WYKRYWANIE WARSTWY BRZEGOWEJ A POSTERIORI W PROBLEMACH NUMERYCZNYCH POWŁOK ZDOMINOWANYCH GIĘTNIE

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 43, s , Glwce 01 WYKRYWANIE WARSTWY BRZEGOWEJ A POSTERIORI W PROBLEMACH NUMERYCZNYCH POWŁOK ZDOMINOWANYCH GIĘTNIE ŁUKASZ MIAZIO 1, GRZEGORZ ZBOIŃSKI 1, 1 Unwersytet Warmńsko-Mazursk w Olsztyne, Wydzał Nauk Techncznych e-mal: lukasz.mazo@uwm.edu.pl Instytut Maszyn Przepływowych PAN w Gdańsku e-mal: zbo@mp.gda.pl Streszczene. Prezentowane badana dotyczą wykrywana a posteror warstwy brzegowej w analze numerycznej struktur cenkoścennych na przykładze powłok zdomnowanych gętne. Poprzedne badana dotyczyły płyt. W nnejszej pracy przedstawone będą metody wykrywana a posteror efektu brzegu w przypadku dwóch trójwymarowych model powłok: herarchcznym Ressnera-Mndlna oraz przypadk brzegu prostolnowego zakrzywonego. W celu potwerdzena poprawnośc metody energe lokalne uzyskane za pomocą narzędza do wykrywana zostaną porównane z rozwązanem globalnym. 1. WSTĘP W artykule przedstawono kolejny etap badań nad wykrywanem a posteror warstwy brzegowej, naczej efekt brzegu, w analze numerycznej struktur cenkoścennych. W pracy rozważono przypadek powłok zdomnowanych gętne. Przypadek płyt był rozpatrywany w [, 3].Tematyka pracy stanow jedną ze śceżek kontynuacj rozważań prowadzonych przez Zbońskego [5] nad optymalzacją modelowana układów cał odkształcalnych z wykorzystanem metod adaptacyjnych. Metody adaptacyjne wykorzystywane są mędzy nnym w analze problemów struktur cenkoścennych. Specyfka tych struktur, przejawająca sę dużą różncą pomędzy wymaram wzdłużnym wymarem poprzecznym, powoduje różnorodne następstwa natury teoretycznej numerycznej. W tym kontekśce wymenć można efekt brzegu zwązany z wykładnczym charakterem rozwązana w sąsedztwebrzegu struktury. Jego stnene wpływa na numeryczne uwarunkowane rozwązań problemów struktur cenkoścennych.warto zauważyć, że efekt brzegu badany był analtyczne numeryczne w lcznych pracach [1, 4], ale ngdze ne zaproponowano narzędz do wykrywana przecwdzałana temu zjawsku.. CELE NASZYCH BADAŃ Ogólnym celem badań jest opracowane narzędz do wykrywana zjawska warstwy brzegowej, skutecznych w przypadku płyt, powłok zdomnowanych gętne, powłok

