Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiały diagnostyczne przygotowała Agata Siwik we współpracy z nauczycielami matematyki szkół ponadgimnazjalnych: Ewa Ziętek Nauczyciel II Liceum Ogólnokształcącego im Konstantego Ildefonsa Gałczyńskiego w Olsztynie Nauczyciel Technikum nr 6 w Zespole Szkół Elektronicznych i Telekomunikacyjnych w Olsztynie Irena Jakóbowska Nauczyciel VI Liceum Ogólnokształcącego im G Narutowicza w Olsztynie Wicedyrektor VI Liceum Ogólnokształcącego im G Narutowicza w Olsztynie Elżbieta Guziejko Nauczyciel Liceum Ogólnokształcącego im Jana Kochanowskiego w Olecku Ewa Olszewska Nauczyciel Technikum w Zespole Szkół Handlowo-Ekonomicznych im M Kopernika w Białymstoku Andrzej Gołota Nauczyciel Technikum w Zespole Szkół Mechanicznych w Elblągu Konsultant ds matematyki Warmińsko-Mazurskiego Ośrodka Doskonalenia Nauczycieli w Elblągu Jan Żukowski Nauczyciel I Liceum Ogólnokształcące im M Konopnickiej w Suwałkach Doradca metodyczny Centrum Doskonalenia Nauczycieli i Kształcenia Ustawicznego w Suwałkach

Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 odpowiedź C D B D B A B A C A D C D Schemat punktowania zadań otwartych Zadanie ( pkt) Dany jest równoległobok ABCD, w którym bok BC jest dwa razy krótszy od boku AB Punkt P jest środkiem boku DC Punkt P połączono z wierzchołkami A i B tego równoległoboku Wykaż, że kąt APB jest kątem prostym I sposób rozwiązania Rysujemy równoległobok ABCD i wprowadzamy oznaczenia, np:, BC a, AB a, punkt P jest środkiem boku DC, DAP DPA, PBC BPC i BCD D P C A B BC a, AB a, stąd AD DP PC a DAP DPA, PBC BPC i BCD, stąd ADC 80 Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa 80, zatem otrzymujemy następujące równości: w ADP : 80 80, stąd w BCP : 80, stąd 80, zatem 90 DPA APB CPB 80, stąd APB 80 APB 80 i 90, zatem APB 90 3

Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p zauważy, że trójkąty: APD oraz BCP są równoramienne i kąty przy podstawie tych trójkątów są równe i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, zauważy, że trójkąty: ADP oraz BCP są równoramienne i zauważy, że suma miar kątów wewnętrznych w tych trójkątach jest równa 80 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p uzasadni, że kąt APB jest kątem prostym II sposób rozwiązania Rysujemy równoległobok ABCD i wprowadzamy oznaczenia, np:, BC a, AB a, punkt P jest środkiem boku DC, punkt Q jest środkiem boku AB, DAB, i ABC D P C A Q B Zauważmy, że czworokąty AQPD oraz QBCP są rombami, w których przekątne AP i BP są dwusiecznymi kątów odpowiednio DPQ oraz CPQ DAB ABC 80, stąd 80, zatem 90 APB APQ QPB, stąd 90 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p zauważy, że czworokąty AQPD oraz QBCP są rombami, w których przekątne AP i BP są dwusiecznymi kątów odpowiednio DPQ oraz CPQ i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p wykorzysta zależność DAB ABC 80 i uzasadni, że kąt APB jest kątem prostym

Zadanie 5 ( pkt) Pole trójkąta równobocznego jest równe 8 3 Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie Rozwiązanie Niech punkty A, B i C będą wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC Wówczas AB BC AC a i AD BE CF h C E S D A F B Korzystamy z własności trójkąta równobocznego i zapisujemy : a a 3 7 3, stąd 6 a 3 PABC 8 3, zatem Zauważamy, że punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC a 3 i AS BS CS R, stąd R AS AD, gdzie AD h 3 Obliczamy promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym a 3 6 3 R 6 3 3 Obliczamy pole koła opisanego na tym trójkącie: P R 6 Schemat oceniania Zdający otrzymuje p obliczy długość boku trójkąta równobocznego: a 6 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, obliczy długość boku trójkąta równobocznego z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy pole okręgu opisanego na tym trójkącie Uwaga Zdający może przedstawić wynik w postaci a 7 lub a 3 8 lub a 8 5

