1 Relacje i odwzorowania

Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X jest zwrotna, przeciwzwrotna, symetryczna, przeciwsymetryczna, przechodnia, antysymetryczna, spójna, jeśli: a) X = N, kρn n k, b) X = R, xρy x = y, c) X = R, xρy x < y, d) X = R, xρy x y =, e) X = R, xρy sgnx = sgny, f) X = R, xρy x + y = 3 Sprawdzić, czy określona w zbiorze R, relacja AρB A B jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem 4 W zbiorze R określamy relację x x ρ y czy ρ jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem 5 W zbiorze R określamy relację x x ρ y y y x + x y + y Sprawdzić, x < y (x = y x < y ) (x = y x = y ) Sprawdzić, czy ρ jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem 6 Niech f : R R będzie dowolną funkcją Sprawdzić, czy określona w zbiorze R relacja xρy f (x) f (y) jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem 7 W zbiorze X = {a, b, c, d} określona jest relacja ρ = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, c), (c, b), (d, d), (d, e), (e, d)} Wykazać, że ρ jest relacją równoważności i podać podział na klasy abstrakcji Zapis n k oznacza, że liczba n jest dzielnikiem liczby k

8 Sprawdzić, czy ρ X X jest relacją równoważności, jeśli: a) X = N, kρn k n = 3p p C b) X = N, kρn k + n = 3p, p N c) X = R, xρy x = y, d) X = R, xρy sin x = sin y, e) X = R, xρy x + x = y + y Jeśli ρ jest relacją równoważności, to podać podział na klasy abstrakcji 9 Niech f : R R będzie dowolną funkcją Sprawdzić, czy określona w zbiorze R relacja xρy f (x) = f (y) jest relacją równoważności W zbiorze R określamy relację x y ρ x y = k x y = k x y k C a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji W zbiorze R określamy relację x x ρ y y x x = y y a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Podać ilustrację graficzną klasy abstrakcji W zbiorze X = R {} określamy relację xρy (x y) ( x y ) = a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji 3 W zbiorze R określamy relację xρy x y = k k C a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji 4 W zbiorze W określamy relację xρy x y = k k C a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji

5 W zbiorze R określamy relację xρy w W a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji x y = w 6 W zbiorze N określamy relację x x ρ y y x y = x y a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji 7 W zbiorze R określamy relację x x ρ y a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji 3 y 8 W zbiorze R określamy relację x x ρ y a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji π π y 9 W zbiorze R określamy relację x x ρ y a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności 4 b) Wyznaczyć klasę abstrakcji π π 4 Odwzorowania Sprawdzić, czy relacja f jest odwzorowaniem: a) f = {(n, y) N W : n + y 3 = }, b) f = {(n, k) N N : n + k = }, b) f = {(x, y) R : x = y}, c) f = {(x, y) R : x = y }, d) f = {(x, y) R : sin x = sin y} y (x + x ) = (y + y ) sin (x x ) = sin (y y ) cos (x x ) = cos (y y ) 3

Niech f : R R, f (x) = x + x Wyznaczyć f (, ), f (R), f (, ), f ({}), f (, + )) Niech f : R R, f (x) = x + x Wyznaczyć f (, ), f (R), f (, ), f ({}), f (R) 3 Niech f : R R, f (x) = sin x Wyznaczyć f ( π, π ), f (R), f ({}), f (, ), f (R) 4 Wyznaczyć złożenie g f funkcji: a) f : R R, f (x) = x, g : R R, g (x) = x b) f : R + R, f (x) = x, g : R R +, g (x) = x 5 Wyznaczyć złożenie g f i f g funkcji f : R + {} R, f (x) = log x, g : R R + {}, g (x) = x 6 Zbadać różnowartościowość funkcji: a) f : R { } R, f (x) = x, x+ b) f : (, + ) R, f (x) = ln x, c) f : R {} R, f(x) = arc tg( ), x d) f :, R, f (x) = arc sin x + arc cos x 7 Niech f : R R, f(x) = arc tg(3x ) a) Wykazać, że f jest bijekcją b) Wyznaczyć f ( ) 8 Niech f : R R x x + x, f = x x x a) Wykazać, że f jest bijekcją b) Wyznaczyć f b) Wyznaczyć f ( R+), f ({y R : y y }) 9 Niech f : R R, f ( x x a) Sprawdzić, czy f jest bijekcją ) b) Wyznaczyć f (B), gdzie B = 3 Niech f : R R, f ( x x a) Sprawdzić, czy f jest bijekcją ) b) Wyznaczyć f (B), gdzie B = R n + = {x R n : x j dla j =,,, n} = { y = x x y { y x x x x y R : y y x + x R : y y } } 4

