Finanse ubezpieczeń społecznych

Finanse ubezpieczeń społecznych Wykład 7. Kapiałowe ubezpieczenia eeyalne. Pywane plany eeyalne Aeing (994), Wiśniewski (999)

Pywane plany eeyalne:. Zaley: -Nie wyagają działań ze sony pańswa, poza ewenualnie swozenie a pawnych, -Mają niskie kosza adinisacyjne, - Składki są poszegane jako oszczędności. 2. Wady: -Ich zasięg jes nieówny i nie wszyscy pacujący ogą z nich skozysać, -Świadczenia nie zawsze są pewne, - Są duże óżnice iędzy planai, -Tansfe śodków iędzy planai pociąga za sobą pewne kosza.

Składka eeyalna:. Kwoowa -zwykle w pzypadku indywidualnych oszczędności eeyalnych. 2. Pocen wynagodzenia - w powszechny syseie eeyalny, - w wielu pywanych pogaach eeyalnych.

Składka kwoowa Obecna waość składek, kóe wniesie w pzyszłości, uczesnik planu, kóy a obecnie la, o: PVC C ϖ 0 p d, a o wiek ozpoczęcia pacy i jednocześnie wejścia do planu eeyalnego, C kwoa składki, kóa dla uposzczenia jes sała, ω wiek eeyalny, p czynnik dyskonujący, i sopa i pocenowa z inwesycji eeyalnych, pawdopodobieńswo, że człowiek w wieku la pzeżyje nasępnych la. W ujęciu dyskeny: PVC ϖ C p 0

Składka popocjonalna do wynagodzenia Zakładay, że składkę płaciy dla uposzczenia co ok: PVs sy ϖ pγ 0 d s pocen płacy płacony jako składka, γ -sosunek pzyszłej płacy w oku do płacy w ciągu oku, W ujęciu dyskeny: PVs ϖ sy pγ 0

Syse o zdefiniowanej składce Oczekiwany pozio kapiału w nasępny oku jes dany pzez: W ( i) EW ~ C p p~ p pawdopodobieńswo pozosania w obecny sanie. Wysokość świadczenia wynika z bilansu dokonanego w oencie pzejścia na eeyuę: - okeślay wysokość kapiału, - dzieliy go pzez pzewidywaną liczbę la życia, -uwzględniay pzy y pzewidywaną sopę zwou z dalszego inwesowania ego kapiału.

Syse o zdefiniowany świadczeniu Ineesuje nas akualna waość pzewidywanych świadczeń eeyalnych uczesnika planu, kóy: a eaz la, gdzie, oże pzejść na eeyuę w wieku od υ(wiek wcześniejszej eeyuy) do ω, pzejdzie na eeyuę za la od dzisiaj, ak że υ ω. Każdy plan eeyalny o zdefiniowany świadczeniu usi zawieać foułę, definiującą wyia świadczenia. Zakładay, że wszyskie czynniki wpływające na wysokość upawnień eeyalnych są funkcją wieku członka planu.

Funkcja kuulacji upawnień Funkcja kuulacji upawnień (liabiliy accual funcion): jaka część pełnego koszu pzyszłych eeyu jes uznawana w wieku. Jes o funkcja M(), odwzoowująca wiek [, ] na odcinek [0, ]: wiek wsąpienia do planu eeyalnego, wiek pzejścia na eeyuę. Funkcja a a nasępujące właściwości: M() 0 M() M () 0 M()

Funkcja kuulacji upawnień Ogólna posać funkcji kuulacji upawnień: E(,,0) M ( ) E,, ( ) E świadczenie, jakie w dany planie uzyska osoba, kóa pzysąpiła do planu w oku, jes w ni - la i pzejdzie na eeyuę za -la. Ta funkcja wyaża elację: -hipoeycznego świadczenia, kóe uzyskała by osoba w wieku la, ze saże -, jeżeli pzejdzie na eeyuę eaz (nawe, jeżeli jes o nieożliwe), -do eeyuy, kóą uzyska a saa osoba w wieku la.