Zdający otrzymuje p obliczy pole koła opisanego na tym trójkącie: P Uwaga Przyznajemy punkty za rozwiązanie, w którym zdający stosuje poprawne przybliżenia liczb,, 3, 6 6

Zadanie 6 ( pkt) W trójkącie prostokątnym cosinus kąta ostrego jest trzy razy większy od sinusa tego samego kąta Oblicz sinus tego kąta I sposób rozwiązania Zapisujemy zależność między cosinusem i sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: cos 3sin Korzystamy z tożsamości sin cos, otrzymujemy: sin 3sin 0sin sin 0 0 sin 0 II sposób rozwiązania Rysujemy trójkąt prostokątny i wprowadzamy oznaczenia np: b c a Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy: a b sin i cos c c Zapisujemy zależność między cosinusem i sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: b a wynikającą z treści zadania: 3 Stąd b 3a c c Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie: a b c, stąd c a b a 3a 0a 0 Zatem sin a a c 0a 0 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p zapisze zależność między cosinusem i sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: cos 3sin, skorzysta z tożsamości sin cos, zapisze sin 3sin i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, zapisze przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego w zależności od jednej z przyprostokątnych, np: c a 3a i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy 7

Zdający otrzymuje p 0 obliczy sinus kąta: sin 0 0 Uwagi Jeżeli zdający, rozwiązując równanie sin nie odrzuci rozwiązania: 0 sin, to otrzymuje za całe zadanie punkt 0 Przyznajemy punkty za rozwiązanie, w którym zdający stosuje poprawne przybliżenie liczby 0 8

Zadanie 7 ( pkt) Dany jest ciąg geometryczny a n określony wzorem a n 8 ciągu a oraz sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu n Rozwiązanie n Obliczamy dziesiąty wyraz ciągu a : a n Obliczamy pierwszy wyraz ciągu a : a 0 0 n 8 8 5 6 8 8 0 Oblicz dziesiąty wyraz 8 a n Obliczamy iloraz ciągu a n : q n an 8 Obliczamy sumę czterech początkowych wyrazów tego ciągu wykorzystując wzór na sumę n q n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego Sn a : q 5 3 3 S5 8 8 6 5 3 Uwaga Zdający może obliczyć sumę ciągu geometrycznego wykorzystując wzór: 3 3 S5 a a q a q a q a q 8 3 8 5 8 6 lub S5 a a a3 a a5, gdzie a 8, a 3 5 8 a 8 8, n 0 a 8, a 3 8, Schemat oceniania Zdający otrzymuje p obliczy a0 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, 6 9

obliczy 8 błędy, a i obliczy iloraz ciągu a : obliczy a 8, a, a3, a, 5 n q i na tym zakończy lub dalej popełnia a i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p obliczy dziesiąty wyraz ciągu a n : a0 oraz sumę pięciu początkowych 6 wyrazów tego ciągu: S5 5 Uwagi Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwszego wyrazu lub ilorazu tego ciągu i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkt Jeżeli zdający popełni jeden błąd rachunkowy przy obliczaniu pięciu pierwszych wyrazów tego ciągu i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkt 0

