Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, ale µ n (A) µ(a) dla pewnego zbioru A.. Wykaż, że: a) jeśli X n X p.n., to X n X; b) jeśli X n X według prawdopodobieństwa, to X n X; c) jeśli X n c, gdzie c jest stałą, to X n c według prawdopodobieństwa. 5. Zmienne losowe X n, X przyjmują tylko wartości całkowite. a) Wykaż, że X n X wtedy i tylko wtedy gdy P(X n = k) P(X = k) dla wszystkich liczb całkowitych k. b) Czy z istnienia granic lim n P(X n = k) dla k całkowitych wynika zbieżność X n wg rozkładu? 6. Czy teza punktu a) poprzedniego zadania się zmieni, jeśli zmienne X n przyjmują wartości wymierne? 7. Niech Bin(p, n) oznacza rozkład Bernoulliego o n próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, a Poiss(λ) - rozkład Poissona z parametrem λ. Wykaż, że jeśli np n λ, to Bin(p n, n) Poiss(λ). 8. Podaj przykład ciągu dystrybuant F n, zbieżnego punktowo do funkcji, która nie jest dystrybuantą. 9. Podaj przykład ciągu zmiennych losowych X n, zbieżnego wg rozkładu, takiego, że odpowiadający mu ciąg dystrybuant nie zbiega punktowo do dystrybuanty rozkładu granicznego.. Wykaż, że zmienne losowe mające gęstości mogą zbiegać do stałej.. Niech X będzie rzeczywistą zmienną losową. Wykaż, że istnieje ciąg zmiennych X n zbieżny według rozkładu do X taki, że a) każde X n przyjmuje tylko skończenie wiele wartości, b) zmienne X n mają gęstość.. Udowodnij, że N (a n, σ n) N (a, σ ) wtedy i tylko wtedy, gdy a n a oraz σ n σ.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Niech X będzie zmienną losową mającą gęstość oraz liczby a n i a będą nieujemne. Wykaż, że zmienne a n X + b n zbiegają według rozkładu do zmiennej ax + b wtedy i tylko wtedy gdy a n a i b n b. Uwaga. Wystarczy zakładać, że X jest niezdegenerowane, tzn. P(X = c) < dla wszystkich c.. Co trzeba założyć o funkcji f, by z tego, że X n jest zbieżne według rozkładu do X wynikała zbieżność według rozkładu f(x n ) do f(x)?. Udowodnij, że jeśli X n X, p > oraz sup n E X n p <, to E X p <, ale niekoniecznie E X n p E X p. Jest to jednak prawdą, gdy dla pewnego ε >, sup n E X n p+ε <.. Niech g n, g oznaczają odpowiednio gęstości rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ na R n. Wykazać, że jeśli g n g p.w., to µ n µ, ale niekoniecznie na odwrót. 5. Wykaż, że rodzina rozkładów normalnych N (a α, σ α) jest ciasna wtedy i tylko wtedy gdy sup α a α, sup α σ α <. 6. Dana jest rodzina rozkładów a) wykładniczych {Exp(λ) : λ A}, A R +, b) jednostajnych {U(a, b) : a, b A, a < b}, A R. Jaki warunek musi spełniać zbiór A, aby ta rodzina była ciasna? 7. Załóżmy, że ciąg zmiennych losowych X n zbiega według rozkładu do zmiennej X o rozkładzie ciągłym. Wykaż, że dystrybuanty X n zbiegają jednostajnie do dystrybuanty X. 8. Zmienne X, X,... są niezależne i mają rozkład jednostajny na [, a], zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n min{x, X,..., X n }.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Oblicz funkcje charakterystyczne rozkładów i) dyskretnych - dwupunktowego, geometrycznego, Bernoulliego, Poissona; ii) ciągłych - normalnego, jednostajnego, wykładniczego, dwustronnego wykładniczego, Cauchy ego.. Które z następujących funkcji są funkcjami charakterystycznymi: cos t, cos t, ( + eit ), +cos t, e? it. Korzystając z funkcji charakterystycznej oblicz EX k dla X N (, ).. Pokaż, że kombinacje wypukłe funkcji charakterystycznych są funkcjami charakterystycznymi. 5. Wiadomo, że ϕ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X. Czy funkcjami charakterystycznymi są : ϕ, Reϕ, ϕ, ϕ? 6. Niech X będzie zmienną losową taką, że P(X Z) =. Pokaż, że dla każdego n Z, P(X = n) = π π e itn ϕ X (t)dt. 7. Wykaż, że jeśli funkcja charakterystyczna zmiennej X ma drugą pochodną w zerze, to EX <.