jest kompromis. Rozważmy obiekt opisany przez FP 5. PRZYKŁAD 1 K(s) = 20 s 2 + s + 20 w której a 1 = 1, a 2 = 20, b 0 = 20 lub przez równoważne równania stanu (5) w których 0 1 0 A = B = C = 1 0. (14) 20 1 20 Zatem mamy n = 2, m = 0, p = 1, l = n p = 1. Wolniejszy obserwator. Przyjmijmy E = 50, F = 50. Z rozwiązania równań (8) przy uwzględnieniu (11) otrzymujemy (13) P = 0.9919 0.0202, G = 0.4049, 0 1 V =, W = 49.4000 49 (15) Obserwator określony przez te parametry będziemy nazywać wolniejszym obserwatorem. Szybszy obserwator. Przyjmijmy teraz E = 200, F = 200. Z rozwiązania równań (8) przy uwzględnieniu (11) otrzymujemy P = 0.9995 0.0050, G = 0.1005, 0 1 V =, W = 199.1000 199 (16) Obserwator określony przez te parametry będziemy nazywać szybszym oserwatorem. Aby przeanalizować wrażliwość obserwatora na zmianę parametrów obiektu przeprowadzono wiele badań symulacyjnych. Wyniki niektórych z tych badań opiszemy poniżej. Zauważmy, że w przypadku obiektu drugiego rzędu (13) bez zer (m = 0), ocena pierwszej współrzędnej stanu ˆx 1 = y, otrzymana z obserwatora, jest dokładna gdy pomiar y jest dokładny. Dlatego na poniższych rysunkach tylko ocena ˆx 2 jest porównywana ze zmienną stanu x 2, która dla m = 0 jest określona przez pochodną wyjścia y (1).

6 R. Gessing Wyniki symulacji pokazane na Rys. 1 i 2 były otrzymane dla sygnału wejściowego obiektu u = 1(t) + 2 1(t 5) i dla warunków początkowych obiektu i obserwatora odpowiednio x(0) = 1, 0 i v(0) = 0. (tzn. przy założeniu, że warunek początkowy obiektu nie jest znany dla obserwatora). Funkcja 1(t) = 0 dla t < 0 i 1(t) = 1 dla t > 0. Na Rys. 1a ocena ˆx 2 otrzymana z wolniejszego obserwatora (7), (15), zaprojektowanego dla nominalnego obiektu (13) porównywana jest ze stanem x 2 = y (1) obiektu (13) w którym współczynnik a 2 został zmieniony z wartości a 2 = 20 do wartości a 2 = 2. Widać, że kształt przebiegu ˆx 2 otrzymany z wolniejszego obserwatora jest podobny do współrzędnej stanu x 2 = y (1) zmienionego obiektu. Występujący błąd x 2 ˆx 2 nie jest zbyt duży, jeżeli uwzględnimy fakt, że duża zmiana a 2 powoduje znaczną zmianę jego odpowiedzi skokowej. Rzeczywiście, na Rys. 2a ocena ˆx 2 otrzymana z wolniejszego obserwatora porównana jest ze zmienną stanu x 2 = y (1) obiektu nominalnego (13), przy występowaniu szumu pomiarowego. Chociaż przebieg x 2 = y (1) na Rys. 1a jest zupełnie różny od przebiegu na Rys. 2a, ocena ˆx 2 na Rys. 1a jest podobna do zmiennej stanu x 2 = y (1) zmienionego obiektu. Rys. 1: a) Porównanie zmiennej stanu obiektu x 2 = y (1) (linia ciągła) z jej oceną ˆx 2 (linia kreskowana) gdy a 2 obiektu (13) zmieniono z 20 do 2 dla: a) wolniejszego i b) szybszego obserwatora. Na Rys. 1b zmienna stanu x 2 = y (1) zmienionego obiektu (13) (a 2 = 20 a 2 = 2) jest porównywana z oceną ˆx 2 otrzymaną z szybszego obserwatora (7), (16). Widać, że obserwator z szybszym modem (wartość własna λ 1 zmniejszona z -50 do -200) jest mniej wrażliwy na zmianę parametru obiektu i ocena ˆx 2 znacznie lepiej oddaje przebieg zmiennej stanu x 2 = y (1) zmienionego obiektu. Przebieg pokazany na Rys. 2 dotyczy przypadku kiedy wyjście nominalnego obiektu (13) jest mierzone z szumem pomiarowym m n, tzn. y m = y + m n, gdzie y m jest mierzonym wyjściem wykorzystywanym przez obserwatora, a y jest dokładną wartością sygnału wyjściowego obiektu. Szum pomiarowy m n był symulowany jako wyjście filtru o FP K f (s) = 1/(0.2s + 1), pobudzanego przez Gausowski biały szum MATLABa, z zerową wartością średnią, wariancją 1 i próbkowaniem 0.0001. Maksymalne wartości m n były w przybliżeniu równe 0.04 tzn. 4% nominalnego wyjścia obiektu w stanie ustalonym. Z Rys. 2a i 2b wynika, że filtrowanie wolniejszego obserwatora (7), (15) jest lepsze niż szybszego obserwatora (7), (16). W związku z tym odchylenie oceny ˆx 2 od prawdziwego przebiegu zmiennej stanu x 2 = y (1) dla wolniejszego obserwatora jest mniejsze niż dla szybszego obserwatora. 5.1 Przypadek obiektów nieliniowych Z poprzednich rozważań wynika, że szybszy obserwator (7), (16) jest w znacznym stopniu odporny, czyli prawie niewrażliwy na zmianę parametrów obiektu (13). Spróbujemy teraz zastosować szybszy obserwator zaprojektowany dla nominalnego obiektu liniowego (13), do zupełnie

XVII Krajowa Konferencja Automatyki KKA 2011, 19-22.06.2011 Kielce-Cedzyna 7 Rys. 2: a) Porównanie zmiennej stanu x 2 = y (1) (linia ciągła) z jej oceną ˆx 2 (linia kreskowana) dla obiektu (13) z addytywnym szumem pomiarowym wyjścia dla: a) wolniejszego i b) szybszego obserwatora. różnych dwóch obiektów nieliniowych drugiego rzędu bez zer 9. 5.1.1 Obiekt nieliniowy I. Rozważmy obiekt nieliniowy opisany przez następujące równania stanu ż 1 = 2z 1 + 4(1 + u )u, 1 ż 2 = (z 1 z 2 ) 1 + z 2, y = z 2 (17) gdzie z 1 i z 2 są zmiennymi stanu, a u i y jest odpowiednio wejściem i wyjściem obiektu. Obiekt ten może być interpretowany jako połączenie szeregowe dwóch nieliniowych elementów pierwszego rzędu, z których pierwszy ma nieliniowe wzmocnienie k(u) = 1+ u, a drugi nieliniową stałą czasową T(u) = 1 + y. Definiując nowe równania stanu jako x 1 = y and x 2 = y (1), otrzymujemy po przekształceniach równoważne równania stanu w postaci ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = 2x 1 2 x 1 x 2 x 2sign(x 1 ) 1+ x 1 + 4(1 + u )u y = x 1 (18) Tak więc obiekt (17) i równoważny (18) jest silnie nieliniowy i ma rząd wzlędny równy 2 (czyli nie ma zer), ponieważ zmiana skokowa sygnału u daje zmianę skokową sygnału ÿ 9. Jako sygnał wejściowy pobudzający obiekt przyjmujemy sygnał o nieco większej amplitudzie w postaci u(t) = 2 1(t) + 4 1(t 5), aby pokazać wpływ nieliniowości. Na Rys. 3a pokazane jest odchylenie oceny ˆx 