WSPÓŁCZYNNIK THETA OPCJI BARIEROWYCH

Transkrypt

1 Ewa Dziawgo Uniwesye Mikołaja openika w ouniu Wyział auk Ekonomicznych i Zazązania aea Ekonomeii i aysyki ziawew@umk.pl WPÓŁCZYI EA OPCJI BARIEROWYC eszczenie: W aykule pzesawiono zaganienia związane z opcjami baieowymi: chaakeysykę insumenu, wpływ wybanych czynników na waość współczynnika hea. Ilusacja empiyczna zawaa w aykule jes pzepowazona na posawie symulacji wyceny opcji baieowych i opcji zwykłych wysawionych na EUR/PL. łowa kluczowe: opcja kupna, opcja spzeaży. Wpowazenie Opcje baieowe należą o klasy opcji uwaunkowanych. Dochó uzyskany z opcji baieowych zależy o pzekoczenia pzez cenę insumenu bazowego usalonej ceny pogowej zw. baiey [apiókowski,, s. 44; Dziawgo, 8, s. 313, 13, s. 1]. Jeżeli w okesie ważności opcji zosanie spełniony waunek okeślony baieą, o opcja baieowa saje się opcją zwykłą. W zależności o waunku baiey wyóżnia się: opcje z baieą wejścia, kóe o momenu pzekoczenia pzez cenę insumenu bazowego usalonej baiey są opcjami zwykłymi, opcje z baieą wyjścia, kóe w niu wygaśnięcia są opcjami zwykłymi, o ile w okesie ważności cena insumenu bazowego nie pzekoczy poziomu baiey. Współczynnik hea jes miaą ważliwości ceny opcji, okeślającą zmianę waości opcji, gy ługość okesu o eminu wygaśnięcia spanie o jenoskę [ull,, s. 195; Jajuga 7, s. 71; aczyński, Zwolankowski, 1999, s. 75; Dziawgo, 3, s. 11]. W aykule pzesawiono analizę poównawczą kszałowania się waości współczynnika hea opcji baieowych i opcji zwykłych oaz analizę wpływu bieżą-

2 Współczynnik hea opcji baieowych 7 cej ceny insumenu bazowego i poziomu baiey na waość współczynnika hea opcji baieowych. Ilusacja empiyczna zawaa w aykule jes pzesawiona na posawie symulacji wyceny waluowych opcji wysawionych na EUR/PL. 1. Współczynnik hea opcji kupna z baieą wejścia w ół oaz opcji kupna z baieą wyjścia w ół Rozpaywany jes pzypaek, kiey cena wykonania jes większa o ceny pogowej. Cena opcji kupna z baieą wejścia w ół jes okeślona ównaniem [Wilmo,, s. -3]: = 1 / e C n D σ 1 gzie: ysybuana ozkłau nomalnego zmiennej, sopa pocenowa wolna o yzyka, σ zmienność ceny insumenu bazowego, cena insumenu bazowego w chwili, czas wygaśnięcia opcji, cena wykonania opcji, poziom baiey, q sopa ywieny, ], [,,5 σ = q n, = σ 1, n = σ ln. Cena opcji kupna z baieą wyjścia w ół wynosi: = 1 / 6 5 e e C n σ gzie: = σ 6 5,

3 8 Ewa Dziawgo ln n = 6, σ pozosałe oznaczenia są akie same jak we wzoze 1. a ys. 1 pzesawiono kszałowanie się ceny zwykłej opcji kupna, opcji kupna z baieą wejścia w ół oaz opcji kupna z baieą wyjścia w ół. Rozpaywane opcje są wysawione na EUR/PL. ymulacja wyceny jes pzepowazona la okesu Czas wygaśnięcia opcji wynosi 6 miesięcy. Cena wykonania opcji wynosi 3,85 PL, a poziom baiey ówny jes 3,8 PL. W analizowanym okesie, w niu 9 sycznia kus EUR/PL pzekoczył poziom baiey. O ego momenu opcja z baieą wejścia w ół sała się zwykłą opcją kupna, a opcja z baieą wyjścia w ół wygasła bezwaościowa.,3,5,,15,1, cena [PL] aa op.zwykła op. z baieą wejścia op. z baieą wyjścia Rys. 1. szałowanie się ceny zwykłej opcji kupna, opcji kupna z baieą wejścia w ół oaz opcji kupna z baieą wyjścia w ół Rys. jes ilusacją kszałowania się waości współczynnika hea analizowanych opcji kupna. Wpływ ceny insumenu bazowego oaz poziomu baiey na cenę opcji kupna z baieą wejścia w ół oaz opcji kupna z baieą wyjścia w ół pzesawiono na ys. 3 oaz na ys. 4.