2 178 Ł. MIAZIO, G. ZBOIŃSKI zdomnowanych membranowo zadań meszanych. Badana prezentowane w nnejszej pracy dotyczą drugego z wymenonych przypadków. Zjawsko efektu brzegu wynka z założena nedostateczne dokładnej postac rozwązana w kerunku prostopadłym do brzegu struktury. Rozwązane wększośc problemów brzegowych struktur cenkoścennych wymaga bowem sumowana gładkego rozwązana we wnętrzu struktury rozwązana brzegowego, opsanego funkcjam o dużych gradentach, rosnących wykładnczo w kerunku normalnym do tego brzegu. W przypadku analzy numerycznej omawane zjawsko można przezwycężyć, wprowadzając w sąsedztwe brzegu struktury przestrzeń aproksymującą wzbogaconą wykładnczo w kerunku normalnym (satka zagęszczona w tym kerunku). Zauważyć należy, że efekt brzegu opóźna wejśce rozwązana numerycznego w obszar zbeżnośc asymptotycznej. Osągnęce przez rozwązane zakresu zbeżnośc asymptotycznej jest stotne, gdyż estymatory błędów oparte na nch procedury adaptacyjne wykorzystują założene o takej właśne zbeżnośc. Dlatego też pożądana jest taka modyfkacja satk, aby przed przystąpenem do adaptacj typu h p (zmana, odpowedno, wymaru h stopna p aproksymacj elementu) rozwązane znalazło sę w obszarze zbeżnośc asymptotycznej. Opracowywane narzędza wraz z odpowednm proceduram zmany satk początkowej służą temu celow. Nnejsza praca odnos sę do problemu wykrywana a posteror efektu brzegu w przypadku dwóch (herarchczny Ressnera-Mndlna) trójwymarowych model powłok oraz przypadków brzegu prostolnowego zakrzywonego. Zgodne z teorą te cztery przypadk cechują nne właścwośc. 3. ZJAWISKO WARSTWY BRZEGOWEJ I JEGO WYKRYWANIE Metoda wykrywana efektu brzegu za pomocą zaproponowanego narzędza polega na porównanu dwóch energ odkształcena z rozwązań lokalnych, uzyskanych dla obszaru przy brzegu. Metoda berze za punkt wyjśca pracę [5]. W metodze tej wspomnany obszar jest podzelony na cztery elementy skończone, w sposób arytmetyczny lub wykładnczy (rys. 1). Rys.1. Idea narzędz do wykrywana zjawska Energa odkształcena wększa w perwszym przypadku śwadczy o braku efektu brzegowego, podczas gdy energa odkształcena wyższa dla drugego przypadku śwadczy o wystąpenu zjawska. Wspomnane energe odpowadają oszacowanom rozwązana dokładnego.wykryce występowana efektu brzegu polega na dwukrotnym rozwązanu problemu lokalnego w celu uzyskana tych oszacowań. Problemy lokalne są zdefnowanego w obszarze V c pary elementów pryzmatycznych tworzącej obszar ogranczony rozważanym

3 WYKRYWANIE WARSTWY BRZEGOWEJ A POSTERIORI W PROBLEMACH 179 brzegem struktury oraz dwema płaszczyznam prostopadłym jedną równoległą do brzegu. Znane są wartośc funkcj rozkładu naprężeń mędzyelementowych na brzegu takego obszaru S c, uzyskane dla wspomnanej pary elementów gwarantujące równowagę obszaru. W obszarze tym dokonano podzału w kerunku normalnym n od brzegu na dwa mnejsze podobszary f = 1, (skala podzałum n = ). W kerunku stycznym s ne zmenono podzału (skala podzałum s = 1). Następne każdy z podobszarów dzelono na dwa elementy pryzmatyczne ( = 1, ). Nawązując do metod resdualnych szacowana błędów, problem lokalny do rozwązana określono następująco [5]: M n f 1 1 HPQ HPQ HPQ HPQ HPQ B, f f T f u u L f u u r u ds 0, f f f (1) Sc S f gdze: oznaczają waracje przemeszczeń elementu f, B to forma dwulnowa u HPQ f reprezentująca energęodkształcena, L to praca sł zewnętrznych, u reprezentuje wektor przemeszczena, r to reakcyjne naprężena mędzyelementowe. Rozwązując perwszy raz zadane (1), należy założyć parametry dyskretyzacj problemu lokalnego odpowadające możlwośc wystąpena efektu brzegu, tj. H H H n H P Q f f, 1, 1 s1 H s h, H 1 n H 1 nart, P P 1 p, Q Q 1 q. W przypadku drugego rozwązana, parametry te przyjmuje sę jako odpowadające sytuacj, kedy zjawsko warstwy brzegowej ne występuje: H n H H, H H h,, s s s1 H n H nexp, P P P p 1, Q Q Q1 q. Symbole główne H, P Q odnoszą sę do wymaru elementów oraz ch wzdłużnego porzecznego stopna aproksymacj w problemach lokalnych, zaś h, p q to ch odpowednk z problemu globalnego. Welkośc H H odpowadają odpowedno wykładnczemu zagęszczenu arytmetycznemu podzałow na dwa pary elementów wyjścowych w kerunku normalnym tj. M M M. W tej sytuacj zachodz: H art n n exp n exp n art n h/, f 1 H 9h/ 10 f H h/ 10, przy czym f odpowada n exp parze elementów przyległych do brzegu. Kryterum oparte na oszacowanach energ odkształcena, odpowadających dwóm powyższych przypadkom, ma postać[5] M n f 1 1 n exp n art M n H1 P1 Q1 H1P1 Q 1 1 H P1 Q1 H P1 Q1 u, u B u, u 1 B f f f f f f () f 1 1 Spełnene lub nespełnene powyższej zależnośc prowadzć będze do wnosku, że zjawsko warstwy brzegowej występuje lub też ne. Elementowy sposób detekcj efektu brzegu może być zastosowany do każdego elementu skończonego, przyległego do rozważanego brzegu. W praktyce oblczenowej warunek () sprawdza sę dla jednej lub klku par elementów skończonych przyległych do tego brzegu. 4. EKSPERYMENT NUMERYCZNY Oblczena wykonane zostały dla powłok zdomnowanej gętne. Ze względu na symetrę analzowana była jedna czwarta powłok. Powłoka ma wymary: długośćl = 1,57075 [m], grubość t = 0,03 [m] promeń R = 1 [m]. Wykonana jest z materału sprężystego o module Younga E =, [N/m ] współczynnku Possona v = 0,3. Pod uwagę wzęto dwa

