Budownctwo 1 Krzysztof Kubc ANAIZA WYBOCZENIOWA RAM ŁASKICH I ICH MODEOWANIE W ROGRAMIE AUTODESK ROBOT STRUCTURA ANAYSIS Wprowadzene Analtyczne wyznaczene sł ytycznych za pomocą metody przemeszczeń, nawet jeśl dysponuje sę programam omputerowym do oblczeń matematycznych (np. Mathcad, Maple czy Mathematca) przyjme założena upraszczające, może być dla złożonych uładów ramowych bardzo czasochłonne. Z ole programy omputerowe do analzy numerycznej onstrucj, bazujące najczęścej na metodze elementów sończonych, znaczne przyspeszają oblczena, ale często dają projetantow złudne przeonane o poprawnośc wynów. Modelując onstrucję w dowolnym programe, zazwyczaj ne przyłada sę należytej wag do sposobu wprowadzana prętów. Z reguły jednemu prętow onstrucj odpowada w modelu jeden element. Taa sytuacja ne ma przeważne wpływu na doładność najczęścej wyonywanych oblczeń statycznych, ale już np. w analze modalnej może prowadzć do poważnych błędów [1. Analza wyboczenowa, z uwag na charater problemu podobeństwa w metodolog rozwązywana zagadnena własnego dynam uładów o mase rozłożonej w sposób cągły, słana do postawena tezy, że w tym przypadu sposób modelowana prętów w programe (dodatowy podzał elementów) może meć wpływ na doładność oblczeń. Analzę numeryczną przeprowadzono w programe Autodes Robot Structural Analyss rofessonal [. 1. Wzory transformacyjne metody przemeszczeń dla wyboczena w płaszczyźne ramy Aby wyznaczyć sły ytyczne dla płasch uładów ramowych, można sorzystać z metody przemeszczeń. Równana równowag tworzą w tym przypadu uład równań jednorodnych, tóry będze nesprzeczny, edy jego wyznaczn będze równy zeru. Warune ten stanow yterum wyboczena. Mamy wówczas do czynena ze stanem, w tórym obo równowag przy czystym ścsanu
Analza wyboczenowa ram płasch ch modelowane w programe 151 (pręt prostolnowy) może wystąpć postać równowag z nesończene małym zgnanem. Wzory transformacyjne dla prętów o przedstawonych ponżej schematach statycznych pozwalają rozwązać węszość uładów ramowych. Załada sę, że pręty są neścślwe, a wyboczene nastąp w zaese odształceń sprężystych. Obcążena zewnętrzne przyjmuje sę w postac sł suponych przyładanych w węzłach, tóre wywołują tylo sły normalne w poszczególnych prętach aż do osągnęca sły ytycznej. Jao dodatne przyjęto poazane na rysunach 1-4 erun sł (M, M, T, T ) nesończene małych przemeszczeń (φ, φ, w, w ) w w w przeojach ońcowych pręta. Kąt obrotu cęcwy przyjęto jao ψ =. W podanych wzorach parametr λ oeślono jao: λ = (1) gdze: - sła normalna ścsająca (dodatna) w pręce -, - długość pręta -, - sztywność pręta -. Wyprowadzene wzorów transformacyjnych można znaleźć w lteraturze, np. w [3. ręt obustronne utwerdzony w M w ψ M T T Rys. 1. Bela obustronne utwerdzona M = [ α + β ϑ () M = [ β + α ϑ (3) T = T = [ ϑ ( + ) δ (4)
