1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1.1 naliza kinematyczna podstawowe definicje Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej belek i ram płaskich jest tarcza sztywna. Jest to uogólnienie znanej z kursu fizyki bryły sztywnej czyli ciała, którego odkształcanie w warunkach danego zagadnienia jest zaniedbywalnie małe a odległość pomiędzy dwoma dowolnymi punktami bryły sztywnej jest stała niezależnie od wielkości działających sił. Tarczę sztywną możemy sobie wyobrazić jako bardzo cienką, płaską bryłę sztywną w kształcie plastra. Tarcza sztywna wraz z obciążeniem na nią działającym znajdują się na jednej płaszczyźnie. Przyjęcie tarczy sztywnej jako modelu rzeczywistej konstrukcji jest uzasadnione tym, że deformacje mierzone w rzeczywistych konstrukcjach są bardzo małe w porównaniu z jej wymiarami. Można więc przyjąć, że analizujemy konstrukcję niezdeformowaną czyli tak zwaną konfigurację pierwotną konstrukcji. Inaczej powyższą zasadę nazywa się zasadą zesztywnienia. Belki i ramy płaskie stanowią ustroje budowlane nazywane konstrukcjami prętowymi. Podstawowym elementem konstrukcyjnym jest pręt. Pręt powstaje wtedy, gdy po linii regularnej B przemieszcza się środek ciężkości figury płaskiej (jeżeli wykonamy przekrój pręta z cienkiej blachy i podeprzemy go dokładnie w środku ciężkości na szpilce to będzie on leżał stabilnie) w taki sposób aby płaszczyzna figury była zawsze prostopadła do linii B. Kontur figury opisuje bryłę geometryczną, która wypełniona materiałem tworzy pręt. Przedstawia to rysunek 1.1. Z przekrojem pręta będzie związany układ współrzędnych XYZ. Początek tego układu znajduje się w środku ciężkości przekroju (punkt ). Oś X jest styczna do osi pręta. Położenie pozostałych osi przedstawia rysunek 1.. B Rys. 1.1. Pręt. B X Y=Y Z=Z Rys. 1.. Układ współrzędnych związany z przekrojem pręta. Figurę płaską nazywamy przekrojem pręta. inię B nazywamy osią pręta. Jeżeli oś pręta jest linią prostą to pręt jest prostoliniowy. Jeżeli przekrój pręta jest stały to pręt jest prętem pryzmatycznym. Modelem matematycznym pręta jest jest jego oś. Przedstawia to rysunek 1.3.W zagadnieniach przedstawionych w niniejszym rozdziale osie wszystkich prętów będą znajdowały się na jednej płaszczyźnie. Na potrzeby analizy kinematycznej belek i ram płaskich możemy pręt traktować jako bardzo wydłużoną tarczę sztywną. Przedstawia to rysunek 1.4. Następnym bardzo ważnym pojęciem przy analizie kinematycznej jest stopień swobody. Jest to niezależny parametr, za pomocą którego opisujemy położenie tarczy sztywnej na płaszczyźnie. Ich liczba określa nam liczbę stopni swobody tarczy sztywnej. by znać dokładne położenie tarczy sztywnej na płaszczyźnie

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH wystarczy znać położenie dowolnego odcinka B. Położenie tego odcinka może być opisane za pomocą dwóch współrzędnych punktu (x i y ) i kąta, który jest kątem nachylenia odcinka B. Przedstawia to rysunek 1.5. Można więc stwierdzić, że pojedyncza tarcza sztywna posiada na płaszczyźnie trzy stopnie swobody. B B Rzeczywisty obiekt Model matematyczny Rys. 1.3. Pręt i jego model matematyczny. Model matematyczny Tarcza sztywna Rys. 1.4. Model matematyczny pręta jako tarcza sztywna. Y B x y X Rys. 1.5. Niezależne parametry opisujące położenie tarczy sztywnej na płaszczyźnie. 1. Więzy Jak wiadomo od konstrukcji budowlanej wymagamy aby nie była ona mechanizmem i pozostała nieruchoma pod wpływem obciążenia. by tak było należy odebrać jej wszystkie stopnie swobody. Robi się to przymocowując tarcze sztywne do nieruchomej tarczy podporowej za pomocą więzów. Pierwszym rodzajem więzu jest pręt podporowy. Został on przedstawiony na rysunku 1.6 a i b. Schemat pręta podporowego przedstawia rysunek 1.6 c.