3 Zbiory równoliczne 3 Wykazać, że przedział, jest równoliczny z dowolnym przedziałem a, b, gdzie a < b 3 Udowodnić, że suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym 33 Udowodnić, że zbiór N N jest przeliczalny 34 Udowodnić, że zbiór W jest przeliczalny 35 Niech (A n ) n N będzie rodziną zbiorów przeliczalnych Udowodnić, że zbiór A = jest przeliczalny 36 Udowodnić, że przedziały, + ) i (, + ) są równoliczne 37 Udowodnić, że przedziały (, i (, ) są równoliczne 38 Niech X W zbiorze X określamy relację Wykazać, że ρ jest relacją równoważności AρB zbiory A i B są równoliczne A n n N Elementy topologii Przestrzenie metryczne Wykazać, że kula otwarta jest zbiorem otwartym Wykazać, że funkcja d : R R R jest metryką, jeśli: a) d (x, y) = x y + x y, b) d (x, y) = max { x y, x y } 3 Narysować kule otwarte K (, ) R w metrykach: a) d (x, y) = (x y ) + (x y ) b) d (x, y) = x y + x y c) d (x, y) = max { x y, x y } 4 Wykazać, że funkcja d : X X R, d (x, y) = { dla x = y, dla x y, jest metryką 5 Sprawdzić, czy funkcja d : R R R, d (x, y) = x y jest metryką 6 Sprawdzić, czy funkcja d : R + R + R, d (x, y) = x y jest metryką 7 Sprawdzić, czy funkcja d : N N R, d (k, n) = jest metryką n k 5

8 Wyznaczyć punkty wewnętrzne, punkty skupienia i punkty izolowane zbioru A R n (w metryce pitagorejskiej) oraz sprawdzić, czy A jest zbiorem ograniczonym, otwartym, domkniętym jeśli: a) A = {} { : n n N}, b) A = {x R : sin x = }, c) A = {x R : nx = nx} 3, d) A = {x R : x (x + ) }, n= e) A = { ( ) n n n+ : n N } f) A = {x R : x = x x }, g) A = {( n, n) : n N }, h) A = {x R : x + x 4 x }, i) A = {x R : x sgnx = }, j) A = {x R : sin x sin x = } Ciągi w przestrzeniach metrycznych 9 Udowodnić, że jeśli ciąg (x n ) jest zbieżny to jest ograniczony (tzn istnieje taka kula K (x, r), że x n K (x, r) dla każdego n N Wyznaczyć ciągi zbieżne w dyskretnej przestrzeni metrycznej Wykazać domkniętość zbiorów: a) A = {x R : x + x 3}, b) A = {x R : x 3 + x 3 3}, c) A = {x R 4 : x + x + x 3 x 4 = 9} Czy zbiory te są zwarte? Wykazać, że każdy domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zwarty 3 Wykazać, że każdy ciąg Cauchy ego jest ograniczony 3 Odwzorowania ciągłe 4 Korzystając z definicji Cauchy ego wykazać ciągłość funkcji: a) f (x) = sin x x, b) f (x) = sin x (wsk skorzystać ze wzoru lim = ) x x 5 Wykazać, że równanie ma rozwiązanie: a) x + sin x =, x (, π) b) xe x =, x (, ) c) x = ( ) x, 3 x (, ) d) x 3 x + 3 =, x (, ) e) e x = x, x (, ) f) log 3 x log 3 (x + ) + 3 x =, x (, ) g) 3 log 3 x log 3 (x + ) + x =, x (, ) 6 Wykazać, że równanie x = e x ma rozwiązanie w przedziale (, ) Czy to rozwiązanie jest wyznaczone jednoznacznie? Odpowiedź uzasadnić 7 Mówimy, że zbiór A X jest łukowo spójny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów x, y A istnieje ciągłe odwzorowanie f :, A takie, że f () = x, f () = y Udowodnić, że jeśli zbiór A X jest łukowo spójny, to jest spójny 8 Udowodnić, że każdy zbiór wypukły A R n jest spójny 3 x oznacza część całkowitą liczby x 6

