Analiza Matematyczna II.1, ćwiczenia i prace domowe

Analiza Matematyczna II.1, ćwiczenia i prace domowe P. Wojtaszczyk 29 maja 2012 Ten plik będzie progresywnie modyfikowany. Będzie on zawierał 1. Zadanie omówione na ćwiczeniach 2. Zadania ćwiczebne do samodzielnego rozwiązywania. Niektóre z nich mogą być nieco trudniejsze. 3. Zadania domowe. Te zadania należy rozwiązać, rozwiązania napisać czytelnie i oddać początku ustalonych ćwiczeń. Jest bardzo prawdopodobne, że w pliku tym pojawią się błędy i literówki. Za poprawki będę bardzo wdzięczny 1 3.X.2010 Rozpatrujemy R d z normą. 2 Zad. 1. Zbadaj zbieżność następujących ciągów w R d 1. x n = ( 1 n, 1 n+1,..., 1 n+d 1 ) 2. x n = (a n, a n+1,..., a n+d 1 ) gdzie (a n ) n=1 to ciąg liczbowy zbieżny do a R. Zad. 2 Udowodnij, że ciąg x n = (x n 1,..., x n d ) zbiega (do a) wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego j = 1,..., d granica lim n x n j istnieje (równa się a j). Zad. 3. Udowodnij, że zbiór { x R d : x a 2 < r} dla ustalonych a R d oraz r > 0 jest zbiorem otwartym a zbiór { x R d : x a 2 r} jest zbiorem domkniętym. Zad. 4. Udowodnij, że zbiór {(x, y) R 2 : xy < 1} jest otwarty a zbiór {(x, y) R 2 : xy 1} jest domknięty. Zad. 5. Udowodnij, że zbiór { x R d : x j < α j } dla α j > 0 jest otwarty a zbiór { x R d : x j α j } jest domknięty. Zad. 6. f j (x) dla j = 1,..., d to funkcje ciągłe na R. Zbiór { x R d : d j=1 f j(x j ) 1} jest domknięty (może być pusty). Zadania ćwiczebne 1. { x R d : d j=1 x j = 0} jest domknięty ale nie otwarty. 1

2. Zbiór A =: {(x, y) R 2 : xy = 1} jest domknięty ale nie jest otwarty. Niech P : R 2 R będzie dane wzorem P (x, y) = x. Udowodnij, że P (A) R jest otwarty ale nie jest domknięty. 3. Udowodnij, że { x R d : d j=1 x j < 1} jest otwarty. 2 7.X.2011 Zad. 1. Które z poniższych zbiorów są zwarte 1. {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 2 1 + x 5 2 + x 7 3 1} 2. {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 2 1 + x 8 2 + x 14 3 1} 3. {(x, y) R 2 : 0 y f(x)} gdzie f(x) to funkcja ciągła na odcinku [a, b]. Zad. 2. f( x) =: f(x, y) =: xy. Znajdź (czy istnieje?) granica lim x2 +y 2 x 0 f( x). Zad. 3. Na B = { x x 1} określamy funkcję { f( x) dla x 0 oraz f z Zad. 2 f( x) = 0 dla x = 0 Czy f osiąga maximum na B? Jeśli tak to znajdź je. Zad. 4. Zbadaj granicę lim (x,y) 0 2xy x 2 + y 2. Zad. 5. Znajdź poziomnice funkcji f(x, y) = x 2 y 2 na R 2. Czy ta funkcja spełnia warunek Lipschitza? Zad. 6. Udowodnij, że 1. zbiór S = { x R n : x 2 = 1} jest zwarty; 2. wszystkie normy na R n są równoważne. Zadania ćwiczebne. 1. Jaka jest naturalna (i.e. maksymalna sensowna) dziedzina określoności funkcji f(x, y) = sin(x 2 + y 2 ) f(x, y) = rccos x x+y 2. Oblicz poziomnice funkcji f(x, y) = x + y f(x, y) = x + y x + y f(x, y) = min(x 2, y) 3. Znajdź granice (czy istnieją?) 2

sin xy lim (x,y) (0,a) x gdzie a to ustalona liczba rzeczywista oczywiście odpowiedź zależy od a. ln(x+e lim y ) (x,y) (1,0) x 2 +y 2 4. Niech x p = ( n j=1 x j p ) 1//p. Udowodnij, że dla 1 p < jest to norma na R n dla każdego x R n x p jest nierosnącą funkcją p dla 1 p s < i dowolnego x R n mamy x p n 1//p 1/ x s. 3 10.X.2011 Zad. 1. Jeżeli lim (x,y) (a,b) f(x, y) = A oraz lim x a f(x, y) = g(y) dla każdego y istnieje lim y b {lim x a f(x, y)} = A. Zad. 2. Dla x 2 y 2 f(x, y) = x 2 + y 2 + (x y) 2 istnieją wszystkie granice Zad. 3. Dla Nie istnieją granice 0 = lim {lim f(x, y)} x 0 y 0 0 = lim{ lim f(x, y)} y 0 x 0 0 = lim f(x, y) (x,y) (0,0) f(x, y) = (x + y) sin 1 x sin 1 y 0 = lim {lim f(x, y)} x 0 y 0 0 = lim{ lim f(x, y)} y 0 x 0 ale istnieje granica lim (x,y) (0,0) f(x, y) = 0. Zad.4. Funkcja f(x, y) = xy nie ma extremum lokalnego na R 2 Zad. 5. Jeżeli f jest funkcją ciągłą na R n gdzie n 2 oraz dla pewnych punktów mamy f( a) < 0 i f( b) > 0 to f ma nieskończenie wiele punktów zerowych. Zad. 6. Jeżeli f γ ( x) to dowolna rodzina funkcji 0 na R n spełniających warunke Lipschitza ze stałą 1 to φ(x) = inf γ f γ (x) spełnia warunek Lipschitza ze stałą 1. Zadania ćwiczebne 1. Dla (x, y) R 2 które we współrzędnych biegunowych ma postać r(cos θ, sin θ) gdzie r > 0 oraz 0 θ < 2π (czyli jest (0, 0)) określamy funkcję f(x, y) = sin 2θ. Udowodnij, że istnieją granice 0 = lim {lim f(x, y)} x 0 y 0 0 = lim{ lim f(x, y)} y 0 x 0 3

ale nie istnieje granica lim (x,y) (0,0) f(x, y) = 0. 2. Udowodnij, że tą samą własność ma funkcja f(x, y) = x 2 y 2 x 2 y 2 + (x y) 2 3. Niech f(x, y) = x 2 e (x2 y). Udowodnij, że dla każdego 0 a R 2 zachodzi lim t f(t a) = 0 ale istnieje ciąg wektorów x n R 2 takich, że lim n x n = oraz lim n f( x n ) =. 4. Niech. to dowolna norma na R n i a R n. Udowodnij, że funkcja f( x) = x a spełnia warunek Lipshitza w normie euklidesowej. 2 na R n. Niech A to dowolny podzbiór R n. Określamy odległość punktu x od zbioru A jako d A (x) := inf a A x a 2. Udowodnij, że d A (x) jest Lipshitzowska w normie. 2. Jaka jest jej stała Lipschitza? 4 14.X.2011 Zad.1. Czy poniższe odwzorowania f : R 2 R 2 są ciągłe, różnowartościowe i na : f(x, y) = (2x + 3y + 1, 7x y 3) f(x, y) = (2x + 3y, x 2 y 2 ). Zad. 2. f : [1, 2] [0, 2π) R 2 zadane jest wzorem f(x, y) = (x cos y, x sin y). Udowodnij, że f jest ciągłe, różnowartościowe ale f 1 nie jest ciągłe. Zad. 3. f : [1, 2] (0, 2π) R 2 zadane jest wzorem f(x, y) = (x cos y, x sin y). Udowodnij, że f jest ciągłe, różnowartościowe oraz f 1 jest ciągłe. Zad. 4. Znajdź odwzorowanie ciągłe i różnowartościowe f z R n na {x R n : x 2 < 1}. Zad. 5. Znajdź odwzorowanie ciągłe f z R n na {x R n : x 2 1}. Udowodnij, że takie odwzorowanie nie może mieć ciągłego odwrotnego. Zad. 6. Niech a R n takie, że a 2 = 2. Udowodnij, że zbiór {x R n : x 2 < 1} {x R n : x a 2 < 1} nie jest spójny. Udowodnij, że zbiór {x R n : x 2 < 1} {x R n : x a 2 < 1} { 1 2 a} 4

