Mkroekonometra 12 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk
Modele bnarne heterogenczność parametrów Heterogenczność stałej (model efektów stałych) lub warancj składnka losowego (model efektów losowych) można uznać za szczególny przypadek heterogencznośc parametrów modelu Rozluźnamy założene o tym, że każda osoba ma take same parametry funkcj użytecznośc Y Y Teraz parametry też są ndeksowane po (są różne dla różnych respondentów) = βx + ε t t t t ( Yt 0) = 1 > ; = 1,..., N ; t = 1,..., T mogą meć zadany rozkład w populacj / próbe Np. β MVN B, Σ β ( )
Modele bnarne heterogenczność parametrów Model parametrów losowych Gdy parametry mają rozkłady cągłe mówmy o modelu parametrów losowych β f ( β, Σ) Ne wszystke parametry muszą być losowe Parametry mogą być skorelowane (macerz Σ ne mus być dagonalna) Estymowany jest ne pojedynczy parametr, lecz np. średna warancja opsujące rozkład parametrów w próbe (ewentualne także korelacje) Możemy także zbudować model, w którym średne uzależnone są od jakchś zmennych objaśnających (np. cech respondenta) β ( f β+ γz, Σ) Neobserwowalna / obserwowalna heterogenczność
Modele bnarne heterogenczność parametrów Model parametrów losowych Dla wększośc rozkładów β f ( β+ zγ, Σ) można zoperacjonalzować następująco β = β+ zγ+γv v zmenne losowe o zadanym rozkładze (np. normalny, lognormalny, trójkątny, jednostajny), średnej zero znanej warancj nezależne v = v lub z autokorelacją t t= 1,..., T R jest macerzą dagonalną z parametram określającym słę autokorelacj v = Rv + u t t 1 t u zdefnowane jak nezależne v Γ macerz dolnotrójkątna lub dagonalna, z 1 na przekątnej, (taka, że ΓΓ'v = Σ) Jeśl w modelu ne ma korelacj pomędzy parametram losowym to ΓΓ' jest macerzą jednostkową, a v zawera warancje
Modele bnarne heterogenczność parametrów Model parametrów losowych Prawdopodobeństwo zaobserwowana określonych wyborów respondenta : v jest neobserwowalne, węc bezwarunkowe prawdopodobeństwo to: T ( )... ( ) Pr (,, ) Funkcja LL: T ( 1 X z v ) ( X z β ) L = Pr Y,..., Y,, = Pr Y,, T t t = 1 T ( ( ) ) T t, β zγ v X v gy ( t, Xβ v ) = gy + +Γ = t= 1 t= 1 L = E L v = g v Y X z β dv v t v t = 1 N T lnl= ln ( ) ( )... g v Pr Yt X, z, β dv = 1 v t = 1 Tej welokrotnej całk ne ma sę nestety jak pozbyć, w pochodnych też występuje analtyczna maksymalzacja raczej nemożlwa Metoda maksymalzacja symulowanej wartośc funkcj ML
Metoda maksymalzacj symulowanej wartośc funkcj ML Czasem funkcja ML jest zbyt skomplkowana, żeby analtyczne oblczyć jej wartość ( wartośc jej pochodnych) Np. parametry losowe, efekty losowe tp. welokrotne całk Wartośc takch funkcj można symulować Szacowane wartośc całek przez symulacje Np. parametr losowy Losujemy n różnych wartośc parametru z zadanego rozkładu Dla każdej z wylosowanych wartośc oblczamy wartość funkcj ML Berzemy średną, która jest wartoścą oczekwaną funkcj ML N T lnl= ln ( ) ( )... g v Pr Yt Xβ dv = 1 v t = 1 N R T 1 lnls = ln Pr ( Yt Xβ r) = 1 R r= 1 t = 1
Przykład opeka zdrowotna w Nemczech 1. Wczytaj projekt me.gerhealth.lpj 2. Skonstruuj model, w którym odbyce wzyty u lekarza (Y = 1(docvs > 0)) wyjaśnane jest przez stałą, wek, dochód, posadane dzec, lczbę lat edukacj byce w małżeństwe 3. Skonstruuj model ekwwalentny do modelu efektów losowych, wprowadzając heterogenczność odpowednch zmennych Porównaj wynk z modelem efektów losowych Dlaczego model konwerguje tak długo? MODEL ;... ; rpm ; fcn = <zmenna>(<oznaczene rozkładu>) ; pds = <lczba lub zmenna> (lub ; panel) $ n rozkład normalny t rozkład trójkątny u rozkład jednostajny l rozkład lognormalny o rozkład trójkątny zakotwczony w 0 g rozkład log gamma
Modele bnarne heterogenczność parametrów Model parametrów losowych Zezwolene na korelacje zmennych ; cor Wprowadzene zmennych objaśnających średne rozkładów losowych ; rpm = W celu wykluczena nektórych parametrów losowych z wyjaśnana ch średnch: MODEL ;... ; rhs = <var1>, <var2>,... ; rpm = <cvar1>, <cvar2>,... ; fcn = <var1(f) #10...>, <var2(f) #01...>,...
