.1. ZGINNIE POPRZECZNE.1.1. Wprowadenie Zginanie poprecne (ginanie e ścinaniem) wstępuje wted, gd ociążenie ewnętrne pręta redukuje się do momentu ginającego M i sił poprecnej. W prekroju takim wstępują naprężenia normalne, wwołane momentem ginającm M, ora naprężenia stcne (ścinające) i, wwołane siłą poprecną (rs. 1). Rs. 1 Zatem w prpadku ginania e ścinaniem macier naprężeń ma następującą postać: pr cm naprężenia cienkościennc. [ ] ij 0 0 (1) 0 0 odgrwają istotna rolę tlko w prpadku prekrojów Na powiercni ocnej (poocnic) pręta, o wektore normalnm n ( 0,n, n ) ˆp ( 0,0, pˆ ) na cęści ociążonej i ˆp ( 0,0,0 ) na nieociążonej, gdie p q, mam ˆ jest adanm ociążeniem. Ponieważ na poocnic pręta mam p ˆ 0 ora n 0, gdż wektor pˆ i n są do niej prostopadłe, atem warunku regowego (1.6.7 ) 1 wnika, iż w punktac leżącc na tej powiercni p n + n + n n + n 0 () Jeśli prjąć, że naprężenia stcne w prekroju poprecnm pręta są współrędnmi 0,,, to na konture prekroju poprecnego wektora ( ) ( j + k) ( n j + nk) n + n n ()
gdż j j k k 1, j k k j 0. Podstawiając () do () dostajem n 0 (4) Z powżsego warunku wnika, że wektor jest prostopadł do wektora n cli stcn do konturu prekroju poprecnego pręta (rs. ). Rs. Wwołane pre siłę poprecną naprężenia stcne powodują deplanację (spacenie) prekroju poprecnego pręta, atem w prpadku ginania poprecnego nie jest spełniona ipotea płaskic prekrojów. Hipotea ta ła wkorstana pr wprowadeniu woru (1.10.1) określającego rokład naprężeń normalnc w prekroju pr prostm ginaniu. Zakładając jednak, że siła poprecna nie wpłwa na rokład naprężeń normalnc w prekroju pręta, możem wór ten wkorstać również do olicania naprężeń pr ginaniu poprecnm. Należ jednak pamiętać o tm, że ałożenie to jest słusne jednie w prpadku prętów długic, kied to l << 1, gdie jest wsokością prekroju pręta, aś l jego długością. Zatem w prpadku ginania poprecnego gdie M (5) J J jest momentem ewładności wględem centralnej osi C. Poostałe naprężenia normalne, cli ora są aniedwanie małe w stosunku do..1.. Wór ŻURWSKIEGO Wnacenie naprężeń stcnc w prpadku pręta o dowolnm kstałcie prekroju poprecnego jest agadnieniem trudnm. Ponieważ arówno prekrój poprecn roważanego pręta, jak i prłożone ociążenie ewnętrne są smetrcne wględem osi C, to możem również prjąć smetrcn rokład naprężeń po serokości prekroju wględem tej osi (rs. ).
Zastępując recwistą wartość naprężeń w punktac leżącc na linii równoległej do osi C ic wartością uśrednioną (rs. ), a więc prjmując ( ) ( ), (6) Rs. wnacam uśrednione naprężenie stcne warunku równowagi sił diałającc na elementarn wcinek pręta (rs. 4) Rs. 4 Warunek ten ma postać (pamiętam, że ) ( d ) d ( ) ( ) d 0 (7) gdie jest polem powiercni cęści prekroju powżej linii równoległej do osi C precodącej pre punkt o współrędnej, w którm wnacam naprężenie stcne, wanej cęścią odciętą prekroju poprecnego pręta, naprężeniem normalnm w punkcie prekroju o współrędnej, średnim naprężeniem stcnm (ścinającm) w punkcie o współrędnej, ( ) serokością prekroju poprecnego na poiomie punktu, w którm wnacam naprężenia stcne.
