Notatki do wykªadu Algebra

Notatki do wykªadu Algebra (semestr letni 10/11) Emanuel Kiero«ski 1 Grupy, pier±cienie i ciaªa 1.1 Struktury algebraiczne Denicja 1 A = (A, f 1, f 2,...) zbiór A wraz ze zdeniowanymi na nim dziaªaniami f 1, f 2,..., nazywamy algebr (struktur algebraiczn ). Zbiór A nazywany jest uniwersum algebry. O ile nie b dzie to prowadziªo do nieporozumie«algebr i jej uniwersum b dziemy oznaczali cz sto tym samym symbolem. Ka»de z dziaªa«ma ustalon arno±. Dziaªanie o arno±ci n (albo dziaªanie n-argumentowe) to funkcja z A n w A. Dziaªania o arno±ci zero s nazywane staªymi i mo»emy o nich my±le jako o wyró»nionych elementach zbioru A. Zazwyczaj rozwa»a b dziemy algebry ze sko«czonym zestawem dziaªa«. Interesuj ce nas dziaªania b d najcz ±ciej dwuargumentowe. Przykªad 2 Przykªady algebr: (a) (Z, +,, 0). (b) (P({1, 2,..., n},,, ). (c) (A, ) - zbiór sªów nad alfabetem A z dziaªaniem konkatenacji. W poni»szej denicji wyró»nimy pewne wªasno±ci, które mog mie dziaªania dwuargumentowe. Denicja 3 (a) dziaªanie jest przemienne, gdy a, b A a b = b a, (b) dziaªanie jest ª czne, gdy a, b, c A (a b) c = a (b c); przykªad dziaªania, które nie jest ª czne: pot gowanie w zbiorze liczb naturalnych), (c) e jest lewostronnym elementem neutralnym dziaªania, gdy a A ea = a. (d) e jest prawostronnym elementem neutralnym dziaªania, gdy a A ae = a. (e) e jest elementem neutralnym dziaªania, gdy a A ea = ae = a. (f) element b jest lewostronnym elementem odwrotnym do a, wzgl dem dziaªania posiadaj cego element neutralny e, gdy b a = e, (g) element b jest prawostronnym elementem odwrotnym do a, wzgl dem dziaªania posiadaj cego element neutralny e, gdy a b = e, (h) element a jest elementem odwrotnym do b, gdy ab = ba = e (i) dziaªanie jest rozdzielne wzgl dem dziaªania + gdy a, b, c A a (b + c) = a b + a c oraz a, b, c A (b + c) a = b a + c a. Zachodz nast puj ce proste fakty: Fakt 4 (i) Je±li dziaªanie ma prawostronny element neutralny e l oraz lewostronny element nautralny e r, to e l = e r. Wniosek: dziaªanie mo»e mie najwy»ej jeden element neutralny. (ii) Je±li dziaªanie jest dziaªaniem ª cznym z elementem neutralnym e, to dla ka»dego elementu a, je±li b l jest lewostronnie odwrotny do a, a b r prawostronnie odwrotny do a, to b l = b r. Wniosek: ka»dy element ma najwy»ej jeden element odwrotny do siebie. Pewne klasy algebr maj szczególne znaczenie. Takie klasy deniuje si zazwyczaj podaj c sygnatur algebr (a wi c list arno±ci ich dziaªa«) oraz zestaw aksjomatów, które te dziaªania maj speªnia. Poni»ej wyró»niamy trzy klasy. Denicja 5 (a) (A, ), z jednym dziaªaniem binarnym, nazywamy grup je±li: dziaªanie jest ª czne, 1

dziaªanie ma element neutralny; dla ka»dego elemetnu istnieje element odwrotny do niego; dodatkowo je±li jest przemienne, to grup nazywamy przemienn lub abelow. (b) (A, +, ) z dwoma dziaªaniami binarnymi nazywamy pier±cieniem je±li: (A, +) jest grup przemienn, dziaªanie jest ª czne, dziaªanie jest rozdzielne wzgl dem dziaªania +. (c) (A, +, ) jest ciaªem je±li (A, +, ) jest pier±cieniem, (A \ {0}, ) jest grup przemienn (gdzie 0 oznacza element neutralny +); Kilka przykªadów grup podajemy w nast pnym rozdziale. Przykªadami ciaª s ciaªa liczbowe, np. zbiór liczb wymiernych z dziaªaniami dodawania i mno»enie. Jak zobaczymy pó¹niej istniej tak»e ciaªa sko«czone. Przykªad pier±cienia, który nie jest ciaªem: zbiór liczb caªkowitych z dziaªaniami dodawania i mno»enia (a nawet zbiór liczb parzystych mno»enie nie ma wtedy elemntu neutralnego). Bardzo istotnymi pier±cieniami s pier±cienie Z n = ({0, 1,... n 1}, + n, n), z dziaªaniami dodawania i mno»enia modulo n. 1.2 Grupy - podstawowe wªasno±ci i przykªady Poj cie grupy zdeniowali±my w poprzednim rozdziale. Istniej bardziej liberalne poj cia: póªgrupa to po prostu niepusty zbiór z dziaªaniem ª cznym, a monoid to póªgrupa z elementem neutralnym. Przykªad: zbiór niepustych sªów nad alfabetem A z dziaªaniem skªadania sªów, to póªgrupa; je±li dorzycimy sªowo puste dostaniemy monoid. Konwencje. Dziaªanie grupy nazywamy cz sto mno»eniem, piszemy ab zamiast a b, na oznaczenie elementu neutralnego u»ywamy symbolu 1, element odwrotny do a oznaczamy przez a 1, przez a n oznaczamy wynik n-krotnego pomno»enia a przez siebie (czyli n-t pot g a). To styl multiplikatywny. Alternatywnie mo»na u»ywa stylu addytywnego: dziaªnie +, element neutralny 0, element odwrotny do a to a. My najcz ±ciej b dziemy u»ywa stylu multiplikatywnego, ale element neutralny zazwyczaj b dziemy oznacza jako e. Uwaga. Poj cie grupy mo»na deniowa troch inaczej: jako zbiór z dziaªaniem binarnym, dziaªaniem unarnym 1 oraz staª 1, z odpowiednimi zaªo»eniami o dziaªaniach. 1.3 Przykªady grup Przykªad 6 Podamy teraz kilka przykªadów grup (i sprawdzimy,»e rzeczywi±cie s to grupy): (a) (Z, +) zbiór liczb caªkowitych z dodawaniem, (b) (R \ {0}, ) zbiór liczb rzeczywistych bez zera z mno»eniem, (c) zbiór bijekcji z X w X z dziaªaniem skªadania funkcji, dla dowolnego zbioru niepustego X, (d) (Z 4, + 4 ) zbiór {0, 1, 2, 3} z dziaªaniem dodawania modulo 4 (czyli wynik z dziaªania jest reszt z dzielenia a + b przez 4), (e) (Z 5, 5) zbiór {1, 2, 3, 4} z dziaªaniem mno»enia modulo 5, (f) Zbiór {1, 3, 5, 7} z dziaªaniem mno»enia modulo 8 (grupa czwórkowa Kleina), (g) Grupa obrotów kwadratu (z dziaªaniem skªadania), (h) Grupa symetrii kwadratu z dziaªaniem skªadania (symetriami nazywamy wzajemnie jednoznaczne przeksztaªcenia zachowuj ce odlegªo±ci mi dzy punktami). Symetrie: 4 obroty (w tym identyczno± ), 4 odbicia. (i) Grupa symetrii n-k ta foremnego D 2n (n obrotów i n odbi, n > 1). Grupy (c), (h) i (i) nie s s przemienne (z wyj tkiem przypadku, gdy X < 3. Pozostaªe s. 1.4 Tabelki dziaªa«deniuj c grupy mo»emy u»ywa tabelek dziaªa«. Oto tabelka dla podpunktu (f) z przykªadu 6: 2