Kontrolowane symulacj w NLOGIT CALC; ran(<seed>) $ - ustala wartość zarna ; halton wymusza zastosowane lczb z cągu Haltona ; pts = <lczba> lczba losowań ; maxt = <lczba> maksymalna lczba teracj ; tlg = <lczba> ustala pozom tolerancj konwergencj dla gradentu ; tlb = <lczba> ustala pozom tolerancj konwergencj dla zmany wartośc parametrów ; tlf = <lczba> ustala pozom tolerancj konwergencj dla zmany wartośc funkcj LL TIMER $ wyśwetla czas estymacj model
Kontrolowane symulacj w NLOGIT Informacje pozwalające znaleźć przyczynę braku konwergencj, nne problemy (np. neodpowedno wyskalowane dane) ; output = 0 ne wyśwetla nformacj techncznych ; output = 1 wyśwetla wartośc startowe, maksymalną lczbę teracj, tolerancję konwergencj, algorytm optymalzacyjny ; output = 2 jak 1 + dodatkowo gradent ; output = 3 jak 2 + dodatkowo wartośc parametrów ; output = 4 jak 3 + dodatkowo welkość kroku Uwag Modele z heterogencznoścą parametrów zwykle wymagają węcej nż jednej obserwacj na respondenta, żeby dobrze dzałać pamętaj o uwzględnenu struktury panelowej Modele z heterogencznoścą parametrów trudnejsze w estymacj mogą wymagać zwększena maksymalnej lczby teracj Modele z heterogencznoścą wymagające symulacj dla ostatecznego modelu lczba drawów pownna wynosć co najmnej klkaset (1000+?) Przyjmjmy, że dla prac domowych wystarczy 100
Modele bnarne heterogenczność parametrów Model klas ukrytych Jeśl parametry mają rozkłady dyskretne mówmy o modelu klas ukrytych Zakładamy stnene J różnych typów (klas) parametrów β { β 1,..., βj} Prawdopodobeństwo warunkowe (pod warunkem przynależnośc do danej klasy) to: Pr ( Yt Xt, j) = Xtβj + ε t Zaś przynależność osoby do danej klasy jest losowa Ne wemy kto jest w jakej klase parametrów
Modele bnarne heterogenczność parametrów Model klas ukrytych Przynależność osoby do danej klasy jest losowa Prawdopodobeństwo przynależnośc do określonej klasy można zapsać jako exp( θ J j ) Fj = J Fj = 1 j= 1 exp θ ( j ) Przy czym jedna z klas jest referencyjna θ J = 0 Można też przynależność do danej klasy wyjaśnać obserwowalnym zmennym (cecham osób) Lczba klas ustalana jest przez badacza a pror F j = j= 1 J exp j= 1 exp ( zθ j j ) ( zθ j j )
Modele bnarne heterogenczność parametrów Model klas ukrytych Prawdopodobeństwo zaobserwowana określonego wyboru to Wybory są nezależne, węc warunkowe prawdopodobeństwo zaobserwowana ser T wyborów to A funkcja LL to po prostu J ( Yt Xt zt ) =Fj ( zjθj ) ( Yt βj ) Pr, Pr j= 1 J T Pr ( Y1,..., YT X, ) = ( ) Pr ( ) z Fj zjθj Yt βj j= 1 t = 1 N J T lnl= ln Fj ( zθ j j ) Pr ( Yt βj ) = 1 j= 1 t = 1 β ( β β ) ( ) I dalej estymacja (maksymalzacja LL po = 1,..., J θ= θ ) 1,..., θj 1, 0 normalne
Przykład opeka zdrowotna w Nemczech 4. Skonstruuj model klas ukrytych MODEL ;... ; lcm ; pds = <lczba lub zmenna> (lub ; panel) $ Ile różnych klas parametrów wykorzystać? Przetestuj różne możlwośc ; pts = <lczba> Dodaj zmenne objaśnające przynależność do klas ; lcm =... W jak sposób wybrać optymalną lczbę klas? AIC Możlwość nterpretacj wynków
Modele welomanowe heterogenczność parametrów Model parametrów losowych Model parametrów losowych można zastosować także w przypadku model welomanowych NLOGIT ;... ; rpl (lub RPLOGIT) ; fcn =... ; pds =... $ Inne opcje ; start =... ; tlg =... ; tlf =... ; tlb =... ; alg =... ; maxt =... ; pts =... ; halton ; output =... ; set
Modele welomanowe heterogenczność parametrów Model parametrów losowych Inne opcje ; lst ; keep =... ; prob =... ; CML: ; test: (or ; wald) ; rst = ; show model ; descrbe ; crosstab ; par ; effects: ; table =... ; covarance matrx (or ; prntvc) ; cluster =... ; robust ; pds =... ; correlated (=...) ; sdv =... ; fx ; rpl =... ; hfr =... ; ecm =... ; checkdata ; wtp =...
