Zestaw 1 P1.1. Czy, jeśli obraz funkcji jest przeliczalny, wystarczy, że przeciwobrazy zbiorów jednopunktowych są mierzalne, aby mieć pewność, że funkcja jest zmienną losową? P1.2. Sprawdzić, że jeśli zmienna losowa X przyjmuje skończenie wiele wartości, to najmniejsza σ-algebra w której X jest mierzalna składa się ze zbiorów zsumowanych z przeciwobrazów zbiorów jednopunktowych. P1.3. Pokazać, że najmniejsza σ-algebra, w której mierzalne są funkcje X 1,..., X n jest identyczna z najmniejszą σ-algebrą w której mierzalne jest zestawienie (X 1,..., X n ). (Jaka topologia w przeciwdziedzinie?) P1.4. Niech Ω = [0, 1] z miarą Lebesgue a będzie przestrzenią, na której zdefiniowano funkcje X 1 (ω) = ω 3, X 2 (ω) = 4ω oraz X 3 (ω) = 4ω} ( i } to część całkowita i ułamkowa liczby). Czy są to zmienne losowe? Opisać najmniejsze σ-algebry w których zmienne te są mierzalne każda z osobna oraz parami. P1.5. Pokazać, że jeśli X jest funkcją mierzalną, to również f X jest mierzalna gdy f jest ciągła. Jak można osłabić założenie ciągłości funkcji f? Zestaw 2 P2.1. Niech Ω = (x, y) : x, y 1, 2, 3, 4, 5, 6}}, Σ = 2 Ω, P (A) = #A 36. Sprawdzić, które ze zmiennych losowych X 1 (x, y) = x, X 2 (x, y) = y, X 3 (x, y) = x + y, X 4 (x, y) = x y są niezależne. Sprawdzić na tych przykładach, że jeśli zmienne X i, X j są niezależne, to każde zbiory z σ(x i ), σ(x j ) są niezależne, zaś jeśli są zależne, to σ-algebry te zawierają zdarzenia zależne. kx, x [0, 1] P2.2. Niech f(x) =. Znaleźć k takie, że f jest gęstością pewnej zmiennej losowej X. Znaleźć 0, x [0, 1] jej wartość oczekiwaną oraz wariancję. Znaleźć gęstości zmiennych losowych X, X 2, X. k, x + y 1 P2.3. Niech f(x, y) =. Dla jakiego k jest to gęstość wektora losowego (X, Y )? Jaką 0, x + y > 1 gęstość mają zmienne X i Y? Czy są niezależne? Jaka jest ich kowariancja? Jaki rozkład ma wektor (X + Y, X Y )? Znaleźć wartość oczekiwaną X + Y i kowariancję zmiennych X + Y i X Y. Jaki rozkład ma zmienna X 2 Y 2? P2.4. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych z parametrem λ = 1. Jaką gęstość ma wektor losowy (X, Y )? Znaleźć gęstość wektorów losowych X 2 i maxx, Y }. Zestaw 3 P3.1. Proszę przypomnieć sobie definicję rozkładu Poissona. Jakie są wartość oczekiwana i wariancja? Jaki jest związek rozkładu Poisona oraz rozkładów dwumianowych? P3.2. W firmie telekomunikacyjnej mającej 1000 użytkowników codziennie średnio 5 osób zgłasza awarię. Jakie jest prawdopodobieństwo, że danego dnia liczba zgłoszonych awarii będzie mniejsza niż 4? Większa niż 6? P3.3. Proszę przypomnieć sobie definicję rozkładu wykładniczego. Jakie są wartość oczekiwana i wariancja? P3.4. Czas pracy procesora do pierwszej awarii opisuje rozkład wykładniczy o średnim czasie oczekiwania na awarię równym 10000 godzin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że procesor zawiedzie w czasie krótszym niż 5000 godzin? Jeśli wiadomo, że awaria nie nastąpiła przez 5000 godzin, to jakie jest prawdopodobieństwo, że nastąpi w czasie kolejnych n godzin? P3.5. Proszę przypomnieć sobie definicję rozkładu normalnego. Jakie są wartość oczekiwana i wariancja? Jaki rozkład ma suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładach normalnych? Jaki rozkład ma zmienna X1 2 + X2 2 jeśli zmienne X i są niezależne i mają identyczne rozkłady o wartości oczekiwanej 0? P3.6. Pokazać przykłady pokazujące, które ze zbieżności zmiennych losowych nie pociągają innych. P3.7. Udowodnić, że jeżeli ciąg zmiennych X n zmierza do zmiennej losowej X, natomiast a, b R, a > 0, to ax n + b ax + b, przy czym zbieżności w założeniach i tezie są takie same (wybrane spośród zdefiniowanych na wykładzie). Czy założenie o dodatniości a może być osłabione?
