Krzysztof Paseck Aksjomatyka arytmetyk fasowej Problem badawczy Peądz odpowedo traktoway zwększa swą wartość wraz z upływem czasu. Jest to przyrost wartośc realej będącej aturalą kosekwecją ogólego keruku rozwoju społeczośc ludzkej, polegającej a zwększeu wartośc tworzoych towarów usług. Peądz, jako ekwwalet tych produktów bezpośredo a e wymealy, zwększa zatem w czase swą wartość. Jest to wydealzoway ze względów a zastosowae tutaj zasadę ceters parbus model przyrostu wartośc peądza. Ostato w polskej lteraturze problem pracy ludzkej jako czyka kształtującego przyrost wartośc jedostk peężej podos Dobja [Dob02] cytując przy okazj cały szereg prac rówe prometych autorów wyrażających te sam pogląd. Przyrost te jest dokłade modeloway przy pomocy całego systemu rówań azywaego kedyś matematyką fasową[ds95],a w chwl obecej arytmetyką fasową [Sma99] lub teorą procetu [Lue03]. Przy aalze tych model w [DS95] lub w [Sma99] lub w [Sob97] uderzała me wysoka złożoość logcza tych model wyrażająca sę dużą loścą zapsaych tam pozore ezależych rówań. Uproszczea logczego tego systemu moża było szukać jedye a drodze zbudowaa matematyczej teor aksjomatyczo-dedukcyjej opartej a możlwe małej lośc aksjomatów. Jako pukt wyjśca do docekań przyjąłem modele opsae w [Pec72] [Cas86]. Dla porządku rzeczy warto tutaj zazaczyć, że z odmeego puktu wdzea modele te już aalzował Calz [Cal90]. Perwszą wersję propoowaego przeze me układu aksjomatyczego przedstawłem a Koferecj Naukowej Praktycze Problemy Mkroekoometr - Śwoujśce 94. Uważym aaltykom dat wyjaśam tutaj, że załem już w tamtej chwl powelaczową wersję [DS95]. Stawałem sobe tutaj sobe dodatkowy cel; Zbudować układ aksjomatyczy azyway układem a pror a tyle pojemy, aby jego potecjał pozwolł adać wspólą bazę formalą: procedurom ocey porówaa projektów westycyjych [Jo00], determstyczym modelom różcowym [FF00] różczkowym ryku fasowego, zróżcowaym strukturom stóp procetowych [Jac97] dalej stochastyczym rówaom procesów fasowych [WW97] podstawowych metodom model aalzy portfelowej [EG98]. Taka wędrówka z aksjomatam z 995 została odbyta wymusła
koeczość modyfkacj wspomaego początkowego układu a pror aksjomatów. W te sposób powstał układ a posteror aksjomatów arytmetyk fasowej. Przedstawee teor złożoej ze zmodyfkowaego układu aksjomatów dowedzoych elemetarych twerdzeń będze główym celem ejszej pracy. Zdecydowao sę już tutaj a posługwae sę termologą stosowaej w zaawasowaych dzałach matematyk fasowej. Falą postać welu twerdzeń zredagowao w te sposób, aby ch tezy pokazywały rówaa różcowe stosowae późej w metodach matematyczych żyer fasowej..aksjomatyczy model akumulacj kaptału Na wstępe zajmemy sę budową modelu opsującego proces przyrostu (akumulacj) wartośc peądza w czase. Rozważaa rozpoczemy od jedozaczego wyróżea przedzału czasowego 0,T aszej aalzy kaptałowej. Przedmotem aszych docekań będze strumet fasowy o wartośc C w momece t 0. Wartość C azywać będzemy wartoścą beżącą lub rówoważe wartoścą początkową. Przyjmujemy tutaj umowę, że eujeme wartośc fasowe odpowadać będą przychodom, ależoścą lub pozostałym aktywom, podczas gdy ujeme wartośc fasowe opsywać będą wydatk, zobowązaa lub e pasywa. Wartośc beżącej (wartośc początkowej ) C dowolemu mometow czasowemu t 0,T (wartość końcową ) C t poższa defcja. przypsujemy wartość przyszłą FV,. Podstawowe własośc wartośc przyszłej opsuje Defcja.: Wartoścą przyszłą azywamy fukcję FV : R [0, T] R spełającą - dla dowolych wartośc początkowych czasowych t t 0, T FV, 2 waruk: C C, t FV C, t FV C t 2 2, 2 C, C 2 R mometów ; (.) t t C 0 FV C, t FV C t ; (.2) 2 2, C, 0 C FV. (.3) Waruek (.) zakłada, że dowole wyzaczaa wartość przyszła jest fukcją addytywą wartośc beżącej. Waruek (.2) formuje as, że wraz z upływem czasu wartość przyszła aktywów e może zmaleć. Iaczej mówąc, a oszczędzau e moża stracć. Waruek (.3) detyfkuje wartość przyszłą przypsaą chwl beżącej z wartoścą beżącą. Twerdzee.: Waruk (.)(.3) są warukam dostateczym koeczym a to, aby wartość przyszła FV spełała tożsamość
