WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORATORIUM WSTĘPNE. Dane kontaktowe Miłosz Kadziński (milosz.kadzinski@cs.put.poznan.pl, pokój.6.6 w CWiBT, tel. 665 30, maile z tytułem zaczynającym się od [WD]) Terminy zajęć: wtorek 8.00-9.30 (I- s.45), 9.45-.5 (I4- s.45), 5:0-8:0 (I4- s.45) Forma zajęć: przedstawienie pojęcia, algorytmu lub metody, rozwiązywanie zadań, samodzielna analiza problemu Ważne strony: http://www.cs.put.poznan.pl/mkadzinski/wd/ https://ophelia.cs.put.poznan.pl/webdav/wd/students/ Zaliczenie: kolokwia (na 7 i zajęciach, zadania + teoria przerabiana na zajęciach) + większy raport w drugiej części semestru + ewentualne raporty z wybranych zajęć; poprawka na ostatnich zajęciach. Przykłady wprowadzające Cel: odwiedzić kilka pubów w Brukseli (Le Waff, Le Gaugain, L Atelier, Le Corbeau, La Lunette, La Mort Subite) Cel badań operacyjnych: I. Zbiór zmiennych decyzyjnych II. Zbiór ograniczeń III. Funkcja celu max f(x) Ax b x 0 shortest path, travelling salesman, minimum spanning tree, knapsack, flowshop, queueing systems, scheduling - -
Główny trend w badaniach operacyjnych: optymalizacja jednokryterialna (mono-objective) Świetnie zdefiniowany problem z matematycznego punktu widzenia Porządek rozwiązań, rozwiązanie optymalne. Realność? Decyzje są podejmowane tylko z punktu widzenia finansowego (minimalizuj koszt, maksymalizuj zysk) Portofolio management (Markowitz, 95) Zainwestuj kapitał o wysokości K w różne akcje Pomysł: «do not put all your eggs in the same bag» Dwa (sprzeczne cele): Maksymalizacja zysku (zwrotu) Minimalizacja ryzyka (wariancji) Przykładowy wynik eksperymentu z 4 inwestycjami Dwukryterialny problem przepływowy n zadań, m maszyn Każde zadanie musi przejść przez każdą maszynę (z potencjalnie różnymi opóźnieniami) Każda maszyna wykonuje w danej chwili pojedyncze zadanie Deadline wyznaczony przez klienta Cele Minimalizacja całkowitego czasu wykonania (makespan) Minimalizacja całkowitego opóźnienie (total tardiness) Problemy dwukryterialne Możliwe rozwiązania są określone przez ograniczenia (nie można ich wszystkich wymienić) max/min {f (x), f (x)} G(x) 0 x 0 - -
3. Problem decyzyjny Problem decyzyjny to sytuacja, w której obecny stan systemu nie jest stanem pożądanym i zastanawiamy się co zrobić, aby zmniejszyć tę różnicę. Zwykle istnieje wiele alternatywnych sposobów osiągnięcia celu (stanu pożądanego) i wybór najlepszego z nich najczęściej nie jest prosty. W ramach problemu decyzyjnego mamy do czynienia ze zbiorem potencjalnych rozwiązań, zwanych wariantami decyzyjnym (akcje, alternatywy, rozwiązania). Zbiór wariantów oznaczymy jako A. Przykład: Wybór drogi szukamy optymalnego przebiegu nowej trasy szybkiego ruchu wariantami są różne przebiegi tras (na rysunku od A do D) rozpatrywane w problemie - 3 -