2, otrzymanej z szybszego obserwatora (7), (16), od zmiennej stanu x 2 = y (1) obiektu (18), przy warunkach początkowych obiektu x(0) = 1, 0 i obserwatora ˆv(0) = 0. Widać, że obserwator (7), (16), zaprojektowany dla liniowego nominalnego obiektu (13) daje zupełnie dobrą ocenę ˆx 2 zmiennej stanu x 2 = y (1) dla silnie nieliniowego obiektu (18) (oczywiście ocena ˆx 1 jest dokładna i równa x 1 = y, ponieważ y jest mierzone i wykorzystywane przez obserwator). 5.1.2 Obiekt nieliniowy II. Rozpatrzmy model ramienia robota, jako obiektu wziętego z przykładu demonstracyjnego MATLABa mrefrobotarm.mdl 6, opisanego przez następujące równanie ÿ + 2ẏ + 10sin(y) = u (19) gdzie wejście u określa moment a wyjście y kąt odchylenia. Obiekt drugiego rzędu (19) jest nieliniowy i ma rząd wzlędny równy 2 (czyli nie ma zer). Określając współrzędne stanu x 1 = y

8 R. Gessing Rys. 3: a) Porównanie zmiennej stanu obiektu x 2 = y (1) (linia ciągła) z jej oceną ˆx 2 (linia kreskowana) otrzymaną z szybszego obserwatora (7), (16), dla: a) obiektu nieliniowego I, b) obiektu nieliniowego II. i x 2 = y (1), można napisać równania stanu. Również dla tego obiektu zastosowano szybszy obserwator (7), (16), zaprojektowany dla liniowego, nominalnego obiektu (13). Jako sygnał wejściowy przyjęto u = 9 1(t)+18 1(t 5). Warunki początkowe obiektu (19) i obserwatora (7), (16) były odpowiednio x(0) = 1, 0 i v(0) = 0. Na Rys. 3b porównana jest ocena ˆx 2 otrzymana z obserwatora (7), (16) z prawdziwym przebiegiem zmiennej stanu x 2 = y (1) obiektu (19). Widać, że równiez teraz ocena śledzi z pewnym błędem odpowiednią zmienną stanu. 5.2 Uzasadnienie zaobserwowanych własności Aby uzasadnić względnie dokładne działanie szybszego obserwatora (7), (16), zaprojektowanego dla nominalnego obiektu (13) i zastosowanego do różnych obiektów drugiego rzędu liniowych i nieliniowych bez zer, zastosujmy transformację Laplace a do równań obserwatora (7). Po przekształceniach dostajemy ˆX(s) = V (si E) 1 (FY (s) + GU(s)) (20) gdzie ˆX(s) jest transformatą Laplace a oceny ˆx(t). Jak to wynika z (16) dla szybszego obserwatora parametr G = 0.1005 jest znacznie mniejszy od parametru F = 200. Dlatego godząc się na przybliżenie, ostatni człon GU(s) w równaniu (20) można pominąć. Podstawiając do uproszczonego w ten sposób równania (20) parametry obserwatora (16) otrzymujemy ˆX(s) = 0 199.1000 Dlatego dla oceny ˆx 2 obserwatora otrzymujemy ˆX 2 = 199.1 200 s + 200 + 199 Y 200 1 s + 200 Y (s) + Y (s) (21) 199 199s Y sy (22) s + 200 gdzie ˆX 2 i Y są transformatami Laplace a wielkości ˆx 2 i y. Ostatnie przybliżenie jest ważne dla nie za wysokich częstotliwości (lub nie za szybkich zmian sygnałów). Tak więc ocena ˆx 2 obserwatora przybliża pochodną y (1) wyjścia y niezależnie od parametrów obiektu (który może być liniowy lub nieliniowy, a nawet wyższego rzędu).