FV C t C t, (.4) gdze czyk redyskotujący : 0, T, spełającą waruek jest emalejącą fukcją 0. (.5) Dowód: Z (.2) I (.3) dla dowolej pary C, t R 0, T C, t FV C,0 C 0 FV. Stąd jeśl C2 3 otrzymujemy C, to z (.) dla dowolego ustaloego t 0,T C t FV C C, t FV C, t FV C t FV,., 2 2 2 mamy Ostata erówość wraz z (.) dowodzą, że fukcja FV t: R R, speła założea Lematu A. Zgode z tym dla dowolej pary C, t R0, T FV C, t C FV, t C t mamy co kończy dowód tożsamośc (.4). Wymeoe w dowodzoym twerdzeu własośc czyka redyskotującego wykają bezpośredo z (.2) (.3). Dowód mplkacj odwrotej jest oczywsty. Kolejym przedmotem aszych docekań będze strumet fasowy o wartośc C przypsaej mu w przyszłym momece t 0. Odpowedzą a pytae jaka jest wartość beżącą (wartość początkowa) tego strumetu fasowego będze przypsae wartośc przyszłej (wartośc końcowej ) C dowolemu mometow czasowemu t 0,T wartośc początkowej przyszłą C t PV,. Dla dowolego, ustaloego przyszłego mometu t 0 wartość beżącą wartośc C przypsaej temu mometow defujemy jako taką wartość, której wartość przyszła jest rówa wartośc oceaej wartośc C [Cal90]. Ta defcja w rówoważy sposób może być zapsaa przy pomocy tożsamośc FV PV C t, t C,. (.6) Twerdzee.2: Tożsamość (.6) jest rówoważa tożsamośc PV FV C t, t C, (.7) Dowód: W tożsamośc (,6) podstawamy C FV C, t PV FV C, t, t, t FV C t mamy wtedy FV,, co razem z (.4) (.5) daje PV FV C t t t C t,. Czyk redyskotujący jest dodat co kończy, dowód rówoważośc tożsamośc (.6) (,7). Twerdzee.3: Waruk (.), (.2), (.3) (.6) są warukam dostateczym koeczym a to, aby wartość początkowa PV spełała tożsamość
PV C t C t C t, (.8) gdze czyk dyskotujący : 0, T 0, waruek jest erosącą fukcją spełającą 0. (.9) Dowód: Tożsamość (.8) otrzymujemy bezpośredo z (.4) (.6). Właścwośc czyka dyskotującego są bezpośreda kosekwecją własośc czyka redyskotującego. Twerdzee.4: Waruk (.), (.2), (.3) (.6) są warukam dostateczym koeczym a to, aby dla dowolych wartośc C,C 2 R t,t 2 [0;T] spełoe były waruk: PV C C, t PV C, t PV C t ; (.0) 2 2, t t C 0 PV C, t PV C t ; (.) 2 2, C, 0 C PV. (.2) Dowód: Waruk (.0), (.) (.2) wykają z Twerdzea.3. Dowodząc koeczośc koukcj waruków (.), (.2), (.3) (.6) zakładam, że spełoe są waruk (,0), (.) (.2). Dalej, stosując rozumowae aalogcze do woskowaa przedstawoego w dowodze Twerdzea. dowodzę tożsamość (.8), co razem z Twerdzeem.3 kończy dowód. Defcja.2: Jeżel para FV, PV wartośc przyszłej beżącej speła waruek (.6), to azywamy je wartoścam sprzężoym. Każdy model wartoścowaa kaptału składa sę ze sprzężoego układu przecwstawych procesów akumulacj wartośc beżącej dyskotowaa wartośc przyszłej. Przedstawoe tutaj wyk pozwalają a wysuce astępujących wosków o dowolym modelu wartoścowaa kaptału: - wartośc przyszłe moża określć jedye przy pomocy tożsamośc (.4) ; - wartośc beżące moża określć jedye przy pomocy tożsamośc (.8) ; - dla jedozaczego zdefowaa modelu wartośc wystarczy jedozacze określć merytorycze uzasadoą wartość przyszłą lub merytorycze uzasadoą wartość beżącej. Poadto tożsamośc (.4) (.8) pozwalają badae własośc wartośc przyszłej wartośc beżącej zastąpć rówoważym badaem własośc czyka,redyskotującego czyka dyskotującego. Pozwol to a omęce w dalszych rozważaach kłopotlwego problemu zaku wartośc strumetu fasowego. 4