4 180 Ł. MIAZIO, G. ZBOIŃSKI przypadk warunków brzegowych. Najperw badana była powłoka utwerdzona sztywno na brzegu prostolnowym, następne na brzegu krzywolnowym. Powłoka obcążona została równomerne słam powerzchnowym skerowanym ponowo ku dołow, o wartośc p = - 4, [N/m ]. Zastosowano dwa modele mechanczne: herarchczny model powłokowy (q = ) model Ressnera-Mndlna (q = 1). W testach numerycznych wykorzystano satk równomerne 3x3, 4x4 8x8 (rys. ). W eksperymence numerycznym zmenany był stosunek podzału w czteroelementowym probleme lokalnym. Odpowedną wartość energ odkształcena U 4 porównano z wartoścą U otrzymaną w dwuelementowym probleme lokalnym, tj. U 4 ( ) U % ( ) 100% (3) U Rys..Satka regularna: a) 3x3, b) 4x4, c) 8x8 Wynk przeprowadzonej analzy przedstawono na rysunkach od 3 do 8, gdze wartośc (wrażlwość rozwązana na zmanę satk) są wyśwetlone jako funkcja współczynnka % podzału. Wartość równa 1 odpowada równomernemu (arytmetycznemu) podzałow, natomast wartość 10 wskazuje, że dwa elementy znajdujące sę na brzegu są dzewęć razy węższe nż dwa pozostałe elementy. Analzując uzyskane wynk dla brzegów utwerdzonych (rys. 3 5), można zaobserwować jakoścową różncę mędzy przebegem krzywych uzyskanych dla modelu Ressnera- Mndlna herarchcznego modelu powłokowego. Porównując wartośc % dla równego 1 (podzał arytmetyczny) 10 (podzał wykładnczy), można zaobserwować spadek dla perwszego modelu wzrost dla tego drugego. Sugeruje to znaczący wpływ zjawska warstwy brzegowej na wynk rozwązana w przypadku modelu herarchcznego powłok brak takego wpływu w przypadku modelu Ressnera-Mndlna. W przypadku brzegów swobodnych (rys. 7 8) wdać wzrost wartośc % dla równego 10, co śwadczy o wystąpenu efektu brzegu dla obu model. Ponadto, porównując krzywe uzyskane dla trzech różnych satek,w przypadkach brzegu prostolnowego krzywolnowego, w wersj utwerdzonej swobodnej, można zauważyć, że wynk są podobne jakoścowo. W celu oceny efektywnośc zaproponowanego narzędza porównano wynk, odpowadające brzegom utwerdzonym, z wynkam kontrolnym uzyskanym w problemach globalnych (rys. 46). Odpowadają one rezultatom uzyskanym w problemach lokalnych, zaprezentowanych na rys. 3 5.Dla brzegu swobodnego wynków z rozwązana lokalnego ne

5 WYKRYWANIE WARSTWY BRZEGOWEJ A POSTERIORI W PROBLEMACH 181 porównano z problemem globalnym ze względu na nny sposób utwerdzena elementów w problemach lokalnych globalnym. Rys.3. Wynk z problemu lokalnego,utwerdzony brzeg prostolnowy:a) satka 3x3, b) satka 4x4, c) satka 8x8 Rys.4. Wynk z problemu globalnego, utwerdzony brzeg prostolnowy:a) satka 3x3, b) satka 4x4, c) satka 8x8