A to tabelka dla grupy symetrii kwadratu: 1 3 5 7 1 1 3 5 7 3 3 1 7 5 5 5 7 1 3 7 7 5 3 1 id r 90 r 180 r 270 h v d d id id r 90 r 180 r 270 h v d d r 90 r 90 r 180 r 270 id d d h v r 180 r 180 r 270 id r 90 v h d d r 270 r 270 id r 90 r 180 d d v h h h d v d id r 180 r 90 r 270 v v d h d r 180 id r 270 r 90 d d v d h r 270 r 90 id r 180 d d h d v r 90 r 270 r 180 id Warto zwróci uwag na pewne cechy jakie musz mie tabelki dziaªania grupowego: Obserwacja 7 (i) istnieje element (neutralny), którego wiersz i kolumna s identyczne z wierszem i kolumn opisuj cymi elementy uniwersum (ii) w ka»dym wierszu i w ka»dej kolumnie pojawia si element neutralny i elementy neutralne s uªo»one symetrycznie wzgl dem przek tnej tabelki (wymusza to postulat istnienia elementów odwrotnych) (iii) ka»dy wiersz i ka»da kolumna s permutacjami elementów uniwersum. Powy»sze wªasno±ci nie gwarantuj jednak,»e dziaªanie jest grup : dodatkowo dziaªanie musi by ª czne. Ostatnia wªasno± obserwacji 7 wynika z nast puj cego lematu. Lemat 8 Dla dowolnych a, b A równania ax = b oraz ya = b maj w grupie jednoznaczne rozwi zania. Wniosek 9 W grupie zachodz prawa skracania. Lewostronnego: ab = ac implikuje b = c i prawostronnego: ba = ca implikuje b = c. 1.5 Izomorzmy grup Zdeniujemy poj cie izomorzmu grup. 1 Denicja 10 Mówimy,»e grupy (A, A) i (B, B) s izomorczne je±li istnieje bijekcja F : A B taka,»e a, b A F (a A b) = F (a) b F (b). Funkcj F nazywamy izomorzmem pomi dzy grupami A i B. Šatwo zauwa»y,»e izomorzm zachowuje wszystkie wªasno±ci dziaªania grupowego. W szczególno±ci zachodzi nast puj cy prosty fakt: Fakt 11 Je±li F jest izomorzmem z A w B to F przeprowadza element neutralny A na element neutralny w B, a element odwrotny do a A na element odwrotny do F (a). Grupy izomorczne maj zatem te same wªasno±ci i ró»ni si tylko nazwami elementów. Oczywista jest te» obserwacja nast puj ca: Fakt 12 Relacja na zbiorze grup o tej samej liczbie elementów ª cz ca te pary grup, które s izomorczne jest relacj równowa»no±ci. Przykªad 13 Grupy z podpunktów (d), (e) i (g) przykªadu 6 jest izomorczne. Grupy z podpunktów (d) i (f) nie s izomorczne. Zatem, tak naprawd grupy z podpunktów (d) i (e) i (g) s wcieleniami tego samego abstrakcyjnego obiektu. Niedªugo zobaczymy,»e z dokªadno±ci do izomorzmu s tylko dwie grupy czteroelementowe. 1 W naturalny sposób uogólnia si ono na dowolne algebry, na razie nie podamy jednak szczegóªów. 3

1.6 Pot gowanie, rz d elementu i rz d grupy W naturalny sposób deniujemy pot g caªowit elementu w grupie. Denicja 14 (a) a 0 = e, gdzie e jest elementem neutralnym (b) a m = a a m 1 dla m dodatnich (c) a m = (a 1 ) m dla m ujemnych Šatwo zauwa»y,»e nast puj ce prawa s prawdziwe ( wiczenie): Fakt 15 (i) a r a s = a r+s (ii) (a r ) s = a rs. Nie zachodzi natomiast znane z arytmetyki na liczbach naturalnych prawo (ab) n = a n b n (wymaga ono przemienno±ci). Denicja 16 Rz dem elementu a w grupie nazywamy najmniejsz liczb dodatni m tak,»e a m = e. Je»eli taka liczba nie istnieje to mówimy,»e rz d a jest nieokre±lony albo niesko«czony. Rz dem grupy nazwamy liczb elementów uniwersum tej grupy. Fakt 17 W grupie sko«czonej ka»dy element ma sko«czony rz d. 1.7 Podgrupy, generowanie, grupy cykliczne Denicja 18 Mówimy,»e B jest podgrup grupy A je±li B A oraz B jest grup. Je»eli (A, ) jest grup to zbiór zªo»ony z samego elementu neutralnego jest jej podgrup. Zgodnie z denicj, ka»da grupa jest te» swoj wªasn podgrup. Te dwie specyczne podgrupy danej grupy nazywamy trywialnymi lub niewªa±ciwymi. Przykªad 19 (a) Grupa obrotów kwadratu jest podgrup grupy symetrii kwadratu. (b) Zbiór liczb caªkowitych parzystych z dziaªaniem dodawania jest podgrup zbioru liczb caªkowitych Zauwa»,»e w szczególno±ci B musi zawiera element neutralny; dla ka»dego elementu a B jego element odwrotny a 1 musi nale»e do B; oraz B musi by zamkni ty na dziaªanie (a, b B ab B). W przypadku grup sko«czonych mo»na udowodni nat puj cy fakt: Lemat 20 Niepusty podzbiór H grupy sko«czonej G jest jej podgrup zachodzi ab H (a wi c H jest zamkni ty na dziaªanie ). wtedy i tylko wtedy, gdy a, b H Szkic dowodu: We¹my dowolny element a H. Ma on w G rz d sko«czony m, czyli a m = e. A st d a m 1 jest odwrotno±ci a. Denicja 21 (a) Niech G b dzie grup, a X dowolnym jej niepustym podzbiorem. Najmniejsz podgrup G zawieraj c X nazywamy podgrup generowan przez X. (b) Je±li grupa G jest generowana przez zbiór jednoelementowy {a} (mówimy te» wtedy,»e G jest generowana przez element a, albo»e a jest generatorem G), to G nazywamy grup cykliczn. Przykªad 22 (a) Generatorem grupy (Z, +) jest 1. (b) Generatorem grupy obrotów kwadratu jest obrót o 90 stopni (obrót o 270 te»). (c) Generatorem grupy addytywnej (Z 4, + 4 ) jest 1 (3 te»). (d) Grupa czwórkowa Kleina nie jest cykliczna. Do jej wygenerowania potrzeba co najmniej zbioru dwuelementowego, np. {3, 5}. (e) Podgrupa generowana przez element 3 w grupie czwórkowej Kleina to {1, 3}. (f) Podgrupa generowana w grupie symetrii kwadratu przez r (obrót o 90 stopni) skªada si ze wszystkich obrotów (w tym identyczno±ci). (g) Grupa symetrii kwadratu nie jest cykliczna. Mo»na j wygenerowa np. zbiorem {r, d}. Fakt 23 (i) Podgrupa generowana przez X skªada si ze wszystkich iloczynów dla k N postaci x 1 x 2... x k, gdzie x i X lub x 1 i X. Oczywi±cie iloczyny te nie musz dawa parami ró»nych wyników. 4

(ii) Je±li a jest generatorem sko«czonej (pod)grupy H, to H = {a, a 2, a 3,... a m }, dla najmniejeszego m > 0, takiego,»e a m = e. Dodatkowo a i a j dla i j, 0 < i, j m. Zauwa»,»e liczba elementów grupy cyklicznej jest równa rz dowi jej generatora. Twierdzenie 24 Je»eli G jest grup cykliczn, generowan przez a, to rz d a okre±la G z dokªadno±ci do izomorzmu. Dokªadniej: je»eli rz d a jest niesko«czony, to G jest izomorczna z (Z, +), a je»eli wynosi k, to G jest izomorczna z grup addytywn (Z k, + k ). Szkic dowodu: Zaªó»my najpierw,»e rz d a jest niesko«czony. Na mocy Faktu 23, G skªada si wtedy z iloczynów zbudowanych z a i a 1, a wi c, G = {a i : i Z}. Šatwo sprawdzi,»e przeksztaªcenie F : G Z, zdeniowane wzorem F (a i ) = i jest izomorzmem grup. Przypu± my teraz,»e rz d a wynosi k. Wtedy, ponownie na mocy Faktu 23, G = {a, a 2,..., a k 1, a k } = {a, a 2,..., a k 1, a 0 } oraz a i a j dla 0 i < j < k. Przeksztaªcenie F : G Z k deniujemy wzorem F (a i ) = i, dla 0 i < k. Jasne jest,»e jest ono ró»nowarto±ciowe i na". Sprawdzamy, czy zachowuje dziaªanie. Niech 0 i, j < k. Rozwa»my dwa przypadki: je±li i + j < k, to F (a i a j ) = F (a i+j ) = i + j = F (a i ) + F (a j ) = F (a i ) + k F (a j ). Je±li natomiast i + j k, to 0 i + j k < k. Wtedy F (a i a j ) = F (a i+j ) = F (a k+(i+j k) ) = F (a k a i+j k ) = F (a i+j k ) = i + j k = i + k j = F (a i ) + k F (a j ). Zatem, w obu przypadkach F (a i a j ) = F (a i ) + k F (a j ). 1.8 Grupy permutacji Wa»n klas grup stanowi grupy permutacji. Permutacja zbioru X to po prostu bijekcja tego zbioru w siebie. W przykªadzie 6(c) zauwa»yli±my ju»,»e zbiór permutacji ustalonego zbioru tworzy z dziaªaniem skªadania grup. Grupa ta (z wyj tkiem przypadku, gdy X 2) nie jest przemienna. Najcz ±ciej b dziemy rozwa»a permutacje zbiorów {1, 2, 3,..., n}. Grup takich permutacji oznaczmy symbolem S n. Permutacj identyczno±ciow w S n oznaczamy id n (albo id je»eli z kontekstu wiadomo jakie jest n). Ka»d permutacj f mo»na przedstawia za pomoc zapisu dwuwierszowego: ( ) 1 2 3... n f(1) f(2) f(3)... f(n) Wa»n klas permutacji stanowi cykle. Denicja 25 Cyklem k-wyrazowym nazywamy tak permutacj f zbioru X = {1, 2,..., n} (k n),»e istniej 1 a 1, a 2,... a k n (a i a j dla i j), takie»e f(a 1 ) = a 2, f(a 2 ) = a 3,..., f(a k ) = a 1 oraz f(a) = a dla a {a 1,... a k }. Cykl zapisujemy jako (a 1, a 2,..., a k ). Cykle dwuwyrazowe nazywamy transpozycjami. Cykle (a 1, a 2,... a k1 ) oraz (b 1, b 2,... b k2 ) nazywamy rozª cznymi, gdy nie poruszaj tych samych elementów, czyli gdy a i b j dla wszystkich i, j. Fakt 26 Je±li f i g s cyklami rozª cznymi (o tej samej dziedzinie), to fg = gf. Dle permutacji z S n zachodzi: Twierdzenie 27 (i) Ka»da permutacja da si jednoznacznie (z dokªadno±ci do kolejno±ci) przedstawi jako zªo»enie cykli rozª cznych. (ii) Ka»da permutacja da si przedstawi jako zªo»enie transpozycji (niekoniecznie rozª cznych, przedstawienie to nie jest jednoznaczne). (iii) Ka»da transpozycja jest zªo»eniem nieparzystej liczby transpozycji elementów s siednich. A zatem grupa S n jest generowana przez zbiór transpozycji elementów s siednich. Szkic dowodu: (i) Šatwe. (ii) Wynika z tego,»e (a 1, a 2,..., a k ) = (a 1, a k )(a 1, a k 1 )... (a 1, a 3 )(a 1, a 2 ). (iii) Wynika z tego,»e (j, l) = ((j, j +1)(j +1, j +2)... (l 2, l 1)(l 1, l)(l 2, l 1)... (j +1, j +2)(j, j +1). Fakt 28 W grupie S n : (i) cykl k-wyrazowy jest elementem rz du k, (ii) rz d dowolnej permutacji jest najmniejsz wspóln wielokrotno±ci rz dów cykli z jej rozkªadu na zªo-»enie cykli rozª cznych. 5

