Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska
Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B) Lolek postawił na 0, (C) Tola postawiła na pierwsze 12; W przypadku wygranej otrzymają: 1,35,2 żetony, odpowiednio. W przeciwnym przypadku tracą żeton. X A wygrana Bolka. X B wygrana Lolka. X C wygrana Toli. Umiemy określić rozkłady zmiennych X A,X B i X C. Jak ująć zależności między zmiennymi?
wielowymiarowe zmienne losowe Definicja Mówimy, że X = (X 1,..., X n ) jest wektorem losowym, jeśli X : Ω R n jest funkcją mierzalną na (Ω, F, P) (tzn. przeciwobraz każdego zbioru borelowskiego względem f należy do σ ciała F w przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P)) alternatywnie, wymagamy aby X 1,..., X n : Ω R były zmiennymi losowymi na (Ω, F, P)
Przykład Przykład 2 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B) Lolek postawił na 0, (C) Tola postawiła na pierwsze 12; Jeśli ktoś z nich wygra, to dostanie: 1,35,2 żetony, odpowiednio. W przeciwnym przypadku tracą żeton. X A wygrana Bolka. X B wygrana Lolka. X C wygrana Toli. Zapisz funkcję X = (X A, X C ) : Ω R 2.
Rozkład prawdopodobieństwa Definicja rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X = (X1,..., X n ) o wartościach w R n nazywamy rozkład prawdopodobieństwa P X = P (X 1,...,X n), określony na zbiorach borelowskich w R n wzorem P X (B) := P( X B) = P ( X 1 (B) ) ten rozkład nazywany jest też rozkładem łącznym zmiennych X 1,..., X n
Łączne rozkłady dyskretne Definicja Wektor losowy (X, Y ) nazywamy dyskretnym, jeśli istnieje przeliczalny zbiór atomów A R 2 taki, że P (X,Y ) (A) = P ((X, Y ) A) = 1 Jak podać rozkład łączny wektora dyskretnego? Wystarczy podać wszystkie wartości P (X,Y ) ({(x, y)}) = P (X = x, Y = y) dla (x, y) A (gdzie A zbiór atomów (X, Y )). Własności rozkładu zmiennych dyskretnych 1 P (X,Y ) ({(x, y)}) = P (X = x, Y = y) > 0 dla (x, y) A; 2 (x,y) A P (X,Y )({(x, y)}) = (x,y) A P (X = x, Y = y) = 1
Przykład 3 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (C) Tola postawiła na pierwsze 12; Jeśli Bolek wygra, to dostanie 1 żeton. Tola za wygrana dostaje 2 żetony. W przypadku przegranej tracą żeton. X A wygrana Bolka. X C wygrana Toli. Wektor (X A, X C ) ma rozkład dyskretny P ((X A, X C ) {( 1, 1), ( 1, 2), (1, 1), (1, 2)}) = 1 Podaj rozkład łączny (X A, X C )
Łączne rozkłady ciągłe Definicja Mówimy, że wektor losowy (X, Y ) ma rozkład ciągły, gdy istnieje gęstość, czyli funkcja f : R 2 R +, taka że dla dowolnego zbioru borelowskiego A zachodzi P (X,Y ) (A) = P ( (X, Y ) A ) = f (x, y) dx dy Aby podać rozkład łączny wektora o rozkładzie ciągłym wystarczy podać jego gęstość. Własności gęstości f 1 f (x, y) 0, dla (x, y) R 2 2 R f (x, y) dx dy = 1 2 A
Przykład: rozkład jednostajny / prawdopodobieństwo geometryczne Przykład 4 Jeśli A R 2 jest (mierzalnym/borelowskim) zbiorem, to prawdopodobieństwo geometryczne na zbiorze A zadaje rozkład ciągły z gęstością 1 λ(a) dla (x, y) A, f (x, y) = 0 dla (x, y) / A, nazywamy go również rozkładem jednostajnym na A (λ(a) to miara zbioru A)
Przykład łączny rozkład ciągły Przykład 5 Podaj rozkład łączny wektora (X,Y) równego współrzędnym punktu wybranego w sposób jednostajny z trójkąta na ilustracji poniżej.