P3.8. Dana jest zmienna losowa U o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 1]. Określamy ciąg zmiennych losowych Z n wzorem 0 gdy U > 1 Z n = n 1 w przeciwnym przypadku. Sprawdzić, czy ciąg Z n zmierza do 0 (i) średniokwadratowo? (ii) stochastycznie? (iii) według rozkładów? P3.9. Dana jest zmienna losowa U o rozkładzie P (U = 1) = 1 2, P (U = 1) = 1 2. Dany jest ciąg zmiennych losowych Z n takich, że U gdy n jest parzyste Z n = U gdy n jest nieparzyste Sprawdzić, czy ciąg Z n zmierza do U (i) średniokwadratowo? (ii) stochastycznie? (iii) według rozkładów? P4.1. Dany jest proces: Zestaw 4 Z t = t 2 + Xt + Y, t 0. Obliczyć charakterystyki liczbowe procesu Z t jeśli X i Y są nieskorelowanymi zmiennymi losowymi. P4.2. Dany jest proces: U t = t 2 Y t, t 0. Narysować dwie przykładowe trajektorie tego procesu, znaleźć rozkład dwuwymiarowy jeśli Y ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. P4.3. Obliczyć charakterystyki liczbowe procesu Poissona. P4.4. Dane są dwa niezależne procesy Poissona (N 1 t i N 2 t ). Pokazać, że N 1 t + N 2 t jest procesem Poissona. Z jaką intensywnością? P4.5. Niech X n, n N} będzie niezależnym ciagiem zmiennych losowych (X n N (0, σ n )). Wykazać, że S n = X 1 +... + X n jest procesem gaussowskim. P4.6. Obliczyć funkcję kowariancji procesu Wienera. Zestaw 5 P5.1. Niech W będzie procesem Wienera wykazać, że następujące procesy też są procesami Wienera: (a) W t, 1 (b) W ct, c > 0, c (c) W T +t W T, dla T > 0. Jak wygląda dwuwymiarowy rozkład wektora losowego (W t W s, W s ) dla t > s? Jak wygląda rozkład wektora losowego (W t, W s )? Policzyć E(W s W t ) dla 0 < s t. Jaki jest wynik dla s > t? P5.2. Niech P będzie procesem Poissona. Czy są procesami Poissona: (a) P t, (b) P ct, c > 0, (c) P T +t P T, dla T > 0.
