5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3

Transkrypt

1 LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w m komputerach? 2.Czy można dobrać stałe a, b ; aby funkcja F(t) była: (i) dystrybuantą zmiennej losowej; (ii) dystrybuantą zmiennej losowej ciągłej; (iii) dystrybuantą zmiennej losowej dyskretnej? a) ae t, gdy t 1, 1 F (t) =, gdy 1 < t 1, 2 b(2 1 ), gdy t > 1. t b) F (t) = a + barctgt. 3.Sprawdzić, że jeśli gęstość zmiennej losowej X jest funkcją parzystą to dystrybuanta F (t) tej zmiennej spełnia: a) F (0) = 0.5 b) F ( t) = 1 F (t) c) P ( X < c) = 2F (c) 1 d) P ( X c) = 2F ( c) 4.Dla jakiej { wartości a funkcja a(2 x), gdy 1 < x < 2 a) f(x) = 0, gdy x 1 lub x 2 b) f(x) = ae x jest gęstością pewnej zmiennej losowej X. Dla przykładu a) oraz b) znaleźć dystrybuntę zmiennej losowej X, naszkicować wykresy gęstości oraz dystrybuant, obliczyć P (1 < X < 5), P (X < 0 X > 1). 5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową X o gęstości: f(x) = { 1 (3 + 2x 9 x2 ), gdy 0 < x < 3, 0, gdy x 0 lub x 3 Jakie jest prawdopodobieństwo, że zużycie energii w ciągu dnia jest:a) większe niż 100 kwh; b) między 100 a 200 kwh. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 30 dni jest 10 dni, w których 1

2 zużycie energii przekroczy 200 kwh. 6.Czas pracy diody jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z α = Jakie jest prawdopodobieństwo,że dioda będzie pracować co najmniej 5000h? Wiadomo,że dioda pracowała bezawaryjnie przez 1000h, jakie jest prawdopodobieństwo, że popracuje jeszcze co najmniej 5000h? 7.Prawdopodobieństwo wykrycia awarii urządzenia w czasie krótszym niż t minut wynosi F (t) = 1 e 5t. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wykrycie awarii potrzeba: a) więcej niż 4 min. b) więcej niż 4,ale mniej niż 6 min. c) co najwyżej 5 min. Ile potrzeba czasu na wykrycie awarii z prawdopodobieństwem większym niż 0.5? 8.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(-3,2) wyznaczyć, korzystając z tablic: P ( 1 X 1), P (X > 2), P ( 3 X 1), P (X 5), P (X > 10), P ( X > 2). 9.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(m,σ) obliczyć P ( X m < σ). 10.Czas oczekiwania na połączenie telefoniczne w pewnej centrali dla każdego abonenta ma rozkład wykładniczy z α =0.2 s. Z centrali korzysta jednocześnie i niezależnie 100 abonentów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: najkrótszy z czasów oczekiwania na połączenie jest większy niż 5s; najdłuższy mniejszy niż 10s. 11.Czasy pracy każdej z n żarówek są niezależne i mają taki sam rozkład wykładniczy z parametrem α = Niech zmienna losowa X oznacza czas pracy układu złożonego z n żarówek połączonych równolegle, zaś zmienna losowa Y czas pracy układu złożonego z n żarówek połączonych szeregowo. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość X oraz Y. Odpowiedzi do listy 4 zad.1 z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy (pλ)m. m!e pλ zad.2 a) Dla 0 a e oraz b = 1 funkcja F (t) jest dystrybuantą ; 2 2 dla a = e oraz b = 1 funkcja F (t)jest dystrybuantą zmiennej losowej ciągłej; 2 2 nie można dobrać stałych a,b, żeby F (t) była dystrybuantą dyskretnej zmiennej losowej. b) Dla a = 1/2; b = 1/π jest to dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej, odpowiedź na inne pytania jest negatywna. zad.4 a) a=2/9 2