4 Przestrzenie liniowe unormowane 9 Wykazać, że podana funkcja jest normą: a) x = x + x + x 3, x R 3 b) x = max { x, x, x 3 }, x R 3 c) f = sup { f (x) : x a, b }, f C ( a, b, R) d) f = b a f (x) dx, f C ( a, b, R) W przestrzeni C (,, R) z normą f = sup { f (x) : x, } obliczyć normy funkcji: a) f (x) = x, b) f (x) = xe x, c) f (x) = x 4 x W przestrzeni C (,, R) z normą f = f (x) dx obliczyć normy funkcji: a) f (x) =, b) f (x) = x x, c) f (x) = xe x +x W przestrzeni C (,, R) z normą f = f (x) dx obliczyć lim f n, gdzie (f n ) n C (,, R), jeśli: a) f n (x) = ( + n x) n dla n N, b) f n (x) = ( n x) n dla n N n 3 Obliczyć normę macierzy A (por przykład??) przy założeniu, że x = x i i= x R n, jeśli: 3 a) A =, b) A =, c) A =, d) A =, 3 e) A =, f) A =, g) A = dla 4 Mówimy, że określone w przestrzeni liniowej X normy, są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ( x a x x b x ) a> b> x X a) Wykazać, że relacja równoważności norm jest zwrotna, symetryczna i przechodnia b) Udowodnić, że w przestrzeni R n wszystkie normy są równoważne 5 Ciągi i szeregi funkcyjne 5 Zbadać zbieżność punktową i jednostajną ciągu funkcyjnego: a) f n :, R, fn (x) = x n b) f n : R R, f n (x) = n +x c) f n : R R, f n (x) = sin x n d) f n : R R, f n (x) = sin ( ) x n) e) f n : R R, f n (x) = cos ( x n f) f n :, ) R, f n (x) = nxe nx g) f n : R R, f n (x) = h) f n : R R, f n (x) = nx i) f n : R R, f n (x) = nx+ j) f n : R R, f n (x) = x nx +5 n x +3 n x +3 nx + 7

k) f n : R R, f n (x) = nx n x +8 l) f n : R R, f n (x) = x exp ( x n ) ł) f n : R R, f n (x) = nx exp ( x n ) m) f n : R R, f n (x) = nx exp ( 8 x n ) 6 Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego: a) n!x n, b) x n, c) n x n, d) n!x n n! n n= n= n= n n= n 7 Obliczyć sumę szeregu: a) n ( ) n, 3 b) n ( ) n, c) n ( ) n, d) n ( ) n 3 4 n= n= n= n= 3 Rachunek różniczkowy funkcji i odwzorowań wielu zmiennych 3 Funkcje i odwzorowania wielu zmiennych 3 Wyznaczyć składowe odwzorowania liniowego F : R 3 R określonego wzorem Wykazać, że F jest ciągłe F (x) = x x + x 3 x + 3x 3 Zbadać ciągłość funkcji: x x dla x, a) f : R R, f (x) = x + x dla x = x x b) f : R dla x, R, f (x) = x + x dla x = x c) f : R x, jeśli x R, f (x) = + x, x + x, jeśli x + x = d) f : R R, f (x) = sin (x x ), x jeśli x, x, jeśli x = 33 Zbadać ciągłość odwzorowania: a) F : R 3 R x sin (x x 3 ) 3x e x +x 3 x ln ( + x b) F : R 3 R ) x x 3 +(x +x +x 3 ) 4 x c) F : R R x x cos x d) F : R R x cos x x sin x 8