Zadanie 8 ( pkt),5 Punkty A i B, są wierzchołkami trójkąta ABC Punkt 3,5 M jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta Znajdź równania prostych zawierających boki AC i BC tego trójkąta I sposób rozwiązania ym ya 5 5 Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AM: aam 0 xm xa 3 Prosta BC jest prostopadła do prostej AM Wyznaczamy równanie prostej BC: x 0 Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej BM: a BM ym yb 5 x x 3 Prosta AC jest prostopadła do prostej BM, stąd jej równanie ma postać: y 5 x przekształceniu prosta AC ma równanie: y x 6 Uwaga M B, po Zdający może zauważyć, że punkty A oraz M leżą na prostej y 5 i zapisać, że prosta BC prostopadła do prostej AM ma postać x II sposób rozwiązania Wyznaczamy współrzędne wektora BM, Równanie prostych prostopadłych do tego wektora ma postać: x y C 0 Wybieramy prostą przechodzącą przez punkt A, stąd 0 C 0, zatem C Równanie prostej AC ma postać: x y 0, po przekształceniu otrzymujemy y x 6 AM 7,0 Wyznaczamy współrzędne wektora Równanie prostych prostopadłych do tego wektora ma postać: 7x D 0 Wybieramy prostą przechodząca przez punkt B, stąd 8 D 0, więc D 8 Równanie prostej BC ma postać: 7x 8 0, po przekształceniu otrzymujemy x Uwaga Równanie prostej BC możemy wyznaczyć bezpośrednio korzystając z treści zadania Punkty A oraz M leżą na prostej y 5, więc prosta BC prostopadła do prostej AM ma postać x

Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania p obliczenie współczynnika kierunkowego prostej BM: abm, zapisanie równania prostej AM: y 5, obliczenie współrzędnych wektora BM, obliczenie współrzędnych wektora AM 7,0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p obliczenie współczynnika kierunkowego prostej BM: abm i zapisanie równania prostej AM: y 5, AM 7,0 obliczenie współrzędnych wektora BM,, i wektora Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p obliczenie współczynnika kierunkowego prostej AC: aac i zauważenie, że prosta BC jest równoległa do osi Oy i zapisanie równania prostej: x, zapisanie równania prostych prostopadłych do wektora BM : x y C 0 i zapisanie równania prostych prostopadłych do wektora AM : 7x C 0 Rozwiązanie pełne p wyznaczenie równania prostej AC: y x 6 i równania prostej BC: x

III sposób rozwiązania Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB: 5 a AB Prosta AB jest y 5 x 3 Po prostopadła do prostej CM, zatem jej równanie ma postać: przekształceniu otrzymujemy: y x Z treści zadania wynika, że punkty A oraz M leżą na prostej y 5, więc prosta BC prostopadła do prostej AM ma postać x y x Proste BC i CM przecinają się w punkcie C Rozwiązujemy układ i otrzymujemy x 7 5 współrzędne punktu C: C,7 Wyznaczamy równanie prostej BC: y 7 x Po przekształceniu otrzymujemy y x 6 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania p Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej AB: oraz M leżą na prostej y 5 a AB i zauważenie, że punkty A Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Wyznaczenie równania prostej CM: y x oraz równania prostej BC: x Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p Wyznaczenie współrzędnych punktu C:,7 C Rozwiązanie pełne p Wyznaczenie równania prostej AC: y x 6 i równania prostej BC: x 3

Zadanie 9 (5 pkt) Z dwóch miejscowości A i B oddalonych od siebie o 8 wyjechali rowerami naprzeciw siebie Kasia i Tomek Kasia wyruszyła 0 minut wcześniej niż Tomek i jechała z prędkością o 7 mniejszą od prędkości z jaką jechał Tomek Spotkali się w połowie drogi Oblicz h z jakimi średnimi prędkościami jechali do miejsca spotkania Uwaga W zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t oznaczających odpowiednio, prędkość i czas Nie wymagamy, by niewiadome były wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie I sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np: t czas jazdy Kasi, v średnia prędkość jazdy Kasi w kilometrach na godzinę Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla Tomka: t v 7 3 t v Następnie zapisujemy układ równań t v 7 3 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np: t v 7 3 98 7 v v 3 3 v 7v 9 0 9 76 35 7 35 7 35 v, v v jest sprzeczne z warunkami zadania Obliczamy średnią prędkość z jaką jechał Tomek: v 7 7 h Odp Średnia prędkość z jaką jechała Kasia jest równa, a średnia prędkość z jaką h jechał Tomek jest równa h II sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np: t czas jazdy Tomka, v średnia prędkość jazdy Tomka w kilometrach na godzinę Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla Kasi: t v 7 3