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Przy pomocy funkcji charakterystycznych sprawdź, że jeśli ε n są niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi przyjumjącymi wartości ±, to zmienna losowa n n ε n ma rozkład jednostajny na przedziale [, ].. Udowodnij, że zmienna losowa X jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ X (t) R dla wszystkich t.. Zmienne X, Y są niezależne, przy czym X i X +Y mają rozkłady normalne. Udowodnij, że zmienna Y ma także rozkład normalny lub jest stała p.n... Zmienne X, Y, ε są niezależne, przy czym X, Y mają rozkład wykładniczy z parametrem λ oraz P(ε = ±) =. Wykaż, że zmienna X Y ma ten sam rozkład, co zmienna εx. 5. Wykaż, że istnieje t takie, że ϕ X (t) = wtedy i tylko wtedy, gdy P(X a + bz) = dla pewnych a, b R. 6. Znajdź zmienne losowe X, Y takie, że ϕ X+Y = ϕ X ϕ Y oraz zmienne X, Y są zależne. 7. Zmienna X ma funkcję charakterystyczną ϕ X (t) = e t α dla pewnego α (, ]. Co można powiedzieć o rozkładzie zmiennej ax + by, gdzie a, b R, a Y jest niezależną kopią X? 8. Wykaż, że dla α > nie istnieje zmienna losowa taka, że ϕ X (t) = e t α. 9. Załóżmy, że zmienne X i Y są niezależne, mają jednakowy rozkład oraz dla dowolnych liczb a, b zmienna ax + by ma ten sam rozkład co zmienna ( a α + b α ) /α X. Wykaż, że ϕ X (t) = e c t α dla pewnego c.. Dla n zmienna X n ma rozkład geometryczny z parametrem p n (, ). Wykaż, że jeśli (a n ) n jest takim ciągiem liczb dodatnich, że a n, p n /a n λ >, to zmienne a n X n zbiegają słabo do rozkładu wykładniczego z parametrem λ.. Podaj przykład zmiennych losowych X n takich, że ϕ Xn ϕ punktowo, ale ϕ nie jest funkcją charakterystyczna żadnego rozkładu na prostej.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - 5. W pewnym okręgu w wyborach do senatu głosuje 5. osób. Zakładając, że wyborcy głosują na każdego z dwu kandydatów z prawdopodobieństwem 5% jaka jest szansa, że różnica między kandydatami będzie mniejsza niż głosów?. Na podstawie losowej próby szacujemy procent dorosłych osób popierających pewną partię polityczną. Chcemy by błąd był mniejszy niż % z prawdopodobieństwem.95? Ile w tym celu musimy przepytać osób? Jak zmieni się odpowiedź, jeśli wiemy, że partię popiera nie więcej niż % wyborców?. Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi,57. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych noworodków liczba chłopców nie przewyższy liczby dziewcząt?. Rzucono razy kostką. Oszacuj prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie zawarta między a 59. 5. Dane są niezależne zmienne losowe X, X,..., o wspólnym rozkładzie z wartością oczekiwaną równą i dodatnią wariancją. Wyznacz w zależności od a, α R ( ) lim P X +... + X n n > a. 6. Zmienne X, X,... są niezależne oraz P(X i = a) = P(X i = /a) = / dla pewnego a >. Wykaż, że zmienne Z n = (X X X n ) / n są zbieżne według rozkładu i znajdź rozkład graniczny. 7. Zmienne X λ mają rozkład Poissona z parametrem λ. Wykaż, że n α X n n n N (, ) według rozkładu, gdy n. 8. Udowodnij, że lim n k n e n k! =. k n 9. Wykaż, że jeśli X n X oraz Y n c dla pewnego c R, to a) X n + Y n c + X, b) X n Y n cx.. Zmienne losowe X, X,... są niezależne, mają ten sam rozkład taki, że EX =, Var(X) = σ <. Zbadaj zbieżność według rozkładu następujących ciągów n(x +..., X n ) U n = X +... +, V n = X +... + X n. X n X +... + Xn 5