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 3 a) b) c) Rys. 1.6. Pręt podporowy. a) widok z przodu, b) widok z boku, c) schemat pręta podporowego. Jak widać na rysunku 1.6 pręt podporowy ma możliwość obrotu względem sworznia (a w zasadzie punktu). Tarczę sztywną podpartą prętem podporowym przedstawia rysunek 1.7. Do opisu położenia tarczy sztywnej połączonej z podłożem jednym prętem podporowym potrzebne są dwa niezależne parametry (kąty oraz β). Czyli tarcza sztywna utraciła jeden stopień swobody. Można więc ostatecznie stwierdzić, że pręt podporowy odbiera tarczy sztywnej jeden stopień swobody (stanowi jeden więz). β Rys. 1.7. Tarcza sztywna podparta jednym prętem podporowym. Drugim rodzajem więzu jest przegub. Przedstawia go rysunek 1.8. Tarcza sztywna ma możliwość obrotu względem takiego przegubu. a) b) c) Rys. 1.8. Tarcza sztywna podparta przegubem rzeczywistym. Przegub przedstawiony na rysunku 1.8 nazywa się przegubem rzeczywistym. Do opisu położenia tarczy sztywnej połączonej z podłożem przegubem rzeczywistym potrzebny jest jeden niezależny parametr (kąt nachylenia tarczy sztywnej do poziomu). Czyli tarcza sztywna utraciła dwa stopnie swobody. Można więc ostatecznie stwierdzić, że przegub rzeczywisty odbiera tarczy sztywnej dwa stopnie swobody (stanowi dwa więzy). Przegub może być także utworzony z dwóch prętów podporowych. Mówimy wtedy o przegubie fikcyjnym. Punkt przegubu znajduje się na przecięciu kierunków obu prętów podporowych. Przedstawia to rysunek 1.9. Może się zdarzyć taka sytuacja, że oba pręty podporowe tworzące przegub fikcyjny będą do siebie równoległe. Wtedy przegub fikcyjny znajduje się w nieskończoności i taki przegub nazywa się przegubem niewłaściwym. Tarczę sztywną podpartą dwoma równoległymi prętami podporowymi przedstawia rysunek 1.1 a. Rysunku 1.1 b przedstawia ruch tarczy sztywnej, która przesunęła się w kierunku prostopadłym do

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 4 kierunku obu prętów podporowych. Rys. 1.9. Przegub fikcyjny. a) b) Rys. 1.1. Tarcza sztywna podparta przegubem niewłaściwym. Możliwe jest także połączenie więcej niż dwóch tarcz sztywnych przegubem. Przegub taki nazywa się przegubem wielokrotnym. Rysunek 1.11 a przedstawia trzy tarcze sztywne połączone przegubem wielokrotnym. a) b) II II I I III III Rys. 1.11. Przegub wielokrotny. Jak widać przegub wielokrotny łączący trzy tarcze sztywne odpowiada czterem prętom podporowym. Ogólnie jeżeli przegub wielokrotny łączy t tarcz sztywnych to odpowiada on t 1 (1.1) prętom podporowym. W przypadku konstrukcji prętowych poszczególne więzy mają inne nazwy i oznaczenia. Pojedynczy pręt podporowy nazywa się podporą przegubowo-przesuwną. Przedstawia ją rysunek 1.1. Przegub rzeczywisty łączący ze sobą dwa pręty jest traktowany tak samo jak przegub rzeczywisty łączący dwie tarcze sztywne. Natomiast dwa pręty podporowe stanowią podporę przegubowo-nieprzesuwną. Przedstawia ją rysunek 1.13. Jeżeli dwa pręty podporowe będą do siebie równoległe (przegub niewłaściwy) to podporę taką nazywa się podporą ślizgową. Przedstawia ją rysunek 1.14.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 5 Rys. 1.1. Podpora przegubowo-przesuwna. Rys. 1.13. Podpora przegubowo-nieprzesuwna. Tarcza sztywna może być do podłoża przymocowana za pomocą trzech prętów, których kierunki nie będą się przecinać w jednym punkcie. Podporę taką nazywamy utwierdzeniem. Przedstawia ją rysunek 1.15. Rys. 1.14. Podpora ślizgowa (przegub niewłaściwy). Rys. 1.15. Utwierdzenie. 1.3. Warunki geometrycznej niezmienności Układem tarcz sztywnych geometrycznie niezmiennym nazywamy taki układ tarcz, któremu zostały odebrane wszystkie stopnie swobody, w taki sposób, że układ ten nie może się przemieszczać. Pozostałe układy będą układami geometrycznie zmiennymi.