4. Wielokryterialne wspomaganie decyzji Warianty są opisywane na zbiorze cech (atrybutów), na podstawie których można decydować o ich jakości. Cechę taką można nazwać kryterium, jeśli na jej podstawie warianty można miarodajnie ze sobą porównywać. Przykład: kryteria dla wspomnianych wariantów przebiegu trasy to np.: koszt budowy, stopień zanieczyszczenie środowiska, itd. Kryteria muszą być monotoniczne względem preferencji, tzn. im większa wartość wariantu na danym kryterium tym jest on lepszy lub im większa wartość na danym kryterium, tym jest on gorszy (w obydwu przypadkach możliwe są odcinki stałej preferencji, ale istotny jest ogólny trend). Innymi słowy, jeśli dwa warianty różnią się na danym kryterium g i są takie same na wszystkich innych kryteriach, to wariantem preferowanym będzie ten o większej (mniejszej) wartości na kryterium g. Przykład: Dobrym kryterium jest cena samochodu. Złe kryterium to preferowana temperatura dnia kryterium jest niemonotoniczne (w niektórych sytuacjach można sobie poradzić z takim problem, definiując kryterium jako odległość od optimum). Typ kryterium: zysk - preferencja rośnie ze wzrostem wartości (im więcej tym lepiej), koszt - preferencja maleje ze wzrostem wartości (im mniej tym lepiej). Przykład: Dla kupującego, cena samochodu to kryterium typu koszt, a liczba koni mechanicznych to kryterium typu zysk. Skale kryterium: porządkowa tylko kolejność ma znaczenie (odległość ani iloraz nie ma znaczenia intensywności, np. oceny szkolne), ilościowe - odległość ma znacznie intensywności: przedziałowa można porównywać różnice, ale zero nie ma znaczenia absolutnego, więc iloraz dwóch wartości nie ma sensu (skala Celsiusa); ilorazowa - zero ma znaczenie absolutne, więc można porównywać stosunek ocen (waga, skala Kelvina); Spójna rodzina kryterium: zupełna jeśli dwa warianty mają takie same oceny na wszystkich kryteriach, muszą być nierozróżnialne, monotoniczna jeśli wariant a jest preferowany nad wariant b, to dla każdego wariantu c, który ma na wszystkich kryteriach oceny niegorsze niż wariant a, wariant c jest preferowany nad wariant b, nienadmiarowa eliminacja jakiegokolwiek kryterium z rodziny powinna naruszyć co najmniej jedną z wymienionych powyżej własności. Czy potrafisz zapisać dwa pierwsze warunki na symbolach (w tym warunek monotoniczności dla rodziny kryteriów typu zysk lub koszt)? - 4 -
Podstawowe relacje: nierozróżnialność I - dwa warianty nierozróżnialne (aib) uznajemy za równe względem problemu decyzyjnego, preferencja P - wariant a preferowany nad b (apb) jest wariantem lepszym od b, dominacja - wariant a dominuje b, jeśli jest niegorszy od b (lepszy lub taki sam) na wszystkich kryteriach. Wariant a jest niezdominowany w sensie silnym (Pareto-optymalny) wtw. gdy nie ma innego wariantu b takiego, że g i (b) jest lepsze lub równe jak g i (a) na każdym kryterium oraz na przynajmniej jednym kryterium j, g j (b) jest ściśle lepsze niż g j (a). Wariant a jest niezdominowany w sensie słabym (słabo Pareto-optymalny) wtw. gdy nie ma innego wariantu b takiego, że g i (b) jest ściśle lepsze niż g i (a) na każdym kryterium. Dla dwóch minimalizowanych kryteriów oraz zbioru wariantów {a=(,0); b=(3,9); c=(,8); d=(3,6); e=(4,6); f=(6,5); g=(4,4); h=(5,3); i=(5,); j=(8,); k=(7,); l=(0,)}, podaj te które są niezdominowane w sensie silnym oraz słabym. Niezdominowane w sensie silnym: c, d, g, i, k Niezdominowane w sensie słabym: c, d, g, i, k oraz a, e, h, l - 5 -