Szkic dowodu: (ii) Permutacj zapisujemy jako iloczyn cykli rozª cznych: p = c 1 c 2... c l. Jej k-ta pot ga ma posta p k = c k 1c k 2... c k l (tu korzystamy z przemienno±ci skªadania cykli rozª czych). Obeserwujemy,»e c k i = id n wtedy i tylko wtedy, gdy k jest wielokrotno±ci rz du c i. Zatem je±li k jest NWW rz dów c i, to oczywi±cie p k = id n. Nietrudno te» zobaczy,»e je±li k < NWW rz dów c i, to p k id n. Denicja 29 Niech f b dzie permutacj z S n. Elementy f(i) i f(j), i < j tworz inwersj w permutacji f je±li f(i) > f(j). Permutacj nazywamy parzyst je±li ma parzyst liczb inwersji. W przeciwnym wypadku permutacja jest nieparzysta. Deniujemy równie» znak permutacji f, sgn(f), jako +1 dla f parzystej i 1 dla f nieparzystej. Lemat 30 Niech f b dzie dowoln permutacj, a t dowoln transpozycj w S n. Wtedy sgn(f) = sgn(ft). Szkic dowodu: Najpierw dowodzimy lematu dla t b d cego transpozycj elementów s siednich. Nast pnie korzystamy z twierdzenia 27, cz ± (iii). Lemat 31 Permutacja f jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy w dowolnym jej rozkªadzie na transpozycje wyst puje parzysta liczba transpozycji. Szkic dowodu: Rozªó»my f na transpozycje: f = t 1 t 2... t k, czyli f = i n t 1 t 2... t k, gdzie i n jest permutacj identyczno±ciow w S n. Oczywi±cie sgn(i n ) = 1. U»ywamy lematu 30. Na podstawie lematu 31 ªatwo zauwa»y,»e: Fakt 32 (i) sgn(fg) = sgn(f)sgn(g) (ii) sgn(f) = sgn(f 1 ) Z powy»szego faktu oraz z obserwacji,»e identyczno± jest parzysta mo»emy wnioskowa : Fakt 33 Podzbiór wszystkich parzystych permutacji z S n jest grup. Grup z powy»szego faktu oznaczamy symbolem A n i nazywamy grup alternuj c. Šatwo pokaza,»e S n (czyli rz d S n ) wynosi n!. Zobaczymy,»e dokªadnie poªowa permutacji w S n jest parzysta. Lemat 34 Dla n > 1: A n = n!/2. Szkic dowodu: Niech f 1, f 2,..., f k b dzie list wszystkich permutacji parzystych, a t dowoln transpozycj. Pokazujemy,»e f 1 t, f 2 t,..., f k t jest list wszystkich permutacji nieparzystych w S n oraz,»e f i t f j t je±li i j. Nast puj ce twierdzenie mówi,»e ka»da grupa sko«czona jest w istocie pewn podgrup grupy permutacji. Twierdzenie 35 (Cayley) Niech G b dzie grup sko«czon rz du n. Wtedy G jest izomorczna z pewn podgrup S n. Szkic dowodu: Zaªó»my bez straty ogólno±ci,»e elementami zbioru G s {1, 2, 3,..., n}. Konstruujemy funkcj F : G S n. Dla a G, deniujemy F (a) = f a, gdzie f a : G G taka,»e f a (b) = ab dla wszystkich b G. 2 Šatwo sprawdzi,»e f a jest bijekcj dla wszystkich a G. Podobnie F jest róznowarto±ciowa (bo f a f b dla a b). Zobaczymy teraz,»e obraz F (G) (obraz G wzgl dem funkcji F ) jest podgrup S n. W tym celu (na mocy lematu 20) wystarczy pokaza,»e zªo»enie dwóch dowolnych bijekcji z F (G) jest w F (G). Ale to równie» jest proste, bo f a f b = f ab. Ta ostatnia równo±c dowodzi tak»e,»e F zachowuje dziaªanie. 1.9 Warstwy i twierdzenie Lagrange'a Denicja 36 Deniujemy dziaªanie na zbiorach. Niech X i Y b d podzbiorami uniwersum grupy G. X Y := {a G : a = x y dla pewnych x X, y Y }. Je±li który± ze zbiorów X, Y jest jednoelementowy, to zamiast np. {a} Y b dziemy pisa ay. Uwaga Zdeniowane dziaªanie na podzbiorach grupy jest ª czne i ma element neutralny ({e}), ale»aden zbiór o mocy wi kszej od 1 nie ma elementu odwrotnego. Ka»da podgrupa rozkªada grup na warstwy: 2 Mo»emy my±le,»e f a to permutacja opisana w wierszu elementu a tabelki dziaªania grupy G. 6

Denicja 37 Niech H b dzie podgrup G. Warstw prawostronn H nazwywamy ka»dy ze zbiorów Ha dla a G. Analogicznie warstw lewostronn jest ka»dy zbiór ah, dla a A. W szczególno±ci H jest swoj prawo- i lewostronn warstw (bo H = He = eh). Liczb warstw prawostronnych nazywamy indeksem podgrupy H. Lemat 38 (i) Je»eli H jest sko«czona to jej wszystkie warstwy maj po H elementów. (ii) Warstwy prawostronne (lewostronne) podgrupy H stanowi podziaª uniwersum grupy G (ka»dy element nale»y do jakiej± warstwy, warstwy s rozª czne). Szkic dowodu: (i) Fakt ten wynika z prawa skracania. (ii) Element a nale»y do warstwy Ha (bo e H). Zaªó»my,»e x Ha oraz x Hb. Poka»emy,»e Ha = Hb. Zaªo»enie o x implikuje,»e x = h 1 a = h 2 b, dla pewnych h 1, h 2 H. Niech y Ha. Wtedy y = h 3 a = h 3 h 1 1 x = h 3h 1 1 h 2b Hb, bo h 3 h 1 1 h 2 H. Czyli Ha Hb. Zawieranie w drug stron pokazujemy analogicznie. Z lematu tego wynika m.in.,»e ka»da podgrupa ma tyle samo warstw prawostronnych co lewostronnych. Przykªad 39 (a) Rozwa»my grup symetrii kwadratu z przykªadu 6. Zbiór {i, h} jest jej podgrup. Wyznacza on cztery warstwy prawostronne: warstwa i : {i, h}, warstwa r : {r, v}, warstwa r : {r, d}, warstwa r = {r, d }. (b) Niech G = S 6, a H skªada si z permutacji f dla których f(1) = 1. Wtedy mamy 6!/5! = 6 warstw lewostronnych (bo H = 5!), ka»da z nich jest wyznaczona poprzez warto± permutacji na 1. Konsekwencj lematu 38 jest nast puj ce twierdzenie: Twierdzenie 40 (Lagrange) Rz d grupy sko«czonej jest wielokrotno±ci rz du ka»dej z jej podgrup. Wniosek 41 Rz d ka»dego elementu grupy sko«czonej G dzieli rz d G Szkic dowodu: Ka»dy element a generuje cyklicz podgup : {a, a 2, a 3,..., a m = e}. Wniosek 42 W grupie sko«czonej rz du k dla ka»dego elementu a zachodzi a k = e. Wniosek 43 Ka»da grupa G, której rz d jest liczb pierwsz jest cykliczna. A zatem mamy, z dokªadno±ci do izomorzmu, na przykªad tylko jedn grup rz du 5 grup (Z 5, + mod 5 ) (przypominam,»e, z dokªadno±ci do izomorzmu, jest tylko jedna grupa cykliczna rz du k, dla k N). 1.10 Podgrupy normalne Denicja 44 Niech H b dzie podgrup G. Mówimy,»e H jest podgrup normaln lub dzielnikiem normalnym G je±li dla ka»dego a G zachodzi aha 1 H. Nast puj cy fakt mówi,»e po podgrupy normalne mo»emy opisa jako te, które generuj takie same warstwy lewo- i prawostronne: Fakt 45 H jest podgrup normaln G wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego a G zachodzi ah = Ha. Przykªad 46 (a) Trywialna podgrupa {e} jest zawsze normalna. (b) Grupa alternuj ca A n jest normaln podgrup S n. (c) Grupa obrotów kwadratu jest normaln podgrup jego symetrii. (d) Wszystkie podgrupy grupy przemiennej s normalne. (e) Centrum (patrz Lista 2, zadanie 2) ka»dej grupy jest podgrup normaln. (f) Podgrupa grupy S 4 : {i 4, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} jest normalna. Fakt 47 Je±li podgrupa H grupy G ma indeks 2 (czyli ma dwie warstwy), to jest normalna. 7