t v Następnie zapisujemy układ równań t v 7 3 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np: t v 7 3 98 7 v v 3 3 v 7t 9 0 9 76 35 7 35 7 35 v, v v jest sprzeczne z warunkami zadania Obliczamy średnią prędkość z jaką jechała Kasia: v 7 7 h Odp Średnia prędkość z jaką jechała Kasia jest równa, a średnia prędkość z jaką h jechał Tomek jest równa h Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania p Zapisanie równania z dwiema niewiadomymi t v 7, gdzie t oznacza czas jazdy Kasi, a v średnią prędkość jazdy Kasi 3 w kilometrach na godzinę, lub t v 7, gdzie t oznacza czas jazdy Tomka, a v średnią prędkość jazdy Tomka 3 w kilometrach na godzinę Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np: t v t v 7 3 lub t v t v 7 3 Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą 5

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p Zapisanie równania z jedną niewiadomą v, np: v 7 lub 98 v 7 0 v 3 v 3 3 lub v 7 lub v 3 98 7 v 0 v 3 3 Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki p Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) p rozwiązanie równania z niewiadomą v (prędkość jazdy Kasi) z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie średniej prędkości z jaką jechał Tomek, rozwiązanie równania z niewiadomą v (prędkość jazdy Tomka) z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie średniej prędkości z jaką jechała Kasia Rozwiązanie pełne 5 p Obliczenie średnich prędkości z jakimi jechali Kasia i Tomek: i h h III sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np: t czas jazdy Kasi, v średnia prędkość jazdy Kasi w kilometrach na godzinę Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla Tomka: t v 7 3 t v Następnie zapisujemy układ równań t v 7 3 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np: t v 7 3 7 7t 3t 3 t 7t 0 3t t 0 5 5 5 t, t 6 3 6 t jest sprzeczne z warunkami zadania Obliczamy średnią prędkość z jaką jechała Kasia: v h 6

Obliczamy średnią prędkość z jaką jechał Tomek: v 7 7 h Odp Średnia prędkość z jaką jechała Kasia jest równa, a średnia prędkość z jaką h jechał Tomek jest równa h IV sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np: t czas jazdy Tomka, v średnia prędkość jazdy Tomka w kilometrach na godzinę Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla Kasi: t v 7 3 t v Następnie zapisujemy układ równań t v 7 3 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np: t v 7 3 7 7t 3t 3 t 7t 0 3t t 0 5 5 5 t, t 6 6 3 t jest sprzeczne z warunkami zadania Obliczamy średnią prędkość z jaką jechał Tomek: v h 3 Obliczamy średnią prędkość z jaką jechała Kasia: v 7 7 h Odp Średnia prędkość z jaką jechała Kasia jest równa, a średnia prędkość z jaką h jechał Tomek jest równa h 7

Schemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania p Zapisanie równania z dwiema niewiadomymi t v 7, gdzie t oznacza czas jazdy Kasi, a v średnią prędkość jazdy Kasi 3 w kilometrach na godzinę lub t v 7, gdzie t oznacza czas jazdy Tomka, a v średnią prędkość jazdy Tomka 3 w kilometrach na godzinę Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np: t v t v 7 3 lub t v t v 7 3 Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p Zapisanie równania z jedną niewiadomą t, np: t 7 7 lub 7t 0 3 t 3t 3 lub t 7 7 lub 7t 0 3 t 3t 3 Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki p Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) p rozwiązanie równania z niewiadomą t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie średnich prędkości z jakimi jechali Kasia i Tomek, obliczenie czasu jazdy Kasi: t i nie obliczenie średnich prędkości z jakimi jechali Kasia i Tomek, obliczenie czasu jazdy Tomka: jechali Kasia i Tomek t i nie obliczenie średnich prędkości z jakimi 3 Rozwiązanie pełne 5 p 8

Obliczenie średnich prędkości z jakimi jechali Kasia i Tomek: h i h Uwagi Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, np zapisze równanie t 0 v 7, to otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający odgadnie średnią prędkość jazdy Kasi i Tomka i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje punkt 9