jest spójny. Udowodnij też, że zbiór {x R n : x 2 1} {x R n : x a 2 < 1} jest spójny. Zad. 7. A : R n R n jest liniowe. Udowodnij, że A(R n ) jest domknięte. Udowodnij, że jeżeli A(R n ) jest otwarte to A 1 istnieje i jest ciągłe. Zadanie do przemyślenie: Konstrukcja krzywej Peano Niech [0, 1] to zbiór Cantora. Kolejno udowodnij, że 1. Istnieje funkcja ciągła f ze zbioru Cantora na [0, 1]. 2. Istnieje funkcja ciągła F z iloczynu kartezjańskiego na [0, 1] 2. 3. Istnieje funkcja ciągła φ z na. 4. Każdą funkcję ciągłą φ : [0, 1] można przedłużyć do funkcji ciągłej φ : [0, 1] [0, 1]. 5. Istnieje funkcja ciągła P z [0, 1] na kwadrat [0, 1] 2 Zadania domowe: oddać należy w piątek 21 października na początku ćwiczeń. Zad. 1 Mamy funkcję f( x) = f(x, y) = e x x 2 +y 2. Dla θ [0, 2π) kładziemy a := (cos θ, sin θ) R 2. Dla jakich θ istnieje skończona granica lim t 0+ f(t a). Zad. 2 Odwzorowanie f : R 2 R 2 określamy wzorem {( ) xy x+y f(x, y) =, x+y x 3 +y gdy x + y 0 3 (0, 3) gdy x + y = 0. Znajdż wszystkie punkty nieciągłości odwzorowania f. Zad. 3. Q to zbiór wszystkich liczb wymiernych R. Udowodnij, że jeżeli zbiór A Q zawiera conajmniej dwa punkty to nie jest spójny. 5 17.X.2011 Zad. 1. Policz pochodne cząstkowe funkcji f(x, y) = x 4 + y 4 4x 2 y 2 oraz f(x, y) = ln(x + y 2 ). Zad. 2. Niech f(x, y) = 3 xy. Znajdź pochodne cząstkowe i pochodne kierunkowe w zerze. Czy f jest różniczkowalna w (0, 0)? To samo dla funkcji f(x, y) = 3 x 3 + y 3. Zad. 3. Niech f(x, y) = xy x2 y 2 x 2 + y 2 dla (x, y) (0, 0) oraz f(0, 0) = 0. Policzyć pochodne cząstkowe funkcji f. Zad.4. Policz pochodne cząstkowe f(x, y, z) = (2x + 3z) yz dla 2x + 3z > 0, oraz f(x, y, z) = x (yz) dla x, y > 0. Zad. 5. Udowodnij, że f(x, y) = ln(e x + e y ) spełnia f x + f y = 1. 5

Zad. 6. Dla funkcji f(x, y) = { 2xy x 2 +y 2 dla (x, y) (0, 0) 0 dla (x, y) = (0, 0) policz pochodne cząstkowe, zbadaj ciągłość i policz pochodne kierunkowe w (0, 0). Zad. 7 Niech f(x 1,..., x n ) będzie wielomianem. Udowodnij, że dla dowolnego i = 1, 2,..., n pochodna stopień f. 6 21.X.2011 f x i jest wielomianem stopnia mniejszego niż Zad. 1. Zbadaj różniczkowalność funkcji f(x, y, z) = x 2 + y 2 + y 2 na R 3 oraz f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 na x 1, x 2 > 0. Zad. 2. Znajdź macierz Jacobiego i zbadaj różniczkowalność odwzorowań F (x 1, x 2, x 3 ) = ( x3 x 2 1 +, ) x 1 x 2 x 3 x2 2 g(x) = (x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ) Zad. 3. Funkcję f(x, y, z) określamy { x 4 + y 4 + z 2 gdy x, y, z są niewymierne f(x, y, z) = 0 gdy choć jedno z x, y, z jest wymierne Wyznacz gdzie f jest ciągła a gdzie różniczkowalna. Zad. 4. F, G : R 2 R 2 są różniczkowalne. Udowodnij, φ := F, G jest różniczkowalną funkcją dwu zmiennych oraz jeżeli DF ( 0) = 0 i F ( 0) = 0 to Dφ( 0) = 0. Zad. 5. Jeżeli f : R n R oraz f x i są ciągłe to Zadania ćwiczebne df n (x, x,..., x) = dx k=1 f x k (x, x,..., x) 1. Funkcję f(x, y, z) określamy { x 3 + y 3 + z 2 gdy x, y, z są niewymierne f(x, y, z) = 0 gdy choć jedno z x, y, z jest wymierne Wyznacz gdzie f jest ciągła a gdzie różniczkowalna. 2. Dla jakich α 0 funkcja f( x) = ( n k=1 x2 k) α jest różniczkowalna w 0. 3. Znajdź macierz Jacobiego i zbadaj różniczkowalność funkcji f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 4. 6

4. Zbadaj różniczkowalność i policz pochodną gdy istnieje funkcji f(x, y) = xy określonej na R 2. Zadania domowe; oddać należy w przyszły piątek Zad. 1 f jest różniczkowalne na R 3. Niech φ(t) = f(t 2, sin t, e t ). Udowodnij, że φ jest różniczkowalna na R i policz pochodną. Zad. 2. Znajdź wszystkie odwzorowania liniowe F : R n R m takie, że F ( x) = o( x ). Zad. 3 Niech f(x 1, x 2 ) = 2x 2 1 + 5x 2 2 2x 1 x 2. Udowodnij, że odwzorowanie x Df( x) odwzorowuje R 2 na R 2 i jest różnowartościowe. 7 24.X.2011 Zad. 1 (Współrzędne biegunowe) Określamy Φ : [0, 2π) R + R 2 wzorem Φ(θ, r) = (r cos θ, r sin θ). Policz DΦ oraz wyznacznik DΦ. Zad. 2. (Współrzędne walcowe) Określamy Φ : [0, 2π) R + R R 3 wzorem Φ(θ, r, z) = (r cos θ, r sin θ, z). Policz DΦ oraz wyznacznik DΦ. Zad. 3.(Współrzędne sferyczne) Φ : [0, 2π) [0, π] R + R 3 wzorem Φ(θ, τ, r) = (r cos θ sin τ, r sin θ sin τ, r cos τ). Policz DΦ oraz wyznacznik DΦ. Zad. 4. A to ustalona macierz kwadratowa. Określamy F (x) = Ax oraz f(x) = x, Ax. Policz DF oraz Df. Zad. 5. f(x, y) = (x y, x 2 y 2 ). Znajdź punkty krytyczne. Zad. 6. Niech F (x, y) = (e (x,y), ln (x, y) ) Znaleźć DF oraz wszystkie punkty krytyczne. Zadania ćwiczebne: 1. Niech F : R 3 R 3 zadane wzorem F (x, y, z) = (e x + e y, x 2 + z, sin z). Znajdź wszystkie punkty krytyczne odwzorowania F Φ gdzie Φ to współrzędne walcowe z zadania 2. (Ostrzeżenie Liczenie na piechotę może być kłopotliwe.) 2. A to ustalona macierz 2 2 a F (x, y) = ( x 2 ) y x 4 + y 2, 2 ex y 2. Znajdż D(F A) oraz D(A F ) w punkcie (1, 1). 8 28.X.2011 Zad. 1. Niech A = {x R n do A w punkcie a. : x 2 1}. Dla a A znajdź wektory styczne 7

Zad. 2. Udowodnij, że krzywa (ae t cos t, ae t sin t, ae t ) t R przecina każdą tworzącą stożka x 2 + y 2 = z 2 pod tym samym kątem. Zad. 3. Znajdź ekstrema lokalne funkcji f(x, y, z) = x 2 + 2y 2 + z 2 2x + 4y 6z + 1 na R 3. Zad. 4. Znajdź ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = xy ln(x 2 + y 2 ) na R 2 \ (0, 0). Zad. 5. Znajdź ekstrema lokalne funkcji na R 2. Zadania ćwiczebne f(x, y) = x 2 xy y 2 1. Niech f(x) = x sin 1 x w punkcie x = 0. oraz f(0) = 0. Znajdź wektory styczne do wykresu f 2. Niech f(x, y) = rctan(x 2 + y 2 ). Znajdź wektory styczne do wykresu f w każdym punkcie. 3. Niech f(x, y) = x 2 + y 2. Znajdź wektory styczne do wykresu f w każdym punkcie. 4. Znajdź ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = e x2 y 2 (ax 2 + by 2 ) na R 2 gdzie a, b > 0 to ustalone liczby. Uwaga: rozwiązanie może zależeć od a i b 9 4.XI.2011 Zad. 1. Niech f(x, y) = y 2 + 2x 4 3yx 2. 1. Udowodnij, że dla każdego v R 2 funkcja g v (t) = f(t v) ma w zerze minimum lokalne. 2. Udowodnij, że funkcja f nie ma w (0, 0) minimum lokalnego. 3. Znajdź inf{f(x) : max x, y 1}. Zad. 2. Znajdź infimum i supremum funkcji f(x, y, z) = (x+y+2z)e (x2 +y 2 +z 2 ) na R 3. Zad. 3. Znajdź maksimum i minimum funkcji f(x, y) = sin x + cos y + cos(x y) na zbiorze 0 x, y π 2 8

Zadania domowe Należy oddać w piątek 18 listopada. Są to zadania raczej trudne więc radzę zacząć wcześniej. 1. Niech f(x, y) = x 2 xy + y 2. Znajdź najmniejszą i największą wartość (i gdzie są osiągane) funkcji f na zbiorze x + y 1 na zbiorze x 2 + y 2 1. 2. Udowodnij, że funkcja f(x, y) = (1 + cos x) y 2 ma nieskończenie wiele lokalnych maksimów i żadnego lokalnego minimum. 3. Znajdź Czy to infimum jest osiągane? 10 7.XI.2011 inf{(x + y) 2 4 ln x 10 ln y : 0 < x, y}. Zad. 1. Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) = exp(x+2y+4) w punkcie ( 2, 1, 1). Jaki jest wektor normalny do tego wykresu w tym punkcie? Zad. 2. Znajdź wszystkie punkty w których płaszczyzna styczna do wykresu z = x 2 + xy 8x 5 jest prostopadła do wektora (1, 1, 1). Zad. 3. Znajdź wszystkie punkty na powierzchni z = x 2 +y 2 że płaszczyzna styczna w tym punkcie przechodzi przez punkt (1, 1, 0). Zad. 4. Znajdź hessjan funkcji 1. f(x, y) = x 2 + 2y 2 3z 2 + xy 2x + 1 2. f(x, y) = sin x + cos 2 y 3. f(x, y) = e x sin y + e x+y Wypisz konkretnie wzór Taylora w (0, 0) dla każdej z tych funkcji do drugiej pochodnej czyli wypisz f(x) = f(0, 0) + Df(0, 0)x + 1 2! D2 f(0, 0)x 2 + R(x). Zadania ćwiczebne: 1. Wypisz wzory Taylora do drugiej pochodnej dla funkcji jednej zmiennej e x oraz sin x, wstaw te wzory do definicji funkcji 3. i zobacz, że otrzymasz ten sam wzór co powyżej. 2. Przypomnienie z GAL-u: Zbadaj dla jakich parametrów µ, a R poniższe macierze są > 0, 0, < 0, 0 czy nieokreślone: 1 2 µ 2 1 0 µ 0 1 ; 1 µ 1 0 1 1 2µ 0 0 0 1 + µ ; µ µ µ µ a 0 µ 0 1 9