Kolejym problemem, przed jakm stajemy jest porówae pewych dwóch metod dyskotowaa. Perwsza z ch polega a bezpośredm wyzaczeu wartośc beżącej dyskotowaej wartośc strumetu fasowego. Druga metoda wymaga wyzaczea dla dyskotowaej wartośc jej wartośc przyszłej przypsaej pewemu przyszłemu mometow a astępe przypsae uzyskaej wartośc przyszłej jej wartośc beżącej. Obe metody ujęto w sposób schematyczy a rysuku. PV(C,t) C FV(C,T-t) 0 t T PV(FV(C,-t),) Rysuek. Schemat opsujący dwe metody dyskotowaa FV(C,-t) Naturalym wydaje sę tutaj oczekwae, że dla dowolego mometu z przedzału aalzy kaptałowej obe metody dyskotowaa dadzą te sam wyk. Zmerzając do zweryfkowaa tych oczekwań wyróżamy astępującą klasę par wartośc beżących wartośc przyszłych. Defcja.3: Jeżel dla każdej trójk 2 C, t, R 0, T takej, że t, para FV, PV fukcj wartośc przyszłej beżącej speła waruek PV C, t PV FV C t,,, (.3) to azywamy je zgodym. Twerdzee.5: Każda para wartośc zgodych jest parą wartośc sprzężoych. Dowód: W (.3) podstawamy t 0 w te sposób dzęk (.2) otrzymujemy (.7), co razem z Twerdzeem.2 kończy dowód. Twerdzee odwrote e jest prawdzwe, gdyż mamy Kotrprzykład.:Dla dowolej wartośc stopy omalej p R fukcję wartośc przyszłej określamy przy pomocy tożsamośc FV C t C t p,. Zauważmy a margese aszych rozważań, że jest to dobrze zaa z praktyk metoda oprocetowaa prostego. Sprzężoa fukcja wartośc beżącej jest wtedy daa tożsamoścą C PV C, t p t. Podstawając C 00, t 0,5,, p 0,2 20% otrzymujemy 5
00;0,5 PV FV 00,0,5, 9, 70 90,90 PV. Twerdzee.6: Wartość przyszła określoa przy pomocy tożsamośc (.4) sprzężoa z ą wartość beżąca są zgode wtedy tylko wtedy, gdy czyk redyskotujący : 0, T, t day jest tożsamoścą t. (.4) Dowód: Załóżmy, że para sprzężoych wartośc przyszłej beżącej jest zgoda. Zgode z (.4), (.8) (.3) - dla każdej pary 2 czyk redyskotujący : 0, T, t speła waruek 6 t, 0, T take, że t t. () Załóżmy teraz, że przy powyższych założeach czyk redyskotujący e jest fukcja rosącą. Isteje wtedy przyajmej jeda para 2 t t t 2. Z () mamy wtedy t 2 t t t 2 t t, T taka, że t2 0,, () co razem z tym, że czyk redyskotujący zawsze jest emalejącą fukcją czasu dowodz stea takej wartośc 0, że dla każdego 0, mamy. () Dowoly momet czasowy t 0,T lczb 0, możemy przedstawć jako skończoą sumę spełających własość (). Korzystając z (.5) () przy pomocy dukcj matematyczej możemy wykazać, że t t. () W sytuacj, gdy czyk redyskotujący jest fukcją rosącą logarytmujemy obustroe () te sposób wykazujemy, że fukcja Lematu A. Dowedlśmy w te sposób, że dla dowolego t 0,T l t l t, l speła założea mamy co jest rówoważe tożsamośc (.4). Podsumowując, koeczość waruku (.4) została wykazaa. Dowód dostateczośc waruku (.4) jest trywaly. Pokazao powyżej, że własość zgodośc wartośc przyszłej beżącej wyróża pewą podklasę sprzężoych wartośc przyszłej beżącej. Wyk przedstawoe w Kotrprzykładze. Twerdzeu.6 wyraźe wskazują, że własość zgodośc e jest własoścą powszechą. Z drugej stroy tucja podpowada, że zgodość stosowaych fukcj wartoścowaa kaptału gwaratować może wychodzć aprzecw oczekwaom aaltyków fasowych. Z tego powodu dalsze
uszczegółowae postac fukcj wartośc przyszłej sprzężoej wartośc beżącej obarczoe będze postulatem wyzaczaa wartośc zgodych. Pomoce przy tych poszukwaach będze Twerdzee.6. 2.Oprocetowae proste W rozdzale tym zajmemy sę wyzaczaem odsetków rozumaych jako koszt użytkowaa kaptału. Przyjmemy tutaj dwe umowy odoszące sę kolejo do sposobu pomaru czasu sposobu pomaru cey kaptału. Po perwsze przyjmemy, że pojedyczy okres obrachukowy ( rok ) ma długość. Pozwol to a omęce wszystkch kotrowersj zwązaych ze zróżcowaym podejścem do lośc d w roku reprezetowaym poprzez róże ustawy. Ceę kaptału będzemy określać poprzez te ułamek jego wartośc, który jest rówy kosztow użytkowaa przez jede okres obrachukowy ( rok ). Ułamek te azywamy stopą omalą wyrażamy jako ułamek dzesęty. Dodatkową zaletą przyjęca takego układu jedostek pomaru czasu cey kaptału jest względa prostota wyprowadzaych późej formuł arytmetyk fasowej. 