M ( ) E Funkcja kuulacji upawnień E(,,0) (,, ) Funkcją ej fouły a być odzwieciedlenie echanizu wzosu świadczenia. Pobley: Fouła wyiau świadczeń Eoże ieć znaczące skoki waości świadczenia pzy pzekaczaniu óżnych pzedziałów wieku. Fouła poija yzyko związane z upływe czasu oaz cenę czasu, czyli sopę dyskonową.

Meoda koszu nabyego świadczenia Meoda koszu nabyego świadczenia (accued benefi cos ehod):. Załóży, że świadczenie Ezależy liniowo od sażu uczesnicwa w planie. Kosz pzyznanych doychczas upawnień jes opisany pzez: M ( ) oaz M '( ) Oznacza o, że kosz eeyuy jes ównoienie ozłożony na wszyskie laa uczesnicwa w planie.

Meoda koszu nabyego świadczenia 2. Załóży, że wyia świadczeń jes związany ze śedni wynagodzenie z całego okesu uczesnicwa w planie. Za każdy ok sażu w planie świadczenie w wysokości f % śedniego wynagodzenia z całego okesu uczesnicwa w syseie. ( ) ( ) Y 0 f ( E,,0 0 ) Y M ( ) E,,0 Y Y 0 0 f Pzyos funkcji kuulacji jes dany pzez: M '( ) 0 Y

Meoda koszu nabyego świadczenia Zasada, że dopływ śodków do planu powinien być podpoządkowany epu naasania zobowiązań eeyalnych, powoduje konieczność zieniania składki w czasie. T Niech finalny kosz eeyuy w chwili, B(), będzie dany pzez: T ~ T B( ) p B( ) Pzy pełnej kapializacji, w chwili kapiał eeyalny usi być ówny iloczynowi obecnej kuulacji upawnień i bieżącej waości finalnego koszu eeyuy: T ~ T W ( ) M ( ) B( ) M ( ) p B( )

Ziana kapiału iędzy i o pzyos isniejącego kapiału i nowa składka: Meoda koszu nabyego świadczenia p W W C C p W W ~ ) ( ) ( ~ ) ( ) ( d Gzegoz Kula, Podsawiay wzó na kapiał eeyalny: ) ( ~ ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ) ( ~ ) ( B p p M p M p B p M B p M C T T T

Meoda alokacji koszów względe oenu wejścia Meoda alokacji koszów względe oenu wejścia (enyage acuaial cos ehod): usalay eleen sały w planie eeyalny, zwykle albo wysokość składki, albo sopę składki. Uwzględnia opocenowanie, a akże yzyko związane z uzyanie uczesnicwa. Należy wyliczyć kosz noalny, czyli kwoę, kóa powinna być dopłacona w foie składki na począku oku, w celu pokycia akywai naosłych w ciągu ego oku zobowiązań. Ten kosz dla członka funduszu jes ówny iloczynowi wzosu zobowiązań wobec niego i pawdopodobieńswa pozosania w funduszu.

Meoda alokacji koszów względe oenu wejścia Niech świadczenie eeyalne zależy od suy składek waz z opocenowanie, a składki są akie sae pzez cały okes uczesnicwa w planie. Właściwą foułą kapializacji zobowiązań jes zależność: iędzy waością świadczeń eeyalnych, jakie byśy ozyali pzechodząc na eeyuę eaz, a waością świadczeń eeyalnych, jakie byśy ozyali pzechodząc na eeyuę w wieku la. C ( i) ~ p 0 M ( ) C ( i) ~ p 0

Meoda alokacji koszów względe oenu wejścia Geneacyjna funkcja pzeżycia s(, a) pokazuje pawdopodobieńswo uzyania akywnego sausu w planie pzez ych, kózy w dany czasie ają la i pzysąpili do planu w oencie, czyli -la eu. Zwykle ą funkcję upaszcza się do s(), ponieważ pawdopodobieńswo okeślay na podsawie specjalnie skonsuowanych ablic wyjścia z planu. M ( ) C C e e δ ( ) δ ( ) s( ) d s( ) d

Załóży, że wyia świadczeń jes związany ze śedni wynagodzenie z całego okesu uczesnicwa w planie. Niech składka pozosaje w sałej elacji do wynagodzeń f. Funkcja kuulacji upawnień o: Meoda alokacji koszów względe oenu wejścia ~ d Gzegoz Kula, ( ) ( ) 0 0 ~ ~ ) ( p Y i p Y i M

Tablice ubyków w planie eeyalny Tablice ubyków eeyalnych pokazują ubyki w zaknięej gupie akywnych uczesników planu eeyalnego, kózy pzysąpili do planu w y say wieku la. najniższy dopuszczalny wiek wejścia do planu eeyalnego. l () funkcja opisująca liczbę akywnych uczesników planu w wieku la. W najwyższy dopuszczalny wieku pzejścia na eeyuę ωw planie nie a żadnych akywnych uczesników z ej gupy, czyli l ω () 0.