11 14.XI.2011 Zad. 1. Znajdź punkty krytyczne i zbadaj czy są tam extrema lokalne i jakie f(x, y) = 3x 4 2 3 y3 + 2x 2 y 2x 2 + y 2. Zad. 2. Punkt A należy do wykresu y = x 2 a B należy do wykresu y = x 6. Znajdź takie punkty, że ich odległość jest najmniejsza. 12 18.XI.2011 Zad. 1. Omówienie zadań z kolokwium należy je wszystkie umieć rozwiązywać. Zad. 2. Znajdź punkty krytyczne i zbadaj czy są tam extrema lokalne i jakie Zad. 3. Udowodnij, że f(x, y) = x 3 y 3x 2 y + y 2. f(x, y) = 2(1 e 2y + x 2 ) 3 3(1 e 2y + x 2 ) 2 24x 2 e 2y ma jeden punkt krytyczny. Zad. 4. Wypisz wielomian Taylora T 2 (x, y) stopnia 2 funkcji f(x, y) = e x sin y wokół (0, 0). Udowodnij, że dla x, y < δ 1 4 zachodzi f(x, y) T 2 (x, y) < δ 3. Zad. ćwiczebne: W zadaniu 3. udowodnij, że w tym punkcie krytycznym jest maksimum lokalne. Udowodnij też że f nie jest ograniczone ani z dołu ani z góry. Zadania domowe do zrobienia na przyszły piątek 25 listopad. Zad. 1. Wyznaczyć kres dolny odległości punktu (1, 1, 2) od zbioru {(x, y, z) : xy + z 2 = 0}. Zad. 2. Znaleźć punkty krytyczne i zbadadać extrema dla f(x, y) = e x2 y (5 2x + y). Zad. 3. Funkcja f jest klasy C 2 na R 2. Określamy g(t) = f(cos t, sin t). Znajdź g (t). 13 21.XI.2011 Zad. 1. Funkcja f : A R gdize A = {(x, y) : x, y > 0} jest różniczkowalna i spełnia tożsamościowo równanie xd 1 F + 2yD 2 f = 0. Udowodnij, że f(x, y) = φ( x2 y ) dla pewnej funkcji różniczkowalnej jednej zmiennej φ. Zad. 2. Znależć wszystkie macierze A, n n takie, że dla dowolnej funkcji n zmiennych zachodzi n (Di 2 f) A = i=1 10 n Di 2 (f A). i=1

Zad. 3. Niech f : R R będzie określone f(x) = 1 + ln(1 + e x ). Udowodnij, że dla dowolnych x, y R, x y mamy d(f(x), f(y)) < d(x, y) i że f nie ma punktu stałego. Zad. 4. Jeżeli (X, d) zwarta, metryczna a φ : X X dla dowolnych x y spełnia d(φ(x), φ(y)) < d(x, y) to φ ma punkt stały. Zad. 5. Podaj przykład odwzorowanie φ : X X, (X, d) zwarte, spełniającego d(φ(x), φ(y)) d(x, y) ale nie mającego punktu stałego. Zad. 6. Niech T : R 2 R 2 będzie odwzorowaniem liniowym zadanym macierzą [ a a a a Udowodnij, że istnieje a > 0 takie, że T jest zwężające w normie euklidesowej ale nie jest zwężające w normie (x, y) 1 = x + y. 14 25.XI.2011 Zacznijmy od definicji: Zbiór A R n jest wypukły jeżeli dla a, b A oraz λ [0, 1] wektor λ a + (1 λ) b A. Funkcja określona na zbiorze wypukłym A, f : A R jest wypukła jeżeli dla a, b A oraz λ [0, 1] mamy ]. f(λ a + (1 λ) b) λf( a) + (1 λf( b). /Sciśle wypukła jeżeli <. Zad. 1 Udowodnij, że kula w dowolnej normie jest wypukła. Zad. 2. {(x, y) R 2 : xy 1} jest wypukły udowodnij, nie używając następnego zadania. Zad. 3. Jeżeli A R n wypukłe i f : A R wypukłe to {( x, t) R n+1 : x A oraz t f( x)} jest wypukłe. Zad. 4. Jeżeli A R n wypukłe i otwarte oraz f : A R jest klasy C 2 to f jest wypukła wtedy i tylko wtedy gdy H f ( x) 0 (ścisle wypukła wtedy i tylko wtedy gdy H f ( x) > 0) dla każdego x A. Zad. 5. Jeżeli A R n wypukłe i otwarte oraz f : A R jest ściśle wypukła i klasy C 2 to f ma co najwyżej jedno minimum lokalne a 0 i jeśli je ma to jest ono minimum globalnym czyli dla każdego a A a a 0 mamy f( a) > f( a 0 ). Zad. 6. f(x, y) = (x + y) 2 4 ln x 10 ln y jest ściśle wypukła na x, y > 0. Zadania domowe: do zrobienia na przyszły piątek. 1. Niech. to norma na R n. Udowodnij, że funkcja f( x) = e x 2 jest wypukła na R n. 2. Niech f : R n R będzie wypukłe i klasy C 2. Udowodnij, że zbiór lokalnych minimów funkcji f jest wypukły (może być pusty). 3. Mówimy że f : R n R jest jednorodna stopnia k = 0, 1,... jeżeli dla wszystkich x R n i t R zachodzi f(t x) = t k f( x). Niech f będzie klasy C 1 na R n. Udowodnij 1, że f jest jednorodna stopnia k wtedy i tylko wtedy gdy dla wszystkich x R n x 1 D 1 f( x) + + x n D n f( x) = kf( x) 1 Wiem, że o tym mówiliśmy na ćwiczeniach ale tak nie do końca więc proszę zrobić. 11

15 28.XI.2011 Zad. 1. Znajdź równanie stycznej do elipsy x2 2 + y2 3 = 1 w punktach ( 1 2, 3 2 ) oraz ( 1 2, 3 2 ). Zad. 2. Udowodnij, że istnieje dokładnie jedna funkcja y(x) na R spełniająca równanie y + 1 2 sin y x = 0. Udowodnij, że jest ona różniczkowalna i rosnąca. Zad. 3. Znajdź y i y przy x = 0 gdy Zad. 4. Obliczyć pochodne z x 16 2.XII.2011 Zad. 1. Dane równania Znajdź dx dy dz oraz dz. Zad. 2. Dane równania e 2x cos y + e y cos x = 2. oraz z y w punkcie (1, 1, 1) gdy e x+y ln(x + y + z 2) 2x + y + z = 0. x + y + z = 0 x 2 + y 2 + z 2 = 1. 3x 2 y + t 2 x ty 2 = 3 tx 2 + xy 2 2t 2 y = 0 w otoczeniu (1, 1, 1). Oblicz x (1) i y (1) Zad. 3. Mamy u 3 3(x + y)u 2 + z 3 = 0. Znajdź Du. Zad. 4. A R n otwarte, f 1,..., f n : A R są klasy C 1, istnieje φ : R n R klasy C 1 takie, że Dφ(x) 0 w każdym punkcie oraz φ(f 1 ( x),..., f n ( x)) = 0 dla każdego x A. Udowodnij, że jakobian odwzorowania (f 1,..., f n ) w każdym punkcie jest równy 0. Zad. 5. Czy równanie y sin x + x sin y = 0 zadaje rozmaitość w R 2? Zadania domowe na następny piątek. 1. Znajdź równanie płaszczyzny stycznej do x+y+z = e z w punkcie (1, 0, 0). 2. Znajdź wszystkie punkty w których prosta styczna do okręgu jest równoległa do osi x-ów. x + y + z = 0 x 2 + y 2 + z 2 = 1. 3. Udowodnij, że w pewnym otoczeniu punktu (2, 1, 1) równanie xy = 2 + z ln y wyznacza funkcję y = y(x, z) klasy C 1 i znajdź y x (2, 1). 12