5. Kategorie problemów decyzyjnych Wyróżnia się trzy podstawowe kategorie problemów decyzyjnych: porządkowanie (tworzenie rankingu) narzucenie na zbiór wariantów porządku, częściowego lub zupełnego. Przykład: porządkiem zupełnym jest relacja na zbiorze liczb rzeczywistych; porządkiem częściowym jest relacja zawierania się zbiorów; przykładem porządkowania jest tworzenie rankingu uczelni; wybór wybór najlepszych (wyróżniających się) wariantów, czyli wybór podzbioru A zbioru A. Przykład: kupno domu lub samochodu; sortowanie lub klasyfikacja podział zbioru wariantów na klasy (kategorie), które w sortowaniu są uporządkowane pod względem preferencji. Przykład: podział wariantów na dobre, średnie i słabe (warianty z klasy dobrej są preferowane nad te ze średniej, które są z kolei preferowane nad te ze słabej); rozważenie decyzji o przyznaniu kredytu, ocena stopnia rozwoju gospodarki państw; Porządkowanie Wybór Sortowanie (klasyfikacja) Assess UTA Electre s Zbiory przybliżone (LEM) Electre TRI - 6 -
6. Model preferencji Relacja dominacji jest zbyt słaba, by móc porównać ze sobą wszystkie warianty. W związku z tym - aby wspomóc rozwiązanie problemu - decydent powinien podać informację preferencyjną. Na bazie informacji preferencyjnej tworzony jest model preferencji, który pozwala na agregację ocen wariantu na wszystkich kryteriach. Dzięki temu warianty można ze sobą lepiej porównać. Istnieją trzy rodziny modeli preferencyjnych: funkcja - np. addytywna funkcja użyteczności (UTA), funkcja Keeney a Raiffy (Assess); system relacyjny np. relacja przewyższania S co najmniej tak dobry jak (rodzina metod ELECTRE); zbiór reguł decyzyjnych wykorzystywany np. dla celów klasyfikacji w ramach teorii zbiorów przybliżonych; model regułowy jest najbardziej ogólny ze wszystkich trzech modeli. 7. Własności relacji oznaczonej symbolem R symetryczna: arb bra antysymetryczna: arb ~bra zwrotna: ara niezwrotna: ~ara przechodnia: arb oraz brc arc Na kolejnych zajęciach będziemy określać własności relacji preferencji P i nierozróżnialności I zdefiniowanej za pomocą porównania użyteczności (wartości) wariantów oraz relacji przewyższania S. 8. Zbiór danych Rzeczywisty zbiór danych (analizowany w gazecie, magazynie, raporcie, itd.; podane są wyniki czyli miara, która pozwala utworzyć ranking lub przydział do klas); można utworzyć swój, jeśli ktoś ma bardzo fajny pomysł Liczba wariantów: minimum 5 (może być zdecydowanie więcej) Liczba kryteriów: minimum 3, optymalnie 5-6, nie więcej niż 7 Charakter kryteriów: monotoniczne, atrybuty numeryczne (najlepiej ciągłe, o licznej dziedzinie) Czas realizacji: 3 tygodnie (można skonsultować się wcześniej), zbiór będzie potrzebny w drugiej części semestru, ale jego poprawność i przydatność musimy ustalić szybciej Zakazana tematyki komputerowa (czyli Komputer Świat i tym podobne) i sportowa (drużyny, tenisiści, piłkarze, gracze NBA, itd.) - 7 -
WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORATORIUM I PROGRAMOWANIE LINIOWE. Wstęp Programowanie liniowe (ang. linear programming, LP) to metoda służąca do optymalizacji liniowej funkcji celu, której wartość musi spełniać zbiór ograniczeń w formie liniowych równości i nierówności: klasa problemów programowania matematycznego, w której funkcja celu i wszystkie warunki ograniczające mają postać liniową; sposób osiągnięcia najlepszego wyniku (największy zysk, najniższy koszt), biorąc pod uwagę zbiór wymagań w postaci nierówności liniowych; znalezienie punktu