R n jako przestrzeń afiniczna

R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1 / 1

Definicja Niech V będzie podprzestrzenia R n, i niech p R n. Przestrzenia afiniczna przechodzac a przez p i równoległa do V nazwiemy zbiór E = p + V = {p + v : v V }. Przestrzeń liniowa V będziemy nazywać przestrzenia wektorów przestrzeni afinicznej E, zaś elementy E jej punktami. Wymiar afiniczny E to wymiar V. Przykład Niech p = (1, 3) R 2, zaś V = lin(2, 1). Przestrzeń afiniczna równoległa do V przechodzaca przez p to prosta p + V zbiór punktów postaci (1 + 2t, 3 + t) dla t R. W R 2 przestrzeniami afinicznymi 0-wymiarowymi sa zbiory jednopunktowe, wymiaru 1 wszystkie proste, wymiaru 2 cała przestrzeń R 2. Uwaga Zapis punktów E = p + lin(v 1,..., v k ) jako p + t 1 v 1 + t 2 v 2 + + t k v k gdzie v 1,..., v k sa liniowo niezależne, oraz t 1, t 2,..., t k R będziemy nazywać opisem parametrycznym E Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 2 / 1

Przykład W przestrzeni R 3 przestrzenia afiniczna równoległa do W = {(x 1, x 2, x 3 ) : x 1 + 2x 2 x 3 = 0} przechodzac a przez p = (2, 3, 4) jest płaszczyzna opisana równaniem x 1 + 2x 2 x 3 = 4. Ogólnie, jeśli podprzestrzeń V R n opisana jest układem równań liniowych a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = 0 jednorodnych U :....... to a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = 0 równoległa do niej przestrzeń afiniczna E przechodzaca przez p = (y 1, y 2,..., y n ) jest opisana układem równań liniowych postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 U :....... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b m Stałe b 1,..., b n wyznaczamy uwzględniajac to, że p E Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 3 / 1

Definicja Dla p, q R n przez wektor o poczatku p i końcu q będziemy rozumieć wektor q p oznaczać go przez pq. Iloczynem (przecięciem) dwóch przestrzeni afinicznych p + V oraz q + W R n jest pewna przestrzeń afiniczna w R n, badź zbiór pusty. Pierwszy przypadek zachodzi pq = v + w dla pewnych v V, w W. Wówczas przestrzenia wektorów (p + V ) (q + W ) jest V W. Jeśli przestrzenie afiniczne E, F R n maja tę sama przestrzeń wektorów to mówimy, że E i F sa wzajemnie równoległe. Oczywiście każda przestrzeń afiniczna jest równoległa do samej siebie. Przykład W R 2 proste (1, 1) + lin((1, 2)) i ( 1, 0) + lin((1, 2)) sa równoległe i różne. Podobnie wzajemnie równoległe sa przestrzenie afiniczne E 1 i E 2 w R 4 opisane równaniami E 1 : x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 3, E 2 : x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 4 / 1

Definicja Przez przestrzeń afiniczna wyznaczona przez punkty p 0,..., p k R n będziemy rozumieć najmniejsza przestrzeń afiniczna w R n, do której należa te punkty. Uwaga Tę przestrzeń można zapisać jako p 0 + lin( p 0 p 1,..., p 0, p k ). Np. punkty p 0 = (2, 5), p 1 = (1, 1) wyznaczaja prosta afiniczna L = p 0 + lin( p 0 p 1 ) = {(2, 5) + t( 1, 4) : t R}. Ponadto jeśli punkty p 0,..., p k R n należa do przestrzeni afinicznej E R n to ich kombinacja liniowa (jako wektorów R n ) nie musi należeć do E. Np. dla p 0 = (2, 5), p 1 = (1, 1) punkt p 0 + p 1 / L. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 5 / 1

Iloczyn skalarny w przestrzeni wektorów R n pozwala zdefiniować szereg pojęć w przestrzeni afinicznej R n : a) Odległość pomiędzy punktami p, q R n to długość pq. Oznaczamy ja zwykle d(p, q). Ma ona następujace własności: I) d(p, q) 0, przy czym d(p, q) = 0 p = q II) d(p, q) = d(q, p) (symetria) III) d(p, r) d(p, q) + d(q, r) (nierówność trójkata) Własności te czynia z przestrzeni R n z tak określona odległościa tzw. przestrzeń metryczna b) Niech podprzestrzenie afiniczne X, Y R n przecinaja się, i niech V, W będa odpowiednio ich przestrzeniami wektorów. Powiemy,że X, Y sa prostopadłe jeśli v w dla każdych dwóch wektorów v V, w W. Ostrzeżenie Tak zdefiniowana prostopadłość przestrzeni afinicznych nie jest zgodna ze szkolnym rozumieniem prostopadłości płaszczyzn w R 3. W naszym sensie żadne dwie płaszczyzny w R 3 nie sa prostopadłe. Natomiast sens prostopadłości prostych oraz prostej i płaszczyzny jest zgodny. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 6 / 1

Rzuty i symetrie prostopadłe Definicja Niech X będzie przestrzenia afiniczna w R n, zaś V jej przestrzenia wektorów. Niech p 0 oznacza pewien punkt X. Przekształcenie π X : R n R n zdefiniowane przez π X (p) = p 0 + P V ( p0 p),, dla p R n nazwiemy rzutem prostopadłym na X, zaś przekształcenie σ X : R n R n zdefiniowane przez σ X (p) = p 0 + S V ( p0 p) nazwiemy symetria prostopadła względem X. Przykład Niech l będzie prosta wyznaczona przez punkty p 0 = (1, 1, 1), q = (1, 2, 2) R 3. Zatem jej przestrzeń wektorów to V = lin((0, 1, 1)). Niech p = (2, 5, 6), czyli p0 p = (1, 4, 5). Zatem π l (p) = p 0 + P V ( p0 p) = (1, 1, 1) + 1 0+4 1+5 1 (0, 1, 1) = (1, 5 1 0 2 +1 2 +1 2 2, 5 1 2 ) Uwaga Możemy opisać rzut prostopadły bardziej geometrycznie: π X (p) to jedyny punkt przecięcia z X podprzestrzeni afinicznej p + V, gdzie V to przestrzeń wektorów X. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 7 / 1

Rzut π X (p) może być też zdefiniowany przez następujac a własność: jest to najbliższy do p punkt X, tzn., taki punkt x X, w którym odległość d(p, x) osiaga najmniejsza wartość. Przesunięciem o wektor v R n nazywamy przekształcenie R n w siebie, które każdemu punktowi p R n przyporzadkowuje punkt p + v. Przekształceniem afinicznym R n w siebie będziemy nazywać każde przekształcenie będace złożeniem przekształcenia liniowego i przesunięcia. Szczególnymi przypadkami przekształceń afinicznych sa rzuty i symetrie prostopadłe. Przekształcenie afiniczne f : R n R n można zawsze zapisać w postaci: f ((x 1,..., x n )) = (a 11 x + + a 1n x n + b 1,..., a n1 x 1 + + a nn x n + b n ). Np. przesunięcie R 2 o wektor (1, 3) ma postać (x 1, x 2 ) (x 1 + 1, x 2 + 3) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 8 / 1