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - 6. Niech X, X,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi, takimi, że Wykaż, że P(X n = ±) = ( n ), P(X n = ±n) = n. X +... + X n n N (, ) oraz Var(X n ). Wywnioskuj stąd, że X +... + X n N (, /). Var(X +... + X n ). Niech X będzie całkowalną z kwadratem zmienną losową, taką, że X / (Y + Z), gdzie Y, Z - niezależne kopie X. Wykaż, że X ma rozkład N (, σ ).. Załóżmy, że zmienne X k są niezależne oraz P(X k = ±) = / zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n / (X + X +... + nx n ).. Zmienne X i są niezależne i mają rozkład jednostajny na [, ]. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n / (X + X +... + X n n ). 5. Zmienne X, X,... są niezależne i mają jednakowy rozkład o średniej zero i wariancji. Ciąg (a n ) jest ograniczony oraz s n = (a + a... + a n) /. Wykaż, że s n (a X + a X +... + a n X n ) zbiega według rozkładu do N (, ). 6. Zmienne X n są niezależne, scentrowane, Var(X n ) = oraz EX n. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n / (X +... + X n ). 7. Udowodnij, że zmienna X N (a, B) ma gęstość wtedy i tylko wtedy gdy B jest odwracalne oraz, że w tym ostatnim przypadku wynosi ona detc ( C(x a), x a ) g X (x) = (π) exp, gdzie C = B. d/ 6
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - 7. Rzucamy razy symetryczną monetą. Niech X oznacza łączną liczbę orłów, zaś Y liczbę orłów w pierwszych czterech rzutach. Znajdź E(X Y ) oraz E(Y X).. Załóżmy, że zmienne X, Y przyjmują wartości naturalne oraz Oblicz E(X Y ). P(X = k, Y = l) = { l l. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość g(x, y) = Znajdź E(X Y ). { x dla k l w przeciwnym przypadku. e x(y+) jeśli x >, y > w przeciwnym przypadku. Zmienne X, X,... są niezależne o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ, niech S n = X + X +... + X n. a) blicz E(S n X ), E(S n X ). b) Dla n k wyznacz E(S n S k ), E(S n S k ) oraz E(e Sn S k ). 5. Znajdź przykład zmiennych losowych X, Y, które nie są niezależne, ale E(X Y ) = EX. 6. Zmienne X i Y są niezależne, a f jest borelowską funkcją dwu zmiennych taką, że E f(x, Y ) <. Wykaż, że E(f(X, Y ) Y ) = g(y ) p.n., gdzie g(y) = Ef(X, y). 7. Zmienne X i Y są całkowalne, niezależne i mają jednakowy rozkład. Wykaż, że E(X X + Y ) = E(Y X + Y ) = (X + Y ). 8. Załóżmy, że ε i są niezależnymi zmiennymi takimi, że P(ε i = ±) = /. Oblicz E(ε + ε ε ε ε ) oraz E(ε ε ε + ε ε ). 9. Zmienne X i Y są niezależne o rozkładzie jednostajnym na [, ]. Oblicz E(max(X, Y ) min(x, Y )) oraz E(X X + Y ).. Wektor (X, Y ) ma łączny rozkład gaussowski o średniej zero taki, że Var(X) = σ, Var(Y ) = σ oraz Cov(X, Y ) = c. Oblicz E(X Y ) oraz P(X Y ). 7
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - 8. Zmienne τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F n ) n=. Wykaż, że τ+σ jest momentem zatrzymania. Czy τ, τ+ są momentami zatrzymania?. Zmienne losowe (X n ) są adaptowalne względem filtracji (F n ) n=. Udowodnij, że następujące zmienne losowe są momentami zatrzymania dla dowolnego zbioru borelowskiego B: a) τ = inf{n : X n B} pierwsza wizyta w zbiorze B, b) τ k = inf{n > τ k : X n B}, k =,,... k-ta wizyta w zbiorze B.. Zmienne τ i σ są momentami zatrzymania względem filtracji (F n ) n=. Udowodnij, że {τ < σ}, {τ σ}, {τ = σ} F τ F σ oraz F τ F σ = F τ σ.. Podaj przykład momentu zatrzymania τ, takiego, że σ(τ) F τ. 5. Niech X, X,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o skończonej wariancji i średniej zero oraz S n = X + X +... + X n. Wykaż, że S n i S n Var(S n ) są martyngałami względem filtracji generowanej przez X n. 6. Załóżmy, że ε, ε,... są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że P(ε i = ±) = / oraz F n = σ(ε,..., ε n ). Niech S n = ε +... + ε n. a) Znajdź wszystkie liczby a takie, że (a n cos(s n ), F n ) jest martyngałem. b) Wykaż, że dla dowolnego λ >, ciąg (exp(λs n nλ /), F n ) jest nadmartyngałem. 7. Zmienne X, X,... są niezależne oraz E X i < dla wszystkich i. Udowodnij, że M n = X X X n jest martyngałem względem filtracji generowanej przez X n wtedy i tylko wtedy gdy EX i = dla wszystkich i lub X = p.n.. 8. Niech X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i średniej. Wykaż, że ciąg Z n dany wzorem Z = Z n = X X +X X +...+X n X n, n jest martyngałem względem F n = σ(x, X,..., X n ). 9. Niech t R oraz X, X,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (, ). Przyjmijmy S n = X + X +... + X n oraz F n = σ(x,..., X n ). Znajdź wszystkie ciągi (a n ) takie, że (e itsn+an, F n ) jest martyngałem. 8