w obszarze wynikającym z liniowych ograniczeń, dla którego funkcja celu osiąga optymalną (maksymalną lub minimalną) wartość. Geneza programowania liniowego: George Dantzig (metoda simplex) i Marshall Wood w drugiej połowie lat 40-tych; pomoc w rozwiązywaniu pewnych problemów logistycznych w wojsku; program - definicja militarna - proponowany plan dla ćwiczeń wojska, dostaw lub rozmieszczenia oddziałów. "the virtually simultaneous development of linear programming and computers led to an explosion of applications, especially in the industrial sector", "for the first time in history, managers were given a powerful and practical method of formulating and comparing extremely large numbers of alternative courses of action to find one that was optimal". Podstawowe zastosowania: ekonomia i zarządzanie przedsiębiorstwem (planowanie, produkcja, transport, itd.) lotnictwo, logistyka, petrochemia, telekomunikacja, reklama, projektowanie obwodów; maksymalizacja zysku i minimalizacja kosztów przy ograniczonych zasobach. - 8 -
. Postać standardowa Najbardziej intuicyjna i najczęściej używana forma zapisu problemów programowania liniowego: - liniowa funkcja, której wartość ma być maksymalizowana: - ograniczenia problemu postaci: - nieujemne zmienne decyzyjne: a a... a n c + c +... + c n n + a + a + a n +... + a n +... + a +... + a n nn x, x,..., x n 0 n n n b b b n Ze strukturą modelu LP wiążą się pojęcia: zmienne decyzyjne - zmienne x,x,...,x n, decyzja (rozwiązanie) - wektor wartości zmiennych decyzyjnych (x,x,...,x n ) R n, funkcja celu - funkcja, której wartość podlega optymalizacji, współczynniki funkcji celu - parametry c,c,...,c n, warunki ograniczające - nierówności występujące w zbiorze ograniczeń, warunki nieujemności - nierówności dotyczące znaku wartości zmiennych decyzyjnych, kryterium optymalności - wartość funkcji celu f podlegająca maksymalizacji albo minimalizacji. Forma macierzowa: max c T x s.t. Ax b x 0 Przekształcenie do postaci standardowej: zamiany minimalizacje na maksymalizacji, oraz warunków większe-równe na mniejsze-równe dokonuje się przez zamianę znaków przy współczynnikach; warunek równości można przedstawić jako dwa inne: większe-równe i mniejsze-równe; jeśli zmienna decyzyjna x i nie ma ograniczenia, że może przyjmować tylko wartości nieujemne, to wprowadzamy dwie nowe zmienne (x i oraz x i ) i zamieniamy wszystkie wystąpienia zmiennej na x i - x i. Przekształcić do postaci standardowej następujący problem: x + x x min 3 x x x x x, x x + x 3, x x 3 + x 3 3 0 = 4-9 -
3. Przykładowe problemy Zapisz problem programowania liniowego dla następujących zadań: I. Przedsiębiorstwo produkcyjne wykonuje dwa rodzaje wyrobów W i W ze środków P i P, których dzienne zużycie nie może przekroczyć odpowiednio 7 i 5 ton. Nakłady środków niezbędne do wyprodukowania produktów zebrane są w tabeli: Rodzaj środka W W P,3 P 0,8 0,5 Ile poszczególnych wyrobów należy wyprodukować w ciągu dnia, aby osiągnąć maksymalny zysk, jeśli produkty W i W są sprzedawane odpowiednio w cenach 34 PLN i 4 PLN? II. Przedsiębiorstwo rolnicze prowadzi hodowlę tuczników. Tuczniki są żywione dwoma rodzajami pasz. Ile należy dziennie dostarczyć paszy I i II, aby zapewnić trzodzie niezbędne minima substancji