17 5.XII.2011 Zad. 1. Udowodnij, że równanie z 3 xyz + y 2 = 16 zadaje funkcję z = z(x, y) dla x > 0, y < 0. Zad. 2. Czy następujące zbiory są rozmaitościami? Jeśli nie czy można wyrzucić skończoną ilość punktów (i jakie) aby stały się rozmaitościami? S = {(x, y, z) : x + y + z = 0 i x 2 + y 2 = 1} S = {(x, y, z) : x 2 + z 2 = 1 = y 2 + z 2 } Zad. 3. Udowodnij, że równanie x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 xyz = 0 dla x, y, z > 0 zadaje rozmaitość. Znajdź równanie płaszczyzny stycznej do tej rozmaitości w punkcie ( 1 4, 4 1 3, 1 8 3). Zad. 4. Udowodnij, że równanie dla z 0 zadaje rozmaitość. 18 9.XII.2011 x 2 + y 2 + 3z 2 = xy + 6z 1 3 Zad. 1. f(x, y) jest funkcją ciągłą w (x, y) < δ i klasy C 1 w 0 < (x, y) < δ oraz pochodne cząstkowe f f x (x, y) i y (x, y) mają w (0, 0) granice. Udowodnij, że f jest klasy C 1 w (x, y) < δ. Zad. 2. Udowodnij, że zbiór {(x, y, z) : x 2 + y 2 + 3z 2 = xy + 6z 1//3 i z 0} {(0, 0, 0)} jest rozmaitością. Zad. 3. Rozpatrzmy odwzorowania z R w R 2 ψ 1 (t) = (t cos t, t sin t) ψ 2 (t) = t(t 2) 2 ( cos(t(t 2) 2 ), sin(t(t 2 2 )) ) ψ 3 (t) = t(t 2 4t + 5) ( cos(t(t 2 4t + 5)), sin(t(t 2 4t + 5) ) Dla których odwzorowań ψ i ((0, )) jest rozmaitością w R 2. Zadania domowe do oddania w piątek 16 grudnia na początku ćwiczeń. Zad. 1. Znajdź wektor o normie jeden prostopadły do rozmaitości zadanej równaniem x 2 + y 2 + 3z 2 = xy + 6z 1 3 w punkcie (0, 3, 1). Zad. 2. Udowodnij, że równania 2 = x + y + z 1 = x 2 + y 2 z 2 13

zadają rozmaitość M. Znajdź wszystkie punkty a M że prosta styczna do M w punkcie a nie przecina płaszczyzny z = 0. (Wsk. Rozważ przypadek gdy w otoczeniu a M rozmaitość to wykres (x(z), y(z), z).) Zad. 3. Dla jakich α R równanie wyznacza rozmaitość? 19 12.XII.2011 xy 2 + y 2 z 3 = α Zad. 1. Znajdź extrema lokalne funkcji f(x, y) = x 3 + y 3 pod warunkiem x + y 2 = 0 i x 0, y 0. Zad. 2. Znajdź extrema funkcji f(x, y, z, t) = xyzt na zbiorze S = {(x, y, z, t) : x + y + z + t = c, x 0, y 0, z 0, t 0}. Zad. 3. Na elipsoidzie x 2 + y 2 + 4z 2 = 8 znajdź punkt najdalszy od (0, 0, 3). Zad. 4. Znajdź extrema lokalne funkcji f(x, y) = x 2 + y 2 pod warunkiem x 3 + y 3 = 16. 20 16.XII.2011 Zad. 1. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = x 2 + y 2 x y + 1 na zbiorze x 2 + y 2 1. Zad. 2. Znajdź extrema lokalne funkcjif(x, y, z) = x + y + z pod warunkiem x 2 y 2 = 1 i 2x + z = 1. Zad. 3. A = {(x, y, z, t) R 4 : x 2 + y 2 1 i z 2 + t 2 1}. Znajdź max f na A. Zad. 4. f(x 1,..., x n ) = n j=1 x2 j. Znajdź supremum f pod warunkiem x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x n a n = 1 gdzie a i > 0 dla i = 1, 2,..., n. Zad. 5. Są ustalone liczby dodatnie α i dla i = 1, 2,..., n oraz a. Niech f(x 1,..., x n ) = x α1 1 xα2 2 xαn n. Znajdź max f pod warunkiem x 1 +x 2 + +x n = a oraz x i > 0 dla i = 1, 2,.... Zadania domowe. Oddać należy w poniedziałek 2 stycznia na początku ćwiczeń. Zad. 1 Namiot bez podłogi ma kształt cylindra ze stożkowatym dachem (wierzchołek stożka jest nad środkiem) ma ustaloną objętości V. Jakie muszą być wymiary namiotu, żeby potrzeba było jak najmniej materiału? Zad. 2. Na elipsie x2 4 + y2 9 = 1 znajdź punkty najbliższe i najdalsze od prostej 3x + y = 9. Niech p będzie punktem najdalszym. Podaj wektor prostopadły do tej elipsy w punkcie p. Zad. 3. Kontener w kształcie prostopadłościanu otwarty od góry ma powierzchnię 16m 2. Znaleźć wymiary by miał jak największą pojemność. 14

21 19.XII.2011 Zad. 1. Opisać wszystkie σ-ciała na zbiorze skończonym. Zad. 2. Opisz σ-ciało na R generowane przez odcinki 1. (n, n + 1) dla n Z 2. [n, n + 1] dla n Z Zad. 3. Znajdź miarę Lebesgue a klasycznego zbioru Cantora. Zad. 4. Udowodnij, że na σ-ciele opisanym w Zad. 2.p.1 istnieje miara µ spełniająca µ((n, n + 1)) = 2 n. Ile jest takich miar? Policz miary µ((0, )) oraz µ((0, ) \ Z). Zad. 5. Dane jest σ-ciało F podzbiorów zbioru X. Dla A X określamy µ (A) = inf {µ(b) : A B oraz B F} Udowodnij, że µ jest miarą zewnętrzną. Zadania ćwiczebne: 1. Policz miarę Lebesgue a zbioru liczb odcinka [0, 1] które w rozwinięciu dziesiętnym nie mają cyfry 2. 1 2. Odcinek [0, 1] dzielimy na trzy odcinki: środkowy o długości 10 całego odcinka a lewy i prawy o tej samej długości czyli 9 20 długości całego odcinka każdy i z odcinka wyrzucamy otwarty środkowy odcinek. Pozostają dwa odcinki domknięte i z każdym robimy j.w. Zostają cztery itd. Policzyć miarę Lebesque a otrzymanego zbioru Cantora czyli przecięcia kolejnych zbiorów. 3. Udowodnij, że rodzina sum skończonych lewostronnie otwartych, prawostronnie domkniętych przedziałów prostej R (skończonych lub nieskończonych) jest ciałem zbiorów. Udowodnij, że σ-ciało generowane przez tą rodzinę to zbiory borelowskie. 4. Rozpatrz miarę Lebesque a na σ-ciałach opisanych w Zad. 2. Nazwijmy ją µ. W obu przypadkach policz µ ({π}). 5. Niech µ będzie dowolną miarą z Zad. 4. Policz µ ({ 2, 3}) 22 2.I.2012 Wesołych /Swiąt Zad. 1. Podaj przykłady zbiorów A = B p.w. takich, że 1. A domknięte a b otwarte 2. A gęsty B nigdziegęsty Zad. 2. Podaj przykład zbioru A R o mierze dodatniej takiego, że żaden zbiór B = A p.w. nie zawiera odcinka. Zad. 3 A k L(R n ) takie, że λ n (A i A j ) = 0 dla i j. Udowodnij, że λ n ( k=1 A k) = k=1 λ n(a k ). 15

Zad. 4. Każdy podzbiór osi x-ów należy do L(R 2 ). Zad. 5. Pokaż że są borelowskie i policz miarę zbiorów ( A = n 3 n, n + 2 n] B = n=1 n=1 [ ] n n, n n + 1 ln(n+1) \ Q Zad. 6. Pokaż że borelowski i policz miarę zbioru {(x, y) R 2 : 0 x < 1, 0 y < x 2 }. Zad. 7. f jest funkcją z [0, 1] w R i spełnia warunek Lipschitza. Udowodnij, że jej wykres {(x, f(x)) : x [0, 1]} ma dwuwymiarową miarę Lebesguea zero. Zad. 8. Podaj przykład funkcji ciągłej f : [0, 1] [0, 1] oraz zbioru miary zero takiego, że f( ) ma miarę > 0. O tym zaczęliśmy mówić pod koniec ćwiczeń więc oto szkic rozwiązania: Zbiór to zbiór Cantora. Dla dowolnego odcinka I oznaczmy przez C(I) środkowy odcinek otwarty długości 1 3 długości I oraz przez c(i) środek C(I). Jak wiemy zbiór Cantora powstaje jako = n=1 n gdzie 1. 1 to odcinek [0, 1] \ C([0, 1]), stąd 1 = D 1 1 D 1 2 są to odcinki domknięte rozłączne. 2. Kolejne zbiory n konstruujemy indukcyjnie; jeżeli n = 2 n to odcinki domknięte rozłączne to D n j n+1 = 2 n j=1 ( D n j \ C(D n j ) ). Równolegle z tą konstrukcją konstruujemy ciąg funkcji ciągłych na [0, 1] 1. f 0 (t) = t j=1 Dn j gdzie 2. f 1 = c(c([0, 1]) na wyrzuconym odcinku C([0, 1]), f 1 (0) = 0, f 1 (1) = 1 a poza tym liniowa i ciągła. 3. Jak mamy f n to budujemy f n+1 jak następuje Na [0, 1] \ n, f n+1 = f n. Na C(D n j ) f n+1 jest stała i równe jest c(f n (C(D n j ))). Na każdym odcinku zawartym w n+1 funkcja f n+1 jest liniowa, razem z poprzednimi warunkami ma być ciągła i f n+1 (0) = 0 i f n+1 (1) = 1. Trzeba sprawdzić, że funkcje f n są rosnące i tworzą ciąg jednostajnie zbieżny. Ich granica to funkcja f i f jest ciągła, rosnąca i f(0) = 0, f(1) = 1 czyli f([0, 1]) = [0, 1]. Widać,że f jest stała na każdym odcinku rozłącznym ze zbiorem Cantora funkcja jest stała. Takich odcinków jest przeliczalnie wiele czyli zbiór f([0, 1]\ ) jest przeliczalny a więc ma miarę zero. Stąd λ 1 ( ) = 1. Zadania ćwiczebne. 16