P5.3. Symetryczna kostka do gry boki z numerami 1,2,3 ma pomalowane na zielono, a boki z numerami 4,5,6 ma pomalowane na czerwono. Rzucamy tą kostką jednokrotnie. Niech X przyjmuje wartości równe ilości punktów jaką wyrzucimy na tej kostce. a) Jaka jest wartość oczekiwana zmiennej X? b) Jeśli widzimy, że wypadło pole o kolorze zielonym (ale nie widzimy ile wypadło punktów), to jaka w tej sytuacji będzie wartość oczekiwana zmiennej losowej X? c) Jeśli widzimy, że wypadła nieparzysta liczba oczek (ale nie widzimy ile dokładnie wypadło punktów), to jaka w tej sytuacji będzie wartość oczekiwana zmiennej losowej X? P5.4. Znaleźć E(X Y ), gdy (i) rzucamy dwa razy kostką; Y jest wynikiem w pierwszym rzucie, a X sumą obu wyników. (ii) rzucamy trzema monetami: jedno, dwu i pięcio-złotową, możemy zabrać te monety, na których wypadła reszka; X jest sumą złotych jakie zabieramy, a Y jest ilością reszek jaki wypadły. (iii) z torby zawierającej trzy kule ponumerowane 1,2,3 i 4 losujemy dwie, jeśli choć jeden z wylosowanych numerów jest większy od 2, to wygrywamy 10 złotych, a w przeciwnym razie przegrywamy 10 złotych; X opisuje wygraną sumę, a Y będzie numerem na pierwszej wylosowanej kuli. (iv) rzucamy n-krotnie monetą. Niech X będzie liczbą orłów, a Y liczbą reszek. P5.5. Niech (X, Y ) będzie zmienną losową o gęstości e x y gdy x, y 0, f(x, y) = 0 w przeciwnym przypadku. Obliczyć warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X + Y pod warunkiem, że X < Y. P5.6. Niech zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o parametrze 1. Znaleźć P5.7. Pokazać, że E(X X t}). P (A B), gdy ω B, E(1 A 1 B )(ω) = P (A Ω \ B), gdy ω B dla każdego B takiego, że P (B) 0 i P (B) 1. P5.8. Niech Ω = [0, 1] z σ-algebrą zbiorów borelowskich, a P niech będzie miarą Lebesgue a na Ω. Znaleźć E(X Y ) jeżeli 1, gdy ω [0, 1/3]; X(ω) = 2ω 2, Y (ω) = 2, gdy ω (1/3, 2/3); 0, gdy ω [2/3, 1]. P5.9. Niech X i Y będą dwoma zmiennymi losowymi o jednakowych rozkładach dwupunktowych P (X = 0) = P (Y = 0) = 1 p, P (X = 1) = P (Y = 1) = p. Niech zmienna Z będzie równa funkcji charakterystycznej zdarzenia X + Y = 0}. Znaleźć E(X Z) oraz E(Y Z) i sprawdzić czy są niezależne. Zestaw 6 P6.1. Niech Ω = [0, 1] z σ-algebrą zbiorów borelowskich, a P niech będzie miarą Lebesgue a na Ω. Znaleźć E(X Y ) jeżeli X(ω) = 2ω 2 2, gdy ω [0, 1/2);, Y (ω) = ω, gdy ω [1/2, 1] P6.2. Niech Ω = [0, 1] z σ-algebrą zbiorów borelowskich, a P niech będzie miarą Lebesgue a na Ω. Znaleźć E(X Y ) jeżeli (a) X(ω) = 2ω, Y (ω) = ω 2 ; (b) X(ω) = 2ω 1 + 2ω 1, Y (ω) = 1 2ω 2 1 ; (c) X(ω) = cos(2πω), Y (ω) = sin(2πω). Uwaga. Można szukać wyniku korzystając z twierdzeń i własności warunkowej wartości oczekiwanej lub spróbować zgadnąć wynik i uzasadnić, że spełnia on definicję. P6.3. Niech Ω = [0, 1] [0, 1] z σ-algebrą zbiorów borelowskich, a P niech będzie miarą Lebesgue a na Ω. Załóżmy, że (ξ, η) mają rozkład o gęstości x + y, gdy x, y [0, 1]; f(x, y) = 0, w przeciwnym przypadku.