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - 9. Ciąg (X n ) jest martyngałem. Zbadaj, czy są pod- bądź nadmartyngałami ciągi: a) ( X n p ) n p ; b) (X n a) n ; c) (X n a) n ; d) (X n) n.. Zmienne X, X,... są niezależne oraz P(X i = ) = p = P(X i = ). Przyjmując S = oraz S n = n i= X i znajdź wszystkie liczby rzeczywiste λ dla których λ Sn jest martyngałem względem filtracji generowanej przez (X n ).. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania (przy skończonym kapitale obu graczy) w grze orła i reszkę monetą niesymetryczną.. Oblicz średni czas oczekiwania na ruinę któregoś z graczy w grze orła i reszkę a) monetą symetryczną, b) monetą niesymetryczną. 5. Niech X, X,... będą niezależnymi zmienymi losowymi takimi, że P (X i = ±) = /, S n = X + X +... + X n oraz τ = inf{n : S n = }. Wykaż, że Eτ =. 6. Gracz A dysponuje nieskończonym kapitałem. Ile wynosi średni czas oczekiwania na wygranie zł. przez A w grze orła i reszkę a) monetą symetryczną, b) monetę niesymetryczną. 7. Niech (X n, F n ) będzie adaptowalnym ciągiem całkowalnym. Udowodnij, że jest on martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ograniczonego momentu zatrzymania τ, EX τ = EX. 8. X, X,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie takim, że EXi <. Udowodnij, że dla dowolnego momentu zatrzymania względem filtracji generowanej przez (X n ) takiego, że Eτ < zachodzi E(S τ τex ) = EτVar(X ). Czy wzór ten musi być prawdziwy bez założenia o skończoności Eτ? 9. Niech (ε n ) n będzie ciągiem niezależnych symetrycznych zmiennych losowych o wartościach ±. Wykaż, że nadmartyngał Z n := e a(ε+...+εn) (na /) jest zbieżny prawie na pewno. Czy jest zbieżny w L?. Niech X, X,... będą niezależne o rozkładzie jednostajnym na [, ]. Wykaż, że n M n = tworzą martyngał (względem filtracji generowanej przez X n ) zbieżny do prawie na pewno, ale nie w L.. Podaj przykład martyngału X n takiego, że X n p.n. oraz E X n. k= X k 9
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Wykaż, że jeśli (X i ) i (Y i ) są jednostajnie całkowalne, to dla dowolnych a, b R, (ax i + by i ) jest jednostajnie całkowalny.. Znajdź jednostajnie całkowalny ciąg X n taki, że E sup n X n =. ϕ(x). Niech ϕ : R + R + spełnia warunek lim x x =. Wykaż, że jeśli sup i Eϕ( X i ) <, to (X i ) jest jednostajnie całkowalny.. Niech X, X,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że X n ma rozkład Poissona z parametrem n. Wykaż, że ciąg M n = (n!) X X n, n =,... jest martyngałem względem filtracji generowanej przez (X n ). Czy M n jest zbieżny prawie na pewno? Czy jest zbieżny w L? Czy jest zbieżny w L? 5. Zmienne ε, ε,... są niezależne oraz P(ε i = ±) = /. Rozstrzygnij, które z podanych poniżej procesów są łancuchami Markowa. a) X =, X n = ε +... + ε n, n =,,... b) Y =, Y n = ε ε ε n,, n =,,... c) Z n = ( ) εn,, n =,,... d) W n = ε n ε n+, n =,,... e) V n = ε n + ε n+, n =,.... 6. Załóżmy, że E jest zbiorem przeliczalnym, f : E R E jest funkcją mierzalną (przyjmujemy, że wszystkie podzbiory E są mierzalne), Y pewną zmienną o wartościach w E, zaś X, X,... ciągiem niezależnych zmiennych losowych. Definiujemy Y n+ = f(x n, Y n ) dla n =,,.... Wykaż, że (Y n ) jest łańcuchem Markowa. 7. Dwa jednorodne łańcuchy Markowa (X n ), (Y n ) z macierzą przejścia P są niezależne. Udowodnij, że Z n = (X n, Y n ) też jest łańcuchem Markowa i znajdź jego macierz przejścia. 8. Ciąg (X n ) n jest łańcuchem Markowa o wartościach w E. Wykaż, że dla dowolnej funkcji różnowartościowej f : E E, (f(x n )) jest łańcuchem Markowa. Czy tak być musi, jeśli nie założymy różnowartościowości f?