Szkic dowodu: Niech Ha i Hb b d warstwami prawostronnymi. Jedna z nich jest równa H = He, ale H = eh jest równie» warstw lewostronn. Korzystamy z faktu,»e warstwy tworz podziaª: drug warstwa (prawo- czy lewostronna) musi by G \ H. Ka»da podgrupa normalna deniuje grup ilorazow : Denicja 48 Niech N b dzie podgrup normaln G, wtedy zbiór warstw N z dziaªaniem mno»enia (patrz Denicja 36) oznaczamy symbolem G/N i nazywamy grup ilorazow (lub ilorazem G przez N). Fakt 49 Grupa ilorazowa jest rzeczywi±cie grup. Przykªad 50 Niech P k oznacza zbiór liczb podzielnych przez k, gdzie k jest liczb dodatni. P k jest podgrup grupy (Z, +). Poniewa» grupa ta jest przemienna, wi c P k jest normalna. Warstwami s zbiory liczb daj cych te same reszty przy dzieleniu przez k. Šatwo sprawdzi,»e grupa ilorazowa Z/P k jest izomorczna z {Z k, + mod k }. 1.11 Homomorzmy grup Denicja 51 Niech (A, 1) i (B, 2) b d grupami. a, b A zachodzif (a 1 b) = F (a) 2 F (b). Mówimy,»e F : A B jest homomorzmem je±li Przypomnijmy,»e izomorzm to homomorzm ró»nowarto±ciowy i na. Inne szczególne homomorzmy: monomorzm to homomorzm ró»nowarto±ciowy, epimorzm to homomorzm na, automorzm to izomorzm zbioru w siebie. Šatwo sprawdzi,»e podobnie jak w przypadku izomorzmów Fakt 52 Ka»dy homomorzm przeksztaªca element neutralny na nautralny oraz odwrotny do a, na odwrotny do obrazu a. Podobnie jak poj cie izormozmu, poj cie homomorzmu uogólnia si w naturalny sposób na inne algebry. Denicja 53 Niech f : A B b dzie homomorzmem (a) Obrazem F nazywamy zbiór Im(F ) = {b B : a A F (a) = b} (b) J drem F nazywamy zbiór Ker(F ) = {a A : F (a) = e B }, gdzie e B jest elementem nautralnym w grupie B. Fakt 54 Obraz i j dro homomorzmu F : A B s podgrupami, odpowiednio B i A, co wi cej, j dro jest podgrup normaln. Szkic dowodu: ( wiczenia) Fakt 55 J dro homomorzmu F skªada si z dokªadnie jednego elementu (neutralnego) wtedy i tylko wtedy, gdy F jest monomorzmem (ró»nowarto±ciowy). Szkic dowodu: ( wiczenia) Przykªad 56 Przykªady homomorzmów: (a) wszystkie izomorzmy (b) F (x) = e, (c) F : S n { 1, 1}, F (f) = sgn(f), przy czym jako dziaªania w zbiorze { 1, 1} u»ywamy zwykªego mno»enia, (d) Rozwa»amy grupy (Z, +) oraz (R \ {0}, ). F : Z R \ {0}, F (m) = 2 m jest monomorzmem. 1.12 Homomorzmy i grupy ilorazowe Zobaczymy teraz,»e dla ka»dej grupy G i ka»dej jej podgrupy normalnej N istnieje homomorzm z G na G/N (czyli,»e G/N jest obrazem homomorcznym G). Co wi cej, poka»emy,»e wszystkie obrazy homomorczne grupy G s w istocie ilorazami G przez pewne jej podgrupy normalne. Lemat 57 Je±li N jest podgrup normaln G, to istnieje homomorzm z G na G/N. 8

Szkic dowodu: Homomorzm deniujemy nast puj co: F (a) = N a. Sprawdzenie: F (a)f (b) = N an b = Nab = F (ab). Twierdzenie 58 Niech F : G G b dzie epimorzmem (homomorzmem na). Wtedy istnieje izomor- zm J : G/(KerF ) G. Szkic dowodu: W dowodzie oznaczymy dla skrócenia zapisu N = KerF. Izomorzm deniujemy nast puj co: J(Na) = F (a). Poprawno± denicji. Sprawdzamy,»e je±li Na = Nb, to F (a) = F (b). Je±li Na = Nb, to b Na, czyli b = na dla pewnego n N. Wtedy F (b) = F (na) = F (n)f (a) = e G F (a) = F (a). J jest bijekcj. J jest na: je±li a G, to a G F (a) = a (F jest na) oraz J(Na) = F (a) = a. J jest 1-1: je±li J(Na) = J(Nb), to F (a) = F (b). G jest grup, wi c b = na dla pewnego n G, zatem F (b) = F (na) = F (n)f (a). St d F (n) = e G, czyli n KerF = N. Wnioskujemy,»e b Na, czyli Nb = Na. J zachowuje dziaªania. J(Na Nb) = J(N(ab)) = F (ab) = F (a)f (b). Przykªad 59 Rozwa»my homomorzm grupy R \ {0} na R + (obie z mno»eniem): F (x) = x. Jego j drem jest {1, 1}. Powy»sze twierdzenie mówi,»e iloraz R \ {0} przez {1, 1} jest izomorczny z R +. 1.13 Algorytm Euklidesa Kilka podstawowych denicji i faktów z teorii liczb: Dla liczb caªkowitych a, b piszemy a b je±li a dzieli b, czyli istnieje takie caªkowite k,»e b = ka. Liczba jest pierwsza je±li jedynymi jej dzielnikami dodatnimi s 1 i ona sama. Dla liczb caªowitych a i b, b 0 istnieje dokªadnie jedna liczba naturalna r mniejsza od b taka,»e dla pewnego caªkowitego q mamy a = qb + r; liczb r nazywamy reszt z dzialenia a przez b i oznaczamy a mod b. Dla ka»dych dwóch liczb caªkowitych a, b istnieje ich najwi kszy wspólny dzielnik, oznaczany gcd(a, b). Je±li gcd(a, b) = 1 to mówimy,»e a i b s wzgl dnie pierwsze. Najwi kszy wspólny dzielnik dodatnich liczb m i n mo»emy wyliczy za pomoc algorytmu Euklidesa: (1) m 0 := m, : n 0 = n. (2) i := 0 (3) Je±li m i = 0 zwró n i ; Je±li n i = 0 zwró m i. (4) Je±li m i > n i, to m i := m i mod n i w przeciwnym wypadku n i := n i mod m i (5) i := i + 1. Przejd¹ do 3. Uzasadnienie poprawno±ci: pokazujemy,»e zbiory wspólnych dzielników liczb m i+1 i n i+1 oraz m i i n i, pojawiaj cych si w czasie dziaªania algorytmu, s jednakowe. Wynika to wpost z nast puj cego lematu: Lemat 60 Niech b 0. Wtedy gcd(a, b) = gcd(a mod b, b). Szkic dowodu: Oznaczmy c = a mod b. Mo»emy zapisa : a = k 1 b + c, dla pewnego k 1 Z. Udowodnimy,»e zbiory wspólnych dzielników a i b oraz c i b s jednakowe. Niech d a i d b, czyli a = k 2 d, a b = k 3 d, dla pewnych k 2, k 3 Z. c = a k 1 b = k 2 d k 1 k 3 d = d(k 2 k 1 k 3 ), czyli d c. W drug stron, je±li d c i d b, czyli c = k 4 d oraz b = k 5 d, dla pewnych k 4, k 5 Z, to mo»emy zapisa a = k 1 b + c = k 1 k 5 d + k 4 d = d(k 1 k 5 + k 4 ), a wi c d a. U»ywaj c powy»szego lematu ªatwo ju» indukcyjnie pokaza,»e zbiory wspólnych dzielników m, n s takie same jak zbiory wspólnych dzielników kolejnych m i, n i. Poniewa» gcd(0, a) = a dla a 0 nasz algorytm zwraca poprawn warto±. Zauwa»my,»e dla dowolnych danych wej±ciowych m, n, algorytm dojdzie do sytuacji m i = 0 lub n i = 0 w sko«czonej liczbie kroków: w ka»dym kroku zmniejsza si warto± m + n, ale caªy czas pozostaje ona nieujemna. Nie ma zatem mo»liwo±ci,»e zap tli si i b dzie dziaªaª w niesko«czono±. Z algorytmu Euklidesa wynika nast puj ce wa»ne twierdzenie: Twierdzenie 61 Niech m i n b d liczbami caªkowitymi. Wtedy istniej liczby caªkowite a i b takie,»e am + bn = gcd(m, n). 9