4 Współczynnik hea opcji baieowych 9 aa , -,4 hea -,6 -,8 -,1 -,1 -,14 op. zwykła op. z baieą wejścia op. z baieą wyjścia Rys.. szałowanie się waości współczynnika hea zwykłej opcji kupna, opcji kupna z baieą wejścia w ół oaz opcji kupna z baieą wyjścia w ół 1 -,1 -, -,3 hea -,4 -,5 -,6 -,7 -,8 cena insumenu bazowego op. z baieą wejścia 1 op. z baieą wejścia Rys. 3. Wpływ poziomu baiey i ceny insumenu bazowego na kszałowanie się waości współczynnika hea opcji kupna z baieą wejścia w ół < Gzie: 1, poziomy baie, cena wykonania opcji. Oznaczenia e oyczą ównież wykesów n: 4, 7, 8, 11, 1, 15 oaz 16.

5 3 Ewa Dziawgo -,1 -, 1 hea -,3 -,4 -,5 -,6 cena insumenu bazowego op. z baieą wyjścia 1 op. z baieą wyjścia Rys. 4. Wpływ poziomu baiey i ceny insumenu bazowego na kszałowanie się waości współczynnika hea opcji kupna z baieą wyjścia w ół < 1 Z analizy kszałowania się waości współczynnika hea opcji kupna z baieą wejścia oaz opcji kupna z baieą wyjścia w ół wynikają nasępujące wnioski: współczynnik hea analizowanych opcji jes ujemny, co oznacza, że w miaę zbliżania się eminu wygaśnięcia waość opcji maleje, w pzypaku opcji kupna silnie-w-cenie / nie-w-cenie waość współczynnika hea opcji z baieą wejścia w ół jes większa/mniejsza o waości współczynnika hea opcji kupna z baieą wyjścia w ół, waości współczynnika hea zwykłej opcji kupna są mniejsze o waości współczynnika hea opcji baieowych, zbliżanie się ceny insumenu bazowego o poziomu baiey wpływa na spaek/wzos waości współczynnika hea opcji z baieą wejścia/wyjścia w ół, niższy poziom baiey wpływa na wzos/spaek waości współczynnika hea opcji kupna z baieą wejścia/wyjścia w ół.. Współczynnik hea opcji kupna z baieą wejścia w góę oaz opcji kupna z wyjścia w góę Analiza jes pzepowazona la pzypaku, kiey cena wykonania jes mniejsza o ceny pogowej. Cena opcji kupna z baieą wejścia w góę jes okeślona ównaniem [Wilmo,, s. -3]: C G = 7 e 8 n / σ 3 e 4 3 1

6 Współczynnik hea opcji baieowych 31 gzie: 7 = 8 σ, ln n = σ 8, 3 = 4 σ, ln n = 4, σ pozosałe oznaczenia jak w ównaniu. Cena opcji kupna z baieą wyjścia w góę wynosi: C g = n / 5 7 e 8 σ e 4 a ys. 5 pzesawiono kszałowanie się ceny zwykłej opcja kupna, opcji kupna z baieą wejścia w góę oaz opcji kupna z baieą wyjścia w góę. Opcje są wysawione na EUR/PL. ymulacja wyceny jes pzepowazona la okesu Czas wygaśnięcia opcji wynosi 6 miesięcy, cena wykonania wynosi 3,9 PL, a poziom baiey jes ówny 4, PL. Rys. 6 jes ilusacją kszałowania się waości współczynnika hea ozpaywanych opcji kupna. Wpływ ceny insumenu bazowego i poziomu baiey na cenę opcji kupna z baieą wejścia oaz z baieą wyjścia w góę jes pzesawiony na ys. 7 oaz na ys. 8. 6, cena [PL],15,1, aa op. zwykła op. z baieą wejścia op. z baieą wyjścia Rys. 5. szałowanie się ceny zwykłej opcji kupna, opcji kupna z baieą wejścia w góę oaz opcji kupna z baieą wyjścia w góę