3 0, gdy t 1, 4 F (t) = 9 t 1 9 t2 + 5, gdy 1 < t 2, 9 1, gdy t > 2. P (1 < X < 5) = 1, P (X < 0 X > 1) = 2; 9 3 b) a=1/2 { 1 F (t) = 2 et, gdy t e t, gdy t > 0 P (1 < X < 5) = 1 2 (e 1 e 5 ), P (X < 0 X > 1) = 1(1 + 2 e 1 ). zad.5 a) P (X > 100) = 13, b) P (100 < X < 200) = 1; ( ) ( 5 27 )10 ( )20 zad.6 P (X > 5000) = P (X > 6000 X > 1000) = e 0.5 ; zad.7 a) P (X > 4) = e 20 ; b) P (4 < X < 6) = e 20 e 30 ; c) P (X 5) = 1 e 25 ; P (X < T ) 0.5 dla T 0.2 ln(2). zad.8 P ( 1 < X < 1) = Φ(2) Φ(1) = P (X > 2) = 1 Φ(0.5) = 03085; P ( 3 < X < 1) = ; P (X < 5) = Φ(4) = 1; P (X > 10) = 1; P ( X > 2) = 1 Φ(2.5)+Φ(0.5) zad.9 2Φ(1) 1 = zad.11 X = max(x 1, X 2,..., X n ); Y = min(x!, X 2,..., X n ) { F X (t) = (1 e tα ) n, gdy t 0 { f X (t) = nαe tα (1 e tα ) n 1, gdy t > 0 { F Y (t) = 1 e ntα, gdy t 0 { f Y (t) = nαe ntα, gdy t > 0 LISTA 5 1.Na loterii jest n 1 losów na które pada wygrana x 1, n 2 losów na które pada wygrana x 2,..., n k losów na które pada wygrana x k. Wszystkich losów jest N. Wartość oczekiwana wygranej X przy jednokrotnym losowaniu jest równa połowie ceny losu. Obliczyć cenę losu.czy warto wziąć udział w takiej loterii. 2.Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a,b]. Jaka jest jej wartość oczekiwaną i wariancję. Wyznaczyć stałe A, B takie, że zmienna losowa Y = AX + B ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1]. 3.Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję dla następujących zmiennych losowych: a) zmienna losowa X każdą z wartości 1,2,3,4,5,6 przyjmuje z takim samym 3

4 prawdopodobieństwem; b) P( Y = -2)= P( Y = 0)= 0.1; P( Y = 2)= 0.8; c) dystrybuanta zmiennej losowej Z jest postaci: 0, gdy t 1, F (t) = t 1, gdy 1 < t < 4 1, gdy t 4 d) X ma rozkład wykładniczy z parametrem α. 4.Podać przykład zmiennej losowej X, dla której nie istnieje EX. 5.Dla zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z α = 2 wyznaczyć medianę oraz kwantyl rzędu 3.Jaka jest interpretacja otrzymanych wartości? 4 6.Zmienna losowa X ma rozkład B(n,p). Dla jakich p wariancja X jest największa? 7.Wiedząc,że: EX= -1, EX 2 = 3 wyznaczyć: varx, E(4X-1), var(4x-1), E(-2X-2), var(-2x-2). 8.Rzucamy kostką sześcienną. Niech X oznacza numer rzutu, w którym ścianka z 2 oczkami wypadła po raz pierwszy. Jaka jest EX oraz varx? 9.Prawdopodobieństwo,że obroty firmy jednego dnia przekroczą 1 mln zł wynosi 0.2.Jaka jest oczekiwana, a jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba dni z obrotami większymi niż 1 mln w ciągu 24 dni pracy firmy? Odpowiedzi do listy 5 zad.1 c = 2EX = 1 Ni=1 x N i n i, nie warto,ponieważ cena losu jest większa niż wartość oczekiwana wygranej. zad.2 EX = a+b (b a)2, varx =, A = 1 albo A = 1 ; B = 1 A (a + b) b a b a 2 2 zad.3 a)ex= 7 35, varx = ; b) EY=1.4, vary= c)ez= 7 34, varz= ; d) 3 45 EX=α 1 ; varx=α 2. zad.5 mediana=ln 2, kwantyl rzędu 3 = ln 2; zad.6 p=0.5; 4 zad.7 2; -5; 32; 0; 8. zad.8 EX=6, varx=30; zad.9 EX=4.8,k 0 = 4lubk 0 = 5. LISTA 6 1.Czas sprawnej pracy mierników pewnego typu (w dniach) ma rozkład N(1000,100).Jaki powinien być okres gwarancji, aby na 99% miernik działał 4