Szkic dowodu: Pokazujemy indukcyjnie,»e warto±ci m i i n i, pojawiaj ce si w czasie dziaªania algorytmu Euklidesa, nale» do zbioru A = {am + bn : a, b Z}. Jedna z tych warto±ci jest zwracana na koniec jako gcd(m, n). Oczywi±cie m 0 i n 0 nale» do zbioru A. Zaªo»enie indukcyjne: m i = am + bn oraz n i = cm + dn. Rozwa»my przypadek, gdy m i > n i (drugi jest analogiczny) i n i jest niezerowe. Musimy pokaza,»e m i+1 A. Wiemy,»e m i = kn i +m i+1, dla pewnego k Z, czyli m i+1 = m i kn i = am+bn k(cm+dn) = (a kc)m + (b + d)n A. To ko«czy dowód indukcyjny Liczby a i b takie jak w Twierdzeniu 61 mo»emy wyliczy rozszerzonym algorytmem Euklidesa. Przykªad 62 Przykªad oblicze«dla m = 81 i n = 57: 81 = 1 57 + 24 57 = 2 24 + 9 24 = 2 9 + 6 9 = 1 6 + 3 6 = 2 3 + 0 Zatem gcd(81, 57) = 3. Znajdujemy teraz a i b odwracaj c obliczenia: W szczególno±ci wnioskiem z twierdzenia 61 jest 3 = 9 1 6 3 = 9 1 (24 2 9) = 1 24 + 3 9 3 = 1 24 + 3 (57 2 24) = 3 57 7 24 3 = 3 57 7 (81 57) = 7 81 + 10 57 Wniosek 63 gcd(m, n) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy am + bn = 1 dla pewnych caªkowitych a i b. 1.14 Arytmetyka modularna Przyjrzyjmy si teraz bli»ej dziaªaniom dodawania i mno»enia modulo m (m N). Przypomnijmy,»e wynik dziaªania a + m b, dla a, b Z, deniowali±my jako reszt z dzielenia a + b przez m, czyli jako (a + b) mod m (analogicznie dla dziaªania m). Zauwa»yli±my do tej pory (mo»e jeszcze nie do ko«ca formalnie),»e zbiór Z m = {0, 1,..., m 1} z dziaªaniem + m jest grup przemienn, dla ka»dego m > 0. Aby wygodniej mówi o arytmetyce modularnej wprowad¹my jeszcze relacj m na zbiorze liczb caªkowitych: a m b wtedy i tylko wtedy, gdy a b = km dla pewnego k Z (czyli gdy m dzieli ró»nic a b, co jest równowa»ne temu,»e a i b daj te same reszty przy dzieleniu przez m - wiczenie). Šatwo sprawdzi,»e relacja ta jest relacj równowa»no±ci i ma m klas abstrakcji, wyznaczanych przez reszty z dzielenia przez m. Zachodz nast puj ce fakty Fakt 64 (i) je±li a m b oraz c m d, to a + c m b + d (ii) je±li a m b oraz c m d, to ac m bd (iii) jesli a m b, to a n m b n dla n N W szczególno±ci a+ m b = (a mod m)+ m (b mod m) oraz a m b = (a mod m) m (b mod m) bo oczywi±cie a m (a mod m). Zauwa»my teraz nast puj c ogóln wªasno± homomorizmów: 3 Lemat 65 Niech F b dzie homomorzmem struktur algebraicznych z A na B. Niech t 1 (x 1,..., x k ) i t 2 (x 1,..., x k ) b d dowolnymi wyra»eniami zbudowanym ze zmiennych x 1,..., x k, symboli dziaªa«i nawiasów. Wtedy, je±li: x 1,..., x k A t 1 (x 1,..., x k ) = t 2 (x 1,..., x k ), to x 1,..., x k B t 1 (x 1,..., x k ) = t 2 (x 1,..., x k ). Powy»szy lemat implikuje na przykªad,»e je±li w strukturze A zachodzi prawo rozdzielno±ci: xyz x (y+z) = x y + x z, oraz istnieje homomorzm z A na B, to to samo prawo zachodzi te» w B. Poniewa», funkcja F : Z Z m dana wzorem F (a) = a mod m jest homomorzmem (Z, +, ) na (Z m, + m, m) oraz Z jest pier±cieniem przemiennym z jedno±ci, mo»emy teraz wykaza : Fakt 66 (Z m, + m, m) jest pier±cieniem (przemiennym z jedno±ci ). 3 Poj cie homomorzmu zdeniowali±my formalnie jedynie dla grup, ale uogólnienie na pier±cienie i inne struktur algebraiczne jest oczywiste: homomorzm to funkcja zachowuj ca wszystkie dziaªania struktury. 10