Tablice ubyków w planie eeyalny Tabele ubyków pokazują wielkości ubyków dla poszczególnych koho wiekowych, czyli liczebność osób d (.), kóe w oencie ukończenia la były akywnyi uczesnikai planu, lecz pzed osiągnięcie la uaciły saus akywnych uczesników z wyóżnionego w ablicy powodu. Podsawowe powody uay sausu akywnego uczesnika: pzewanie pacy, z pawdopodobieńswe q (w), śieć w czasie pacy, z pawdopodobieńswe q (d), pzejście na enę inwalidzką, z pawdopodobieńswe q (i), pzejście na eeyuę, z pawdopodobieńswe q ().

Tablice ubyków w planie eeyalny Pzed najniższy dopuszczalny wiekie eeyalny (υ)nie ożey pzejść na eeyuę, ale pozosałe zy ożliwości są dla nas dosępne. Po pzekoczeniu ego wieku, każde pzewanie sanu akywnego uczesnicwa wywołuje, z punku widzenia pogau eeyalnego, akie sae skuki, jak pzejście na eeyuę. Po pzekoczeniu najwyższego dopuszczalnego wieku pzechodzenia na eeyuę (ω), plan zakłada, że nie ożey być już akywni, więc nie a pozeby szacowania pawdopodobieńswa wyjścia z planu.

Tablice ubyków w planie eeyalny Poble śieci uczesnika planu: Śieć pzed wiekie υzusza plan do wypłay szczególnego ypu świadczeń, na pzykład zwou zaoszczędzonego kapiału. Śieć po osiągnięciu wieku υpzynosi e sae skuki, co eeyua, czyli wypłaę kapiału. Dla syseu jes isone, kiedy uzey, ponieważ okeśla o wysokość świadczeń w pzypadku annuieu. Pognoza czasu śieci jes obaczona badzo dużą niepewnością zależy od indywidualnych chaakeysyk.

Tablice ubyków w planie eeyalny Łączny oczny ubyek kohoy -laków wynosi: d () d (w) d (d) d (i) d () Liczebność akywnych uczesników z danej kohoy wiekowej wynosi po oku: l () () () l -d To sao ożna pokazać za poocą pawdopodobieńsw: ( w) ( d ) ( i) ( ) l l q q q q ( ) gdzie ( ) ( ) d q ( ) l Wielolenie pawdopodobieńswo pozosania w syseie: k p ( ) l l ( ) k ( )

Tablice ubyków w planie eeyalny Pawdopodobieńswo, że akywny uczesnik planu uaci z jakiejś znanej pzyczyny swój akywny saus iędzy ka k okie życia: P ( ) ( d ) [ k, d ] p q K k k Jes o iloczyn pawdopodobieńswa, że pozosaniey w syseie pzez kla i pawdopodobieńswa, że za kla uzey. W pzypadku ciągły zaias zwykłego pawdopodobieńswa śieci usiy zdefiniować funkcję gęsości pawdopodobieńswa śieci i badać pawdopodobieńswo w kóki okesie czasu dk: P ( ) ( d ) [ k K k, d ] p µ < k k dk

Wycena waości pzyszłych świadczeń Dzisiejszy -laek, pzechodząc na eeyuę po laach, uzyska eeyuę, kóej całkowia, jednoazowa waość obliczona na oen pzejścia na eeyuę wynosi:,, a ( ) a E -waość ciągłej eny pzez cały czas życia na eeyuze. Dzisiejsza waość pzyszłych świadczeń eeyalnych: PVBE PVBE ϖ υ Lepsza fouła o: ϖ PVBE p ( ) ( ) µ E(,, ) a ( ) ( ) q E(,, k) d ϖ k k k p k a υ k k 2 k k p k a υ k ( ) ( ) ( ) q E,, k 2 2

Wycena waości pzyszłych świadczeń Eeyua zależy ylko od sażu pacy: E,, B ( ) ( ) B - sała kwoa pzysługująca za każdy ok sażu. Jeżeli jedna kwoa pzysługuje na za część sażu, a inna za eszę, o na pzykład: B ( ) dla 20 E(,, ) 20B B2 ( 20) dla > 20 Eeyua zależy od końcowego wynagodzenia: ( ) ( ) E,, f Y fin Z każdy okie sażu pzybywa na fpunków pocenowych eeyuy.