Modele welomanowe heterogenczność parametrów Model parametrów losowych Możlwe do zastosowana rozkłady c nestochastyczny β = β n normalny β = β + σv,v ~ N[0,1] s normalny skośny β = β + σv + λ w, v, w ~ N[0,1] l lognormalny β = exp(β + σv), v ~ N[0.1] z normalny ucęty β = β + σv, v ~ ucęty normalny (-1.96 to 1.96) u jednostajny β = β + σv, v ~ U[-1,1] f jednostronny jednostajny β = β + βv, v ~ jednostajny [-1,1] t trójkątny β = β + σv, v ~ trójkątny[-1,1] o jednostronny trójkątny β = β + βv, v ~ trójkątny [-1,1] d beta, dome β = β + σv, v ~ 2 beta(2,2) - 1 b beta, skalowany β = βv, v ~ beta(3,3) e Erlang β = β + σv, v ~ gamma(1,4) - 4 g gamma β = exp(β + σv), v = log(-log(u1*u2*u3*u4)) w Webull β = β + σv, v = 2(-logu).5, u~ U[0,1] r Raylegh β = exp(β (Webull)) p wykładnczy β = β + σv, v ~ wykłądnczy - 1 q wykładnczy, skalowany β = βv, v ~ wykładnczy x cenzurowany (z lewej) β = max(0, β (normalny)) m cenzurowany (z prawej) β = mn(0, β (normalny)) v exp(trójkątny) β = exp(β (trójkątny)) rozkład wartośc ekstremalnych I typu β = β + σv, v ~ standardowy rozkład Gumbela
Modele welomanowe heterogenczność parametrów Model klas ukrytych Model klas ukrytych dla model welomanowych NLOGIT ;... ; LCM (or LCLOGIT) =... ; pts = <no. of classes> $
Praca domowa ME.11 (grupy 2 lub 3-osobowe) 1. Skonstruuj najlepszy, Twom zdanem, model wyjaśnający wybory optymalnego kontraktu wywozu odpadów (projekt me.recyclng.lpj), który uwzględna neobserwowalną obserwowalną heterogenczność preferencj (model parametrów losowych lub model klas ukrytych) 2. Znterpretuj uzyskane wynk
Modele uporządkowane heterogenczność parametrów Model parametrów losowych Rozluźnene założena o stałośc parametrów funkcj wskaźnkowej Parametry zmennym losowym o zadanych rozkładach (estymowana średna warancja rozkładu) y Xβ β f ( β, Σ) = +ε ( t = X, β ) = (, α, Xtβ ) ( 1, α, Xtβ ) P y j F j F j Estymacja maksymalzacja symulowanej wartośc funkcj ML ORDERED;... $? model bez parametrów losowych wartośc startowe ORDERED;... ; pds =... ; rpm ; fcn =...? specyfkacja parametrów ;... $
Przykład opeka zdrowotna w Nemczech 5. Skonstruuj model, w którym ocena własnego stanu zdrowa (hstat) wyjaśnana za pomocą modelu efektów losowych modelu parametrów losowych Modele są ekwwalentne, choć metoda estymacj neco odmenna Losowe parametry ne muszą ogranczać sę do stałej Inne zmenne Inne rozkłady
Modele uporządkowane heterogenczność parametrów Model parametrów losowych Średne parametrów losowych można objaśnać za pomocą obserwowalnych charakterystyk respondenta y = Xβ +ε β f ( β+ z γ, Σ) ( t = X, β ) = (, α, Xtβ ) ( 1, α, Xtβ ) P y j F j F j '; rpm =...' lsta zmennych objaśnających średne parametrów losowych Parametry mogą być skorelowane '; cor' zezwala na korelacje parametrów losowych Macerz warancj-kowarancj parametrów losowych (Σ) ne mus być dagonalna Dodatkowo estymowane elementy macerzy dolnotrójkątnej pochodzącej z dekompozycj Choleskego Σ
Modele uporządkowane heterogenczność parametrów Model klas ukrytych Model klas ukrytych Parametry zmennym losowym o rozkładach dyskretnych Estymowany osobny parametr dla każdej z 'klas' preferencj Przynależność do klas probablstyczna (ne wadomo a pror który respondent należy do której klasy) Możlwa do wyjaśnana za pomocą charakterystyk respondenta y Xβ β { β, β,..., β } = +ε 1 2 ( t = X, β ) = (, α, Xtβ+ Xtδ ) ( 1, α, Xtβ+ Xtδ ) P y j F j F j K {,,..., } β β+ δ β+ δ β++ δ 1 2 K
