-. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna Zagadnienie wyznaczania optymalnego asortymentu produkcji Firma zamierza uruchomić produkcję dwóch wyrobów A i B. Cenę zbytu oszacowano na zł/kg dla każdego z wyrobów. Możliwości przerobu dwóch surowców które limitują możliwości produkcyjne wynoszą odpowiednio 8 i 4 t w okresie planistycznym. Pozostałe środki produkcji nie ograniczają wielkości produkcji. Nakłady surowców (kg) niezbędne do wytworzenia jednostki wyrobów podaje tabela. 6 4 A = 3 4 a) Wyznaczyć plan produkcji maksymalizujący przychód, b) Powiedzmy, że wielkość produkcji wyrobu A nie może przekroczyć 000 sztuk. W jaki sposób wpłynie to na rozwiązanie z pkt. a) i wielkość przychodu? c) Wielkość produkcji wyrobu A nie może przekroczyć wielkości produkcji wyrobu B. W jaki sposób wpłynie to na rozwiązanie z pkt. a) i wielkość przychodu? d) W jakim przedziale musi zawierać się cena wyrobu A, aby zmiana ceny nie wpłynęła na rozwiązanie z pkt. a)? Czy zmiany ceny wpłyną na wartość przychodu? e) Jakie założenia ekonomiczne trzeba było przyjąć aby problem wyznaczania optymalnego asortymentu produkcji można było sprowadzić do zadania PL? f) O popełnieniu jakich błędów modelowania świadczy brak skończonego optimum oraz pustość zbioru rozwiązań dopuszczalnych? Zagadnienie rozkroju Tartak otrzymał zamówienie na 00 desek o długości m, 50 desek o długości,5m i 00 desek o długości 3,5m. Deski otrzymuje się dokonując cięcia kłód o długości 0m. a) Wyznaczyć kombinację sposobów rozkroju kłód minimalizującą wielkość odpadu. W jaki sposób można zagwarantować niesprzeczność zadania? b) W jaki sposób liczba rozkrojów wpływa na rozwiązanie? Czy jest celowe generowanie dużej liczby rozkrojów? c) Podać uzasadnienie ekonomiczne wykorzystywania funkcji postulującej minimalizację odpadu. Zagadnienie diety Racjonalna hodowla trzody chlewnej wymaga dostarczenia co najmniej 4 kg składnika odżywczego S i 49 kg S oraz nie więcej niż 70 kg S3 dziennie. Składniki te dostarcza się skarmiając trzodę dwoma paszami : P i P. Zawartość składników odżywczych w paszach (kg/kg) oraz ceny ich zakupu (zł/kg) podaje tabela. Składnik Pasza odżywczy P P S 0,04 0, S 0,4 0,07 S3 0, 0, Cena zbytu 3,5 Ilość dziennie dostarczanych pasz wynosi 500 kg. a) Ustalić dzienne zapotrzebowanie na pasze P i P minimalizujące koszty zakupu, zapewniające dostarczenie składników odżywczych w wymaganych ilościach. b) Przy jakiej cenie paszy P nastąpi zmiana rozwiązania z pkt. a)? c) Powiedzmy, że dziennie możemy dostarczać 400 kg pasz. W jaki sposób wpłynie to na rozwiązanie z pkt. a)?
Problem wyboru optymalnego składu mieszanki Dwa gatunki węgla A i B zawierają zanieczyszczenia w postaci fosforu i popiołu. W pewnym procesie przemysłowym potrzeba co najmniej 90 t paliwa zawierającego nie więcej niż 0,03% fosforu i nie więcej niż 4% popiołu. Stopień zanieczyszczenia obu gatunków węgla oraz ceny zakupu podaje tabela. Gatunek Zanieczyszczenia (%) Cena zbytu węgla Fosfor Popiół (zł/t) A 0,0 3 500 B 0.05 5 400 a) W jakiej proporcji należy zmieszać gatunki węgla, aby uzyskać paliwo o minimalnym koszcie spełniające normy ekologiczne? b) Powiedzmy że cena węgla gatunku B wzrosła do 500 zł/t. W jaki sposób wpłynie to na rozwiązanie optymalne z pkt. a) i koszt zakupu? c) Dokonano złagodzenia norm ekologicznych dopuszczając maksymalną zawartość fosforu w paliwie w wysokości 0,04%. W jaki sposób wpłynie to na rozwiązanie z pkt. a)? Metoda geometryczna : przykłady zadań Rozwiązać następujące zadania programowania liniowego. Przeprowadzić analizę wrażliwości dla wag przy zmiennych decyzyjnych i prawych stron. Przeprowadzić analizę wrażliwości dla wag i prawych stron. x 6x 3x + x + 4x x, x + 4x 0 max 4 8 x 4x 3x x + 3x + 3x + 6x x x, x 0 min 8 4x x x + x x + x x x, x 4 6 0 max