XVII Krajowa Konferencja Automatyki KKA 2011, 19-22.06.2011 Kielce-Cedzyna 9 6. PRZYPADEK OBIEKTU SISO Z ZERAMI Gdy obiekt liniowy posiada zera, czyli jest opisany przez FP (1) przy czym 0 < m < n, wtedy w równaniach stanu (5), (6) tylko macierz B zmienia się i zawiera poza γ 0 także γ i, i = 1,..., m. Dlatego w obserwatorze (7) wszystkie macierze E, F, V, W, za wyjątkiem G są takie same dla obu przypadków: m = 0 i m > 1. Jednak, jeżeli m > 1 to stany x i, dla i = n m + 1, n m + 2,..., n zależą od parametrów b j, j = 0, 1,..., m 1 i a i, i = 1, 2,..., m 1, co wynika z (2), (3). Dlatego można przypuszczać, że w tym przypadku oceny ˆx i, i = n m + 1, n m + 2,..., n obserwatora z dostatecznie szybkimi modami będą wrażliwe na zmianę wymienionych parametrów i prawie niewrażliwe na zmianę pozostałych parametrów występujących w macierzy A (6), czyli prawie niewrażliwe na zmianę parametrów a i, i = m, m + 1,..., n and b m. Rozważmy obiekt opisany FP K(s) = 6.1 Przykład 2 5s + 20 s 3 + 2s 2 + 21s + 20 przy czym a 1 = 2, a 2 = 21,, a 3 = 20, b 0 = 5, b 1 = 20, lub przez równoważne równania stanu (5) w których 0 1 0 0 A = 0 0 1 B = 5 (24) 20 21 2 10 C = 1 0 0. (23) Zatem mamy n = 3, m = 1, p = 1, l = n p = 2. Przyjmijmy 200 100 200 E =, F = 0 200 100 (25) Z rozwiązania równań (8) z uwzględnieniem (11) otrzymujemy 1.25000 0.00749 0.00004 P =, 0.50000 0.00249 0.000012 (26) 0.03703 G = 0.01236 V = 0 0 792 2777 156898 470613, W = 1 398 39183 (27) Obserwator (7), (25)-(27), zaprojektowany dla nominalnego obiektu (23) zastosowano dla zmienionego obiektu. Dla symulacji założono sygnał wejściowy u = 1(t)+2 1(t 5), a warunki początkowe obiektu i obserwatora były odpowiednio x(0) = 1, 0, 0 i v(0) = 0, 0. Na Rys. 4a porównane są oceny ˆx 2 i ˆx 3 otrzymane z obserwatora z dokładnymi przebiegami zmiennych stanu zmienionego obiektu, w którym a 1 = 2, a 2 = 5, a 3 = 10, b 0 = 5, b 1 = 20. Widać, że niezależnie od znacznych zmian współczynników a 2 i a 3 oceny otrzymane z obserwatora są prawie takie same jak przebiegi odpowiadających im zmiennych stanu zmienionego obiektu.

10 R. Gessing Wykresy pokazane na Rys. 4b dotyczą obiektu w którym tylko współczynnik b 0 został zmieniony z wartości nominalnej 5 do wartości 10. Widać, że teraz ocena ˆx 2 jest dokładna, podczas gdy występuje znaczna różnica pomiędzy ˆx 3 and x 3. Potwierdza to naszą poprzednią dyskusję, ponieważ w naszym przykładzie jest n = 3, m = 1, dlatego obserwator jest wrażliwy na zmianę współczynnika b 0 i prawie niewrażliwy na zmianę pozostałych współczynników. Mniej wyraźnie widać, że w przypadku pokazanym na Rys. 4a, z powodu różnicy pomiędzy warunkami początkowymi obiektu i obserwatora (która ma symulować sytuację w której warunki początkowe obiektu nie są znane dla obserwatora), występuje znaczna różnica pomiędzy zmiennymi stanu i ich ocenami w początkowych chwilach czasu (bliskich zeru). Jednak z powodu szybkich modów obserwatora różnica ta zdąża do zera w krótkim czasie i oceny stają się dokładne. Rys. 4: a) Porównanie zmiennych stanu obiektu x 2 i x 3 (linie ciągłe) z ich ocenami ˆx 2 i ˆx 3 (linie kreskowane ) otrzymanymi z obserwatora (7), (25)-(27), zaprojektowanego dla nominalnego obiektu (23) i zastosowanego do zmienionego obiektu w którym: a) a 2 = 5, a 3 = 10, b) b 0 = 10. 