2. Oprocetowae stałe Przyjmujemy tutaj założee, że w przedzale aalzy kaptałowej 0,T cea kaptału jest stała jest rówa stope omalej p R. Wartośc beżącej (wartośc początkowej ) kaptału C dowolemu czasow użytkowaa kaptału 0 przypsujemy wtedy odsetk C t p t,t poprawy sposób określoe są przez poższą defcję. P,. O odsetkach zakładamy, że w Defcja 2.: Odsetkam azywamy fukcję P p: R0, T R, spełającą - dla dowolych wartośc początkowych C, C 2 R dowolych czasów użytkowaa t, t 2 0, T waruk: C C, t p PC, t p PC t p P 2 2,, (2.) C, t t p PC, t p PC t p P 2, 2, (2.2), t 0 0 C 0 t 0 P C, (2.3) ; p p P. (2.4) Waruk (2.) (2.2) przedstawają odsetk jako dwu-addytywą fukcję wartośc początkowej kaptału czasu użytkowaa kaptału. Waruek (2.3) poucza as, że e jest możlwym bezkosztowe użytkowae kaptału. Waruek (2.4) jest sformalzowaą defcją stopy omalej. 7
Twerdzee 2.:Waruk (2.)(2.4) są warukam dostateczym koeczym a to, aby odsetk P p P C t p C t p, spełały tożsamość,. (2.5) Dowód: Korzystając z (2.) (2.3) w detyczy sposób, co w dowodze Twerdzea., dowodzmy, że odsetk są addytywą ścśle rosącą fukcją wartośc początkowej kaptału. Dzęk temu Lematow A możemy zapsać tożsamość C, t p C P t p P,. () Korzystając teraz (2.2) (2.3) możemy w detyczy - co powyżej - sposób doweść koleją tożsamość, t p t P, p P. () Zestawając razem (), () (2.4) otrzymujemy tożsamość (2.5). Podsumowując, koeczość waruku (2.5) została wykazaa. Dowód dostateczośc waruku (2.5) jest trywaly. Tożsamość (2.5) jest powszeche zaa już od dawa. Główym celem rozumowaa zapsaego w tym podrozdzale jest próba zdetyfkowaa przesłaek formalych defcj odsetek ( waruk Defcj 2. ) oraz stwerdzee, że tożsamość (2.5) opsuje jedyy sposób oblczea odsetek. 2.2 Oprocetowae zmee Przedzał aalzy kaptałowej 0,T dzelmy a epuste podprzedzały,,2 take, że w każdym przedzale,,.., cea kaptału jest stała jest rówa stope forward p R. Tą zmeość cey kaptału w formaly sposób opsuje poższa defcja. Defcja 2.2: Strukturą termową jedo okresowej stopy forward azywamy fukcję : 0,T R opsaą przy pomocy tożsamośc t p t,. (2.6),2,..., Wartośc beżącej (wartośc początkowej ) kaptału C dowolemu czasow użytkowaa kaptału t 0,T odsetk P C, t są przez poższą defcję. przypsujemy wtedy - przy zmeej stope forward -.O odsetkach tych zakładamy, że w poprawy sposób określoe 8
Defcja 2.3: Odsetkam przy zmeej stope forward azywamy fukcję P, : R[0, T] spełającą - dla dowolej wartośc początkowej C R - R waruk: P C,0, (2.7) 0,2,..., t, t 2 t 2 t, P C, t PC, t PC, t t p 2 2. (2.8) Łatwo moża wykazać, że odsetk przy zmeej stope forward są rosącą fukcją czasu spełającą dla każdego t,,2,..., P tożsamość t C, t C udu C p j j j p t 0 j (2.9) Jeśl struktura termowa jedo okresowej stopy forward jest stała, to pojęce odsetek przy zmeej stope redukuje sę do pojęca odsetek określoego w Defcj 2. dla stałej stopy. W aalze kaptałowej rówolegle z pojęcem struktury termowej jedo okresowej stopy forward posługujemy sę pojęcem struktury termowej jedo okresowej stopy spot. Defcja 2.4: Strukturą termową jedo okresowej stopy spot azywamy fukcję 0 R p :,T opsaą przy pomocy tożsamośc, t pt P, t t P. (2.0) Z tożsamośc (2.5) (2.9) uzyskujemy zależość opsującą dla każdego t,,2,..., strukturę stopy spot p t t udu p j j j p t t 0 t j. (2.) Zmeość struktury termowej jedo okresowej stopy spot opsuje zmeość wartośc stopy omalej uzależoej od horyzotu czasowego aalzy kaptałowej. 2.3 Wartość ależa Załóżmy, że daa jest struktura termowa jedo okresowej stopy forward. Oprocetowae proste stosujemy w sytuacj, gdy e korzystamy z kaptalzacj odsetek Jedym ze sposobów ocey zma wartośc kaptału w czase t 0,T wtedy określee jego wartośc ależej C t wartośc początkowej kaptału C ależych odsetek jest FV, rozumaej jako sumy 9