7 3 Ewa Dziawgo,1,5 hea -,5 -,1 -,15 -, -, aa op. zwykła op. z baieą wejścia op. z baieą wyjścia Rys. 6. szałowanie się waości współczynnika hea zwykłej opcji kupna, opcji kupna z baieą wejścia w góę oaz opcji kupna z baieą wyjścia w góę cena insumenu bazowego 1 hea -,15 -,155 -,16 -,165 -,17 -,175 -,18 -,185 -,19 -,195 -, op. z baieą wejścia 1 op. z baieą wejścia Rys. 7. Wpływ poziomu baiey i ceny insumenu bazowego na kszałowanie się waości współczynnika hea opcji kupna z baieą wejścia w góę 1 <,8,7,6,5 hea,4,3,,1 1 cena insumenu bazowego op. z baieą wyjścia 1 op. z baieą wyjścia Rys. 8. Wpływ poziomu baiey i ceny insumenu bazowego na kszałowanie się waości współczynnika hea opcji kupna z baieą wyjścia w góę 1 <

8 Współczynnik hea opcji baieowych 33 Z analizy kszałowania się waości współczynnika hea opcji kupna z baieą wejścia w góę oaz opcji kupna z baieą wyjścia w góę wynikają nasępujące własności: współczynnik hea zwykłej opcji kupna oaz opcji kupna z baieą wejścia w ół jes ujemny; zbliżanie się eminu wygaśnięcia wpływa na spaek ceny opcji kupna, waości współczynnika hea opcji kupna z baieą wejścia w góę są mniejsze o waości współczynnika hea zwykłej opcji kupna; cena opcji baieowej chaakeyzuje się większą ważliwością na zmianę czasu, współczynnik hea opcji kupna z baieą wyjścia w góę jes oani; w miaę zbliżania się eminu wygaśnięcia waość opcji wzasa, jeśli cena insumenu bazowego zmieza o ceny wykonania, o wzasa waość bezwzglęna współczynnika hea, w pzypaku zbliżania się ceny insumenu bazowego o poziomu baiey wysępuje spaek waości bezwzglęnej współczynnika hea analizowanych opcji baieowych, wzos poziomu baiey powouje wzos waości bezwzglęnej współczynnika hea ozpaywanych baieowych opcji kupna. 3. Współczynnik hea opcji spzeaży z baieą wejścia w góę oaz opcji spzeaży z baieą wyjścia w góę Rozważany jes pzypaek, kiey cena wykonania jes mniejsza o poziomu baiey. Cena opcji spzeaży z baieą wejścia w góę jes okeślona ównaniem [Wilmo,, s. -3]: P G = n / σ e 1 5 P g Cena opcji spzeaży z baieą wyjścia w góę wynosi: = e n / σ e 6 Rys. 9 ilusuje kszałowanie się ceny zwykłej opcji spzeaży, opcji spzeaży z baieą wejścia w góę oaz opcji spzeaży z baieą wyjścia w góę. ymulacja wyceny jes pzepowazona la okesu Opcje są wysawione na EUR/PL. Czas wygaśnięcia opcji wynosi 6 miesięcy. Cena

9 34 Ewa Dziawgo wykonania opcji wynosi 3,95 PL. Poziom baiey ówna się 4, PL. a ys. 1 pzesawiono kszałowanie się waości współczynnika hea ozpaywanych opcji spzeaży. Wpływ ceny insumenu bazowego i poziomu baiey na cenę opcji spzeaży z baieą wejścia w góę oaz opcji spzeaży z baieą wyjścia w góę jes zilusowany na ys. 11 oaz na ys. 1.,14,1 cena [PL],1,8,6,4, aa op. zwykła op. z baieą wejścia op. z baieą wyjścia Rys. 9. szałowanie się ceny zwykłej opcji spzeaży, opcji spzeaży z baieą wejścia w góę oaz opcji spzeaży z baieą wyjścia w góę,,1 hea -,1 -, -, ,4 -,5 -,6 -,7 aa op. zwykła op. z baieą wejścia op. z baieą wyjścia Rys. 1. szałowanie się waości współczynnika hea zwykłej opcji spzeaży, opcji spzeaży z baieą wejścia w góę oaz opcji spzeaży z baieą wyjścia w góę