3. Programowanie wielokryterialne Zagadnienie wyznaczania optymalnej strategii marketingowej W tabeli podano zyski (mln zł) i udział w rynku (%), jaki firma spodziewa się osiągnąć stosując wybrane strategie marketingowe. Kryteria Strategie marketingowe A B C D E Zysk (mln zł) ( f ) 4 3 5 3.5 Udział w rynku (%) ( f ) 0 30 30 5 50 a) Wyznaczyć strategie Pareto optymalne w przestrzeni kryterialnej. b) Wyznaczyć strategie Pareto optymalne konstruując diagram Hassego. c) Powiedzmy, że wyniku powtórnej ewaluacji strategii przyjęto, że zysk w przypadku strategii D będzie wynosić 3 mln zł. Czy zbiór strategii Pareto - optymalnych ulegnie zmianie? d) Zakładając, że osiągniecie dużego udziału w rynku jest dwa razy ważniejsze od realizacji zysku, wyznaczyć strategię optymalną wykorzystując właściwe metakryterium. Zagadnienie oceny efektywności funkcjonowania kopalni W tabeli podano trzy podstawowe parametry: zysk (w zł/ton), wydajność (w tonach na osobę), wypadkowość (liczba zabitych/ mln ton) dla 5 kopalń należących do holdingu węglowego. Kryteria A B C D E Zysk 40 50-40 -30-50 Wydajność 50 300 40 50 00 Wypadkowość 3 4 5 4 a) Utworzyć macierz stopni realizacji celów cząstkowych. b) Uporządkować kopalnie kierując się maksymalizacją minimalnych stopni realizacji celów cząstkowych. c) Na podstawie macierzy stopni realizacji, stosując właściwe metakryterium z wagami /, /4, /4, uporządkować kopalnie od najlepszej do najgorszej. d) Które kopalnie należy zamknąć, jeżeli wiadomo, że wydajność w każdej z kopalń musi być nie mniejsza niż 40% wydajności w kopalni najlepszej? Czy po zmodyfikowaniu zbioru kopalń, w powtórnie sporządzonym rankingu, relacje między kopalniami będą takie same jak w rankingu wyjściowym? 3
4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności Zagadnienie wyboru struktury zasiewów Rolnik na polu o powierzchni 0 ha może uprawiać pszenicę, żyto, lub na połowie areału pszenicę a na połowie żyto. Przychody jakie przynosi uprawa zbóż zależą od warunków pogodowych wywierających wpływ na wielkość plonów oraz koniunktury na płody rolne decydującej o cenie zbytu. W tab. podano wielkość spodziewanych zbiorów (q/ha) dla uprawianych zbóż w zależności od stanu pogody, a w tab. ceny zbytu zbóż w zależności od koniunktury gospodarczej (zł/t). Wielkość plonów Stan pogody P P Żyto 0 5 Pszenica 40 0 Tabela Ceny zbytu Koniunktura K K Żyto 300 400 Pszenica 400 450 Tabela Wyznaczyć optymalną decyzje dot. struktury zasiewów stosując regułę Walda, Hurvicza (dla współczynnika optymizmu równego 0,5), Savage'a i Bayesa. Wyznaczając stany natury przyjąć, że koniunktura na płody rolne praktycznie nie zależy od stanu pogody. 4
5. Teoria gier Problem opanowania rynku na jednorodny produkt Macierz wypłat opisuje szacowane zyski dwóch firm pragnących opanować rynek na pewien produkt. Zakłada się, że potencjalny popyt jest mniejszy od sumy zdolności produkcyjnych obu firm. Każda z firm dysponuje dwiema strategiami : W - wejść na rynek, N - zrezygnować. I W N II W (, ) (0, 5) N (7, 0) (0, 0). a) Uzasadnić strukturę wypłat. b) Wyznaczyć równowagę w sensie Nasha. Jeżeli istnieje więcej równowag, która z nich zostanie wybrana z większym prawdopodobieństwem? c) Czy można oczekiwać współpracy firm? d) Powiedzmy, że wypłatę (-,-) zastępuje wypłata (,). Czy odpowiedź na pytanie z pkt. c) ulegnie zmianie? 5
6. Drzewa decyzyjne Zagadnienie wyboru strategii prowadzenia prac badawczo - rozwojowych W tabeli podano wielkość nakładów, zysków oraz prawdopodobieństwa ich osiągnięcia związanych z wyborem jednej z konkurencyjnych metod prowadzenia prac badawczo-rozwojowych. Metoda Nakłady (mln dol.) Wynik Prawdopodobieństwo wyniku Zysk (mln dol.) bez wydatków na B+R Biochemiczna 0 Sukces 0,7 90 Porażka 0,3 50 Biogenetyczna 0 Sukces 0, 00 Porażka 0,8 0 Skonstruować drzewa decyzyjne pozwalające na wyznaczenie oczekiwanego zysku w przypadku, gdy prace nad metodą biochemiczną i biogenetyczną mogą być prowadzone równolegle. 6