odżywczych, przy jak najmniejszym koszcie związanym z zakupem wymienionych pasz? Kilogram paszy I kosztuje 5 zł., a kilogram paszy II 7 zł. Zawartość substancji odżywczych w kg poszczególnych pasz oraz dzienne zapotrzebowanie tuczników na substancje odżywcze podano w tabeli. Substancje odżywcze Pasza I Rodzaj paszy Pasza II Wymagana ilość składników odżywczych Białko 0,5 0,5 Co najwyżej 5kg Węglowodany 0, 0,03 Co najmniej 3kg Sole + witaminy 0,0 0,0 Co najmniej 500g III. Dwa gatunki węgla A i B zawierają zanieczyszczenia fosforem i popiołem. W pewnym procesie przemysłowym potrzeba co najmniej 90 ton żeliwa zawierającego nie więcej niż 0.03% fosforu i nie więcej niż 4% popiołu. Procent zanieczyszczeń i ceny zakupu poszczególnych gatunków węgla (w jednostkach względnych) podaje tabela. Gatunek węgla Procentowe zawartości zanieczyszczeń Cena zakupu Fosforu Popiołu tony węgla (j. wzg) A 0,0 3 500 B 0,05 5 400 Jak zmieszać wymienione dwa gatunki węgla, aby uzyskać paliwo o możliwie najniższym koszcie, spełniające wyżej wymienione wymagania? - 0 -
IV. Wydawca dostał zamówienia 600 kopii pewnej książki z San Francisco i 400 kopii z Sacramento. Firma posiada 700 kopii w magazynie w Novato oraz 800 kopii w magazynie w Loti. Koszt przesłania pojedynczej kopii z Novato do San Francisco lub Sacramento to odpowiednio 5 i 0$, a z Loti do San Francisco lub Sacramento to odpowiednio 5 i 4$. Ile kopii firma powinna wysłać z poszczególnych magazynów do San Francisco i do Sacramento, by całkowity koszt tej operacji był najmniejszy? V. Samolot transportowy posiada trzy przedziały do przechowywania towarów: przedni, środkowy i tylni. Przedziały mają następujące ograniczenia na wagę i objętość ładunków, które mogą się w nich zmieścić: Przedział Ograniczenie wagi (tony) Ograniczenie objętości (m3) Przedni 0 6800 Środkowy 6 8700 Tylni 8 5300 Co więcej, stosunek wagi ładunków w odpowiednich przedziałach do ich maksymalnej pojemności wagowej musi być taki sam dla wszystkich przedziałów, by samolot był odpowiednio zbalansowany. Dostępne są następujące cztery ładunki: Ładunek Waga (tony) Objętość (m3/tonę) Zadanie polega na określeniu, jak wiele poszczególnych ładunków wziąć na pokład i jak je rozmieścić w przedziałach, by zmaksymalizować zysk z przelotu samolotu. Zysk ($/tona) C 8 480 30 C 5 650 380 C3 3 580 350 C4 390 85 - -
4. Solver/Excel i. Rozmieszczenie komórek w Excelu Lab-LP-example.xls ii. Uruchomienie Solvera (Narzędzia Solver (Excel 003), Dane Solver (Excel (007)) iii. Konfiguracja Solvera dla problemu LP: a) Parametry (gdzie jest funkcja celu i zmienne decyzyjne, kierunek optymalizacji, typ warunków ograniczających) b) Opcje (model liniowy, warunek nieujemności) - -
iv. Rozwiązanie problemu Zawsze należy przeczytać pojawiający się komunikat! 5. Solver LP-solve Do ściągnięcia: http://sourceforge.net/projects/lpsolve/ /* Objective function */ max: 30 x + 0 x; /* Variable bounds */ x + x <= 000; 3 x + 3 x <= 400;.5 x <= 600; x >= 0; x >= 0; 6. Zadania do samodzielnego rozwiązania Lab-problem.xls [6, 6] Lab-problem.xls [3, 50, 37] Lab-problem3.xls 7. Zadanie domowe Przeczytać ze zrozumieniem i przyswoić przed następnymi zajęciami zawartość plików p-celowe.pdf oraz p-ilorazowe.pdf (katalog lab). - 3 -