10 Współczynnik hea opcji baieowych 35 hea -,5 -,1 -,15 -, -,5 -,3 -,35 -,4 cena insumenu bazowego 1 op. z baieą wejścia 1 op. z baieą wejścia Rys. 11. Wpływ poziomu baiey i ceny insumenu bazowego na kszałowanie się waości współczynnika hea opcji spzeaży z baieą wejścia w góę 1 < hea,4,35,3,5,,15,1,5 cena insumenu bazowego 1 op. z baieą wyjścia 1 op. z baieą wyjścia Rys. 1. Wpływ poziomu baiey i ceny insumenu bazowego na kszałowanie się waości współczynnika hea opcji spzeaży z baieą wyjścia w góę 1 < Współczynnik hea opcji spzeaży z baieą wejścia w góę oaz opcji spzeaży z baieą wyjścia oznacza się nasępującymi własnościami: współczynnik hea opcji zwykłej oaz opcji z baieą wejścia w góę jes ujemny, waości współczynnika hea opcji z baieą wejścia w góę są mniejsze o waości współczynnika hea zwykłej opcji; opcja baieowa chaakeyzuje się większą ważliwością na upływający czas, współczynnik hea opcji spzeaży z baieą wyjścia w góę jes oani, w pzypaku zbliżania się ceny insumenu bazowego o poziomu baiey waości współczynnika hea opcji spzeaży z baieą wyjścia w góę maleją o zea,

11 Ewa Dziawgo 36 zbliżanie się ceny insumenu bazowego o poziomu baiey wpływa na spaek waości współczynnika hea opcji spzeaży z baieą wejścia w góę, wzos poziomu baiey powouje spaek waości bezwzglęnej współczynnika hea ozpaywanych baieowych opcji spzeaży. 4. Współczynnik hea opcji spzeaży z baieą wejścia w ół oaz opcji spzeaży z baieą wyjścia w ół Rozpaywany jes pzypaek, kiey cena wykonania jes większa o ceny pogowej. Cena opcji spzeaży z baieą wejścia w ół wynosi [Wilmo,, s. -3]: = / 7 8 e e P n D σ 7 Cena opcji spzeaży z baieą wyjścia w ół wynosi: = / e e P n σ 8 a ys. 13 pzesawiono kszałowanie się ceny opcji waluowych wysawionych na EUR/PL: zwykłej opcji spzeaży, opcji spzeaży z baieą wejścia w ół oaz opcji spzeaży z baieą wyjścia w ół. ymulacja wyceny jes pzepowazona la okesu Czas wygaśnięcia opcji wynosi 6 miesięcy. Cena wykonania opcji wynosi 3,95 PL, a usalony poziom baiey jes ówny 3,85 PL. Rys. 14 jes ilusacją kszałowania się waości współczynnika hea ozpaywanych opcji spzeaży. Wpływ ceny insumenu bazowego oaz poziomu baiey na cenę opcji spzeaży z baieą wejścia w ół oaz opcji spzeaży z baieą wyjścia w ół jes pzesawiony na ys. 15 oaz na ys. 16.

12 Współczynnik hea opcji baieowych 37,1,1 cena [PL],8,6,4, aa op. zwykła op. z baieą wejścia op. z baieą wyjścia Rys. 13. szałowanie się ceny zwykłej opcji spzeaży, opcji spzeaży z baieą wejścia w ół oaz opcji spzeaży z baieą wyjścia w ół aa hea,1 -,1 -, -,3 -,4 -,5 -,6 -, op. zwykła op. z baieą wejścia op. z baieą wyjścia Rys. 14. szałowanie się waości współczynnika hea zwykłej opcji spzeaży, opcji spzeaży z baieą wejścia w ół oaz opcji spzeaży z baieą wyjścia w ół cena insumenu bazowego -,1 -, -,3 hea -,4 -,5 -,6 -,7 -,8 op. z baieą wejścia 1 op. z baieą wejścia Rys. 15. Wpływ poziomu baiey i ceny insumenu bazowego na kszałowanie się waości współczynnika hea opcji spzeaży z baieą wejścia w ół 1 <