15 K. Kubc gdze: α β ϑ δ = λ = λ = λ 3 = λ sn λ cos [ 1 cos λ sn λ sn [ 1 cos λ sn 1 cos [ 1 cos λ sn sn [ 1 cos λ sn ręt utwerdzony w węźle oraz podparty przegubowo w węźle w M ψ w T T Rys.. Bela utwerdzona z jednej strony podparta przegubowo z drugej gdze: α δ = λ 3 sn = λ sn sn λ cos cos λ cos M = α ( ψ ) (5) M = 0 (6) T = T = [ α δ (7)
Analza wyboczenowa ram płasch ch modelowane w programe 153 ręt utwerdzony w węźle oraz podparty telesopowo w węźle M M T T Rys. 3. Bela utwerdzona z jednej strony podparta telesopowo z drugej M = [ α + β (8) M = [ β + α (9) gdze: α λ = λ ctg β ( ) λ = sn T T = 0 (10) = ręt utwerdzony w węźle oraz swobodny w węźle M T Rys. 4. Wsporn M = α (11)
154 K. Kubc M = 0 (1) gdze: α = λ tg T T = 0 (13) = W przypadu sły rozcągającej (ujemnej) argument λ staje sę lczbą urojoną: λ = λ = (14) Wówczas funcje argumentu zespolonego przyberają postać: α β ϑ δ α δ α β α snh ( ) ( λ ) λ cosh( λ ) λ = λ [ cosh( λ ) 1 λ snh( λ ) λ snh ( ) ( λ ) λ = λ [ cosh( λ ) 1 λ snh( λ ) 1 cosh ( ) ( λ ) λ = λ [ cosh( λ ) 1 λ snh( λ ) 3 snh ( ) ( λ ) λ = λ [ cosh( λ ) 1 λ snh( λ ) snh ( ) ( λ ) λ = λ λ cosh( λ ) snh( λ ) 3 cosh ( ) ( λ ) λ = λ λ cosh( λ ) snh( λ ) ( λ ) = λ ctgh( λ ) λ ( λ ) = snh( λ ) ( λ ) = λ tgh( λ ) Dla prętów zerowych powyższe funcje przyberają stałe wartośc równe wartoścom współczynnów metody przemeszczeń znanych ze staty, czyl α ( 0 ) = 4, β ( 0 ) =, ϑ ( 0 ) = 6, δ ( 0 ) =1, α ( 0 ) =3, δ ( 0 ) = 3, α ( 0 ) =1, β ( 0) = 1, α 0 = 0 ( ).. Rozwązane analtyczne rzeanalzowano cztery przyłady onstrucj stalowych wg schematów statycznych przedstawonych na rysunu 5.
Analza wyboczenowa ram płasch ch modelowane w programe 155 Schemat 1 Schemat 4 m 4 m 4 m HEB 40 4 m 4 m HEB 40 Schemat 3 Schemat 4 HEB 40 IE 400 IE 400 IE 400 4 m 4 m HEB 40 4 m HEB 40 IE 400 IE 400 IE 400 HEB 40 9 m 9 m Rys. 5. Schematy statyczne analzowanych onstrucj Z uwag na znaczną objętość oblczeń zameszczono to postępowana wyznaczena sł ytycznych dla trzech perwszych postac wyboczena jedyne dla schematu. Aby było możlwe rozwązane tego schematu metodą przemeszczeń, należy wprowadzć dodatowy węzeł (rys. 6). W ten sposób otrzymuje sę uład dwuotne nematyczne newyznaczalny. Dane wejścowe = m E = 05 Ga 4 I =1160 cm 3 ψ ψ 1 Rys. 6. Schemat oblczenowy onstrucj
156 K. Kubc Równana równowag: M T 1 + M 3 = 0 T = 0 1 3 Ze wzorów transformacyjnych (3) (4) wyznaczono sładowe dla pręta -1, a ze wzorów (5) (7) dla pręta -3: M T 1 M T [ α ϑ 1 = = [ ϑ δ [ ( ) 3 α' ψ = [ α δ ' ( ) 3 = ' ψ o podstawenu sładowych do równań równowag uporządowanu wyrazów otrzymano uład równań jednorodnych, tórego wyznaczn przyrównany do zera jest warunem stnena netrywalnego rozwązana: α α + α α ϑ ϑ δ + δ = 0 Rozwnęce wyznaczna pozwala na zapsane równana przestępnego: [ α + α [ δ + δ [ α ϑ = 0 tórego 3 perwsze perwast wynoszą: λ 1 =,467 λ = 3,8663 λ3 = 5,4506 Sły ytyczne można wyznaczyć, przeształcając wzór (1): λ = = Wartośc sł ytycznych dla rozważanych schematów uzysane na drodze analtycznej zameszczono w tabel 1.