1. Znajdź miarę zbioru {(x, y) : 0 x, oraz y < e x }. 2. A R i λ 1(A) = 0. Niech Udowodnij, że λ 2 (B) = 0. B = {(x, y) R 2 : x A oraz y < 1} R 2. 3. Niech A L(R) i λ 1 (A) > 0. Udowodnij, że istnieje para punktów x, y A, x y taka, że x y jest niewymierne. 4. P to przedział domknięty zawarty w R n a A P jest zbiorem domkniętym. Udowodniuj, że jeżeli λ n (A) = λ n (P ) to A = P. 5. {f n } n=1 to ciąg funkcji ciągłych na [0, 1]. Udowodnij, że zbiór x [0, 1] takich, że ciąg f n (x) jest zbieżny jest zbiorem mierzalnym. Zadania domowe należy oddać w poniedziałek 9 stycznia. Zad. 1. Policz λ 1 (A) gdzie A = [n, n + 2 n ] \ [2n 3 n, 2n + 3 2n ]. n=1 n=1 Czy A jest zbiorem F σ? Zad. 2. Niech A [a, b] będzie zbiorem o mierze dodatniej. Dla t R określamy funkcję φ(t) = λ 1 (A (, t]). Udowodnij, że jest ona ciągła. Zad. 3. A, B L(R) i λ 1 (A) = 0 a λ 1 (B) <. Niech C = A B R 2. Udowodnij, że λ 2 (C) = 0. 23 9 stycznia 2012 Zad. 1. Opisz wszystkie funkcje mierzalne względem σ-ciała generowanego przez odcinki (n, n + 1) gdzie n Z. Zad. 2. Udowodnij, że funkcja charakterystyczna zbioru A R jest mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy zbiór A jest mierzalny. Zad. 3. Udowodnij, że funkcje f(x) = f(x, y) = n=1 n=1 n[x] 1 + n 5 [x] 2 n[xy] 1 + n 3 [x 2 + y 2 ] są mierzalne. Zad. 4. f n (x, y) = e n x2 y. Udowodnij, że ciąg f n jest λ 2 -p.w. na R 2 zbieżny do zera. Zad. 5. Znajdź funkcję ciągłą g na R taką że ciąg funkcji { e n sin2n x 1 dla x 0 f n (x) = 0 dla x = 0 17

zbiega do g na R λ 1 -p.w. Zad. 6. f n f p.w. na R oraz istnieje g takie, że dla każdego n mamy f n < g p.w. Udowodnij, że f g p.w. Zad. 7. f to funkcja na (0, 1) która w każdym punkcie ma pochodną. Udowodnij, że ta pochodna f jest funkcją mierzalną. Zad. 8. f to funkcja rosnąca na R. Udowodnij, że f jest mierzalna. Zadania ćwiczebne 1. Proszę o tym pomyśleć to jest przydatny fakt Niech (X, F, µ) to przestrzeń z miarą (wystarczy myśleć o R n i mierze Lebesgue a) a (f n ) n=1 to ciąg funkcji na X taki, że ɛ>0 Aɛ F : µ(x \ A ɛ ) < ɛ i x Aɛ f n (x) f(x). Udowodnij, że f n f µ-p.w. 2. Niech [0, 1] to zbiór Cantora a V [0, 1] to zbiór niemierzalny. Czy funkcja { x 2 gdy x V f(x) = x 3 gdy x / V jest mierzalna? Zadania domowe na 16 stycznia Ostatnie ale tylko w tym semestrze. Zad. 1. Niech I n,k = [k2 n, (k +1)2 n ] dla n = 0, 1,... i k = 0, 1,..., 2 n 1 oraz niech f n,k będzie funkcją charakterystyczną odcinka I n,k. Udowodnij, że 1. Ciąg f 0,0, f 1,0, f 1,1, f 2,0,..., f 2,3, f 3,0..., f 3.7, f 4,0... nie jest zbieżny p.w. 2. Dla dowolnego wyboru k(n), 0 k(n) 2 n 1 ciąg f n,k(n) zbiega p.w. do zera gdy n. 3. Każdy podciąg ciągu wypisanego w 1. zawiera podciąg zbieżny do 0 p.w. Zad. 2. Niech f n (x, y) = exp (sin n x + n sin yn ). Udowodnij, że ciąg f n jest na R 2 zbieżny λ 2 -p.w. i znajdź do czego. Zad. 3. Niech (w n ) n=1 [0, 1] to dowolny ciąg liczb. Niech I n = [w n 2 n, w n + 2 n ] oraz A = n=1 I n. Podaj ciąg funkcji ciągłych na R zbieżny p.w. na R do funkcji charakterystycznej zbioru A. 24 13 stycznia 2012 Zad. 1. A n [0, 1] to zbiory mierzalne takie, że n=1 λ 1(A n ) <. Udowodnij, że zbiór tych x [0, 1] które należą do nieskończenie wielu A n -ów ma miarę zero. Zad. 2. f 0 na R i R fdλ 1 <. Udowodnij, że dla każdego t > 0 mamy λ 1 {x R : f(x) > t} t 1 fdλ 1. 18 R

Zad. 3. Policz następujące granice: lim π n 0 lim n 0 lim n 1 e cosn x dx n(e x/n 1 1) 1 + x 4 dx x 3 n ln(1 + x n ) dx. Zad. 4. Ustalmy ciąg liczb (δ n ) n=1 [0, 1]. Udowodnij, że szereg n=1 zadaje funkcję całkowalną na [0, 1]. Zadania ćwiczebne: 1 n 2 x δ n 1. Niech (A n ) n=1 to ciąg mierzalnych podzbiorów [0, 1] takich, że λ 1 (A n ) δ > 0 dla pewnego δ i wszystkich n. Udowodnij, że zbiór tych x [0, 1] które należą do nieskończenie wielu A n -ów ma miarę δ. 25 16 stycznia 2012 Zad. 1. f(x) = k=1 ( 1)k k 1 [k,k+1] (x). Czy f jest na [0, ) całkowalna w sensie Lebesgue a? Czy istnieje niewłaściwa całka Riemanna f(x) dx? 0 Zad. 2. Niech f to funkcja mierzalna i ograniczona na R a g(t) = cos tx 2 f(x) 1 + x 6 dλ 1(x). Udowodnij, że g jest różniczkowalna i znajdż g. Zad. 3. Dla ξ > 0 określamy g(ξ) = R Udowodnij, że g jest klasy C. Zad. 4. Niech 0 < b < a. Policz całkę 0 0 e t cos tξ dλ 1 (t). e ax e bx dλ 1 (x). x Nie zrobiliśmy następującego zadania: f jest funkcją na [a, b ] która w każdym punkcie ma pochodną f i f (t) C to b a f dλ 1 = f(b ) f(a ). Oto szkic rozwiązania. Weźmy a < a < b < b. Niech f n (t) = n(f(t + 1 n ) f(t)). Dla dużych n funkcje te są określone na [a, b] zbiegają na [a, b] do f. Z 19

Twierdzenia Lagrange a dostajemy, że f n (t) C dla wszystkich t [a, b] i dużych n. Z twierdzenia o majoryzowanej zbieżności dostajemy b a f dλ 1 = lim n b a 1 b+ n n n a+ 1 n = lim = lim n n b f n dλ 1 = lim n (f(t + 1 n a n ) f(t))dλ 1(t) b+ 1 n b f(t)dλ 1 (t) b 1 a+ n f(t)dλ 1 (t) n a a f(t)dλ 1 (t) f(t)dλ 1 (t) = f(b) f(a) Ostatnia równość wynika z ciągłości funkcji f. Jeżeli weźmiemy a a + i b b to otrzymamy tezę. Zadania ćwiczebne: 1. f(x) = sin x x. Czy f jest na [0, ) całkowalna w sensie Lebesgue a? Czy istnieje niewłaściwa całka Riemanna f(x) dx? 0 2. f całkowalne na R. Udowodnij, że g(ξ) := f(t) cos ξtdλ 1(t) jest funkcją ciągłą. 3. f(u, v) = Policz pochodne cząstkowe f. e x2 sin(u + v)x dλ 1 (x) 26 20 stycznia 2012 Zad. 1. Sprawdź wzór R 2 f(x, y) dλ 2 (x, y) = 0 r 2π 0 f(r cos θ, r sin θ) dθ dr. Zad. 2. Znaleźć pole elipsy x2 a + y2 2 b = c 2 oraz objętość elipsoidy x2 2 a + y2 2 b + z2 2 c = 2 d 2. Zad. 3. Niech T (u, v) = (u 2 v 2, 2uv) a D = {(u, v) : u 2 + v 2 1 i u, v 0}. Znaleźć D = T (D ). Napisz wzór na zamianę zmiennych w całce f(x, y)dλ D 2 (x, y) używając tego przekształcenia czyli znajdź G(x, y) że f(x, y)dλ 2 (x, y) = G(x, y)dλ 2 (x, y) D D Zad. 4. Niech A = {(x, y) : 1 x 2 + y 2 4}. Doprowadź do całki jednej zmiennej e x2 +y 2 x2 + y dλ 2. 2 A Zad. 5. D jest we współrzędnych biegunowych zadany przez warunki e θ r e θ+2π i 0 θ 2π. Oblicz całkę D xydλ 2(x, y). Zadania ćwiczebne 20