13 38 Ewa Dziawgo,1,1,8 hea,6,4, cena insumenu bazowego op. z baieą wyjścia 1 op. z baieą wyjścia Rys. 16. Wpływ poziomu baiey i ceny insumenu bazowego na kszałowanie się waości współczynnika hea opcji spzeaży z baieą wyjścia w ół 1 < Z analizy kszałowania się waości współczynnika hea analizowanych opcji spzeaży wynikają nasępujące wnioski: współczynnik hea opcji zwykłej i opcji z baieą wejścia w ół jes ujemny, a opcji z baieą wyjścia w ół oani, waości współczynnika hea opcji z baieą wejścia w ół są mniejsze o waości współczynnika hea opcji zwykłej, wzos waości bezwzglęnej współczynnika hea wysępuje w syuacji, kiey cena insumenu bazowego zmieza o ceny wykonania, zbliżanie się ceny insumenu bazowego o poziomu baiey wpływa na spaek waości bezwzglęnej współczynnika hea opcji baieowych, niższy poziom baiey wpływa na wzos waości bezwzglęnej współczynnika hea ozpaywanych baieowych opcji spzeaży. Posumowanie Położenie poziomu baiey w sosunku o ceny wykonania jes isonym czynnikiem wpływającym na cenę opcji oaz na ważliwość ceny opcji na zmianę czasu. Jeśli w momencie zbliżania się ceny insumenu bazowego o poziomu baiey opcja jes ypu nie-w-cenie, o: wzasa/maleje waość bezwzglęna współczynnika hea opcji z baieą wejścia/wyjścia, mniejsza óżnica mięzy poziomem baiey i ceną wykonania pzyczynia się o wzosu waości bezwzglęnej współczynnika hea opcji z baieą wejścia i opcji spzeaży z baieą wyjścia oaz o spaku waości bezwzglęnej współczynnika hea opcji kupna z baieą wyjścia.

14 Współczynnik hea opcji baieowych 39 Jeżeli w momencie zbliżania się ceny insumenu bazowego o poziomu baiey opcja jes ypu w-cenie, o: maleje waość bezwzglęna współczynnika hea opcji z baieą wejścia i opcji z baieą wyjścia, mniejsza óżnica mięzy poziomem baiey i ceną wykonania wpływa na spaek waości bezwzglęnej współczynnika hea opcji z baieą wejścia oaz opcji z baieą wyjścia. Opcje baieowe są ańsze o opcji zwykłych, laego umożliwiają zmniejszenie koszów zabezpieczenia pze yzykiem niekozysnej zmiany ceny insumenu bazowego. W zależności o oczekiwań związanych z kszałowaniem się ceny insumenu bazowego w pzyszłości, pzez wyznaczenie opowieniego położenia baiey w sosunku o bieżącej ceny insumenu bazowego oaz ceny wykonania, można wpłynąć zaówno na cenę opcji baieowej, jak i na ważliwość ej ceny na zmianę czasu. Z uwagi na wahania ceny opcji oaz waości współczynnika hea, kóe wysępują w pzypaku kszałowania się ceny insumenu bazowego w pobliżu poziomu baiey, opcje baieowe są szczególnym insumenem ansakcji spekulacyjnych. Lieaua Dziawgo E. 3, Moele konaków opcyjnych, Wyawnicwo aukowe UM, ouń. Dziawgo E. 8, Opcje baieowe zazązaniu yzykiem [w:] Buczek., Fiela A. e., Rynek kapiałowy w Polsce i na świecie jak mąze inwesować, Oficyna Wyawnicza G, Waszawa. Dziawgo E. 13, Miay ważliwości ceny jenoczynnikowych opcji egzoycznych, CeDeWu, Waszawa. ull C.J., Opions, Fuues an Ohe Deivaives, Penice all Inenaional Inc. Jajuga. 7, Zazązanie yzykiem, Wyawnicwo aukowe PW, Waszawa. apiókowski A., Chaakeysyka, wycena i zasosowanie wybanych opcji egzoycznych, aoowy Bank Polski, Waszawa. aczyński W., Zwolankowski M. 1999, Inżynieia finansowa, Agencja Wyawnicza Place, Waszawa. Wilmo P., Deivaives. he heoy an Pacice of Financial Engineeing, John Wiley & ons, Chichese.

15 4 Ewa Dziawgo EA COEFFICIE OF E BARRIER OPIO ummay: he aicle pesens he issues connece wih baie opions: chaaceisic of he insumen, he influence of selece facos on he value of hea coefficien. he empiical aa inclue in he aicle ae concene wih he simulaions of he baie opions an sana opions on EUR/PL. eywos: call opion, pu opion.