3 Pochodna odwzorowania 34 Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie x w kierunku wektora h, jeśli: a) f : R R, f (x) = e x sin x, x = π, h = b) f : R R, f (x) = e x +x, x =, h = c) f : R R, f (x) = (x + x ), x =, h = d) f : R 3 R, f (x) = x =, h = sin (x + x + x 3) x + x + x 3 dla x + x + x 3, dla x + x + x 3 =, 35 Obliczyć pochodną kierunkową odwzorowania F w punkcie x w kierunku wektora h, jeśli: a) F : R R x + x, x x sin x =, h = π b) F : R 3 R x x x 3 x + (x + x 3 ), x =, h = 36 Zbadać różniczkowalność funkcji f, jeśli f jest różniczkowalna, to wyznaczyć jej pochodne cząstkowe: a) f : R x x R, f (x) = + (x + x ) b) f : R 3 R, f (x) = x + x + x 4 sin (x x ) c) f : R dla x R, f (x) =, x x dla x = x 3 37 Niech f : R dla x, R, f (x) = x + x dla x = a) Wykazać, że dla każdego h R istnieje h f () b) Wykazać, że f nie jest różniczkowalna w punkcie 38 Niech f : R x R, f (x) = + x + x3 x dla x, x 4 + x dla x = a) Wykazać, że h f () = h + h dla każdego h R b) Wykazać, że f nie jest różniczkowalna w punkcie Wskazówka Założyć, że f jest różniczkowalna w, wówczas r (, h) = h3 h h n = n T n, pokazać, że warunek lim r(,h) = nie jest spełniony h h h 4 +h Przyjmując 39 Wykazać, że jeśli istnieje h f (x ), to αh f (x ) = α h f (x ) dla każdego α R 9

3 Wyznaczyć macierz Jacobiego odwzorowania F w dowolnym punkcie x, jeśli: a) F : R 3 R x (x x 3 ) x (x + x 3 ) b) F : R R x cos x x sin x x e x c) F : R R 3 x ln ( + x ) x arc tg x 3 Niech F : R 3 R będzie odwzorowaniem określonym wzorem F (x) = x + x e x 3 x x arc tg x 3 a) Wykazać, że odwzorowanie F jest różniczkowalne w każdym punkcie x R 3 b) Obliczyć h F (x ), gdzie h =, x = 3 Niech F : R 3 R będzie odwzorowaniem określonym wzorem F (x) = x x 3 ln ( + x ) x + x 3 x 3 a) Wykazać, że odwzorowanie F jest różniczkowalne w każdym punkcie x R 3 b) Obliczyć h F (x ), gdzie x =, h = 33 Niech F : R 3 R będzie odwzorowaniem określonym wzorem F (x) = x e x 3 x x + x sin x 3 a) Wykazać, że odwzorowanie F jest różniczkowalne w każdym punkcie x R 3 b) Obliczyć h F (x ), gdzie h =, x = 34 Niech f : R R będzie funkcją określoną wzorem a) Obliczyć h f (), gdzie h = b) Sprawdzić, czy istnieje f () x x dla x, f (x) = x + x dla x =

35 Niech f : R R będzie funkcją określoną wzorem a) Obliczyć h f (), gdzie h = b) Sprawdzić, czy istnieje f () x 3 x dla x, f (x) = x + x dla x = 36 Niech f : R R będzie funkcją określoną wzorem a) Obliczyć h f (), gdzie h = b) Sprawdzić, czy istnieje f () x + 3x dla x, f (x) = x + x dla x = 37 Wyznaczyć równanie hiperpłaszczyzny stycznej w punkcie x do wykresu funkcji f, jeśli: a) f (x) = 3x + x x, x = b) f (x) = x sin x x x, x = π c) f (x) = x x + x 3, x = T d) f (x) = x e x +x 3, x = T e) f (x) = x arc tg ( x x 3 ), x = T 38 Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x a +x b = w dowolnym punkcie x() należącym do tej elipsy 39 Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni x = T x + x = x 3 w punkcie 3 Sprawdzić, czy h jest wektorem wzrostu (spadku) wartości funkcji f w punkcie x, jeśli: a) f (x) = x 3 x, x =, h () =, h () = b) f (x) = x x, x =, h () =, h () = c) f (x) = ln ( + x + x ), x =, h () =, h () = d) f (x) = e x x, x =, h () =, h () =