6 18 Ł. MIAZIO, G. ZBOIŃSKI Rys.5. Wynk z problemu lokalnego, utwerdzony brzeg krzywolnowy:a) satka 3x3, b) satka 4x4, c) satka 8x8 Rys.6. Wynk z problemu globalnego, utwerdzony brzeg krzywolnowy:a) satka 3x3, b) satka 4x4, c) satka 8x8 Porównując wynk globalne (rys. 4 6) lokalne(rys. 3 5), zauważyć można jakoścowe podobeństwo w przypadku obu model dla trzech satek o różnej gęstośc. Relacje pomędzy wartoścam %, odpowadające wynkom globalnym,można scharakteryzować dokładne w tak sam sposób jak w przypadku wynków lokalnych. W wększośc przypadków jakoścowe podobeństwo wynków lokalnych globalnych jest zaskakująco wysoke.

7 WYKRYWANIE WARSTWY BRZEGOWEJ A POSTERIORI W PROBLEMACH 183 Rys.7. Wynk z problemu lokalnego, swobodny brzeg krzywolnowy:a) satka 3x3, b) satka 4x4, c) satka 8x8 Rys.8. Wynk z problemu lokalnego, swobodny brzeg prostolnowy:a) satka 3x3, b) satka 4x4, c) satka 8x8 Kończąc dyskusję na temat uzyskanych wynków, warto zwrócć uwagę na rozwązana dla skrajnych wartośc. Śwadczą one o braku utraty stablnośc rozwązań. Jest to potwerdzone przez wartośc % blske0,dla = 0,001 = Można to nterpretować jako tożsamość energ odkształcena uzyskanej z problemu dwuelementowego odpowednej energ z problemu czteroelementowego.

8 184 Ł. MIAZIO, G. ZBOIŃSKI 5. WNIOSKI Dla brzegu utwerdzonego, w przypadku modelu Ressnera-Mndlna, wynk z wykładnczo podzelonej satk są gorsze od tych z równomernej. W probleme tym warstwa brzegowa ne ma wpływu na wynk. Obserwacja ta jest zgodna z teorą. W przypadku brzegu utwerdzonego herarchcznego modelu powłokowego sytuacja jest odwrotna. Wpływ efektu brzegu jest wdoczny. Wynk globalne, odpowadające powyższym przypadkom, potwerdzają skuteczność proponowanego narzędza do wykrywana. W przypadku, gdy mamy do czynena z brzegem swobodnym oraz modelam Ressnera- Mndlna herarchcznym, wynk z wykładnczo podzelonej satk są lepsze od tych z równomernej. W obu przypadkach warstwa brzegowa ma znaczący wpływ na wynk. Podsumowując, stwerdza sę, że zaproponowana metoda umożlwa efektywne wykrywane warstwy brzegowej w problemach struktur cenkoścennych. Wykrywane to może być oparte na wynkach z jednej lub klku par elementów przyległych do brzegu. LITERATURA 1. Cho J. R., Oden J. T.: Lockng and bondary layer n herarchcal models for thn elastc structures. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg 1997, 149, p Mazo Ł., Zbońsk G.: The numercal tool for a posteror detecton of boundary layers n hp-adaptve analyss. ShortPapers011 CMM, Warszawa, p , CD ROM, p Mazo, Ł.: Narzędza numeryczne do wykrywana a posteror efektu brzegu ch przydatność w adaptacyjnych metodach elementów skończonych.praca magsterska (promotor G. Zbońsk). Olsztyn: Unwersytet Warmńsko Mazursk, Wydzał Nauk Techncznych, Schwab C., Sur M.: The p and hp versons of the fnte element method for problems wth boundary layers. Math. Comput. 1996, 65, p Zbońsk, G.:Modelowane herarchczne metoda elementów skończonych do adaptacyjnej analzy struktur złożonych. Zesz. Nauk. IMP PAN, 50/1479, Gdańsk, 001. A POSTERIORI DETECTION OF BOUNDARY LAYERS IN NUMERICAL PROBLEMS OF BENDING-DOMINATED SHELLS Summary.The presented research concerns a posteror detecton of boundary layers n the numercal analyss of thn-walled structures. Our prevous research dealt wth plates. Here we address the case of bendng-domnated shells.in ths paper we are nterested n the a posteror methods for detectng the edge effect n two 3D-based models of shells: herarchcal and Ressner-Mndln ones. Straght and curved edges are concerned. In order to confrm correctness of the detecton tool,the local solutons obtanedby means of ths tool, have been compared wth the global soluton.