Eeyua zależy od dochodów zosanich z la udziału w planie:. Część ych la inęła, czyli <z Wycena waości pzyszłych świadczeń ( ) ( ) a a z a a da Y da Y z f E 0 0,, d Gzegoz Kula, 2. Jeszcze nie weszliśy w osani okes, >z Eeyua zależy od śedniego dochodu z całego okesu uczesnicwa w planie: a z a z 0 ( ) ( ) z a a da Y z f E,, ( ) ( ) a a a a da Y da Y f E,,

Model funduszu eeyalnego Załóży, że wszyscy uczesnicy pzysępują do planu w y say wieku la i pzechodzą na eeyuę w y say wieku la, gdzie υ ω. W dany oencie ay uczesników akywnych w wieku, oaz eeyów w wieku. Pzyjijy, że populację akywnych uczesników planu, oaz eeyów opisuje funkcja gęsości: l(, u) n( u) s( ) n(u) funkcja gęsości wejścia do planu, s() funkcja pzeżycia. W chwili, liczbę akywnych uczesników planu osiągających wiek z pzedziału (, d)okeśla l(, )d.

Model funduszu eeyalnego w() oczny pzyos wynagodzeń osoby, kóa osiągnęła la w oencie 0. g() ziany płac związane z inflacją i podukywnością. Pzyos ocznej płacy osoby, kóa w oencie osiąga la, wynosi: w()g(), Dla osób osiągających w oencie, wiek z pzedziału (, d): w()g()l(, )d. Pzyos w chwili ocznego wynagodzenia wszyskich akywnych uczesników o: W ( ) g( ) w( ) l(, ) d

Świadczenia: Model funduszu eeyalnego Niech świadczenie eeyalne zależy jedynie od osaniego wynagodzenia i osiąga w oencie pzejścia na eeyuę f % jego waości. W chwili, inensywność ocznej eeyuy osoby, kóa właśnie osiągnęła, wynosi fw()g(). Jeżeli eeyua jes sała, o jej inensywność w nasępnych laach, czyli dla >w chwili, wynosi fw()g(-), gdyż dana osoba pzeszła na eeyuę - la pzed chwilą.

Model funduszu eeyalnego W pakyce eeyuy są zienne: Załóży, że isnieje niezależna od czasu kalendazowego skala zian eeyuy w cyklu życia eeya, opisywana pzez funkcję π(), aka że π(ω). Inensywność ocznej eeyuy jednej kohoy wiekowej, będącej na eeyuze od -la, wynosi fw()g(-)π(). Inensywność, w chwili, ocznego suienia eeyu wypłacanych w cały planie eeyalny: B( ) f w( ) g( ) π ( ) l(, ) d

Model funduszu eeyalnego Pzychody funduszu, kóe uożliwiają wypłaę świadczeń: Zasada finalnego finansowania (einal funding), czyli jednoazowa kapializacja całych zobowiązań eeyalnych danej kohoy wiekowej w oencie pzejścia na eeyuę. Jednoazowy ekwiwalen annuieu płacącego zł na ok, plus indeksacja zgodna z foułą π w laach nasępnych: ( ) ( ) ( ) π δ s a e π d s ( )

Model funduszu eeyalnego W okesie (, d) na eeyuę pzechodzi l(, -a)d osób, a ich piewsza eeyua osiąga inensywność fw()g()złoych na ok. Zasada finalnego finansowania wyaga, by w oencie dopływały do funduszu eeyalnego składki z inensywnością oczną: T π P( ) f w( ) g( ) l(, ) a W okesie od 0 do powinna być wpłacona składka w wysokości: 0 T P( ) d