Pokazać, że E(ξ η) = 2+3η 3+6η. Jak można dojść do tego wyniku nie znając rozwiązania? P6.4. Niech T 1,..., T n będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie wykładniczym o parametrze 2. Określmy T = T 1 +... + T n. Obliczyć E(T 1 T ) oraz E(T T 1 ). R6.5. Niech Ω = [0, 1] [0, 1] z σ-algebrą zbiorów borelowskich, a P niech będzie miarą Lebesgue a na Ω. Załóżmy, że (ξ, η) mają rozkład o gęstości 3 f(x, y) = 2 (x2 + y 2 ), gdy x, y [0, 1]; 0, w przeciwnym przypadku. Znaleźć E(ξ η). R6.6. Niech T 1 i T 2 będą dwoma niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym o parametrze 2. Wiedząc, że E(T 2 1 T 1 + T 2 ) = 1 3 (T 1 + T 2 ) 2 obliczyć E(T 1 T 2 T 1 + T 2 ). R6.7. Załóżmy, że X i są niezależnymi zmiennymi losowymi, zaś Z dowolną zmienną. Czy można coś powiedzieć o niezależności zmiennych E(X i Z)? A o E(Z X i )? Zestaw 7 P7.1. Znaleźć E(X Y ), gdy gęstość wektora (X, Y ) dana jest następującym wzorem (z odpowiednio dobraną stałą K): K cos x cos y, dla 0 x, y π/2; (i) f(x, y) = 0, w przeciwnym przypadku K(2x + y), dla x 2 + y 2 1; (ii) f(x, y) = 0, w przeciwnym przypadku K(x + y 2 ), dla x 2 + y 2 1; (iii) f(x, y) = 0, w przeciwnym przypadku P7.2. W zadanej chwili, na moście znajduje się N ciężarówek. Niech Y i oznacza ciężar i-tej ciężarówki, a X oznacza całkowity ciężar ciężarówek na moście. Pokazać, że jeśli zmienne losowe N oraz wszystkie Y i są niezależne, E(Y i ) = m, natomiast E(N) = n, to wtedy E(X) = mn. P7.3. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Obliczyć E((X + Y ) 2 X). P7.4. Gdy EX 2 <, to możemy zdefiniować warunkową wariancję: Wykazać, że D 2 (X F) := E((X E(X F)) 2 F). D 2 X = E(D 2 (X F) + D 2 E(X F)). P7.5. Niech η 1, η 2,... jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach P (η n = 1) = P (η n = 1) = 1 2. Filtracja Σ n := σ(η 1,..., η n ). Które z poniższych ciągów zmiennych losowych są martyngałami względem powyższej filtracji S n = ξ 1 ; S n = ξ n ξ 1 ; S n = ξ n 1 ; S n = ξ n+1 ; S n = ξ 1 + 2ξ 2 +... + nξ n ; S n = 2ξ 2 n 1/2; S n = ξ 1... ξ n. P7.6. Niech ξ n oznacza symetryczne błądzenie losowe, tzn. ξ n = η 1 + + η n, gdzie η 1, η 2,... jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach P (η n = 1) = P (η n = 1) = 1 2 (na przykład: ciąg rzutów monetą). Pokazać, że ciąg zmiennych losowych (i) X n := ξ 2 n n (ii) Y n = ( 1) n cos(πξ n ) jest martyngałem względem filtracji Σ n := σ(η 1,..., η n ).