33 Lokalna odwracalność odwzorowań 3 Niech F : R R x x x + x Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne w punkcie x = Wyznaczyć pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie y = F (x ) Sprawdzić, czy F jest globalnie odwracalne x 3 Niech F : R R 4 x 3 x 5x Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne w punkcie x = Wyznaczyć pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie y = F (x ) Sprawdzić, czy F jest globalnie odwracalne x x + x x 3 33 Niech F : R 3 R 3 x x Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne x + x + x 3 w punkcie x = T Wyznaczyć pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie y = F (x ) Sprawdzić, czy F jest globalnie odwracalne e 34 Wykazać, że odwzorowanie F : R R x cos x e x jest lokalnie odwracalne sin x w każdym punkcie x R Sprawdzić, czy F jest globalnie odracalne 35 Niech F : D R, gdzie D = {x R : x + x > }, będzie odwzorowaniem określonym wzorem ln (x + x F (x) = ) x x a) Sprawdzić, czy odwzorowanie F jest lokalnie odwracalne w każdym punkcie x D b) Sprawdzić, czy F : D F (D) jest bijekcją 36 Niech F : R R będzie odwzorowaniem określonym wzorem F (x) = exp (x + x ) x x a) Wykazać, że odwzorowanie F jest lokalnie odwracalne w każdym punkcie x R b) Sprawdzić, czy F : R F (R ) jest bijekcją 37 Niech F : R R będzie odwzorowaniem określonym wzorem F (x) = x sin x x x a) Wykazać, że odwzorowanie F jest lokalnie odwracalne w punkcie x = b) Wyznaczyć ( (F U ) (y ) ), gdzie y = F (x ), a U jest takim otoczeniem punktu x, że F U : U F (U) jest bijekcją π

38 Niech F : R R będzie odwzorowaniem określonym wzorem F (x) = x + x x cos x a) Wykazać, że odwzorowanie F jest lokalnie odwracalne w punkcie x = π b) Wyznaczyć ( (F U ) (y ) ), gdzie y = F (x ), a U jest takim otoczeniem punktu x, że F U : U F (U) jest bijekcją 39 Zbadać lokalną i globalną odwracalność odwzorowań: a) F : R R 3x x x + 4x x b) F : R R + x x + x c) F : R R x + x x + x d) F : R R x sin (x x ) x cos x exp e) F : R R (3x x ) x x f) F : R R x + 3x exp (x x ) 33 Współrzędnymi biegunowymi punktu x = x x R nazywamy liczby ϕ, π), r, + ) takie, że x = r cos ϕ, x = r sin ϕ Wyznaczyć jakobian (w punktach, w których ( ) istnieje) odwzorowania odwrotnego do odwzorowania F :, π), + ) R, r r cos ϕ F = ϕ r sin ϕ 33 Korzystając ze wzoru (f (y )) = f (x wykazać, że: ) a) (arc sin x) = x, b) (arc cos x) = x, c) (arcctgx) = +x 34 Odwzorowania uwikłane 33 Wyznaczyć pochodną funkcji uwikłanej y = g (x) w punkcie x określonej warunkami: a) x 3 xy + 3y x =, x = b) x 3 + y 3 + y =, x = c) x y = y x, g () = 333 Obliczyć pochodną w punkcie x = funkcji uwikłanej y = g (x) określonej równaniem arc tg (xy) + x + y = 334 Obliczyć pochodną w punkcie x = funkcji uwikłanych y = g (x) określonych równaniem arc tg (xy) + x + + y = 3

335 Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji uwikłanej y = g (x, x ) określonej warunkami: a) e y + y x x =, g (, ) = b) x + x + y + 6y =, g (, ) = 6 c) y ln (x + y) x x y =, g (, ) = 336 Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie y y + x + x = gdzie x =, x =, generuje różniczkowalne funkcje uwikłane y = g (x, x ) określone w pewnym otoczeniu punktu (, ) Wyznaczyć g (, ) 337 Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie y y + e x + x y 3 = gdzie x =, x =, generuje różniczkowalną funkcję uwikłaną y = g (x, x ) określoną w pewnym otoczeniu punktu (, ) Wyznaczyć g (, ) 338 Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie x 3 cos (x + x ) + tg (y + x ) =, gdzie x =, x =, generuje różniczkowalne funkcje uwikłane y = g (x, x ) określone w pewnym otoczeniu punktu (, ) Wyznaczyć g (, ) 339 Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie 3x 3 + sin (x ) + tg (y + x ) =, gdzie x =, x =, generuje różniczkowalne funkcje uwikłane y = g (x, x ) Wyznaczyć g (, ) 34 Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie 3 (x + x ) 3 + x y + y + x =, gdzie x =, x =, generuje różniczkowalną funkcję uwikłaną y = g (x, x ) Wyznaczyć g (, ) 34 Obliczyć pochodne cząstkowe różniczkowalnych funkcji uwikłanych y = g (x, x ) określonych równaniem 3x 3 + e x + ln y + =, gdzie x =, x = 34 Obliczyć pochodne cząstkowe różniczkowalnych funkcji uwikłanych y = g (x, x ) określonych równaniem e 3x + 4x + ln y 6 =, gdzie x =, x = 4