Uwaga: My zdeniowali±my ju» na pocz tku tego wykªadu pier±cie«(z m, + m, m) jako struktur o uniwersum {0, 1,..., m 1} i dziaªaniach + m, m deniowanych jako reszty z dzielenia wyników dziaªa«+, przez m. Mo»na na niego spojrze troch inaczej. Mianowicie mo»na my±le,»e elementami uniwersum s klasy abstrakcji relacji m, a dziaªania zdeniowane s nast puj co: [a] m + m [b] m = [a + b] m, [a] m m [b] m = [a b] m. Fakt 64 pozwala udowodni,»e taka denicja dziaªa«jest poprawna. Oczywi±cie F : Z Z m dana wzorem F (a) = [a] m jest homomorzmem na, zatem uzyskana struktura jest pier±cieniem przemiennym z jedno±ci. Procedur któr opisali±my nazywa si podzieleniem pier±cienia przez kongruencj. Kongruencjami nazywamy relacje równowa»no±ci speªniaj ce warunki analogiczne do warunków (i), (ii) z faktu 64. Porównaj te» Przykªad 50. Przykªad 67 (a) Jaka jest ostatnia cyfra liczba 3 1000? Szukamy 3 1000 mod 10, czyli 9 500 mod 10. 9 500 mod 10 = (9 2 mod 10) 250 = 1 250 = 1. (b) Jaka jest ostatnia cyfra w zapisie dziesi tnym liczby 3 2009? Chcemy znale¹ wynik mno»enia liczby 3 przez siebie 2009 razy w pier±cieniu Z 10. 3 2 = 9, 3 3 = 7, 3 4 = 7 3 = 1, 3 2008 = 3 4 502 = (3 4 ) 502 = 1. Zatem szukan cyfr jest 1 3 = 3. Lemat 68 Element a w pierw±cieniu Z m ma element odwrotny (wzgl dem m) wtedy i tylko wtedy, gdy gcd(a, m) = 1. Szkic dowodu: Je±li a m b = 1, czyli ab mod m = 1 to ab = qm + 1 dla pewnego q, a wi c ab qm = 1. Na mocy Wniosku 63 gcd(a, m) = 1. Ponownie z wniosku 63 mamy ax+my = 1 dla pewnych caªkowitych x i y. Inaczej: ax = ym + 1, czyli ax mod m = 1, wi c x mod m jest elementem odwrotnym do a. Zauwa»,»e dowód powy»szego lematu sugeruje efektywny algorytm sprawdzania, czy element ma odwrotno± oraz wyliczania tej odwrotno±ci (z wykorzystaniem algorytmu Euklidesa do znalezienia x). Otrzymujemy te»: Twierdzenie 69 (i) ({1, 2,... m 1}, m) jest grup wtedy i tylko wtedy, gdy m jest liczb pierwsz. (ii) Pier±cie«(Z m, + m, m} jest ciaªem wtedy i tylko wtedy, gdy m jest liczb piewrsz. Dla dowolnego ciaªa (C, +, ) grup (C, +) nazywamy jego grup addytywn, grup (C \ {0}, ) grup multiplikatywn. W przypadku dowolnego pier±cienia (P, +, ) dziaªanie + nazywamy addytywnym, a multiplikatywnym. Oznaczmy przez Z m zbiór elementów Z m wzgl dnie pierwszych z m. Z m oznaczamy jako ϕ(m) (jest to tzw. funkcja Eulera). Oczywi±cie ϕ(p) = p 1 dla p pierwszych. Twierdzenie 70 Zbiór elementów odwracalnych (wzgl dem dziaªania multiplikatywnego) dowolnego pier- ±cienia z jedno±ci tworzy grup z dziaªniem muliplikatywnym. W szczególno±ci (Z m, m) jest grup dla dowolnego m > 0, jako zbiór elementów odwracalnych pier±cienia (Z m, +, ). Przypomnijmy,»e zgodnie z Wnioskiem 42 z twierdzenia Lagrange'a w dowolnej grupie sko«czonej G, a G = e zachodzi dla dowolnego a. Dostajemy st d kolejny wa»ny wniosek: Twierdzenie 71 (i) (Maªe twierdzenie Fermata) Je±li p jest liczb pierwsz, to dla ka»dego a Z, takiego»e p nie dzieli a, zachodzi a p 1 p 1. (ii) (Euler) Je±li gcd(m, a) = 1, to a ϕ(m) m 1 dla dowolnego a Z. Przykªad 72 (a) Przykªad zastosowania twierdzenia Fermata: jaka jest reszta z dzielenia 2 1000000 przez 101? Wiemy,»e 2 100 101 1 (bo 101 jest liczb pierwsz ). 2 1000000 = (2 100 ) 10000 101 1. (b) Grupa addytywna (Z p, + p ) dla p pierwszego jest oczywi±cie grup cykliczn (na mocy Wniosku 43). Wkrótce poka»emy,»e grupa multiplikatywna (Z p \ {0}, p) jest równie» cykliczna. W tym przykªadzie sprawdzimy,»e 2 jest generatorem grupy multiplikatywnej Z 101 (jest to grupa, bo 101 jest liczb pierwsz ). W tym celu sprawdzamy (u»ywaj c podej±cia podobnego jak w poprzednich przykªadach),»e rz d 2 wynosi 100. Pokazujemy konkretnie,»e 2 20 oraz 2 50 s ró»ne od 1. Poniewa» rz d 2 musi dzieli 100, a wszystkie dzielniki 100 (oprócz 100) s dzielnikami 20 lub 50 daje to nasz wniosek. 1.15 Chi«skie twierdzenie o resztach Denicja 73 Niech (G 1, + 1, 1),..., (G k, + k, k) b d pier±cieniami przemiennymi z jedno±ci. Ich produktem 4 nazywamy struktur ((G 1,..., G k ), +, ), o uniwersum b d cym iloczynem kartezja«skim uniwersów pier±cieni G i i dziaªaniach zdeniowanych po wspóªrz dnych, tj., w przypadku dziaªania : (g 1,..., g k ) (g 1,..., g k ) = (g 1 1 g 1,..., g k k g k ) i analogicznie dla +. 4 Prównaj zadanie 1, Lista 3, w którym zdeniowali±my analogiczne poj cie dla grup. 11

Poni»szy fakt sprawdza si rutynowo: Fakt 74 Produkt pier±cieni przemiennych z jedno±ci jest pier±cieniem przemiennym z jedno±ci. Przykªad 75 (a) Z 6 jest izomorczny z Z 2 Z 3. Izomorzm: F (x) = (x mod 2, x mod 3) (b) Z 8 nie jest izomorczny z Z 2 Z 4. Mo»na bowiem sprawdzi,»e w grupie addytywnej Z 2 Z 4 nie ma elementu rz du 8, a taki jest w grupie addytywnej Z 8 (bo ta jest cykliczna). Lemat 76 Niech G, G 1,... G m b d pier±cieniami przemiennymi z jedno±ci. Niech F i : G G i b d homomorzmami pier±cieni. Wtedy F : G G 1,..., G k, zdeniowana wzorem F (a) = (F 1 (a),..., F m (a)) jest homomorzmem pier±cieni. Twierdzenie 77. Niech liczby m 1, m 2,..., m k b d parami wzgl dnie pierwsze i niech m = m 1 m 2... m k. Wtedy funkcja F : Z m Z m1 Z m2... Z mk, dana wzorem F (x) = (x mod m 1, x mod m 2,... x mod m k ) jest izomorzmem pier±cieni. Szkic dowodu: Je±li m i m oraz funkcja F : Z m Z mi dana jest wzorem F (a) = a mod m i, to F jest homomorzmem. Zatem zachowywanie dziaªa«wynika z Lematu 76. Musimy tylko sprawdzi,»e F jest bijekcj. Poniewa» zbiory s sko«czone wystarczy sprawdzi ró»nowarto±ciowo± : je±li F (a) = F (b), to a mod m i = b mod m i dla wszystkich i, czyli a mi b. To oznacza,»e m i (a b) dla wszystkich i. Poniewa» m i s wzgl dnie pierwsze, to tak»e m 1... m k (a b), 5 ale a b < m, czyli a = b. Wniosek 78 (Chi«skie twierdzenie o resztach) Je±li m 1, m 2,..., m k s parami wzgl dnie pierwsze, m = m 1 m 2... m k oraz a i {0,... m i 1} to istnieje dokªadnie jeden x, 0 x < m, speªniaj cy ukªad: x mod m 1 = a 1 x mod m 2 = a 2... x mod m k = a k Ukªad z powy»szego wniosku mo»na sprawnie rozwi zywa. Mianowicie x = (a 1 z 1 y 1 +... a k z k y k ) mod m, gdzie z i = m/m i, a y i jest tak liczb,»e z i y i mi 1. Uzasadnienie poprawno±ci: x mod m 1 = (a 1 z 1 y 1 +... a k z k y k ) mod m 1 = ((a 1 z 1 y 1 mod m 1 )+...+(a k z k y k mod m 1 )) mod m 1 = a 1 +0+...+0 = a 1 (bo m 1 jest dzielnikiem z i dla i > 1). Analogicznie dla pozostaªych m i. Przykªad 79 Znajd¹my najmniejsz liczb dodatni, która daje reszt 1 przy dzieleniu przez 2, reszt 2 przy dzieleniu przez 3 oraz reszt 2 przy dzieleniu przez 7. Odpowied¹: 23. 1.16 Pier±cienie Z n w akcji - system szyfrowania Rabina Omówimy i przeanalizujemy metod szyfrowania Rabina. Jest to metoda szyfrowania z dwoma kluczami: publicznym i prywatnym. Kluczem prywatnym, sªu» cym do odszyfrowywania wiadomo±ci jest para ró»nych du»ych liczb pierwszych p i q. Kluczem publicznym, sªu» cym do zaszyfrowywania, jest liczba liczba n, b d ca iloczynem p i q. Szyfrowane wiadomo±ci to liczby z Z n. Niech x Z n b dzie wiadomo±ci, któr chcemy zaszyfrowa. Szyfrem jest liczba x 2 mod n. Zaªó»my,»e otrzymali±my zaszyfrowan wiadomo± c. Odszyfrowanie polega na wyliczeniu pierwiasków kwadratowych modulo n, czyli znalezieniu takich x,»e x 2 n c. Oczywi±cie operacja szyfrowania (czyli podnoszenia do kwadratu modulo n) jest ªatwa obliczeniowo. W dalszej cz ±ci wykªadu przekonamy si,»e deszyfrowanie (wyliczanie pierwiastków kwadratowych modulo n) daje si sprawnie wykonywa, gdy znamy p i q, ale jest trudne, gdy znamy tylko n. Dokªadniej, poka»emy,»e je±li znaj c tylko n potramy oblicza pierwiastki kwadratowe modulo n, to potramy znajdowa rozkªad n na czynniki pierwsze. Ten ostatni problem uznawany jest za bardzo trudny obliczeniowo (chocia» formalny dowód tej trudno±ci nie jest dot d znany!): 5 Tu potrzebny jest lemat: je±li m 1,..., m k s parami wzgl dnie pierwsze oraz ka»de m i dzieli n, to iloczyn wszystkich m i te» dzieli n. Lematu dowodzi si np. u»ywaj c faktu,»e m 1 m i m 2 m i gcd(m 1, m 2 ) = 1 implikuje m 1 m 2 m, nast pnie indukcji i wiczenia 1d z listy 5. 12