5 przynajmniej przez okres gwarancji? 2.Czas działania (w dniach) drukarek pewnego typu ma rozkład N(1000,σ).Dla jakich σ drukarka będzie działała co najmniej 900 dni z prawdopodobieństwem Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 8. Dla zmiennej losowej Y = 2X + 3 wyznaczyć: EY, vary oraz rozkład prawdopodobieństwa. 4.Niech P(X=2)=P(X=-1)=0.2; P(X=1)=0.1; P(X=-4)=0.5. Dla Y = X 4 wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz EY. 5.Energia kinetyczna K poruszającego się ciała o masie m wyraża się wzorem K = 1 2 mv 2, gdzie V jest prędkością. Wyznaczyć dystrybuantę K, jeśli V jest zmienną losową o rozkładzie N(0, σ). Obliczyć P (K > 2m), P (K < m σ 2 ). 6.Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem α. Wyznaczyć dystrybuantę oraz wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y = X. 7.Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [0,a]. Obliczyć: a) EX k, k = 1, 2, 3,...; b) Ee X ; c)ecosx. 8.Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1]. Obliczyć EY dla Y=min(X,1-X). 9.Niech ciągła i rosnąca funkcja F (x) będzie dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej Y = F (X). Jaki rozkład ma zmienna losowa Y? 10.Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [-1,5]. Dla zmiennej losowej Z = max(x 1, X 2 ) wyznaczyć funkcję gęstości oraz obliczyć EZ. Odpowiedzi do listy 6 zad.1 co najwyżej 767 dni, zad.2 Φ( 100 ) 0.95,, σ 61 σ zad.3 EY = 13; vary = 32, P (Y = k) = e 8 8m gdzie m = 3 k ; k = 3, 1, 1, 3,... m! 2 5

6 zad.4 P(Y=1)=0.3; P(Y=16)=0.2; P(Y=256)=0.5; EY= zad.5 F (t) = 2Φ( 2t σ ) 1 m P (K > 2m) = 2Φ( 2 ); P (K < m ) = 2Φ( 2) 1. { σ σ 2 zad.6f Y (t) = 1 e αt2, gdy t > 0 ; EY = π 2. α zad.7 a) EX k = ak k+1 b) Ee X = ea 1 a c) EcosX = sina. a zad.8 EY=0.25 zad.9 Y ma rozkład { jednostajny na [0,1]. t+1, gdy 1 < t < 5 zad.10 f Z (t) = 18, 0, poza EZ=3. LISTA 7 1.W windach osobowych jest napis: maksymalne obciążenie 7 osób albo 500 kg. Zakładając,że waga pasażerów ma rozkład N(70,4) obliczyć prawdopodobieństwo, że waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 500 kg. 2.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n są niezależne i każda ma rozkład N(0,1).Jaki rozkład prawdopodobieństwa ma zmienna losowa Y n = 1 nk=1 n X k. 3.Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi Ile prób należy wykonać,aby prawdopodobieństwo,że liczba sukcesów odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej niż 20% wszystkich prób było większe od 0.8? 4.Prawdopodobieństwo porażki w każdej próbie wynosi 0.9. Oszacować: a) wykorzystując nierówność Czebyszewa; b) centralne twierdzenie graniczne prawdopodobieństwo,że w 400 próbach liczba porażek będzie większa niż 320 i mniejsza niż Komputer dodaje 1200 liczb rzeczywistych przedtem każdą zaokrąglając do najbliższej liczby całkowitej.zakładamy, że błędy zaokrągleń są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [-0.5; 0.5]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że błąd w obliczaniu sumy będzie większy niż 5 i mniejszy niż 10? 6.Czas pracy diody (w godz.) jest wykładniczy z α = Jakie jest prawdopodobieństwo,że zapas 100 diod wystarczy na co najmniej go- 6