7. PRZYPADEK OBIEKTÓW MISO Rozważmy teraz obiekt liniowy z wieloma (r) wejściami i jednym wyjściem (MISO), opisany przez następujące FP-a Y (s) = K 1 (s) K 2 (s),..., K r (s)u(s), U(s) = U 1 (s), U 2 (s),..., U r (s) (28) gdzie U i (s) jest transformatą Laplace a i-tego sygnału wejściowego u i, i = 1, 2,..., r. Bez utraty ogólności, załóżmy, że FP-a K i (s), i = 1, 2,..., r, mają wspólny mianownik opisany przez wielomian n-tego rzędu (jak w (1)) i liczniki opisane przez wielomoany b i 0s m i +b i 1s mi 1 +...+b i m i, i = 1, 2,..., r (takie jak w (1), ale każdy jest m i -tego rzędu). Oznaczmy przez 0 n mi wektor kolumnowy zawierający n m i zer, a przez Γ mi macierz m i m i -wymiarową wynikającą ze wzorów (2) w ten sposób, że wzory (2) mogą być zapisane w zwartej postaci: x = y 0 n m u Γ m, gdzie x = x 1, x 2,..., x n, y = y, y (1),..., y (n 1), u m = u, u (1),..., u (m 1). Wprowadzając dla obiektu (28) następujące określenie współrzędnych stanu x = y 0n m1 Γ m1 u m1 0n m2 Γ m2 u m2... 0n mr Γ mr u mr gdzie u mi = u i, u (1) i,..., u (m i 1) i, i = 1, 2,..., r, otrzymujemy po przekształceniach równania stanu obiektu w postaci (5), gdzie wzory na A i C są takie same jak w (6), a B jest teraz (29)

XVII Krajowa Konferencja Automatyki KKA 2011, 19-22.06.2011 Kielce-Cedzyna 11 n r-wymiarową macierzą opisaną przez B = 0 n m 1 1 γ 1... 0 n m r 1 γ r, (30) gdzie γ i = γ 0 γ 1... γ mi, i = 1, 2,..., r. Dlatego wszystkie poprzednie rozważania dotyczące obserwatora Luenbergera zredukowanego rzędu dla obiektu SISO pozostają ważne dla obiektów MISO. Wyjątkiem jest to, że w miejsce poprzedniej n 1 macierzy B, występuje teraz n r macierz B. Także wnioski dotyczące odporności szybkiego obserwatora pozostają ważne. Dlatego dla obiektu MISO można przypuszczać, że szybki obserwator z założonymi dużymi ujemnymi wartościami własnymi macierzy E jest wrażliwy na zmianę współczynników a 1, a 2,..., a m 1, (m = max i m i ) i b j 0, bj 1,..., bj m j 1 j = 1, 2,..., r (które występują w określeniu (29) zmiennych stanu) i prawie niewrażliwy na zmianę pozostałych współczynników. Jako że obiekt z wieloma (r) wejściami i wieloma (p) wyjściami można rozpatrywać jako zbiór p obiektów MISO dlatego można przypuszczać, że odpowiednio zmodyfikowane powyższe rozważania dotyczą również obiektów MIMO. 8. UWAGI O FILTRZE KALMANA Oczywiście filtr Kalmana może być także traktowany jako obserwator stanu. Jednak w sformułowaniu problemu filtru Kalmana istotną rolę odgrywają szumy układowe i pomiarowe. Zakłada się, że występują one w równaniach stanu i wyjścia w postaci ẋ = Ax + Bu + s n, y = Cx + m n (31) W sformułowaniu problemu szumy układowe s n i pomiarowe m n są białymi szumami o znanych macierzch kowariancji, odpowiednio S n i M n. Zakłada się, że macierz M n jest nieosobliwa (czyli odpowiednie szumy pomiarowe muszą występować). Możliwe jest również rozpatrywanie szumów kolorowych po