343 Obliczyć pochodne cząstkowe różniczkowalnych funkcji uwikłanych y = g (x, x ) określonych równaniem x 3 + sin (x y) + tg (y + x ) =, gdzie x =, x = 344 Wykazać, że w pewnym otoczeniu punktu x istnieje odwzorowanie uwikłane y = G (x) wyznaczone przez układ równań F (x, y) = i spełniające warunek y = G (x ) oraz obliczyć G (x ), jeśli: a) F (x, y) = b) F (x, y) = c) F (x, y) = F (x, y ) = x + y + y x + y 3 + y 4, x =, y = x y x y, x x y + x y = x cos y + x sin y x y x y, y = 4 Elementy teorii miary i całki 4 Elementy teorii miary, a y należy wyznaczyć z układu F (x, y ) = π 4 Udowodnić, że jeśli B X jest algebrą, to: a) B, b) A, A,, A k B A A A k B dla każdego k N, c) A, B B A B B, d) A, B B A B B 4 Udowodnić, że jeśli A X jest σ-algebrą, to: a) A jest algebrą, b) A n A A n A n N n= π, a x należy wyznaczyć z układu 43 Sprawdzić, czy rodzina B X jest algebrą, σ-algebrą, jeśli: a) X = {x, x, x 3, x 4 }, B = {, X, {x }, {x, x 3 } {x, x 3, x 4 }} b) X = R, B składa się ze zbiorów postaci (k n, l n, gdzie k n, l n C, i ich dopełnień (jeśli k n l n, to (k n, l n = ) 4 c) X = R, B składa się ze zbiorów postaci (jeśli a m b m, to (a m, b m = ) 5 d) X = R, a B jest określona warunkiem m= n= (a m, b m, gdzie a m, b m W, i ich dopełnień A B A jest zbiorem otwartym lub A jest zbiorem otwartym e) X = R, a B jest określona warunkiem A B A jest zbiorem ograniczonym lub A jest zbiorem ograniczonym 4 C oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych 5 W oznacza zbiór wszystkich liczb wymiernych 5

f) X = N, a B jest określona warunkami, N B oraz jeśli A B i A, A N, to A składa się z liczb parzystych lub A składa się z liczb parzystych g) X = R, a B jest określona warunkiem h) X = R, a B jest określona warunkiem A B (, A) (, A ) A B (, A ) (, A ) i) X = R, a B jest określona warunkiem j) X = R, a B jest określona warunkiem A B (5 A) (5 A ), A B (A N) (A N) 44 Niech ν : N R będzie funkcją numeryczną określoną wzorem ( ) k, jeśli A jest zbiorem skończonym, ν (A) = k A, jeśli A jest zbiorem nieskończonym a) Obliczyć ν (A), gdzie A jest zbiorem wszystkich liczb parzystych mniejszych od b) Obliczyć ν (B), gdzie B jest zbiorem wszystkich liczb podzielnych przez przez 3 c) Wykazać, że ν (A A ) = ν (A ) + ν (A ) jeśli A A = d) Wykazać, że ν nie jest miarą 45 Niech µ : N R będzie miarą liczącą Wykazać, że µ jest półskończona 46 Niech µ : R R będzie miarą liczącą Wykazać, że µ nie jest półskończona 47 Wykazać, że jeśli X jest zbiorem skończonym, µ : X R jest miarą liczącą, to funkcja ν : X R określona wzorem ν (A) = µ(a) jest miarą probabilistyczną µ(x) 48 Niech µ : R R będzie funkcją określoną wzorem, jeśli / A / A,, jeśli A / A, 3 µ (A) =, jeśli / A A, 3, jeśli A A Wykazać, że µ jest miarą probabilistyczną 49 Wykazać, że jeśli µ : A R, µ : A R są miarami (odpowiednio skończonymi lub półskończonymi), to funkcja µ : A R określona wzorem µ (A) = α µ (A) + µ (A), gdzie α >, α >, jest miarą (odpowiednio skończoną, lub półskończoną) 4 Niech B będzie algebrą podzbiorów zbioru R generowaną przez przedziały (k, k +, gdzie k C, a η : B R taką premiarą, że η ((k, k + ) = ( 5 ) a) Obliczyć η ((3, 5 (4, 7 ), η (k, k + b) Obliczyć miarę zewnętrzną η ((, )), η ((, 3 ), 3 ) k= 6