Analza wyboczenowa ram płasch ch modelowane w programe 157 Sły ytyczne [N TABEA 1 Schemat 1 Schemat Schemat 3 Schemat 4 1 3559,69 918,91 971,91 11300,18 3037,0 86098,89 4801,18 13808,97 3 8899,3 171535,47 868,48 18411,73 3. Rozwązane numeryczne W oblczenach numerycznych wyonanych w programe Autodes Robot Structural Analyss rofessonal przyjęto domyślne parametry analzy wyboczenowej, zmenając jedyne lczbę postac na 3. Sły ytyczne w zależnośc od podzału prętów na n elementów [N TABEA Schemat 1 Schemat Schemat 3 Schemat 4 n 1 3586,47 4380,63 990,1 16858,6 1,n,n 3,n 3561,51 9876,35 975,90 11493,15 4 3559,81 9188,76 97,19 11310,3 8 3559,70 913,86 971,93 119,57 16 3559,69 919,16 971,91 119,34 1 4646,70 4848,35 50,07 33104,15 108347,96 481,44 14041,3 4 3117,4 87477,73 480,56 13835,00 8 304,46 86197,85 4801,6 13801,54 16 3037,57 86105,31 4801,17 13799,1 1 8863,08 33368,65 111178,0 84964,05 874,55 1874,57 4 9053,46 180171,3 8685,48 18478,08 8 89101,63 1785,3 868,67 18408,9 16 88999,33 171586,07 868,48 18403,55
158 K. Kubc Dla wszystch schematów perwotne zamodelowano ażdy z prętów jao jeden element, uzysując dla schematu 1 tylo dwe sły ytyczne, a dla schematu - wyłączne perwszą. Następne doonano podzału ażdego z prętów na, 4, 8 16 równych częśc. Zaznaczene przy podzale opcj: Generuj węzły bez dzelena prętów/awędz daje w przypadu analzy wyboczenowej tylo wartość współczynna ytycznego (ne podaje sł ytycznych, długośc wyboczenowych smułośc prętów). Wartośc sł ytycznych przy podzale wszystch prętów na n elementów zameszczono w tabel. Wnos Zwęszane lczby elementów, na tóre zostały podzelone pręty, powoduje, że otrzymane w programe wartośc sł ytycznych dążą zbeżne do wartośc uzysanych z oblczeń analtycznych. Błędy względne w zależnośc od podzału prętów na n elementów [% TABEA 3 Schemat 1 Schemat Schemat 3 Schemat 4 n BW 1,n BW,n BW 3,n 1 0,75 48,583 0,613 49,186 0,051,566 0,134 1,708 4 0,003 0,05 0,009 0,090 8 0,000 0,014 0,001 0,067 16 0,000 0,001 0,000 0,069 1 44,915 0,98 8,635 3,330 5,841 0,4 1,68 4 0,50 1,601 0,09 0,189 8 0,016 0,115 0,00 0,054 16 0,001 0,007 0,000 0,071 1,080 81,36 4,930 66,15 0,485 1,699 4 1,731 5,034 0,035 0,360 8 0,13 0,437 0,00 0,019 16 0,008 0,09 0,000 0,044 Można zauważyć pewne prawdłowośc. Ułady przesuwne (schematy 1 3) są mnej wrażlwe na bra podzału prętów nż neprzesuwne (schematy 4).