Zestaw 8 P8.1. Niech F t } t T oraz G t } t T będą filtracjami takimi, że G t F t. Załóżmy również, że proces X jest adaptowany do obydwu filtracji. Pokazać, że jeżeli X jest martyngałem względem filtracji F t, to jest też martyngałem względem filtracji G t }. P8.2. Wykazać, ż jeśli X jest martyngałem całkowalnym z kwadratem to X ma nieskorelowane przyrosty. P8.3. Pokazać, że jeśli X n jest martyngałem i X n X w L 1, to X n = E(X F n ). P8.4. Pokazać że martyngałami względem naturalnej filtracji procesu Wienera W t, t 0} są procesy: (a) W t, t 0} (b) Wt 2 t, t 0} P8.5. Dany jest proces Poissona N t, t 0} z intensywnością λ. Pokazać, że proces N t λt, t 0} oraz (N t λt) 2 λt, t 0} są martyngałami względem filtracji generowanej przez N t, t 0}. P8.6. Niech Z n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i zerowej wartości oczekiwanej. Niech n X 0 = 0, X n = Z k 1 Z k. Udowodnić, że (X n ) n=1 jest martyngałem względem (σ(z 1,..., Z n )) n=1. k=1 Zestaw 9 P9.1. Jeśli jeszcze nie zostały zrobione: 4.4, 5.1, 5.2, P9.2. Niech X = X t t [0, T ]} będzie supermartyngałem. Pokazać, że X jest martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy EX T = EX 0 P9.3. Niech ξ i, i = 1, 2,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że Niech F n = σ(ξ 1,..., ξ n ), natomiast P (ξ i = 1) = p (0, 1), P (ξ i = 1) = q = 1 p. Z n = ( ) q ξ1 + +ξ n. p Wykazać, że Z n jest martyngałem względem F n. P9.4. Niech (W t ) będzie procesem Wienera. Jak wygląda dwuwymiarowy rozkład wektorów losowych (W t, W s ) i (W t W s, W s ) dla t > s? P9.5. [System Labourchere a] Poniżej opisany został system obstawiania w grze hazardowej. W każdym kroku możemy z równym prawdopodobieństwem wygrać lub przegrać postawioną przez nas kwotę. Wybieramy skończony ciąg liczb dodatnich x 1,..., x n. Stawiamy kwotę równą sumie pierwszej i ostatniej liczby w ciągu. Jeśli wygramy, to skreślamy te dwie liczby; a jeśli przegramy, na końcu naszego ciągu liczbowego dopisujemy liczbę x n+1 = x 1 + x n. kończymy grę, gdy nie mamy już czego stawiać. Gramy wielokrotnie zgodnie z powyższą regułą. Jeśli w jakiejś chwili, ciąg liczbowy będzie zawierał tylko jeden wyraz a, to stawiamy kwotę a. Jeśli przegramy, to dopisujemy ją otrzymując ciąg dwuwyrazowy; jeśli wygramy, to skreślamy ten wyraz kończąc grę. Pokazać, że z prawdopodobieństwem 1, gra kończy się wygraniem sumy początkowo zapisanych na kartce liczb. P9.6. Gra Teraz czerwony może być rozgrywana przez pojedynczego gracza grającego dobrze potasowaną talią 52 kart. W chwilach n = 1, 2,..., 52 kolejno odkrywamy karty z talii, aby zaobserwować ich kolor. Dokładnie raz, w trakcie całej gry, gracz ma, tuż przed odsłonięciem wybranej karty powiedzieć teraz czerwone. Gracz wygrywa, jeśli wybrana karta okaże się być czerwona. Niech R n oznacza liczbę czerwonych kart wśród kart jeszcze nie odsłoniętych po odsłonięciu n-tej karty z talii. Pokazać, że X n := R n, 0 n 52 52 n określa martyngał. R9.7. Czy istnieje (X 1, X 2, X 3 ) martyngał taki, że X i przyjmuje z dodatnimi prawdopodobieństwami tylko wartości całkowite od 0 do i? Uzasadnić odpowiedź negatywną, lub podać przykład dla pozytywnej.