4 Niech B będzie algebrą podzbiorów zbioru R generowaną przez przedziały ( k, (k + ), gdzie k C, a η : B R taką premiarą, że η (( k, (k + ) ) = a) Obliczyć η (( ( ) ( 5 ( ) 3,, 5, η k, k + 3 k= b) Obliczyć miarę zewnętrzną η ((, )), η (( ), ) 3, 3 4 Wykazać, że przedziały (a, b, a, b, a, b), (a, b), gdzie a, b R, są zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue a Wskazówka Wykazać, że podane przedziały należą do σ-algebry zbiorów borelowskich 43 Wykazać, że każdy zbiór przeliczalny A R k jest mierzalny w sensie Lebesgue a Obliczyć λ k (A) 44 Niech A = {(x, x ) R : x = x } Wykazać, że λ (A) = Wskazówka Przedstawić zbiór A w postaci A = A n, gdzie n= A n = { (x, x ) R : n < x n x = x } Pokazać, że (η ) (A n ) < ε dla każdego ε >, gdzie n N 4 Całka Lebesgue a 45 Niech A A, f : A R Wykazać, że następujące warunki są równoważne: a) {x A : f (x) b} A b R b) {x A : f (x) < b} A b R c) {x A : f (x) a} A a R d) {x A : f (x) > a} A a R e) {x A : a f (x) b} A a,b R 46 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią mierzalną Wykazać, że relacja f g µ ({x X : f (x) g (x)}) = jest relacją równoważności w zbiorze wszystkich funkcji mierzalnych f : X R 47 Wykazać, że dµ (x) = µ (A) A 48 Obliczyć całkę funkcji prostej s (x) na przedziale a, b względem miary Lebesgue a λ, jeśli: a) a, b =, 3, s (x) = χ, + 3χ,3 b) a, b =, 3, s (x) = 4χ, + 3χ (,) + 5χ, c) a, b =, 3, s (x) = s (x)+s (x), gdzie s (x) = χ, +3χ,3, s (x) = 4χ, + 3χ (,) + 5χ, 7

49 Niech A = N, µ : A R będzie miarą liczącą Wykazać, że: a) każda funkcja f : N R jest mierzalna, b) funkcja f : N R jest całkowalna w sensie Lebesgue a względem miary µ wtedy i tylko wtedy, gdy szereg f (n) jest zbieżny bezwzględnie n= c) f (n) dµ (n) = f (n) N n= 4 Niech ( X, X, δ x ) będzie przestrzenią mierzalną, gdzie δx jest deltą Diraca Wykazać, że: a) każda funkcja f : X R jest mierzalna, b) δ x f (x) dδ x (x) = f (x ) 4 Niech f :, R, f (x) = x 3 a) Wykazać, że f jest funkcją mierzalną b) Skonstruować taki ciąg (s n ) funkcji prostych, że s n f c) Obliczyć z definicji całkę Lebesgue a f (x) dλ (x) Wskazówka Skorzystać ze wzoru n j= j 3 = ( n (n + )), 4 Korzystając z twierdzeń o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki, obliczyć: x arc tg(nx) a) n lim dx, b) lim nx+x 3 n dx, c) lim +x n x e nx dx, d) dx ln(nx)+x 43 Całka Lebesgue a względem miary k-wymiarowej Lebesgue a 43 Obliczyć całki: a) x x dx dx, gdzie K = {(x, x ) : x + x } K b) exp ( x x ) dx dx R c) ( + x + x ) dx dx R d) (x + x ) exp ( x x ) dx dx, gdzie A =, ), ) A e) exp ( x x x 3 ) dx dx dx 3, wsk zastosować współrzędne sferyczne R 3 x = r cos α cos β, x = r sin α cos β, x 3 = r sin β 44 Korzystając z podpunku b) zadania 43 wykazać, że: a) e x dx = π, b) e x dx = π, c) e x dx = π 45 Obliczyć miary Lebesgue a zbiorów: a) K = {(x, x, x 3 ) : x + x + x 3 } b) A = {(x, x, x 3 ) : x + x x 3 3}, wsk zastosować współrzędne walcowe x = r cos ϕ, x = r sin ϕ, x 3 = x 3 c) A = {(x, x, x 3 ) : x x x 3 x + x + x 3 } 8