Prekstałcając powżsą ależność otrmujem Ponieważ e woru (5) wnika, że 1 ( ) d d d (8) d dm (9) J atem ależność (8) prjmuje postać 1 dm ( ) d (10) J d Wkorstując relację (1.1.4), której wnika, że siła poprecna nie może wstępować samodielnie, gdż awse musi jej towarsć moment ginając, cli dm (11) d apisujem ależność (10) w następującej, ostatecnej postaci: wanej worem ŻURWSKIEGO, gdie S (1) ( ) J S d (1) jest momentem statcnm cęści odciętej prekroju. We wore (1) opuściliśm nakreślenie nad naprężeniem stcnm pamiętając o tm, że określa ono naprężenie średnie. Zwrot naprężeń stcnc jest awse taki sam, jak wrot sił poprecnej, natomiast ic nak prjmujem godnie konwencją nakowania naprężeń stcnc (por. 1..). Zatem naprężenia te są dodatnie wted, gd ic wrot jest godn e dodatnim kierunkiem osi C układu odniesienia, pr równocesnej godności wrotu normalnej ewnętrnej prekroju e wrotem osi C. W preciwnm prpadku są one ujemne..1.. Warunki wmiarowania prętów ginanc poprecnie (a) Warunki wtrmałości Wmiar prekroju poprecnego pręta ginanego poprecnie doieram warunku
M ma ma R (14) W gdie W jest wskaźnikiem wtrmałości pr ginaniu, aś R onaca wtrmałość oliceniową na rociąganie (ściskanie). Natomiast w prekrojac, w którc wstępują najwiękse naprężenia stcne sprawdam, c spełnion jest warunek gdie R t onaca wtrmałość oliceniową na ścinanie. ma R t (15) Wtrmałość oliceniowa na ścinanie jest nacnie mniejsa od wtrmałości na 6 rociąganie (ściskanie). Na prkład, w prpadku drewna sosnowego R 11 10 N / m, 6 6 natomiast 10 N / m, w prpadku etonu klas B 0: R 11,5 10 N / m, R t R t 0. 5R, w prpadku stali StS: R 6 0 10 N / m, R t 6 10 10 N / m. Należ podkreślić, że spełnienie powżsc nierówności jest jednie warunkiem koniecnm epiecnej prac konstrukcji. W prpadku jednocesnego wstępowania w danm punkcie prekroju ou rodajów naprężeń należ określić w tm punkcie naprężenie astępce (por..8.4). () Warunek stwności gdie w dop dopuscalne ugięcie pręta. wma w dop (16) Prkład Prkład 1. Wnacć naprężenia stcne w prpadku prekroju jak na rs. P1.1. Dane:,, Sukane: Rowiąanie: Rs. P1.1
Krok 1. Olicam moment ewładności prekroju J 1 Krok. Korstając e woru (1) olicam moment statcn cęści odciętej prekroju prostą równoległą do osi C i najdującą się w odległości od tej osi (rs. P1.) Rs. P1. Ponieważ w prpadku prekroju prostokątnego ( ), natomiast d d, gdie (, ), atem S (i) ( ) ( ) d d 4 Należ auważć, że w prpadku prekroju prostokątnego moment statcn cęści odciętej możem wnacć e woru gdie S c onaca pole powiercni tej cęści prekroju, natomiast współrędną jej środka ciężkości. Zatem 1 1 c + + + 4 S Krok. Korstając e woru ŻURWSKIEGO (1) olicam naprężenia stcne w prekroju Ponieważ siła poprecna, moment ewładności I ora serokość prekroju są w prpadku prekroju prostokątnego stałe, atem naprężenia stcne ależ jednie od odległości od centralnej osi ewładności C, cli
S 6 (ii) J 4 4 1 Z powżsego woru wnika, że rokład naprężeń stcnc na wsokości prekroju opisuje paraola, pr cm wartość maksmalną naprężenia te osiągają w punktac leżącc na osi centralnej C prekroju 0 ma natomiast w skrajnc punktac prekroju naprężenia stcne są równe eru ( ) Wkres naprężeń stcnc predstawia rs. P1. ± 0 Rs. P1. Prkład. Wnacć naprężenia stcne w prpadku prekroju jak na rs. P.1. Dane:, a Sukane: Rowiąanie: Rs. P.1 Krok 1. Wnacam moment ewładności prekroju