Zestaw 10 P10.1. Niech Ω = 0, 1} N, X n (ω) = ω n oraz F n = σ(x 0, X 1,..., X n ). Oznaczmy R n = X n X n 1. (i) Pokazać, ze R n są adaptowane względem filtracji (F n ). (ii) Czy (R n ) jest martyngałem? (iii) Czy ciąg (R n ) jest zbieżny? (w jakimś sensie) (iv) Które z poniższych funkcji τ i są momentami stopu? τ 1 (ω) = infn : ω n = 0}; τ 2 (ω) = infn : ω n 1 = ω n+1 }; n jeśli ω jest n-okresowy τ 3 (ω) = 0 jeśli ω nie jest okresowy P10.2. Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, a X n określonym na niej supermartyngałem takim, że EX n = EX n+1 dla dowolnego n N. Pokazać, że wtedy X n jest martyngałem. P10.3. Niech (Ω, F, (F n ), P ) będzie przestrzenią probabilistyczną z zadaną filtracją. Niech (X n ) oraz (Y n ) będą martyngałami względem tej filtracji. Pokazać, że n ( ) E(X n Y n ) E(X 0 Y 0 ) = E (X k X k 1 )(Y k Y k 1 ). P10.4. Niech (Ω, F, (F n ), P ) będzie przestrzenią probabilistyczną z zadaną filtracją. martyngałem względem tej filtracji. Pokazać, że n DX n = DX 0 + D(X k X k 1 ). k=1 k=1 Niech (X n ) będzie P10.5. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P ) oraz filtracja (F n ) n N. Załóżmy, że τ 1 oraz τ 2 są momentami zatrzymania względem filtracji (F n ) n N. Sprawdzić, czy są momentami zatrzymania (o ile nie zostało to zrobione na wykładzie) (i) τ 1 + 1; (ii) τ 1 1; (iii) τ1 2; (iv) τ 1 τ 2 := minτ 1, τ 2 }; (v) τ 1 τ 2 := maxτ 1, τ 2 }; (vi) τ 1 + τ 2. P10.6. Rzucamy kostką tak długo, aż otrzymamy wszystkie oczka. Znaleźć wartość średnią sumy wyrzuconych oczek. R10.7. Wykazać, że jeśli (X n ) n N jest procesem stochastycznym i B jest zbiorem borelowskim w R N to τ B = infn, X n B} jest momentem zatrzymania. R10.8. W grze z zadania 9.6 przyjmujemy strategię polegającą na tym, że czekamy, aż wśród nieodkrytych kart znajdzie się co najmniej 60% kart czerwonych i wtedy stawiamy na czerwoną kartę. Jeśli taka sytuacja nie zajdzie obstawiamy w momencie, gdy została ostatnia czerwona karta w talii. Jaka jest szansa, że zgadniemy wypadnięcie czerwonej karty? Zastanowić się nad strategią maksymalizującą szansę odgadnięcia czerwonej karty. R10.9. Przez F oznaczać będziemy σ-algebrę rozpiętą przez t R F t. Niech τ oznacza moment stopu. Definiujemy σ-algebrę F τ jako A F : t A τ t} F t } Pokazać, że F τ jest σ-algebrą. Pokazać, że moment stopu τ jest mierzalny względem F τ. Pokazać, że jeśli τ σ (dla każdego ω), to F τ F σ
Zestaw 11 P11.1. Czy istnieje martyngał (X 1, X 2 ) taki, że X 2 przyjmuje mniej wartości, niż X 1? Jeśli tak, to czy istnieje martyngał dowolnej długości, w którym zmienna o wyższym indeksie przyjmuje mniej wartości od każdej wcześniejszej? P11.2. Rozważmy grę w ruletkę, w której gracz stawia w każdej kolejce jednostkę na czarne lub czerwone (wg. uznania). Jeśli obstawi właściwy wynik, wygrywa jednostkę, jeśli wypadnie inny kolor (w tym 0 ), to traci postawioną stawkę. Który z procesów: aktualny stan konta gracza, czy stan konta kasyna jest submartyngałem? Znaleźć dla niego rozkład Dooba. P11.3. Załóżmy, że w powyższej grze po wypadnięciu 0 postawiona kwota nie przepada, ale powiększa stawkę, o jaką gra gracz. (Czyli po wypadnięciu 0 gracz dodaje jednostkę do stawki, ale ewentualna wygrana wynosi 2.) Pokazać, że żadna strategia obstawiania bazująca na wcześniejszych wynikach nie daje lepszego wyniku, niż stawianie cały czas na ten sam kolor. P11.4. Załóżmy, że 2 graczy gra następująco: rzucają na przemian monetą jeśli rzucający wyrzuci orła dostaje od przeciwnika 1 PLN, jeśli reszkę, płaci 1 PLN. Jeden z graczy zaczyna z kwotą m a drugi n. Jakie jest prawdopodobieństwo bankructwa każdego z graczy? (Proszę zastanowić się nad rozumowaniem martyngałowym.) R11.5. W przykładzie z ruletką (zadanie P11.2.) załóżmy, że gracz wchodzi do kasyna z kwotą x i chce grać tak długo, aż osiągnie 3x lub zbankrutuje. Nie ma ograniczeń na stawiane kwoty. Znaleźć optymalną strategię gry.