1. Niech f(x, y) = x2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2. Udowodnij, że obie całki iterowane (obie w granicach, ) istnieją ale nie są równe. 2. f(u, v) jest funkcją ciągłą na [a, b] [c, d]. Dla (x, y) (a, b) (c, d) określamy F (x, y) = x y a c f(u, v) dλ 2 (u, v). Udowodnij, że 2 F x y (x, y) = 2 F y x (x, y) = f(x, y). 3. Czy funkcja f(x, y) = e xy jest całkowalna na (0, ) 2? 4. Niech K to obszar 1 < x 2 + y 2 < 2, y 0 leżący poniżej paraboli y = ( 2 1) 2 (x 2) 2. Znajdź jego poli i policz K x dλ 2(x, y) 5. Policz pole obszaru zawartego między parabolą y = x 2 i prostą x = y we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych. 6. D ograniczony przez krzywe x 2 + y 2 = 1 i x 2 + y 2 = 2y oraz x, y 0. Niech u = x 2 + y 2, v = x 2 + y 2 2y. Używając tej zamiany zmiennych policz D xey dλ 2. 7. Oblicz pojemność parabolicznego kieliszka wnętrza paraboloidy z = x 2 + 3y 2 i 0 z 5. Powodzenia na egzaminie 27 16 luty 2012 Semestr wiosenny Zad. 1. Z walcowatego drzewa o promieniu r wycięto klin; jednocięcie poziome do środka pnia a drugie pod kątem θ. Oblicz objętość klina używając zasady Cavaleriego. Zad. 2. Znajdź objętość bryły {(x, y, z) R 3 : x [1, 2], y [0, 1] 0 z 1 + 2x + 3y}. Zad. 3. f : R R jest całkowalna. Określamy φ(y) = y+1 f(x) dx. Udowodnij, że φ jest całkowalne i y φdλ 1 = f dλ 1. Zad. 4. Policz całkę używając zamiany zmiennych 1 1 2 x+x 0 0 x + y + 2 xy dx dy x = s cos 4 t y = s sin 4 t. 21

Zadania ćwiczebne Udowodnij, że 2 b b Zadania domowe: a x ( 2 b f(x)f(y) dydx = f(x) dx). 1. Oblicz przechodząc do współrzędnych biegunowych całkę x2 + y 2 + z 2 dx dy dz V gdzie obszar V jest ograniczony powierzchnią x 2 + y 2 + z 2 = z. 2. Oblicz powierzchnię obszaru ograniczonego przez krzywą (x 2 + y 2 ) 2 = 2(x 3 3xy 2 ) Wsk. pomyśl o współrzędnych biegunowych. 28 20 luty 2012 Zad. 1. Oblicz wartość średnią funkcji f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 na zbiorze {(x, y, z : x 2 + y 2 + z 2 < x + y + z}. Zad. 2. Dla jakich wykładników p, q > 0 funkcja f(x) = x p (1 x ) q gdzie. to norma euklidesowa na R 3 jest całkowalna na kuli jednostkowej w R 3. Zad. 3. Niech f(x) = a cos(xy) 1 + x y 2 dy. Dla jakich x-ów jest ta funkcja określona i ciągła. Zadania ćwiczebne. Obliczyć granicę lim n x2 +y 2 +x 2 < 3 z Zadania domowe: n sin( 1 n e x2 +y 2 +z 2 x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz. 1. f(x) jest całkowalna na R n i f(x) dλ R n n (x) = 1. Określamy g na R n wzorem g(y) = f(x) dλ n. B(y,1) Udowodnij, że g(y) jest całkowalne na R n i policz całkę R n g(y) dλ n (y). 2. Niech f(x) całkowalna na [ 1, 1] n. Udowodnij, że g(y) = f(x) sin(x y) dλ n (x) [ 1,1] n jest funkcją klasy C 1 na R n. 22

29 23 luty 2012 Zad. 1. Podaj przykład ciągu (f n ) n=1 L 1 (R n ) 1. zbieżnego do zera w normie ale dla każdego x R n ciąg liczbowy f n (x) nie jest zbieżny 2. takiego że dla każdego x R n ciąg liczbowy f n (x) zbiega do zera ale (f n ) nie ma podciągu zbieżnego w normie. Zad. 2 Udowodnij, że ciąg (sin nx) n=1 nie ma w L 1 (R) podciągu zbieżnego. Zad. 3. Ustalamy f C 0 (R n ) i dla v R n definiujemy f v (x) = f(x v). Udowodnij, że odwzorowanie z R n w L 1 (R n ) zadane jako v f v jest (jednostajnie) ciągłe. Zad. 4. Dla f L 1 (R) określamy ˆf(ξ) = f(t) sin(ξt) dt. 1. Udowodnij, że ˆf(ξ) jest ciągłe i ograniczone. 2. Udowodnij, że jeżeli f n f w L 1 (R) to ˆf n zbiega jednostajnie do ˆf. 3. Udowodnij, że dla f = 1 [0,π] funkcja ˆf / L 1 (R). Zadania domowe: 1. Udowodnij, że ciąg f n (x) = (1 + x ) 3 sin n 1 x zbiega w L 1 (R 2 ). 2. Udowodnij, że zbiór {f L 1 (R n ) : f 0 p.w. oraz f 1} nie jest zwartym podzbiorem L 1 (R n ). 3. Dla f L 1 (R n ) określamy ciąg funkcji 0 gdy x n f n (x) = 2012 gdy f(x) n f(x) w pozostałych przypadkach Udowodnij, że f n f w normie L 1 (R n ) Uwaga: W tym momencie zmieniłem kodowanie polskich liter więc w powyższym tekście mogą być z tym pewne problemy 30 1 marca 2012 Zad. 1. Zadanie 3 z poprzednich ćwiczeń dla f L 1 i.e. Ustalamy f L 1 (R n ) i dla v R n definiujemy f v (x) = f(x v). Udowodnij, że odwzorowanie z R n w L 1 (R n ) zadane jako v f v jest (jednostajnie) ciągłe. Zad. 2. f, g całkowalne na (Ω, µ) wtedy Ω fg dµ ( Ω f p dµ ) 1/p ( Ω g q dµ ) 1/q gdzie p 1 + q 1 = 1. Zad. 3. Nośnik f zawarty jest w B(x 0, r 0 ) oraz nośnik g zawarty jest w kuli B(x 1, r 1 ). Gdzie jest nośnik f g? Zad. 4. Jeśli f L 1 (R n ) to lim t f(x) dλ(x) = 0. {x R n : x >t} Zad. 5. Udowodnij, że f g 2 f 1 g 2 Zad. 6. Udowodnij, że jeżeli f L 1 (R n ) oraz g L (R n ) to f g jest ciągłe. 23

Zad. 7. Udowodnij, że nie istnieje g L 1 (R n ) takie, że dla każdego f L 1 (R n ) mamy f g = f. Dziś zadań domowych nie ma ale proszę przemyśleć co było na ćwiczeniach. 31 5 marca 2012 Tw Weierstrassa Podamy inny dowód tw Weierstrassa. 1. Udowodnij, że 1 1 (1 x2 ) n dx > 1 n 2. Określamy Q n (x) = { c n (1 x 2 ) n gdy x 1 0 gdy x 1 ( 1 1. gdzie c n = 1 (1 x2 ) dx) n Udowodnij, że dla każdego δ > 0 ciąg Q n (x) zbiega jednostajnie do zera na zbiorze x δ. 3. Dla f ciągłego na [0, 1] takiego, że f(0) = 0 = f(1) uważamy, że f jest okreslone i ciągłe na całej prostej jako równe 0 poza [0, 1]. Określamy P n (x) = f Q n (x). 4. P n (x) jest wielomianem. 5. Na odcinku [0, 1] ciąg P n (x) zbiega jednostajnie do f. 6. Udowodnij, twierdzenie Weierstrassa. Zadania domowe: 1. w(x, y) = n i,j=0 a i,jx i y j to wielomian dwu zmiennych stopnia n. Określamy funkcję na R 2 wzorem f(x, y) = w(t, u) exp ( (x t) 2 2(y + u) 2) dλ 2 (t, u). R 2 Udowodnij, że f jest wielomianem stopnia n. Oblicz f dla w(x, y) = xy. 2. f L 1 (R n ) a (g n ) n=1 to ciąg funkcji ograniczonych zbieżny jednostajnie na R n do g. Udowodnij, że f g n zbiega jednostajnie do f g. 32 8 marca 2012 Zad. 1. A R 2 to zbiór miary skończonej. Udowodnij, że istnieje prosta L taka, że część zbioru A po każdej stronie tej prostej ma taką samą miarę. Funkcje gięte. Określamy f 0 (t) = 1 [0,1] (t) oraz f n = f n 1 f 0 Udowodnij, że 1. Nośnik f n to [0, n + 1] 2. f n 0 oraz na odcinku (0, n + 1) jest > 0 3. f n jest funkcją klasy C n 1 (Uwaga jako klasę C 1 przyjmujemy funkcje mierzalne a jako klasę C 0 funkcje ciągłe) 24