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Dla łańcuchów Markowa o przestrzeni stanów {,,, } i poniższych macierzach przejścia znajdź wszystkie stany nieistotne i wszystkie zamknięte zbiory stanów. a) b). (X n ) jest łańcuchem Markowa, czy wynika stąd, że a) P(X n = a k+ X ik = a k, X ik = a k,..., X i = a ) = P(X n = a k+ X ik = a k ) dla dowolnych liczb całkowitych i < i <... < i k < n oraz stanów a, a,..., a k+? b) P(X n A k+ X ik A k, X ik A k,..., X i A ) = P(X n A k+ X ik A k ) dla dowolnych liczb całkowitych i < i <... < i k < n oraz zbiorów stanów A, A,..., A k+?. Udowodnij, że łańcuch Markowa jest nieprzywiedlny wtedy i tylko wtedy gdy nie ma właściwych podzbiorów zamkniętych.. Zmienne Y, Y, Y,... są niezależne i mają ten sam rozkład geometryczny z parametrem. Ciąg zmiennych X, X,... jest określony następująco: X p.n., a dla n, { jeśli Y n =, X n+ = X n Y n jeśli Y n. a) Wykaż, że (X n ) n jest nieprzywiedlnym łańcuchem Markowa. b) Czy ten łańcuch jest okresowy? c) Udowodnij, że wszystkie stany są powracające. 5. Wykaż, że jeśli y jest stanem chwilowym to n= p x,y(n) < dla wszystkich x, w szczególności lim n p x,y (n) =. 6. Wykaż, że skończony łańcuch Markowa ma przynajmniej jeden stan powracający. 7. Wykaż, że w powracalnym i nieprzywiedlnym łańcuchu Markowa z prawdopodobieństwem każdy stan jest odwiedzany nieskończenie wiele razy (niezależnie od rozkładu początkowego).
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Zbadaj okresowość łańcuchów o poniższych macierzach przejścia: a) b). Jednorodny łańcuch Markowa o przestrzeni stanów {,,...} ma macierz przejścia (p n,m ) n,m taką, że p, =, p n,n+ = p n,n = p dla n =,..., gdzie p (, ). W zależności do parametru p wyznacz wszystkie rozkłady stacjonarne.. W dwu urnach znajduje się łącznie n kul. W każdej chwili wybieramy losowo kulę i przenosimy ją do innej urny. Znajdź rozkład stacjonarny liczby kul w pierwszej urnie.. Rozważamy symetryczne błądzenie losowe (X n ) po kracie Z, tzn. ze stanu (i, j) przechodzimy z równymi prawdopodobieństwami do jednego ze stanów (i +, j), (i, j) (i, j + ) i (i, j ). Czy łańcuch Markowa (X n ) jest a) okresowy, b) powracalny? c) Czy istnieje rozkład stacjonarny? 5. Ciąg niezależnych zmiennych losowych Y, Y,... ma wspólny rozkład taki, że P(Y i = ) = P(Y i = ) = p. Definiujemy rekurencyjnie ciąg X n wzorami X =, X n+ = max(x n, ) + Y n. Wykaż, że ciąg ten jest łańcuchem Markowa. Znajdź rozkład stacjonarny, o ile istnieje. 6. W powiecie N. syn piekarza zostaje piekarzem z prawdopodobieństwem /, a syn niepiekarza z prawdopodobieństwem /. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wnuk piekarza jest piekarzem? A potomek w n-tym pokoleniu? Jaki procent ludzi w N. stanowią piekarze?
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Macierz przejścia łańcucha Markowa (X n ) n na przestrzeni S = {,,, } dana jest następująco:. a) Czy jest to łańcuch nieprzywiedlny? b) Oblicz prawdopodobieństwo przejścia w dwu krokach ze stanu do stanu. c) Zakładając, że X = p.n. oblicz prawdopodobieństwo tego, że X n będzie w stanie przed stanem. d) Zakładając, że X = p.n. oblicz wartość oczekiwaną czasu dojścia do stanu.. Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się ciąg 6 lub 66. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ciąg 6 pojawi się wcześniej?. Rzucamy symetryczną monetą aż do momentu, gdy wyrzucimy pod rząd cztery orły. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.