Rozkłady brzegowe Definicja Jeśli (X, Y ) jest wektorem losowym, to rozkład zmiennej losowej X oraz rozkład zmiennej losowej Y nazywamy jego rozkładami brzegowymi
Rozkłady brzegowe Fakt Jeśli (X, Y ) ma rozkład dyskretny o skupiony na zbiorze A, wówczas rozkłady brzegowe (X, Y ) są dyskretne o rozkładach P X ({x}) = P (X = x) = P Y ({y}) = P (Y = y) = odpowiednio dla zmiennych X i Y. y:(x,y) A x:(x,y) A P (X = x, Y = y), P (X = x, Y = y)
Przykład 6 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (C) Tola postawiła na pierwsze 12; Jeśli Bolek wygra, to dostanie 1 żeton. Tola za wygraną dostaje 2 żetony. W przypadku przegranej tracą żeton. X A wygrana Bolka. X C wygrana Toli. Podaj rozkłady brzegowe (X A, X C ). Wektor X = (X A, X C ) ma rozkład łączny P (X A = 1, X C = 1) = 13 37, P (X A = 1, X C = 2) = 6 P (X A = 1, X C = 1) = 12 37, P (X A = 1, X C = 2) = 6 37 37,
Rozkłady brzegowe Fakt Jeśli (X, Y ) ma rozkład ciągły z gęstością f = f (X,Y ), wówczas rozkłady brzegowe są ciągłe z gęstościami f X (x) = f (x, y) dy, f Y (y) = f (x, y) dx, odpowiednio dla zmiennych X i Y. R R
Przykład: rozkład jednostajny / prawdopodobieństwo geometryczne Przykład 7 Wektor (X, Y ) ma rozkład jednostajny na trójkącie z ilustracji tzn. gęstość (X, Y ) jest dana wzorem f (x, y) = { 2 dla 0 1 x y 1, 0 dla pozostałych (x, y). Podaj rozkłady brzegowe wektora (X, Y ).
Czy rozkłady brzegowe jednoznacznie wyznaczają rozkład łączny? Przykład 8 Wyznacz rozkłady brzegowe wektora (X, Y ) o gęstości łącznej { 4xy dla 0 x 1, 0 y 1, f (x, y) = 0 dla pozostałych (x, y) i porównaj z wynikiem z poprzedniego zadania.
Czy rozkłady brzegowe jednoznacznie wyznaczają rozkład łączny? Przykład 8 Wyznacz rozkłady brzegowe wektora (X, Y ) o gęstości łącznej { 4xy dla 0 x 1, 0 y 1, f (x, y) = 0 dla pozostałych (x, y) i porównaj z wynikiem z poprzedniego zadania. Uwaga Znając tylko rozkłady brzegowe wektora (X, Y ) nie możemy wyznaczyć jego rozkładu łącznego.
Przypomnienie Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R R + zadaną wzorem F X (t) := P(X t).
Przypomnienie Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R R + zadaną wzorem F X (t) := P(X t). Definicja Dystrybuantą wektora losowego (X, Y ) nazywamy funkcję F (X,Y ) : R 2 R zadaną wzorem F (X,Y ) (s, t) = P(X s, Y t) = P ( (X, Y ) (, s] (, t] )
Przykład: rozkład jednostajny / prawdopodobieństwo geometryczne Przykład 9 Wektor (X, Y ) ma rozkład jednostajny na trójkącie z ilustracji tzn. gęstość (X, Y ) jest dana wzorem f (x, y) = { 2 dla 0 1 x y 1, 0 dla pozostałych (x, y). Podaj dystrybuantę wektora (X, Y ). Zrób to na dwa sposoby: sprytnie i korzystając z gęstości.
Dystrybuanta Twierdzenie dystrybuanta F = F (X,Y ) ma następujące własności: 1 F (s, t) jest niemalejąca względem każdego argumentu, 2 F (s, t) 0 jeśli min(s, t) (czyli s lub t dąży do ), 3 F (s, t) 1 jeśli min(s, t) (czyli s oraz t dążą do + ), 4 F jest prawostronnie ciągła, 5 jeśli s 1 s 2 oraz t 1 t 2 to F (s 2, t 2 ) F (s 1, t 2 ) F (s 2, t 1 ) + F (s 1, t 1 ) 0 i na odwrót: każda taka funkcja zadaje pewien rozkład
Fakt Jeśli rozkład wektora losowego (X, Y ) ma gęstość, to spełnia ona równość f (X,Y ) = 2 s t F (X,Y )(s, t)