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 6 W punkcie 1.1 stwierdziliśmy, że pojedyncza tarcza sztywna posiada na płaszczyźnie trzy stopnie swobody. Jeżeli tych tarcz będzie t to będą one posiadały 3 t (1.) stopni swobody. Jest to także minimalna konieczna liczba więzów, które muszą być zastosowane aby unieruchomić układ tarcz sztywnych. Warunkiem koniecznym geometrycznej niezmienności układu tarcz sztywnych jest zależność 3 t p, (1.3) w której t oznacza liczbę tarcz natomiast p oznacza liczbę zastosowanych więzów. Nierówność (1.3) oznacza, że liczba zastosowanych więzów jest większa lub równa liczbie stopni swobody wszystkich tarcz sztywnych stanowiących układ tarcz sztywnych. Układy, w których zastosowano większą niż minimalna liczba więzów nazywa się układami statycznie niewyznaczalnymi.. Układy tego typu nie będą tutaj rozpatrywane ze względu na to, że do rozwiązania ich konieczne będą dodatkowe równania niż tylko rozpatrywane w dalszej części równania równowagi. W naszym przypadku nierówność (1.3) będzie miała formę równości 3 t= p. (1.4) Układy, w których zastosowano minimalną liczbę więzów nazywa się układami statycznie wyznaczalnymi. Równanie (1.4) jest warunkiem koniecznym ale niewystarczającym geometrycznej niezmienności. Możliwe są układy, które spełniają równanie (1.4) jednak będące układami geometrycznie zmiennymi. Układ tarcz sztywnych musi spełniać także warunki dostateczne geometrycznej niezmienności. Dopiero spełnienie warunku koniecznego oraz warunków dostatecznych geometrycznej niezmienności stanowi o tym, że układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny. Dla pojedynczej tarczy sztywnej podpartej trzema prętami podporowymi warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności jest to, że kierunki wszystkich trzech prętów podporowych nie mogą przecinać się w jednym punkcie. Rysunek 1.16 a przedstawia tarczę sztywną geometrycznie niezmienną natomiast rysunek 1.16 b przedstawia tarczę sztywną geometrycznie zmienną. a) b) Rys. 1.16. Tarcza sztywna: a)geometrycznie niezmienna, b) geometrycznie zmienna. Dla pojedynczej tarczy sztywnej podpartej przegubem rzeczywistym i prętem podporowym warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności jest to, aby przegub rzeczywisty nie znajdował się na kierunku pręta podporowego. Rysunek 1.17 a przedstawia tarczę sztywną geometrycznie niezmienną natomiast rysunek 1.17 b przedstawia tarczę sztywną geometrycznie zmienną.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 7 a) b) Rys. 1.17. Tarcza sztywna: a)geometrycznie niezmienna, b) geometrycznie zmienna. Często wykorzystywanym układem tarcz sztywnych jest układ trzech tarcz (z których jedna może być tarczą podporową) połączonych między sobą przegubami (rzeczywistym, fikcyjnym lub niewłaściwym). Układ taki nazywamy układem trójprzegubowym. Dla takiego układu tarcz sztywnych warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności jest fakt, że trzy przeguby nie znajdują się na jednej prostej. Rysunek 1.18 przedstawia układy trójprzegubowe geometrycznie niezmienne natomiast rysunek 1.19 przedstawia układy trójprzegubowe geometrycznie zmienne. Korzystając z trzech powyższych warunków dostatecznych geometrycznej niezmienności można udowodnić, geometryczną niezmienność większości przypadków układów tarcz sztywnych. nalizę kinematyczną zaczyna się od tej tarczy sztywnej lub układu trójprzegubowego, które spełniają jeden z powyższych warunków dostatecznych. Taką tarczę lub układ trójprzegubowy można więc teraz uznać jako tarczę podporową dla pozostałych tarcz sztywnych. nalizę pozostałych tarcz sztywnych przeprowadza się podobnie jak na początku analizy kinematycznej. Istnieją układy tarcz sztywnych, dla których nie da się udowodnić geometrycznej niezmienności w sposób opisany powyżej. Dla takich układów analizę kinematyczną przeprowadza się metodą nazywaną planem biegunów (metoda ta nie będzie tutaj rozpatrywana) lub przy wykorzystaniu równań równowagi, co zostanie opisane w dalszej części. B B C C B C Rys. 1.18. Układy trójprzegubowe geometrycznie niezmienne. 