Defcja 2.5: Wartoścą ależą azywamy fukcję FV, : R[0, T] R spełającą tożsamość FV C, t C P C, t. (2.2) Korzystając z opsaych powyżej własośc odsetek łatwo moża doweść, że: Twerdzea 2.2: Wartość ależa FV : R[0, T] R, jest wartoścą przyszłą wyzaczoą przy pomocy czyka redyskotującego : 0, T, określoego dla każdego t,,2,..., przy pomocy zależośc t. (2.3) t udu p j j j p t 0 j Pojęce wartośc ależej stosujemy w jedo okresowych modelach aalzy kaptałowej. 3.Oprocetowae złożoe Kaptalzacja odsetek polega a powększeu wartośc kaptału o odsetk ależe z tytułu użytkowaa tego kaptału. W rozdzale tym zajmemy sę aalzą kaptałową w sytuacj, gdy w przedzale czasowym 0,T tej aalzy wyróżamy cąg T 0 mometów czasowych, jedye w których są kaptalzowae odsetk. Bez utraty ogólośc rozważań możemy założyć, że cąg te speła waruek 0 2 T T T... T 0 T. (3.) Do jedozaczego określea wartośc odsetek ależych za użytkowae kaptału w przedzale T, T wystarczy zajomość wartośc p jedo okresowej stopy procetowej spot wyzaczoej dla tego przedzału oraz długośc T tego przedzału wyzaczoej przy pomocy różcy T T T. (3.2) W przypadku uwzględaa kaptalzacj odsetek jedo okresowe stopy spot zaczyają odgrywać rolę welo okresowej struktury termowej stopy forward azywaej w skróce strukturą termową stopy forward. Defcja 3.: Strukturą termową stopy forward azywamy fukcję 0,T R : opsaą przy pomocy tożsamośc t p t T T,. (3.3),2,..., Każdą strukturę termową stopy forward możemy w rówoważy sposób opsać przy pomocy cągu par czasów oczekwań a kaptalzację T, p 0
wyzaczoych przy pomocy zależośc (3.2) welo okresowych stóp forward Stąd stosowe do potrzeb, rówoważe symbole stosować T, p będzemy zamee. Czas oczekwań a kaptalzację azywamy też w skróce okresem kaptalzacj. Nech będze daa struktura termowa stopy forward. Oprocetowau podlega jedye kaptał. Wartoścą kaptalzowaą F V C, t kaptału o wartośc początkowej C lokowaego a przecąg czasu t 0,T azywamy wartość początkową tego kaptału powększoą o wartość kaptalzowaych kolejo odsetek. Defcja 3.2: Wartoścą kaptalzowaą azywamy fukcję FV : R0, T R, spełającą dla dowolych wartośc C R,2,.., ]T k- ;T k [ waruk: T, T C R FV C t C t,, (3.4), C T FV C, T PC T F V, (3.5) FV,, C 0 C,. (3.6) Odsetk ależe za użytkowae kaptału w przedzale T, T możemy skaptalzować jedye a początku tego przedzału ( kaptalzacja z góry ) lub a końcu tego przedzału ( kaptalzacja z dołu). Defcja 3.3: Wartoścą kaptalzowaą z góry azywamy każdą wartość kaptalzowaą FV, : R0, T R wartośc C R,2,.., waruek: T, T FV C, t FV C T p. spełającą dodatkowo dla dowolych t,. (3.7) Defcja 3.4: Wartoścą kaptalzowaą z dołu azywamy każdą wartość kaptalzowaą FV, : R0, T R wartośc spełającą dodatkowo dla dowolych C R,2,.., waruek: T T FV C, t FV C T t. (3.8),, Szczegółowa aalzę każdej z wartośc kaptalzowaych przeprowadzmy dla różych przypadków struktury termowej stopy forward. 3. Struktura termowa stopy forward w peł eregulara Zakładamy tutaj, że cąg par jest zbudoway ze zróżcowaych T, p co długośc okresów kaptalzacj z różych wartośc p welo okresowej stopy forward. Możemy wtedy wykazać, że:
Twerdzee 3.: Jeśl struktura termowa stopy forward dla każdej lczby aturalej speła waruek p T, (3.9) to wartość kaptalzowaa z góry FV, R 0, T R jest wartoścą przyszłą wyzaczoą przy pomocy czyka redyskotującego : 0, T, określoego dla każdego,2,..., przez zależośc T T p T 0. (3.0) T T T t T t, (3.) Dowód: Z waruków (3.4), (3.5) (2.5) otrzymujemy (.). Korzystając z (3.4), (3.5) (3.7) woskujemy, że zachodz (.2). Waruek (.3) wyka bezpośredo z (3.6). Wartość kaptalzowaa z góry jest zatem wartoścą przyszłą. Dla każdego,2,..., t T, T otrzymujemy przy pomocy zależośc (.4), (2.5), (3.4), (3.6) (3.7) T T T p T, co dowodz (3.0). Zależość (3.) wyka bezpośredo z (3.7). Twerdzee 3.2: Wartość kaptalzowaa z dołu FV, R 0, T R jest wartoścą przyszłą wyzaczoą przy pomocy czyka redyskotującego : 0,, określoego dla każdego,2,..., przez zależośc T 0 T T T p T, (3.2) t T T t T,. (3.3) Dowód: Z waruków (3.4), (3.5) (2.5) otrzymujemy (.). Korzystając z (3.4), (3.5) (3.8) woskujemy, że zachodz (.2). Waruek (.3) wyka bezpośredo z (3.6). Wartość kaptalzowaa z dołu jest zatem wartoścą przyszłą. Dla każdego,2,..., t T, T przy pomocy zależośc (.4), (2.5), (3.4), (3.6) (3.8) otrzymujemy (3.2). Zależość (3.3) wyka bezpośredo z (3.8). Rozwązaem rówaa różcowego (3.0) jest cąg rekurecyje T T 0 określoy 0 T, (3.4) p T 2