Z prkładu w rodiale 1. wnika, że środek ciężkości roważanego prekroju najduje się w punkcie odległm o a od jego podstaw, natomiast moment ewładności prekroju wględem osi centralnej C wnosi 4 I 4a. Krok. Olicam moment statcn cęści odciętej prekroju Ponieważ roważan prekrój składa się dwóc prostokątów, w prpadku którc rokład naprężeń ma kstałt paraoli, atem do wnacenia naprężeń wstarc olicć moment statcn cęści odciętej linią leżącą na stku ou prostokątów (pokrwającą się osią centralną C ) ( 0) a a a a S Krok. Korstając e woru Żurawskiego (1), któr w roważanm prpadku prjmuje postać gdie ( ) S a 4a 4 ( ) J ( ) ( )a ( > 0 ) a, ( < 0) a 4 olicam naprężenia stcne w punktac skrajnc prekroju ora w punktac leżącc na stku ou prostokątów + ( 0 ) ( 0 ) ( a) 0, ( a) 0 ma Wkres naprężeń stcnc predstawia rs. P. ( ) a a a a ( ) a 4a a 8a Rs. P. Z wkresu tego wnika, że na stku ou prostokątów (w miejscu skokowej mian serokości prekroju), pr cm wstępuje nieciągłość (skok) funkcji ( ) + ( 0 ) ( 0 ) a 8a ( 0 ) + ( 0 ) 4a 4 a
W recwistości, w tego tpu miejscac rokład naprężeń stcnc jest ardiej łożon; wstępuje w nic koncentracja (miejscowe więksenie) naprężeń. W celu jej uniknięcia w miejscac łącenia elementów prekroju o różnej serokości stosuje się odpowiednie aokrąglenia (np. w profilac walcowanc). Prkład. W prpadku elki o scemacie statcnm, wmiarac i ociążenie jak na rs. P.1 wnacć stosunek maksmalnego naprężenia normalnego do maksmalnego naprężenia stcnego. Rs. P.1 Dane: q P l, P, l,, Sukane: ma, ma Rowiąanie: Krok 1. Wnacam carakterstki geometrcne prekroju moment ewładności J J 1 maksmaln moment statcn cęści odciętej prekroju Sma S ( 0) 4 8 Krok. Olicam maksmalne wartości sił poprecnej i momentu ginającego (rs. P.1) P ma 0 l ( ) q l l P l P l Pl Mma M ( 0) q l l l Krok. Olicam maksmalne wartości naprężenia stcnego i naprężenia normalnego (rs. P.) S J P 8 1 ma ma ma ( 0) P
ma M J Pl Pl 1 6 Pl ma ( ) 1 1 Rs. P. Krok 4. Wnacam stosunek maksmalnego naprężenia normalnego do maksmalnego naprężenia stcnego Pl l ma l l ma P ma ma Ponieważ w prpadku elek l >>, atem i ma >> ma. Z powżsego prkładu wnika, że w prpadku elek maksmalna wartość naprężenia normalnego jest dużo więksa od maksmalnej wartości naprężenia stcnego. Ponieważ jednak wtrmałość materiałów konstrukcjnc na ścinanie jest nacnie mniejsa od ic wtrmałości na rociąganie (ściskanie), to pr wmiarowaniu elek ginanc poprecnie należ również uwględniać naprężenie stcne. Naprężenie stcne odgrwa istotną rolę w prpadku prekrojów łożonc, którc element są łącone na spaw, śru ądź nit (elki metalowe), lu gwoźdie, swornie, klocki, klin, pierścienie (elki drewniane). Łącniki te są wmiarowane uwagi na ścinanie. Zagadnienia na egamin 1. Zdefiniować ginanie poprecne i wprowadić wór Żurawskiego.. Wkaać, że wektor naprężeń ścinającc jest stcn do konturu prekroju poprecnego.. Wnacć naprężenia stcne w prpadku prekroju prostokątnego.