1.4 Definicje belki i ramy płaskiej Belką nazywamy płaską konstrukcję prętową (złożoną z prętów), których osie leżą na jednej prostej. Jeżeli belka składa się tylko z jednego pręta to nazywamy ją belką prostą. Istnieją dwa rodzaje belek

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 8 prostych. Jednym z nich jest belka swobodnie podparta. Przedstawia ją rysunek 1.. B C B C C B Rys. 1.19. Układy trójprzegubowe geometrycznie zmienne. Rys. 1.. Belka swobodnie podparta. Drugim rodzajem belki prostej jest belka wspornikowa. Przedstawia ją rysunek 1.1. Rys. 1.1. Belka wspornikowa. Jeżeli belka jest złożona z więcej niż jednego pręta to taką belkę nazywamy belką złożoną. Belki złożone statycznie wyznaczalne przedstawiają rysunki 1., 1.3, 1.4 i 1.5. Rys. 1.. Belka złożona. Ramą nazywamy płaską konstrukcję prętową, w której osie prętów nie znajdują się na jednej prostej. Przykłady ram składających się z jednego pręta o osi łamanej (rama prosta) przedstawiono na rysunkach 1.6 i 1.7.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 9 Rys. 1.3. Belka złożona. Rys. 1.4. Belka złożona. Rys. 1.5. Belka złożona. Rys. 1.6. Rama prosta. Rysunek 1.8 przedstawia ramę trójprzegubową (jest to rama złożona) natomiast rysunek 1.9 przedstawia ramę złożoną, składającą się z dwóch prętów.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1 1.5 naliza statyczna podstawowe definicje naliza statyczna zajmuje się obliczaniem obciążeń działających na konstrukcję. Obciążenia te są dwojakiego rodzaju. Pierwszym z nich jest obciążenie czynne. Obciążenie to pochodzi ciężaru własnego konstrukcji oraz elementów umieszczonych na niej. Drugim rodzajem obciążenia jest obciążenie bierne nazywane inaczej reakcjami. Jest to obciążenie, które powstaje w więzach konstrukcji w wyniku oddziaływania konstrukcji na dany więz. Rys. 1.7. Rama prosta. Rys. 1.8. Rama trójprzegubowa. Rys. 1.9. Rama złożona. Podstawowym obciążeniem konstrukcji jest siła. W mechanice istnieje podstawowy aksjomat, który traktuje siłę jako wektor. Dzięki temu obliczając siły możemy stosować rachunek wektorowy. Zakładamy, że wszystkie siły działające na konstrukcję będą działały na tej samej płaszczyźnie, na której znajdują się

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 11 wszystkie pręty (tarcze sztywne). Zamiast klasycznego ujęcia rachunku wektorowego będziemy stosować pewne uproszczenia w zapisie działań na wektorach. Jednostką siły w układzie SI jest N (Niuton). Tutaj będziemy jednak używać jej wielokrotności kn (kiloniuton). Rzutem siły P na kierunek n nazywamy siłę P (n) przedstawioną na rysunku 1.3. Jej wartość wynosi P n =P cos. (1.5) P P (n) n Rys. 1.3. Rzut siły P na kierunek n. Rozkład siły P na dwie składowe P (n) oraz P (m), których kierunki są do siebie prostopadłe przedstawia rysunek 1.31. m P P (m) P (n) n Rys. 1.31. Rozkład siły P na dwa kierunki wzajemnie prostopadłe. Wartość składowej P (n) oblicza się ze wzoru (1.5) natomiast wartość składowej P (m) oblicza się ze wzoru P m =P sin. (1.6) Zwroty obu składowych wynikają ze zwrotu siły P. Momentem siły względem punktu nazywamy iloczyn wartości siły i odległości od punktu. O tym czy jest to moment dodatni czy ujemny decyduje kierunek obrotu siły względem punktu. Jeżeli obrót następuje zgodnie z ruchem wskazówek zegara to będziemy przyjmować taki moment siły jako dodatni. Jeżeli przeciwnie do ruchu wskazówek zegara to będziemy przyjmować taki moment siły jako ujemny. Moment kilku sił względem punktu jest sumą momentów od poszczególnych sił. Na rysunku 1.3 przedstawione są trzy siły, których moment względem punktu O wynosi M O =P 1 a 1 P a P 3 a 3. (1.7) Siła P obraca się przeciwnie do ruch wskazówek zegara względem punktu O więc jej moment jest ujemny.