Modele uporządkowane heterogenczność parametrów Model klas ukrytych Model klas ukrytych ORDERED;... $? model bez klas ukrytych wartośc startowe ORDERED;... ; lcm? =... zmenne objaśnające przynależność do klas ; pts =...? lczba klas ; pds =... ;... $ 6. Skonstruuj model, w którym ocena własnego stanu zdrowa (hstat) wyjaśnana za pomocą modelu klas ukrytych
Modele uporządkowane heterogenczność progów Herarchczny model wyborów uporządkowanych Idea prog prawdopodobne ne są take same dla wszystkch, a składnk losowy / efekty stałe / efekty losowe / parametry losowe mogą ne załatwać sprawy Zróbmy model, w którym prog będą zależały od obserwowalnych zmennych charakteryzujących respondenta Herarchczny model wyborów uporządkowanych (ang. herarchcal ordered probt)
Modele uporządkowane heterogenczność progów Herarchczny model wyborów uporządkowanych Dwe możlwe specyfkacje ( ) j = exp j + δz każdy ma nną stałą, ale tak sam wektor współczynnków j = exp( j + δz j ) każdy ma nną stałą nny wektor współczynnków α θ α θ Możlwy różny wpływ tej samej cechy na różne prog Może powodować problemy z uporządkowanem progów '; HO1 =...' specyfkacja 1 '; HO2 =...' specyfkacja 2 Lsta zmennych ne może zawerać stałej
Modele uporządkowane heterogenczność progów Herarchczny model wyborów uporządkowanych Dodatkowo możlwe wprowadzene neobserwowalnej heterogencznośc progów α 0 = 0 ( u ) α = α + exp α + + θ j, j 1 j j δz u N( 0,1) ORDERED;... ; pds =... ; rtm? model z losowym progam (random thresholds model) ; lmts =...? zmenne objaśnające średne progów? ; random effects prog wykorzystywać będą wspólne u_ ;... $ 7. Skonstruuj model, w którym ocena własnego stanu zdrowa (hstat) wyjaśnana za pomocą panelowego modelu progów losowych, z losowym parametram zmennym objaśnającym średne warancje parametrów losowych oraz średne progów losowych j
Modele lcznośc zdarzeń heterogenczność parametrów Model parametrów losowych Modele można zmodyfkować pozwalając aby parametry były zmennym losowym o zadanych rozkładach cągłych Model parametrów losowych β f ( β+ γz, Σ) β średne Z obserwowalne zmenne socjodemografczne (zmenne objaśnające średne) Σ macerz warancj-kowarancj (dagonalna lub pozwalająca na korelacje losowych parametrów) Dzała zarówno z modelem Possona jak ujemnym dwumanowym '; rpm' lub '; rpm =...' jeśl model ze zmennym objaśnającym średne '; fcn =...' specyfkacja losowych parametrów ch rozkładów '; cor' model ze skorelowanym parametram
Modele lcznośc zdarzeń heterogenczność parametrów Model klas ukrytych Modele można zmodyfkować pozwalając aby parametry były zmennym losowym o zadanych rozkładach dyskretnych Model klas ukrytych β { β, β,..., β } K 'typów' preferencj (klas) 1 2 Dzała zarówno z modelem Possona jak ujemnym dwumanowym '; lcm' lub '; lcm =...' jeśl model ze zmennym objaśnającym przynależność do klas '; pts =...' specyfkacja lczby klas Jak zawsze, modele z neobserwowalną heterogencznoścą dzałają znaczne lepej dla welu obserwacj na respondenta K '; panel' lub '; pds =...'
Modele lcznośc zdarzeń heterogenczność parametrów 8. Wczytaj projekt me.baltc.lpj 9. Skonstruuj model, w którym lczba wzyt nad morze (TRIPS), wyjaśnana jest przez stałą specyfczną dla kraju koszt podróży (TC_km) Przygotuj model parametrów losowych Przygotuj model klas ukrytych 2015-12-18 14:51:17