Hipoteza: Nie istnieje algorytm, który dla zadanego n b d cego iloczynem dwóch du»ych 6 liczb pierwszych znajdowaªby te liczby w rozs dnym czasie. Warto za to podkre±li,»e sprawdzenie czy zadana liczba jest liczb pierwsz jest zadaniem ªatwym istniej wydajne algorytmy rozwi zuj ce to zadanie. Analizuj c system Rabina u»yjemy poni»szego twierdzenia. wykªadu. Jego dowód pojawi si w dalszej cz ±ci Twierdzenie 80 Niech p b dzie liczb pierwsz. Wtedy multiplikatywna grupa Z p jest cykliczna. Denicja 81 Mówimy,»e liczba a Z n jest reszt kwadratow modulo n je±li istnieje taki b w Z n,»e a n b 2. Zbiór reszt kwadratowych modulo n oznaczamy QR n. Resztami kwadratowymi s wi c liczby jakie pojawiaj si na przek tnej tabelki mno»enia Zn. przykªad Q 7 = {1, 2, 4}, Q 9 = {1, 4, 7}. Na Fakt 82 Je±li p > 2 jest liczb pierwsz, to QR p = Z n /2 = (p 1)/2. Je±li a QR p, to a ma dokªadnie 2 pierwiastki modulo p. Szkic dowodu: Deniujemy relacj Zp Zp: a b wtedy, gdy a 2 p b 2. Jest to relacja równowa»no±ci, której klasy abstrakcji s dwuelementowe: Je±li a 2 p b 2, to (a b)(a + b) dzieli si przez p. Ale p jest liczb pierwsz, wi c p dzieli a b lub p dzieli a + b, czyli a p b lub a p b p p b. Poniewa» p jest nieparzyste wi c b p b. Fakt 83 Niech p > 2 b dzie liczb pierwsz, niech g b dzie generatorem grupy multiplikatywnej Z p. Wtedy QR p = {1 = g 0, g 2, g 4,..., g p 3 }. Szkic dowodu: Oczywi±cie g 2i jest kwadratem g i. Wszystkie g 2i, dla 0 2i p 3 s ró»ne i jest ich (p 1)/2. Lemat 84 Niech p > 2 b dzie liczb pierwsz, a Z p. Je±li a QR p, to a (p 1)/2 p 1; w przeciwnym wypadku a (p 1)/2 p 1. Szkic dowodu: Je±li a QR p, to a p b 2 dla pewnego b Zp. Wtedy a (p 1)/2 p b p 1 p 1 (ostatnie równo± wynika z maªego twierdzenia Fermata). Je±li a QR p, to a = g 2i+1 (g generator), czyli a (p 1)/2 = (g 2i ) (p 1)/2 g (p 1)/2 = g (p 1)/2. Ta ostatnia liczba nie mo»e przystawa do 1, bo g jest generatorem. Z drugiej strony jej kwadrat przystaje do 1, wi c a (p 1)/2 p g (p 1)/2 p 1 (bo 1 ma dokªadnie 2 pierwiastki kwadratowe modulo p: 1 i -1). Zauwa»,»e powy»szy lemat pozwala skonstruowa prost metod sprawdzania czy a jest reszt kwadratow modulo p. Lemat 85 Niech p i q b d liczbami pierwszymi, n = pq. Wtedy QR n = Z n /4 = ((p 1)(q 1))/4. Je±li a QR n, to a ma dokªadnie cztery pierwiastki kwadratowe modulo n. Szkic dowodu: Deniujemy relacj Zn Zn: a b wtedy, gdy a 2 n b 2. Relacja ta jest relacj równowa»no±ci. Poka»emy,»e jej klasy abstrakcji s czteroelementowe. Ka»da klasa jest wyznaczona przez pewn reszt kwadratow. Niech r QR n. Na mocy chi«skiego twierdzenia o resztach równanie x 2 n r jest równowa»ne ukªadowi x 2 p r, x 2 q r. Niech x 1, x 2 b d rozwi zaniami pierwszego ukªadu w (Zp), a x 1, x 2 rozwi zaniemi drugiego ukªadu (w Zq ). Wtedy ka»da z par (x 1, x 1), (x 1, x 2), (x 2, x 1), (x 2, x 2) daje dokªadnie jedno rozwi zanie równania wyj±ciowego. Na mocy chi«skiego twierdzenia o resztach s to ró»ne rozwi zania. Istnienie 4 pierwiastków z ka»dej reszty kwadratowej jest wad systemu kryptogracznego Rabina. Po odebraniu zaszyfrowanej wiadomo±ci dostajemy cztery mo»liwe pierwiastki i musimy zgadn, który z nich jest wªa±ciw wiadomo±ci. Istniej pewne modykacje systemu usuwaj ce t wad. Niestesty, znacz co komplikuj one algorytm. 6 kilkaset - kilka tysi cy bitów 13

Wyznaczanie pierwiastków kwadratowych modulo n (przy znajomo±ci p i q) Poka»emy teraz jak odszyfrowywa wiadomo±ci, czyli jak wylicza pierwiastki kwadratowe modulo n = pq, gdy znamy klucz prywatny: liczby pierwsze p i q. Wystarczy,»e wyliczymy pierwiastki modulo p i modulo q, a nast pnie zastosujemy chi«skie twierdzenie o resztach. Musimy zatem poda algorytm wyznaczanie pierwiastka kwadratowego z c QR p modulo liczba pierwsza p. Rozpatrzmy przypadek, gdy rozwa»ana liczba pierwsza p daje reszt 3 przy dzieleniu przez 4, czyli p = 4k + 3, dla pewnego k N. Przypadek, gdy reszta jest równa 1 jest nieco bardziej skomplikowany i nie b dziemy si nim zajmowa na tym wykªadzie. Mamy c (p 1)/2 p 1 (bo c jest reszt kwadratow, patrz Lemat 84), czyli c 2k+1 p 1. St d (c k+1 ) 2 p c. Jednym z pierwiastków jest zatem x 1 = c k+1 mod p, drugi x 2 = p x 1. Trudno± deszyfrowania bez znajomo±ci p i q Niech n b dzie iloczynem dwóch liczb pierwszych p i q. Zaªó»my,»e istnieje szybki algorytm A znajduj cy dla zadanego c Zn takie x = A(c),»e x 2 n c. Poka»emy jak skonstruowa wydajny algorytm wyznaczaj cy rozkªad n na czynniki pierwsze. Nasz algorytm b dzie algorytmem zrandomizowanym (typu Las Vegas): b dzie losowaª pewn warto±, na jej podstawie przeprowadzaª pewne obliczenia i próbowaª znale¹ p lub q; je±li to si nie uda wylsouje kolejn warto± i powtórzy procedur. Zobaczymy,»e oczekiwana liczba losowa«wynosi 2 oraz,»e z du»ym prawdopodobie«stwem kilka losowa«zagwaratnuje znalezienie rozwi zania. Algorytm wygl da nast puj co: 1. Wylosuj x Z n 2. Niech c = A(x 2 mod n) 3. Je±li c = x lub c = n x przejd¹ do 1 4. Wyznacz gcd(c + x, n) oraz gcd(c x, n). Te liczby s szukanymi p i q. Odpowied¹ c = x lub c = n x nie daje nam»adnej istotnej informacji i tak wiemy,»e te liczby s pierwiastkami kwadratowymi z x 2 modulo n. Dlatego w tym przypadku ponownie wracamy do wylosowania x. Zaªó»my,»e mamy c x i c n x. Poniewa» c 2 = x 2 mod pq, wi c (c x)(c + x) = kpq, wi c p c x lub p c + x. 7 Poniewa» zaªo»enie gwarantuje,»e (c x)(c + x) 0 mod n, wi c gcd(c x, n) = p lub gcd(c + x, n) = p. Prawdopodobie«stwo,»e przy losowym x algorytm A zwróci nieprzydatn warto± c wynosi 1/2 (bo mamy cztery pierwiastki, z czego dwa nieprzydatne). Zatem oczekiewana liczba losowa«x to 2. A szansa,»e po k-tym losowaniu nie b dziemy znali rozkªadu jest równa 1/2 k. 1.17 Wªasno±ci grup cyklicznych Podamy teraz seri wyników dot cz cych grup cyklicznych. Fakt 86 Nich g b dzie generatorem n-elementowej grupy G. Element g m jest generatorem G wtedy i tylko wtedy, gdy gcd(m, n) = 1. Fakt 87 Je±li G jest cykliczna, to ka»da jej podgrupa jest cykliczna. Szkic dowodu: Niech g b dzie generatorem grupy G, a H podrup G. Niech m b dzie najmniejsz liczb dodatni tak,»e g m H (je±li takiej liczby nie ma, to H skªada si tylko z elementu neutralnego). Poka»emy,»e g m jest generatorem H, czyli»e H = {(g m ) i : i Z}. Zawieranie jest oczywiste. Pokazujemy. Niech g j H, niech j = km + r, 0 r < m. Wtedy g r = g j km = g j (g m ) k H (z zamkni to±ci H). Poniewa» r < m, wi c r = 0 (z denicji liczby m). Zatem g j = (g m ) k. Fakt 88 Niech G b dzie grup cykliczn rz du n N. W G istnieje element rz du d wtedy i tylko wtedy, gdy d n. Szkic dowodu: Wynika z Wniosku 41 z Twierdzenia Lagrange'a. Je±li g jest generatorem, to szukanym elementem jest g n/d. Fakt 89 Je±li grupa cykliczna G ma element rz du k, to ma dokªadnie ϕ(k) takich elementów. 7 To wynika z cz ±ci (e) zadania 1 z listy 5. 14