4. dla dowolnego n i k Z funkcja f n obcięta do przedziału (k, k + 1) jest wielomianem stopnia n. 5. f n(t) dt = 1 6. k= f n(x k) = 1 (dla n = 0 jest to p.w.).. Zadania domowe 1. Niech f L 1 (R 2 ). Udowodnij, że istnieje funkcja g na R 2 przyjmująca tylko wartości +1 i 1 taka, że R 2 f(x)g(x) dλ 2 (x) = 0. 2. Niech (w n ) n=1 to wszystkie liczby wymierne ustawione w ciąg. Określamy I n = (w n 2 n, w n + 2 n ) oraz f n = 1 In oraz f(x) = n=1 f n (f może przyjmować wartość ) Udowodnij, że Udowodnij, że f jest całkowalne na R Udowodnij, że dla każdej pary liczb a < b zachodzi supess x (a,b) f(x) = Zadanie ćwiczebne: f jak w drugim zadaniu domowym. Udowodnij, że f f jest ciągłe. 33 15 marca 2012 Rozpatrzmy funkcje na R spełniajacą f(x + y) = f(x) + f(y) dla dowolnych x, y R; mówimy że f spełnia równanie Cauchy ego. Zad. 1. Udowodnij, że jeżeli f spełnia równanie Cauchyego i jest ciągłe to x R mamy f(x) = f(1)x. Zad. 2. Udowodnij, że istnieje f nieciągłe i spełniające równanie Cauchyego. Zad. 3. Niech f mierzalne i spełnia równanie Cauchyego. 1. Określamy g t (x) = tf(x) xf(t). Udowodnij, że dla t, x R mamy g t (x + t) = g t (x) g t (2x) = 2g t (x) g 0 (x) = 0 2. Dla u, t, z R określamy zbiory Udowodnij, że A u t,z = {x [0, z ] : g t (x) u}. zbiory A u t,z A u t,z gdy u u i z z λ 1 (A 2u t,t) = 1 2 λ 1(A 2u t,2t) = λ 1 (A u t,t) λ 1 ([0, t ] \ A 0 t,t) = 0 3. Udowodnij, że dla każdego t 0 funkcja g t = 0 x-p.w. 4. Udowodnij, że dla każdego t mamy f(t) = f(1)t. 25

Zad. 4. Niech E, F R to zbiory mierzalne i dodatniej mierze Lebesgue a. Udowodnij, że zbiór E + F czyli {x + y : x E, y F } zawiera pewien odcinek. Zadania domowe: 1. A 1,..., A m [0, 1] takie, że m j=1 λ 1(A j ) > m 1. Udowodnij, że m λ 1 ( A j ) > 0. j=1 2. E R zbiór o mierze dodatniej. Udowodnij, że istnie para, x, y E taka, że x y jest niewymierne oraz para u, v E taka, że u v jest wymierne. 3. Policz (oczywiście rachunek uzasadnij) pochodną funkcji g(a) = dla a > 0 oraz podaj liczbę g (1) g (4) 34 19 marca 2012 0 1 e ax2 dx G(w 1,..., w n ) to wyznacznik Grama wektorów w 1,..., w n. Udowodnij, że 1. G(w 1,..., w n ) nie zależy od kolejności 2. Jeżeli a = n j=1 α jw j a b w j dla j = 1, 2,..., n to x 2 G(w 1,..., w n, a + b) = b 2 G(w 1,..., w n ). 3. Dla dowolnych wektorów w 1,..., w n mamy G(w 1,..., w n ) 0 4. G(w 1,..., w n ) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy wektory w 1,..., w n są liniowo zależne. 5. Niech σ j = dist (w j, lin(w s ) s<j ) = w j P j (w j ) gdzie P j to rzut ortogonalny na lin(w s ) s<j. Udowodnij, że G(w 1,..., w n ) = n j=1 σ2 j. 6. Niech w j = (w 1 j,..., wn j ) dla j = 1,..., s będą wektorami w Rn, s n Udowodnij (dla n = 3 s = 2), że G(w 1,..., w s ) = Zadania domowe: 1 i 1< <i s n w i1 1 w i2 1... w is 1. w i1 s.. ws i2... ws is 1. w j R n to wektor (1, 1,..., 1, 0,..., 0) który ma j jedynek. Dla 1 s n znajdź macierz Grama oraz wyznacznik Grama wektorów w 1,..., w s. Zadanie ćwiczebne: Czy każda macierz symetryczna, nieujemnie określona jest macierzą Grama pewnego układu wektorów? 2 26

35 22 marca 2012 Zad. 1. Policzyć długośc linii S = {(cos t, sin t, t) : 0 < t < 4π}. Zad. 2. Policzyć powierzchnię S = {(r cos t, r sin t, t) : 0 < r < 1, 0 < t < 4π}. Zad. 3. Powierzchnia zadana jest parametryzacją x(u, v) = cos u(1 + v 2 cos u 2 ) y(u, v) = sin u(1 + v 2 cos u 2 ) z(u, v) = v 2 sin u 2 dla 0 < u < 2π i 1 < v < 1. Co to jest? Oblicz powierzchnię. Uwaga: Tego zadania nie doliczyliśmy do końca. Porządne i staranne przeliczenie przyniesione na następne ćwiczenia to dodatkowa praca domowa. Zadania domowe: 1. Znajdź miarę n-wymiarową zbioru {(x 1, x 2,..., x n, y) : y = n x 2 j < 1}. 2. Niech a > 0. Znajdź pole części powierzchni az = xy znajdujacej się wewnątrz cylindra x 2 + y 2 = a 2. 36 29 marca 2012 Zad. 1. Niech g 0 to funkcja na Ω R n. Na Ω określamy miarę µ(a) = A g(x) dλ n(x). Udowodnij, że dla funkcji φ prostej na Ω mamy Ω f dµ = Ω f(x)g(x) dλ n(x). Zad. 2. σ to linia śrubowa zadana parametryzacją σ(t) = (sin t, cos t, t) dla 0 t 2π. Policz całkę σ f dλσ dla f(x, y, z) = cos z oraz dla f(x, y, z) = j=1 x 2 + y 2 + z 2. Zad. 3. Policz całkę σ f dλσ dla f(x, y, z) = x+y y+z i σ zadanej przez parametryzację σ(t) = (t, 2 3 t3/2, t) dla 1 t 2. Zad. 4. Pokazać, że całka funkcji f(x, y) po krzywej zadanej we współrzednych biegunowych jako r = r(θ) dla θ 1 θ θ 2 jest równa θ2 θ 1 f(r cos θ, r sin θ) r 2 + (r ) 2 dθ. Zad. 5. Na krzywej która powstaje przez przecięcie sfery x 2 + y 2 Y z 2 = 1 oraz płaszczyzny x + y + z = 0 ma masę o gęstośc masy g(x, y, z) = x 2. Znajdź masę tej krzywej. Zadania domowe: 1. Oblicz długośc krzywej r(θ) = 1 + cos θ dla 0 θ π/2 and 0 θ π. 2. Policz całkę σ f dλσ dla f(x, y, z) = y 3 i σ zadanej przez parametryzację σ(t) = (ln t, t, 2) dla 1 t e. 27

37 2 kwietnia 2012 Zad. 1. A = {(x, y) : 0 < y < x < 1} a M to wykres funkcji f : A R określonej wzorem f(x, y) = y x. Policz M ydλm. Zad. 2. M = {(x, y, z) : 2z = x 2 + y 2 < x}. Oblicz M z 1 + 2z dλm. Zad. 3. E = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = 1 i x + z = 1}. Każdy punkt E łączymy odcinkiem z punktem (0, 0, 0). Uzasadnij, że otrzymany zbiór jest rozmaitością oraz policz M y dλm. Zadania domowe: 1. Znajdź pole powierzchni wyciętej z rozmaitości x 2 + y 2 = a 2 x, y > 0 płaszczyznami x + z = 0 i x z = 0. 2. Znajdź pole powierzchni M zadanej równaniem (x 2 + y 2 ) 3/2 + z = 1 i z > 0. 3. Dla M opisanej powyżej policz M (1 z) dλm. 38 8 kwietnia 2012 Zad. 1. M = {(x, x 2 ) : x R}. Znajdź mozliwie duże ɛ > 0 takie, że odcinki prostopadłe do M o środku w M i długości ɛ są rozłączne. Zad. 2. f(t) = t α dla 1 < α < 2. Niech M = {(x, f(x)) : x [ 1, 1]} Udowodnij, że nie istnieje ɛ 0 > 0 takie, że odcinki prostopadłe do M o środku w M i długości ɛ 0 są rozłączne. Zadania ćwiczebne: Jak ktoś jeszcze nie ma dosyć. 1. f(x) = x x a M = {(x, f(x)) : x R}. Znajdź mozliwie duże ɛ > 0 takie, że odcinki prostopadłe do M o środku w M i długości ɛ są rozłączne. 2. Niech f(x) to funkcja klasy C 2 na R. Udowodnij, że {(x, f(x)) : x [ 1, 1]} jest częscią rozmaitości zwartej zawartej w R 2. 3. f(x) to funkcja wypukła klasy C 1 na ( 3, 3). Niech M = {(x, f(x)) : x [ 1, 1]} Udowodnij, że istnieje ɛ 0 > 0 takie, że odcinki prostopadłe do M o środku w M i długości ɛ 0 są rozłączne. Zadań domowych na Święta nie ma. Wesołych Świąt 39 12 kwietnia 2012 Zad. 1. Policz całkę z Zad. 2. Policz x dx x 2 +y oraz z x dy 2 x 2 +y po γ = (R cos t, R sin t) 0 t 2π. 2 1. (x 2 + y)dx + (x y)dy D gdzie D to odcinek paraboli y 2 = x od (1, 1) do (1, 1) 28