Analza wyboczenowa ram płasch ch modelowane w programe 159 Dla perwszej postac różnca pomędzy rozwązanem numerycznym analtycznym dla uładów przesuwnych jest stosunowo newela. Dla uładów neprzesuwnych z nepodzelonym prętam (n = 1) wartość sły ytycznej jest znaczne wyższa nż dla prętów z podzałem. Jest to szczególne nebezpeczne, gdyż program zawyża wartość sły, przy tórej może dojść do wyboczena. Oblczając błędy względne, wyrażone w procentach, mędzy wartoścam uzysanym analtyczne numeryczne, już na podstawe tych newelu przyładów można sformułować ceawe wnos. Sam błąd względny dla -tej postac podzału prętów na n elementów jest defnowany w następujący sposób: BW n n =,, Wartośc błędów dla poszczególnych schematów zameszczono w tabel 3. Dla uładów neprzesuwnych bez podzału na elementy błędy względne dla perwszej postac dochodzą do ludzesęcu procent. Ta duże newychwycone błędy mogą doprowadzć do poważnych onsewencj. Dla schematów 1, tam gdze ne uzysano z programu wartośc sł ytycznych dla wyższych postac przy nepodzelonych prętach, znaczne błędy występują taże przy podzale n =. Zazwyczaj m wyższa postać wyboczena, tym błąd względny jest węszy. teratura [1 Kubc K., Drgana własne uładów ramowych ch modelowane w programe Autodes Robot Structural Analyss, Zeszyty Nauowe oltechn Częstochowsej 01, nr 167, sera Budownctwo 18, 88-96. [ Nowac W., Mechana budowl, WN, Warszawa 1975. [3 Autodes Robot Structural Analyss rofessonal - odręczn użytowna. http://help.autodes. com/vew/rsaro/016/k/, dostęp 1.04.016. Streszczene Wyonane oblczeń statycznych złożonych onstrucj często nastręcza projetantom welu trudnośc, a czasem jest wręcz nemożlwe. rogramy omputerowe wspomagają projetowane, ale ne można do wynów analzy numerycznej podchodzć bezytyczne. O le z analzą statyczną programy omercyjne radzą sobe bardzo dobrze, o tyle z analzą dynamczną czy wyboczenową mogą meć problem. W artyule przedstawono wpływ dysetyzacj onstrucj na doładność analzy wyboczenowej w programe Autodes Robot Structural Analyss rofessonal dla różnych uładów onstrucyjnych. rzeanalzowano zarówno ułady przesuwne, ja neprzesuwne. W pracy zameszczono przyłady dla dwóch prostych prętów (wspornowego oraz z jednej strony utwerdzonego, a z drugej podpartego przegubowo) dla dwóch ram dwupętrowych (przesuwnej neprzesuwnej). Dla ażdego modelu wyznaczono po trzy sły ytyczne. Otrzymane wyn porównano z rozwązanam analtycznym. Zauważono znaczne różnce wartośc sł ytycznych dla model bez podzału prętów z ch podzałem, szczególne wyraźne dla uładów neprzesuwnych. Wartośc sł ytycz-
160 K. Kubc nych uzysane dla uładów bez podzału były wyższe od rzeczywstych wartośc, co stanow zagrożene, gdyż wyboczene może nastąpć przy nższej sle ścsającej. Słowa luczowe: analza wyboczenowa, rama, modelowane numeryczne Buclng analyss of plane frames and ther modelng n Autodes Robot Structural Analyss program Abstract Statc calculatons of advanced structures lead sometmes to many dffcultes for desgners and n some cases can be mpossble. Computer programs ad the desgn process, but the result of numercal analyss cannot be used uncrtcally. Whle the commercal programs solve statc problems very well, the dynamc or buclng analyss may cause some trouble. The paper presents the nfluence of dscretzaton on accuracy of buclng analyss n Autodes Robot Structural Analyss rofessonal program for dfferent structural systems. Structures wth and wthout sdesway have been analyzed. The paper provdes examples for two straght rods (cantlever and a rod wth one fxed support and second hnged support) and the two-storey frames (wth and wthout sdesway). For each model three crtcal forces were determned. The results obtaned were compared wth the results of analytcal solutons. Sgnfcant dfferences of crtcal forces values were observed for the models analysed. The dfferences were sgnfcantly vsble n the systems wthout sdesway. The values the crtcal loads obtaned for models wthout dscretzaton were hgher than the actual value, whch s a threat because buclng may occur at a lower compressve force. Keywords: buclng analyss, frame, numercal modelng