odpowiednich modyfikacjach w sformułowaniu problemu 3. Nie będziemy tutaj zapisywać równań filtru Kalmana, które są powszechnie znane, ale warto chyba zauważyć, że gdy szum układowy nie występuje (s n = 0) i M n jest macierzą nieosobliwą wtedy równania filtru Kalmana przyjmują postać ˆx = Aˆx + Bu (32) z odpowiednim warunkiem początkowym ˆx(0), czyli przyjmują one postać równań obiektu bez szumów. Oczywiście ostatnie równania są bardzo wrażliwe na zmianę parametrów obiektu. 9. PODSUMOWANIE Dzięki zastosowaniu określonej definicji zmiennych stanu 1, 2, zostały zauważone następujące własności obserwatora Luenbergera zredukawanego rzędu. Szybsze mody obserwatora są związne z mniejszą wrażliwością obserwatora na zmianę pewnych określonych parametrów obiektu. W przypadku gdy obiekty SISO, lub MISO mają FP-a (1), lub (28) bez zer wtedy obserwator z dostatecznie szybkimi modami jest prawie niewrażliwy na zmianę dowolnych parametrów obiektu. W przypadku gdy FP-a mają zera, wtedy im więcej jest zer tym mniej jest określonych parametrów obiektu na zmianę których szybki obserwator jest prawie niewrażliwy. Z drugiej strony, obserwator z szybkimi modami ma gorsze własności filtrujące, dlatego też potrzebny jest pewien kompromis pomiędzy odpornością a zdolnością filtrującą obserwatora.

12 R. Gessing Dodatkowo należy uwzględnić fakt, że zastosowanie bardzo szybkich modów obserwatora jest związane ze złym uwarunkowaniem odwracanej macierzy we wzorze (11), co może stwarzać pewne trudności obliczeniowe. PODZIĘKOWANIE Praca zawiera wyniki projektu badawczego zrealizowanego w latach 2010-2011, częściowo sfinansowanego z funduszu badań naukowych. LITERATURA 1. Athans, M. and P.L. Falb, Optimal Control, McGraw Hill, New York 1966. 2. Gessing, R. Time-Optimal Control of Plants Whose Transfer Functions Contain Zeros, APPLI- CATIONES MATHEMATICAE XII, 3, 1971, pp. 281-321. 3. Goodwin G. C., S. F. Graebe and M. E. Salgado, Control Systems Design. Prentice Hall, N. J., 2001. 4. Gu D. W. and F. W. Poon, A Robust State Observer Scheme, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.46,No.12, December 2001, pp. 1958-1963. 5. Luenberger, D. An introduction to observers, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-16, 1971, pp. 596-602. 6. MATLAB Version 7.5, Neural Networks Control Systems Demo, August, 15, 2007. 7. Nandam, P. K. and P. C. Sen, A Comparative Study of a Luenberger Observer and Adaptive Observer Based Variable Structure Speed Control System Using a Self-Controlled Synchronous Motor, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 17, No. 2, April 1990, pp. 127-132. 8. Saberi A., R. Sanutti and B. M. Chen, H 2 Optimal Control Prentice Hall, 1995. 9. Slotine, J.J.E and W. Li. Applied Nonlinear Control, Englewood Cliffs, Prentice Hall, NJ, 1991. 10. Takahashi, Y., M.J. Rabins and D.M. Auslander, Control and Dynamic System, Addison-Wesley, Reading, MA., 1972. 11. Wang, W. and Z. Gao, A Comparison Study of Advanced State Observer Design Techniques, Proceedings of the American Control Conference, Denver, Colorado June 4-6, 2003, pp. 4754-4759.