Zestaw 12 P12.1. Pijana małpa porusza się po wierzchołkach sześciokąta foremnego. Wiemy, że: małpa nie jest w stanie ustać w jednym miejscu; małpa lubi skakać najbardziej na punkty sąsiednie (lenistwo) albo najbardziej oddalone (skłonność do ryzyka spowodowana spożyciem środków osłabiających wolę). Proszę napisać macierz przejścia dla małpy. P12.2. Mrówka znajduje się w jednym z wierzchołków trójkąta (kwadratu). W każdym kroku przechodzi na jeden z sąsiednich wierzchołków z równym prawdopodobieństwem. Znaleźć w obu przypadkach macierz przejścia oraz jej n-tą potęgę. P12.3. W stawku znajdują się dwa wystające kamienie, jeden duży i drugi mały. W chwili t = 0 żaba znajduje się na małym kamieniu. Wiemy, że po jednostce czasu żaba skacze z dużego kamienia (jeśli, rzecz oczywista siedzi właśnie na dużym) na mały z prawdopodobieństwem 1/5 [bo na dużym jest jej wygodniej]; zaś z małego na duży z prawdopodobieństwem 3/5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po 1; 2; 3; 4 jednostkach czasu żaba będzie się znajdować na dużym kamieniu? Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo, że w danej chwili t = 100 jednostek czasu, żaba będzie siedziała na małym kamieniu? P12.4. W wyniku ocieplenia klimatu poziom wody w stawku u żaby z poprzedniego zadania obniżył się. W związku z tym wynurzyły się z wody trzy nowe kamienie, co zwiększyło możliwości skakania żaby. Rozkład skakania podany jest przez macierz 0 1 0 0 0 1/3 0 1/3 0 1/3 0 1/4 2/4 1/4 0 0 0 0 0 1 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 Żaba zaczyna skakać z 3 kamienia. Czy ma szansę doskoczyć na każdy kamień w stawku? Warto w tym celu narysować odpowiedni graf [o 5 wierzchołkach odpowiadających kamieniom] z kierunkami skoków żaby. P12.5. W chwili początkowej w stawku znajduje się żaba siedząca na jednym z dwóch kamieni. Na drugim kamieniu znajduje się podziemny paskudny potwór, który jak żaba skoczy na jego kamień, to ją zjada. Żaba skacze z równym prawdopodobieństwem na każdy z kamieni (włącznie z tym na którym siedzi) znajdujących się w danej chwili w stawku. Po pierwszym skoku żaby ilość kamieni w stawku w związku z suszą się zwiększa (pojawia się jeden nowy czysty kamień bez potwora). Odpowiedz na następujące pytania: Czy to jest proces Markowa? Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaba zostanie zjedzona przez potwora? Oblicz oczekiwany czas życia żaby. P12.6. Pokazać, że dowolny ciąg niezależnych zmiennych losowych o wartościach w co najwyżej przeliczalnym zbiorze S tworzy łańcuch Markowa. Przy jakich założeniach łańcuch ten jest jednorodny? P12.7. Wielokrotnie rzucamy kostką do gry. Które z poniższych ciągów zmiennych losowych są łańcuchami Markowa? Dla tych, które są łańcuchami Markowa napisać macierze przejścia. a) Największy numer X n, jaki się pojawił aż do n-tego rzutu. b) Liczba N n szóstek w n rzutach. c) W chwili r, czas C r od ostatniej szóstki. d) W chwili r, czas B r do następnej szóstki. e) Długość najdłuższej do chwili obecnej serii szóstek pod rząd. P12.8. Niech S n : n 0} będzie losowym błądzeniem po osi (tzn. dla dowolnego n 0: S n+1 S n = 1 z prawdopodobieństwem p (0, 1) oraz S n+1 S n = 1 z prawdopodobieństwem q = 1 p). Niech S 0 = 0. Pokazać, że X n = S n jest łańcuchem Markowa: znaleźć jego macierz przejścia. Niech M n = maxs k : 0 k n}. Pokazać, że Y n = M n S n jest łańcuchem Markowa.