Szkic dowodu: Rozwa»amy zbiór H = {a : a k = e}. Do zbioru tego nale» w szczególno±ci wszystkie elementy rz du k. Šatwo sprawdzi,»e H jest podgrup G, a wi c jest cykliczna (na mocy Faktu 87). H ma dokªadnie k elementów. Na mocy Faktu 86 ma ona dokªadnie ϕ(k) generatorów. S one wszystkimi elementami rz du k w G. Zauwa»,»e Fakty 88 i 89 prowadz do nast puj cego ªadnego wzoru: Wniosek 90 n = {d:d n} Twierdzenie 91 Niech G b dzie grup sko«czon rz du n. Je±li dla dowolnego k N zbiór {g G : g k = e} ma najwy»ej k elementów, to G jest cykliczna. Szkic dowodu: Zastanówmy si ile elementów rz du k, dla k n jest w G. Zaªó»my,»e jest tam co najmniej jeden taki element a. Rozwa»my zbiór {g G : g k = 1}. Na mocy zaªo»enia jest tam najwy»ej k elementów - musi by to zatem caªa podgrupa generowana przez a. Jest to zatem grupa cykliczna, która ma ϕ(k) generatorów - elementów rz du k. Uzasadnili±my wi,»e dla dowolnego k liczba elementów rz du k w G jest mniejsza b d¹ równa liczbie elementów rz du k w n-elementowej grupie cyklicznej (mniejsza byªaby wtedy, gdyby w ogóle nie byªo elementów k w G, a byªy w grupie cyklicznej). Poniewa» obydwie grupy maj po n-elementów wi c moce elementów rz du k, dla dowolnego k musz by dla nich równe. W szczególno±ci, w G musi by element rz du n generator, a wi c G jest cykliczna. Powy»sze twierdzeni zostanie przez nas u»yte do pokazania, grupa multiplikatywna ciaªa sko«czonego jest cykliczna. Wcze±niej zbadamy jednak podstawowe wªasno±ci wielomianów nad pier±cieniami i ciaªami. ϕ(d) 1.18 Przypomnienie denicji pier±cieni i ciaª. Przypomnijmy: (a) (A, +, ) z dwoma dziaªaniami binarnymi nazywamy pier±cieniem je±li: (A, +) jest grup przemienn, dziaªanie jest ª czne, dziaªanie jest rozdzielne wzgl dem dziaªania +. (b) (A, +, ) jest ciaªem je±li (A, +, ) jest pier±cieniem, (A \ {0}, ) jest grup przemienn (gdzie 0 oznacza element neutralny +); Pier±cie«nazywamy przemiennym je±li jego dziaªanie multiplikatywne jest przemienne. Pier±cie«nazywamy pier±cieniem z jedno±ci je±li ma element neutralny mno»enia. Oczywi±cie ka»de ciaªo jest pier±cieniem. Mówi c o pier±cieniach i ciaªach u»ywamy zazwyczaj 0 na oznaczenie elementu neutralnego dodawania, 1 na oznaczenie elementu neutralnego mno»enia (je±li taki istnieje). a jest elementem przeciwnym do a (odwrotnym wzgl dem dziaªania +), a 1 odwrotnym (wzgl dem dziaªania ). Zamiast pisa a + ( b) piszemy cz sto a b. Fakt 92 W dowolnym pier±cieniu: (i) 0 a = 0. (ii) ( x)y = x( y) = (xy) Fakt 93 W dowolnym ciele: ab = 0 a = 0 b = 0. Ostatni fakt nie jest prawdziwy we wszystkich pier±cieniach. Np. 2 2 = 0 w Z 4. Element a, pier±cienia R, dla którygego istnieje niezerowe b takie,»e ab = 0 nazywamy dzielnikiem zera. 1.19 Kilka informacji o pier±cieniach wielomianów Denicja 94 Niech (R, +, ) b dzie pier±cieniem. Wyra»enie f = a n x n + a n 1 x n 1 +... a 1 x 1 + a 0 x 0, gdzie a i R, a n 0 oraz wyra»enie f = 0 nazywamy wielomianami nad pier±cieniem R. Elementy a i nazywamy wspóªczynnikami wielomianu. Liczb n nazywamy stopniem wielominu i oznaczamy deg(f). Wspóªczynnik przy takim i nazywamy wiod cym. Wielomian, którego wspóªczynnikiem wiod cym jest a 0 nazywamy wielomianem staªym. 15

Wielomian zerowy, f = 0, ma do± specjalny status. Powy»sza denicja nie okre±la jego stopnia (przyjmiemy konwencj,»e stopie«ten jest równy ), nie ma on te» wspóªczynnika wiod cego. W przypadku wielominu f = a n x n + a n 1 x n 1 +... a 1 x 1 + a 0 x 0, odwoªujemy si czasem do a i, dla i > n. Uznajemy wtedy,»e takie a i = 0. Dwa wielominay f = a n x n + a n 1 x n 1 +... a 1 x 1 + a 0 x 0 i g = b m x m + b m 1 x m 1 +... b 1 x 1 + b 0 x 0 s równe je±li dla ka»dego i zachodzi a i = b i. Z ka»dym wielominem f mo»na w naturalny sposób powi za funkcj f(x) : R R (warto± funkcji na argumencie b R wylicza si wstawiaj c b w miejsce x w wyra»eniu opisuj cym f). Zwracam jednak uwag,»e formalnie wielomiany i odpowiadaj ce im funkcje to ró»ne obiekty. Fakt 95 Nie jest prawd,»e dwa ró»ne wielomiany nad tym samym pier±cieniem zawsze opisuj ró»ne funkcje 8. Szkic dowodu: We¹my jako R ciaªo Z 11 i wielomiany f = 0 oraz g = x 11 x. Obydwa opisuj funkcje stale równ 0 (drugi z nich na mocy maªego twierdzenia Fermata). Zreszt, dla dowolnego pier±cienia sko«czonego R, zbiór wielomianów nad F jest niesko«czony, a R R sko«czony. Zbiór wielomianów nad pier±cieniem R oznaczamy jako R[x]. W zbiorze R[x] mo»na wprowadzi dziaªania sumy + i iloczynu w nast puj cy, naturalny sposób: Denicja 96 Niech f = a n x n +a n 1 x n 1 +... a 1 x 1 +a 0 x 0, g = b m x n +b m 1 x m 1 +... b 1 x 1 +b 0 x 0. Wtedy: f + g = (a i + b i )x i f g = 0 i max{m,n} ( 0 i m+n 0 j i a j b i j )x i Przykªad 97 Przykªad dodawania i mno»enia wielomianów nad Z 6. Niech f = 3x 2 + 2x + 2, g = 5x + 4. Wtedy f + g = 3x 2 + x, a fg = 3x 3 + 4x 2 + 2x + 2. Šatwo sprawdzi,»e Fakt 98 Je±li R jest pier±cieniem przemiennym, f, g R[x], p = fg, r = f +g, to a R : p(a) = f(a)ḡ(a) oraz r(a) = f(a) + ḡ(a). Fakt 99 Niech f i g b d wielomianami na pier±cieniem R odpowiednio stopnia m i n. Wtedy: (i) f + g ma stopie«mniejszy lub równy max{m, n}, (ii) f g ma stopie«mniejszy lub równy m + n. (iii) Je±li R jest ciaªem, to f g ma stopie«równy m + n. W szczególno±ci, je±li f 0 oraz g 0, to fg 0. Szkic dowodu: Pierwsze dwa podpunkty s oczywiste. Trzeci wynika z faktu,»e w ka»dym ciele równo± ab = 0 implikuje a = 0 lub b = 0. Zatem iloczyn wspóªczynników wiod cych nie mo»e by zerem i staje si wobec tego wspóªczynnikiem wiod cym iloczynu wielomianów. Dowód nast puj cego faktu jest rutynowy: Fakt 100 Niech (R, +, ) b dzie pier±cieniem. Wtedy R[x] z dziaªaniami dodawania i mno»enia wielomianów te» jest pier±cieniem. Je±li R jest przemienny, to R[x] równie». Je±li R jest z jedno±ci, to R[x] równie». 1.20 Podzielno± wielomianów Rozwa»a teraz b dziemy pier±cienie wielomianów nad ciaªami. Ciaªo oznacza b dziemy zazwyczaj jako F. Poka»emy,»e dla wielomianów nad ciaªem mo»na rozwin kawaªek teorii podzielno±ci, która oka»e si podobna do teorii podzielno±ci liczb caªkowitych. Fakt 101 Dla ka»dej pary wielomianów f, g F [x], g 0 istnieje dokªadnie jedna para wielomianów q, r takich,»e deg(r) < deg(g) oraz f = qg + r. Wielomian r nazywamy reszt z dzielenia f przez g. W szczególno±ci reszta z dzielenia wielomianu f przez dwumian x c jest staª. 8 Ale, jak zobaczymy pó¹niej, ró»ne wielominy nad niesko«czonymi ciaªami opisuj ró»ne funkcje. 16