2. (πx + y)dx + (x 2y)dy Γ gdzie Γ to albo odcinek od (0, 1) do (2, 3) albo łamana (0, 1)...(2, 1)...(2, 3). Zad. 3. f, g, h to funkcje jednej zmiennej. Udowodnij, że Γ f(x)dx+g(y)dy+ h(z)dz zależy tylko od początku i końca krzywej Γ. Zad. 4. Policz x2 (x + y)dx + (x y)dy gdzie C to elipsa C a + y2 2 b = 1. 2 Zad. 5. Sprawdź wzór Greena dla (P (x, y), Q(x, y)) = (xe x2 +y 2, ye x2 +y 2 ) i Ω = {x 2 + y 2 1}. Zadania domowe: 1. Policz (2x + 3y)dx + (4x + 5y)dy A gdzie A to odcinek łączący (0, 1) z (3, 3) 2. Wyznacz pracę potrzebną do przeniesienia jednostki masy pokonując pole siły [x 2 y, xy] wzdłuż paraboli y 2 = 8x od (0, 0) do (2, 4). 3. Sprawdź wzór Greena w postaci ( ) Q Ω x P y = P dx + Qdy dla Ω (P (x, y), Q(x, y)) = (xy, 0) i Ω = {x 2 + y 2 1, x, y 0}. 40 16 kwietnia 2012 Kartkówka Zad. 1. Używając wzoru Greena policz całki 1. γ (y2 + x 3 )dx + x 4 dy gdzie γ to brzeg kwadratu [0, 1] 2 2. γ (ex sin y my)dx + (e x cos y m)dy gdzie γ to x 2 + y 2 = ax, y 0 3. γ cos (v, n)dλγ gdzie γ to krzywa na płaszczyźnie klasy C 1 zamknięta, bez samoprzecięć, v to ustalony wektor, n to unormowany wektor normalny, zewnętrzny do γ a (v, n) to kąt miedzy tymi wektorami. Zad. 2. Używając wzoru Greena oblicz pole obszaru ograniczonego przez jeden łuk cykloidy x = a(θ sin θ), y = a(1 cos θ), a > 0, 0 θ 2π oraz oś x. Zadania ćwiczebne: 1. Używając wzoru Greena oblicz pole jednej pętli liścia Kartezjusza czyli krzywej zadanej wzorem x 3 + y 3 = 3axy gdzie a > 0. Wsk. położyć y = tx żeby dostać parametryzację. 2. Mamy ciąg krzywych γ n (t) = (x n (t), y n (t)) zadanych przez dla t [0, 2]. Znajdź granicę x n (t) = e 1+n 1 sin n!tπ cos tπ y n (t) = e 1+n 2 cos 2 n tπ sin tπ lim n γ y 3 dx n x 3 dy n. 29

Zadania domowe: 1. Używając wzoru Greena oblicz pole elipsy x2 a + y2 2 b = 1. 2 2. Używając wzoru Greena policz γ (x, y), n dλγ gdzie γ to krzywa na płaszczyźnie klasy C 1 zamknięta, bez samoprzecięć a n to unormowany wektor normalny, zewnętrzny do γ. 41 19 kwietnia 2012 Zad. 1. Oblicz (używając wzoru Greena) pole obszaru na płaszczyźnie ograniczonego krzywą (x + y) 4 = x 2 y, x, y 0. Zad. 2. Niech f(x, y) = y x 2 +y a g(x, y) = x 2 x 2 +y. 2 1. Sprawdź, że f y = g x 2. Niech γ(t) = (cos t, sin t) dla t [0, 2π]. Policz fdx + gdy. γ 3. Niech γ to dodatnio zorientowany okrąg o środku w ( 7, 3) i promieniu 10. Policz fdx + gdy. γ 4. Niech γ to dodatnio zorientowany okrąg o środku w ( 7, 3) i promieniu 3. Policz fdx + gdy. γ Zad. 3. Czy następujące pola (formy) maja potencjał na całej płaszczyźnie R 2 1. (e y, xe y + y) 2. y 2 e xy dx + (1 + xy)e xy dy 3. xy 2 dx + (x 2 y + y 3 )dy. Zadania domowe: 1. Używając wzoru Greena policz pole obszaru ograniczonego przez krzywą x = a cos 3 t, y = a sin 3 t dla 0 t 2π. 2. Mamy 1-formę ω = x2 y 2 (x 2 +y 2 ) 2 dx + 2xy (x 2 +y 2 ) 2 dy określoną na R 2 \ {(0, 0)}. Udowodnij, że ta forma jest całkowalna (i.e. ma potencjał) w całym obszarze R 2 \ {(0, 0)}. Zadania ćwiczebne: 1. Czy dla formy x + y dx + x + y dy na R 2 całka nie zależy od drogi? 2. Czy dla formy ydx xdy x 2 + xy + y 2 na R 2 \ {(0, 0)} całka nie zależy od drogi? 30

42 26 kwietnia 2012 Dla J = (j 1,..., j k ) (może z powtórzeniami) określamy dx J (ξ 1,..., ξ k ) = det(ξ µ,jν ) µ,ν=1,...,k. Zad. 1. Jeżeli J zawiera powtórzenie to dx J = 0. Jeżeli nie zawiera i σ to permutacja to dx J = sgn(σ)dx σj gdzie σj = (j σ(1),..., j σ(k) ) Zad. 2. Policz (dx 1 + dx 2 + dx 3 ) (2dx 1,2 + 3dx 2,3 ). zad. 3. Niech A = 1 0 1 0 1 2 0 0 1 Oblicz A (dy 1,2 + 2dy 2,3 ). Zad. 3. Oblicz dx 1 dx 3 dx 2 ( a 1, a 2, a 3 ) gdzie a i = (1 + i, i, 2 i). Zad. 4. ω Λ 1 (R n ) a α Λ k (R n ) Wtedy ω α( h 0, h 1,..., h k ) = m ( 1) j ω( h j )α( h 0,..., h j 1, h j+1,..., h k ). j=0 Zadania ćwiczebne: Zad. 1. ω Λ k (R n ). Definiujemy ω jako infimum liczb C takich, że dla dowolnych h 1,..., h k mamy Udowodnij, że 1. Takie C istnieje ω( h 1,..., h k ) C h 1 h k. 2. Jeżeli f 1,..., f k to ortogonalizacja Grama-Schmidta wektorów h 1,..., h k to ω( h 1,..., k h k ) = h j, f j 3. Udowodnij, że C = max ω( f 1,..., f k ) gdzie f 1,..., f k to układ ortonormalny. 4. Udowodnij, że ω( h 1,..., h k ) G( h 1,..., h k ) gdzie G to wyznacznik Grama. 5. Udowodnij, że A ω A k ω Zad. 2. A : R n R n to ustalona macierz. Określamy φ A : Λ k (R n ) Λ k (R n ) jako φ A (ω) = A ω. Udowodnij, że φ A jest izomorfizmem wtw A jest odwracalne. Zadania domowe: 1. Dane są dwie 1-formy na R 3 ω = 3 k=1 a kdx k oraz α = 3 k=1 b kdx k. Wtedy ω α = c 1 dx 2 dx 3 + c 2 dx 3 dx 1 + c 3 dx 1 dx 2. Oblicz c 1, c 2, c 3 oraz udowodnij, że wektory (c 1, c 2, c 3 ) i (a 1, a 2, a 3 ) są prostopadłe. 2. Dane są dwie 1-formy na R n ω = n k=1 a kdx k oraz α = n k=1 b kdx k. Udowodnij, że ω α = 0 wtedy i tylko wtedy gdy wektory (a k ) n k=1 i (b k ) n k=1 są liniowo zależne. j=1 31

43 10 maja 2012 Zad. 1 f : R m V U R n a ω = n j=1 ω jdx j Ω 1 (U). Policz z definicji f ω. Zad. 2. f : R 2 R 2 określone wzorem f(u, v) = (u 2, uv) a ω = ydx + xdy. Policz f ω. Zad. 3. f : R 3 R 3 określone wzorem f(u, v, t) = (x(v, t), y(u, t), z(u, v)). Policz f (xyzdx dz). Zad. 4. Scharakteryzuj formy zamknięte i dokładne na R. Zad. 5. Scharakteryzuj formy zamknięte i dokładne na R 2. Zad. 6. U, V R n a F : U V to dyfeomorfizm. Policz F dx 1 dx 2 dx n Zadania ćwiczebne: 1. ω 1... ω l to formy różniczkowe na tym samym zbiorze. Policz 2. Policz różniczke zewnętrzna form: d((dω 1 ) (dω l )). (a) x 1 dx 2 dx 3 + x 2 dx 2 dx 1 + x 3 dx 1 dx 2 (b) f 1 (x 1 )dx 1 + f 2 (x 2 )dx 2 + + f n (x n )dx n (c) f 1 (x 2, x 3 )dx 2 dx 3 + f 2 (x 1, x 3 )dx 3 dx 1 + f 3 (x 1, x 2 )dx 1 dx 2 (d) n k=1 ( 1)k 1 (f k g g k f)dx 1 dx k 1 dx k+1... dx n. 3. Niech F = (f 1, f 2 ) : U R 2 gdzie U to otwarty podzbiór R 3. Znajdź F dy 1 dy 2. Używając tego policz d(f dy 1 dy 2 ). Zadania domowe: Zad. 1. Niech U = ( 1, 1) n a ω Ω n (U). Udowodnij, że istnieje forma α = α(x 1,..., x n )dx 1 dx n 1 taka, że dα = ω. Zad. 2. Policz różniczkę zewnętrzną formy n f k dx k+1 dx n dx 1 dx k 1 k=1 44 14 maja 2012 Kartkówka Zad. 1. Obszar U R n jest dyfeomorficzny z B(0, 1) R n. Jeżeli g 1,..., g n określone na U oraz gi dx j = gj dx i na U dla i, j = 1,..., n, to istnieje f na U takie, że g i = f dx i. Zad. 2. Policz całki po płacie M ω gdzie 1. M = (t, t 2, t 3 ) dla t (0, 1) i ω = dx + dy + dz 2. M = (u, t, u 2 + t 2 ) gdzie u 2 + t 2 < 1 a ω = zdx dy + xdy dz + ydx dz 32