Zestaw 13 P13.1. Niech X będzie łańcuchem Markowa. Które z poniższych ciągów są łańcuchami Markowa? (i) X m+r dla r 0; (ii) X 2m dla m 0; (iii) ciąg par (X n, X n+1 ) dla n 0. P13.2. Niech X będzie łańcuchem Markowa. Pokazać, że dla dowolnych 1 < r < n P (X r = k X i = x i dla i = 1, 2,..., r 1, r + 1,..., n) = P (X r = k X r 1 = x r 1, X r+1 = x r+1 ) P13.3. Niech X n ], : n 1} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach i wartościach w zbiorze liczb całkowitych. Niech n S n = X r, S 0 = 0; r=1 Y n = X n X n 1 przy czym X 0 = 0; natomiast n Z n = S r. Czy (i) S n (ii) Y n (iii) Z n (iv) pary (S n, Z n ) tworzą łańcuchy Markowa? P13.4. Sklasyfikować stany jednorodnego łańcucha Markowa o stanach 1, 2, 3, 4, 5} i macierzy przejścia 1/4 1/4 1/2 0 0 3/4 1/4 0 0 0 P = 1/2 1/2 0 0 0 0 0 1/4 1/2 1/4 0 0 0 1/2 1/2 r=0 Odpowiedź uzasadnić. Obliczyć średnie czasy powrotu dla wszystkich stanów. Jeśli można, znaleźć rozkład stacjonarny. P13.5. Niech X będzie łańcuchem Markowa na 0, 1, 2,...} takim, że jego macierz przejścia spełnia warunki: p 0j = a j > 0 dla j 0; p ii = r (0, 1) oraz p i,i 1 = 1 r dla i 1. Sklasyfikować stany tej macierzy, policzyć jej średnie czasy powrotu. P13.6. N kul czarnych i N kul białych znajduje się w dwóch urnach tak, że każda z urn zawiera N kul. W każdym kroku po jednej kuli z każdej urny zostaje wylosowanych, a wylosowane kule zostają między sobą wymienione. Niech liczba kul czarnych w pierwszej urnie opisuje stan układu. Zapisać macierz przejścia łańcucha Markowa i znaleźć jedyny rozkład stacjonarny. Zestaw 14 P14.1. Znaleźć macierz przejścia w n krokach dla macierzy przejścia 0 1/2 1/2 1/3 1/4 5/12 2/3 1/4 1/12 P14.2. Dla poniższej macierzy znaleźć stacjonarny rozkład prawdopodobieństwa. 0 p 0 1 p 1 p 0 p 0 0 1 p 0 p p 0 1 p 0 P14.3. Prawdopodobieństwa przejścia dla jednorodnego łańcucha Markowa o zbiorze stanów S = 0, 1, 2,...} dane są wzorami p n0 = 1 n+2, p n,n+1 = n+1 n+2. Określić czy stany są okresowe, czy nie? Określić czy stany są powracające zerowe, niezerowe czy przechodnie? Jeśli można znaleźć rozkład stacjonarny. P14.4. Cząstka błądzi losowo po wierzchołkach sześcianu. W każdym kroku zostaje w danym wierzchołku z prawdopodobieństwem 1 4, lub przechodzi do któregoś z sąsiednich z prawdopodobieństwem 1 4. Niech v i w będą dwoma ustalonymi wierzchołkami sześcianu leżącymi na tej samej przekątnej tego sześcianu. Jeśli błądzenie rozpoczyna się w wierzchołku v, znaleźć: (i) średni numer kroków do pierwszego powrotu do v; (ii) średni numer kroków do pierwszego osiągnięcia w; (iii) średnią liczbę wizyt w w przed pierwszym powrotem do v.