zaś rozwązaem rówaa różcowego (3.2) jest cąg rekurecyje T T p T 0 T 0 określoy. (3.5) Stosując dukcję matematyczą łatwo moża doweść, że cąg (3.4) (3.5) dla każdego,2,..., spełają erówość T T. (3.6) Fakt te jest sprzeczy z tucją, która podpowada, że tempo wzrostu wartośc kaptału zależy od stosuków paujących a ryku fasowym jego realym otoczeu gospodarczym [Dob02], a e od przyjętej metody kaptalzacj odsetek Rodz to potrzebę wyzaczea dla celów kaptalzacj z góry takej struktury termowej stopy forward, że zachowae zostae tempo wzrostu wartośc kaptału wyzaczoe przez czyk redyskotujący kaptalzacj z dołu. Defcja 3.5: Strukturą termową stopy forward kaptalzacj z góry azywamy fukcję : 0,T R opsaą przy pomocy tożsamośc t p t T T, (3.7),2,..., dodatkowo spełającą dla każdego T T,2,..., waruek (3.8) Twerdzee 3.3: Dla daej struktury termowej stopy forward T, p steje dokłade jeda struktura termowa stopy forward kaptalzacj z góry T, p. Speła oa waruek (3.9) dla każdego,2,.., określoa przy pomocy zależośc p T jest p p. (3.9) Dowód: Zestawając razem (3.4) (3.5) otrzymujemy (3.9), który to waruek jedozacze określa strukturę termową stopy forward kaptalzacj z góry mplkuje spełae waruku(3.9). Zestawając razem (3.), (3.3), (3,5) (3.6) otrzymujemy a koec t 0, T t t t. (3.20) Porówując z Twerdzeem.6 stwerdzamy, że żada z przedstawoych tutaj fukcj wartośc przyszłych e geeruje sprzężoej z ą beżącej wartośc zgodej. 3
3.2 Regulara struktura termowa stopy forward warukem Rozważmy teraz założee o stałośc okresu kaptalzacj wyrażoe d R,2,..., T d, (3.2) oraz założee o stałej stope forward wyrażoe warukem p R,2,..., p p. (3.22) Założee o strukturze termowej stopy forwar że speła jedye jede z powyższych zawężających waruków e wos żadych stotych zma w zależoścach arytmetyk fasowej. Prześledźmy zatem jedye skutk przyjęca obu założeń rówocześe. Wtedy struktura termowa jest reprezetowaa rówoważe przez cąg uproszczoej postac FV p, p FV, d p, dowolą wartość kaptalzowaą zapsujemy w. (3.24) Rozwązaem rówaa różcowego (3.0) jest wtedy cąg d d p określoy przy pomocy zależośc d p p d, 0, (3.25) Cąg te wraz z zależoścą d t p d d p t, (3.26) zastępującą zależość (3.) opsuje czyk redyskotujący p kaptalzacj z góry. Rozwązaem rówaa różcowego (3.2) jest wtedy cąg d d p określoy przy pomocy zależośc d p p d, 0, (3.27) Cąg te wraz z zależoścą d t p t d p (3.28) zastępującą zależość (3.3) opsuje czyk redyskotujący p z dołu. Poadto stopa forward zależośc p kaptalzacj p kaptalzacj z góry jest daa przy pomocy p. (3.29) p d 4
Dodatkowo w przypadku regularej struktury termowej stóp forward możemy w prosty sposób opsać metodę kaptalzacj cągłej rozumaej jako wydealzoway model, w którym okres kaptalzacj jest dowole krótk. Używając języka sformalzowaego zakładamy, że okres kaptalzacj dąży do zera. Ilość mometów kaptalzacj poprzedzających dowoly momet czasowy t 0,T eskończoośc. Twerdzee 3.4: ( O kaptalzacj cągłej ) pt 0, T lm t p lm t p lm t d p e d0 d0 d0 dąży wtedy do t,. (3.30) Dowód: Dowód powyższej tezy dla czyka redyskotującego kaptalzacj z dołu p dla czyka redyskotującego z góry p przykład w [DS95]. Dla czyka p (3.20) twerdzea o trzech cągach. moża zaleźć a zależość (3.30) wyka wprost z Twerdzee 3.5: Wartość kaptalzowaa cągle FV, p: R0, T R określoa przy