7 dzin pracy? 7.Korzystając ze zdjęć satelitarnych mierzono odległości między 2 obiektami. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi opisującymi wyniki kolejnych pomiarów.założono,że EX k = d, varx k = 1, k=1.2,...,n. Za oszacowanie odległości d przyjęto Y n = 1 n X k n k=1. Ile pomiarów należy wykonać, aby P ( Y n d 0.1) Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie konserwacji 100 aparatów zepsuje się: a) nie mniej niż 5 aparatów; b) więcej niż 5 i mniej niż 10 aparatów? 9.Jeśli gracz wyrzuci kostką sześcienną 6 oczek to wygrywa 4 zł, w przypadku innej liczby oczek przegrywa 1 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy 500 rzutach przegra więcej niż 200 zł? 10.Prawdopodobieństwo,że wyprodukowany detal okaże się dobry wynosi 0.9. Ile elementów należy wyprodukować,aby prawdopodobieństwo, że będzie wśród nich co najmniej 50 dobrych było większe niż 95%. 11.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że Σ100 k=1x k przyjmie wartości mniejsze niż 4 i większe niż 3.5. Dla jakiego n, 1 n Σn k=1x k odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej niż 1,z prawdopodobieństwem większym niż 0.9? 12.Rzucamy 900 razy monetą. Wykorzystując centralne tw. graniczne znaleźć najkrótszy przedział, który z prawdopodobieństwem 0.95 nakrywa liczbę wyrzuconych orłów. 13.Dana jest funkcja f(x) całkowalna na przedziale [0,1]; 0 < f(x) < 1 oraz niech I = 1 0 f(x)dx. Ciąg (X n, Y n ); n = 1, 2,... jest ciągiem punktów losowo wybranych z kwadratu o wierzchołkach (0, 0); (0, 1); (1, 1); (1, 0). Niech Z n oznacza liczbę tych punktów (X k, Y k ); 1 k n, które leżą pod wykresem funkcji f(x). 7

8 Jaki rozkład prawdopodobieństwa ma zmienna losowa Z n? Wykazać, że dla każdego ɛ > 0 zachodzi lim n P ( Zn I < ɛ) = 1. n 14.W ciągu (X n ); n = 1, 2,... odbieranych niezależnych sygnałów zmienne losowe X 2n mają rozkład jednostajny na przedziale [1,3], zaś zmienne losowe X 2n 1 mają rozkład jednostajny na przedziale [-1,1]. a)do czego jest zbieżny według prawdopodobieństwa ciąg zmiennych losowych Y n ; n = 1, 2,...; gdzie Y n = 1 2n 2n k=1 X k? b)jaka jest granica ciągu dystrybuant zmiennych Z n, gdzie Z n = 1 2n 2n k=1 (X k EX k )? Obliczyć P (Z n > 0). Odpowiedzi do listy 7 zad , zad.2 N(0,1) zad.4 a)większe niż 391; b)równe zad.6 Φ(2)= zad.8 a) 1-Φ( 15) = b)φ( 40) Φ( 15) = zad.9 Φ( 2.8) = ; zad.10 n 70. zad.11 n 44 zad.12 [471,529]. 8