pomocy tożsamość FV pt C t p C t p C e, (3.3) jest wartoścą przyszłą kaptału. Dowód: Wprost z Twerdzea. własośc fukcj wykładczej. Twerdzee 3.6: Dowola wartość kaptalzowaa cągle sprzężoa z ą wartość beżąca są jedyym zgodym param wartośc przyszłej wartośc beżącej. Dowód: Zgodość wartośc kaptalzowaej cągłej sprzężoej z ą wartośc beżącej wyka wprost z (3.3) Twerdzea.6. Z drugej stroy, zgode z (.4) czyk redyskotowy dowolej wartośc przyszłej geerującej zgodą z ą wartość beżącą speła tożsamość t t l t e W te sposób przyjęce sztuczego z puktu wdzea tucj założea o dowole krótkm okrese kaptalzacj okazuje sę ezbędą ceą, jaką płacmy za możość wyzaczea zgodej pary wartośc przyszłej wartośc beżącej. Późejsze dośwadczea matematyk fasowej wykazują,,że te koszt dealzacj modelu warto poeść. Stosując rozwęce fukcj wykładczej w szereg Maclaura łatwo moża doweść, że dla każdego t 0,T dołu kaptalzacj cągłej spełają erówość czyk redyskotujące kaptalzacj erówość 5
t d p t p,. (3.32) Te same przesłak, co towarzyszące erówośc (3.6) mplkują potrzebę wyzaczea dla celów kaptalzacj cągłe takej stopy procetowej forward 6 p d, że zachowae zostae tempo wzrostu wartośc kaptału wyzaczoe przez czyk redyskotujący p kaptalzacj z dołu. Defcja 3.6: Stopą forward kaptalzacj cągłej azywamy fukcję 0 R p,t : opsaą przy pomocy zależośc d p d d d p,2,...,,. (3.33) Twerdzee 3.7: Dla dowolej stałej stopy forward p kaptalzacj z dołu dowolego okresu kaptalzacj d stopa forward zależośc p d l p d d p d jest daa przy pomocy. (3.34) Dowód: Wprost z (3.27), (3.3) (3.33). W zastosowaach arytmetyk fasowej użyteczym może być stosowae wykającej stąd tożsamośc d t p d exp p d t p d t. (3.35) Wzajeme relacje pomędzy poszczególym czykam dyskotującym stopam forward pokazuje poższe twerdzee. Twerdzee 3.8: Dla dowolego t 0,T mamy: t p t p t p t p t p t p t p t p, (3.36). (3.37) Dowód: Z Defcj 3.5 3.6 wraz z wypukłoścą fukcj wykładczej oraz z (3.20) otrzymujemy (3.36). Z Defcj 3.6 erówośc (3.32) otrzymujemy t d p t p t p,. Poadto, Dla każdego,2,..., t d mamy pd t p d p e d p t p p d 3.4.Struktura termowa stopy spot Rozważmy poowe dowolą strukturę termową stopy forward T, p. W aalze kaptałowej rówolegle z pojęcem struktury.
termowej stopy forward posługujemy sę pojęcem struktury termowej stopy spot. Defcja 3.7: Strukturą termową stopy spot azywamy dowolą fukcję 0 R, t T, yt FV, t T, p y :.T spełającą tożsamość FV. (3.38) Twerdzee 3.9: Każda struktura termowa stopy spot przedzale T,T jedozacze określoa przy pomocy zależośc y t y y t T t T, T gdze każda z lcz rzeczywstych y j j,2,..., perwastkem rówaa 7 y : 0.T R jest w,2,...,, (3.39) jest jedyym dodatm j y Tk T j T, p. (3.40) k Dowód: Z (3.5) (3.37) dla każdego T T T T, p j y j k j. k j,2,..., mamy Ozacza to, że stopa spot y jest dodatm perwastkem rówaa (3.40). Jest to T j take rówae welomaowe j -tego stopa, że współczyk przy aturalych potęgach ewadomej y są eujeme, zaś wyraz woly jest ujemy. Take rówae ma dokłade jede perwastek dodat. Wartość y T j jest zatem określoa jedozacze. Poowe korzystając z (3.5) (3.38) dla każdego T, T j,2,..., t j j mamy j yt Tk T j T, p. k Ozacza to, że stopa spot y t jest dodatm perwastkem rówaa (3.40). Z tego, że steje jedye jede tak perwastek woskujemy, że t y kończy dowód. y, co Kłopotlwym dla as może być fakt emożlwośc wyzaczea przebegu struktury termowej stopy spot w przedzale 0, T. Możemy ograczać zasęg tej eokreśloośc korzystając z założea T 0 0. Z druge stroy wspomay brak zajomośc 0 wartośc stopy spot e utruda am jedozaczego określea wartośc czyka redyskotującego, gdyż jest o rówy wtedy jedośc. T j
Stosowae struktury termowej stopy spot wybte upraszcza am formuły arytmetyk fasowej dla zmeej stopy forward w przypadku rówych okresów kaptalzacj. Załóżmy, że jest daa struktura termowa stopy forward p. Zgode z zależoścą (3.39) wyzaczamy wtedy strukturę termową stopy spot wtedy w uproszczoej postac t p t yt y : 0.T R dowoly czyk redyskotujący zapsujemy. (3.4) Czyk redyskotujący kaptalzacj z góry jest wtedy opsay przy pomocy zależośc d t yt yt,2,..., t d. (3.42) Czyk redyskotujący kaptalzacj z dołu jest wtedy opsay przy pomocy zależośc d t yt yt 8 d,2,..., t. (3.43) Nawązując do pojęca stopy forward kaptalzacj z góry defujemy przy pomocy tożsamośc d y t d d yt,2,...,, (3.44) strukturę termową stopy spot y t y y t t d y kaptalzacj z góry. Jest oa daa tożsamoścą. (3.45) Dodatkowo pojawa sę możlwość określea wartośc kaptalzowaej cągle. Czyk redyskotujący kaptalzacj cągłej jest opsay przy pomocy zależośc yt t t yt e. (3.46) Nawązując do pojęca stopy forward kaptalzacj cągłej defujemy przy pomocy tożsamośc d y t d d yt,2,...,, (3.47) strukturę termową stopy spot tożsamoścą y t, y kaptalzacj cągłej. Jest oa daa l y d t. (3.48) d W zastosowaach arytmetyk fasowej użyteczym może być stosowae wykającej stąd tożsamośc t y d t exp y t t yt d t, d. (3.49)
Dodatek A W pracy parokrote wykorzystywao astępującą własość addytywych fukcj mootoczych. Lemat A: Nech będze daa fukcja x x R 2 F x x F x F, x 2 2 2 F : R R. Wtedy waruk, (A) x x R 2 x x F x F, (A2), x 2 2 2 są warukam dostateczym a to, aby 2 x R Fx F x,. (A3) Dowód: Bezpośredo z (A) mamy F0 F0 F0, co dowodz 0 0 Stą podstawając x2 x otrzymujemy F x F 9 x (A) drogą dukcj matematyczej dla każdej lczby aturalej x F F (). Stosując w () dukcję matematyczą dla x każdej lczby aturalej F (). (). Bezpośredo z N otrzymujemy m N uzyskujemy Fm x m F (). x Zestawając razem (), (), () woskujemy, że waruek (A3) jest prawdzwy dla dowolej lczby wymerej W.Dowodząc prawdzwośc waruku (A3) dla dowolej ustaloej lczby ewymerej IW, przypsujemy tej lczbe jej przekrój Dedekda, f sup [Lej77]. Przyjmjmy ozaczea: - f f dowole dole wymere oszacowae lczby, - sup sup dowole góre wymere oszacowae lczby. Z waruku (A2)- dla dowolego x R - mamy wtedy x F x F x F x Fx F, f f sup co ostatecze zgode z zasadą cągłośc Dedekda [Lej77] prowadz do potwerdzea waruku (A3) dla dowolej pary x R R warukam () () kończy dowód lematu. Zakończee sup,. Te fakt wraz z Praca ejsza staow autorską propozycję formalego uporządkowaa metod arytmetyk fasowej. Przedstawoe tu wyk staową elemety przygotowywaej szerszej moograf pod roboczym tytułem Od arytmetyk do matematyk fasowych. Bblografa [Cal90] Calz M.L., Towards a geeral settg for fuzzy mathematcs of face, Fuzzy Sets & Systems 35 (990), 265-280. [Cas86] Castagol E., Apput d Matematca Fazara, Ucopl, Mlao 986.
[DS95] Dobja M., Smaga E.; Podstawy matematyk fasowej ubezpeczeowej, PWN Warszawa-Kraków 995 [Dob02] Dobja M., Źródła wartośc jedostk peądza w: Tarczyńsk W. (red.) Ryek kaptałowy- skutecze westowae, Uwersytet Szczecńsk, (2002), -38. [EG98]Elto E.J., Gruber M.J., Nowoczesa teora portfelowa aalza paperów wartoścowych, WIG Press Warszawa 998. [FF00] Fabozz F.J., Fog G.; Zarządzae portfelem westycj przyoszących stały dochó PWN, Warszawa 2000 [Jac99] Jackowcz K.; Zarządzae ryzykem stopy procetowej, PWN, Warszawa 999 [Jo00] Johso H. Ocea projektów westycyjych Maksymalzacja wartośc projektów westycyjych, Wydawctwo K.E.Lber s.c. Warszawa 2000 [Lej77] Leja F., Rachuek różczkowy całkowy ze wstępem do rówań różczkowych, Bbloteka Matematycza PWN Warszawa 977 [Lue03] Lueberger D.G., Teora westycj fasowych, Wydawctwo Naukowe PWN, Warszawa 2003. [Pec72] Peccat L., Su d ua caratterzzazoe del prcpo del crtero dell attualzzazoe, Studum Parmese, Parma 972. [Sma99] Smaga E.; Arytmetyka fasowa, PWN, Warszawa-Kraków 999. [Sob97] Sobczyk M.; Matematyka fasowa, Placet, Warszawa 997. [WW98] Wero A., Wero R.,: Iżyera fasowa WNT Warszawa, 998. 20