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1 P 1 a 1 a O P a 3 P 3 Rys. 1.3. Moment układu sił względem punktu O. Parą sił nazywamy układ dwóch sił o takich samych wartościach, kierunkach równoległych do siebie lecz przeciwnych zwrotach. Moment pary sił względem dowolnego punktu O wynosi M O =P a, (1.8) w którym a jest odległością sił od siebie. Jak widać moment pary sił nie zależy od położenia punktu O. Rysunek 1.33 przedstawia parę sił. O P a P Rys. 1.33. Para sił. 1.6 Obciążenie bierne - reakcje Jak wiadomo obciążenie bierne są to siły jakie powstają w więzach układu prętowego. W pręcie podporowym, który jak wiadomo, odbiera jeden stopień swobody będzie występowała jedna reakcja. Kierunek tej reakcji pokrywa się z kierunkiem pręta. Wartość tej reakcji będzie wynikała z zagadnień opisanych w dalszej części. Identyczne będzie sytuacja w podporze przegubowo-przesuwnej. Reakcje w pręcie podporowym oraz w podporze przegubowo-przesuwnej przedstawia rysunek 1.34. Podpora przegubowo-nieprzesuwna odbiera prętowi dwa stopnie swobody więc na tej podporze wystąpią dwie reakcje. Najczęściej przyjmuje się, że jedna z nich jest pionowa a druga pozioma. Rysunek 1.35 przedstawia reakcje na podporze przegubowo-nieprzesuwnej.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 13 R R R R R R Rys. 1.34. Reakcja w pręcie podporowym i podporze przegubowo-przesuwnej. H H V V Rys. 1.35. Reakcje na podporze przegubowo-nieprzesuwnej. Podpora ślizgowa odbiera także dwa stopnie swobody więc na tej podporze muszą wystąpić dwie reakcje. Na rysunku 1.36 a w każdym z prętów tej podpory występuje pojedyncza reakcja. Reakcje te można zapisać w następujący sposób (rysunek 1.36 b) R 1 = V R R = V R. (1.9) Reakcje V/ razem dają nam reakcję pionową V. Natomiast reakcje R stanowią parę sił, którą można zastąpić odpowiednim momentem M. Ostatecznie na podporze ślizgowej występują dwie reakcje zaznaczone na rysunku 1.35 c. Należy zwrócić uwagę, że jednostką momentu M jest knm. Utwierdzenie odbiera prętowi trzy stopnie swobody. Na podporze tej wystąpią więc trzy reakcje. Rysunek 1.37 a przedstawia wszystkie trzy reakcje. Reakcje R 1 oraz R zapisujemy zgodnie ze wzorem (1.9) natomiast reakcję R 3 oznaczamy jako reakcję poziomą H. W wyniku tych działań otrzymamy reakcje przedstawione na rysunku 1.38.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 14 a) b) c) M V R 1 R V V R R Rys. 1.36. Reakcje na podporze ślizgowej. a) b) R 3 R 3 R 1 R V V R R Rys. 1.37. Reakcje w utwierdzeniu. Porównując rysunki 1.34, 1.35, 1.36 c oraz 1.38 widać, że na każdej z tych podpór występują reakcje o kierunkach, które blokuje dana podpora. Podpora przegubowo-przesuwna nie pozwala na przesuw w pewnym kierunku i ten sam kierunek ma reakcja na tej podporze. Podpora przegubowo-przesuwna blokuje przesuw w poziomie i pionie i takie kierunki mają obie reakcje. Podpora ślizgowa blokuje przesuw w pionie oraz obrót. Reakcje na tej podporze to reakcja pionowa oraz moment. Wreszcie utwierdzenie blokuje przesuw w poziomie i w pionie oraz obrót. Stąd na tej podporze mamy reakcję poziomą, pionową i moment. M H V Rys. 1.38. Reakcje w utwierdzeniu.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 15 1.7 Obciążenie czynne W konstrukcjach prętowych występuje kilka rodzajów obciążenia czynnego. Obciążenia te to na przykład ciężar własny konstrukcji i elementów na niej umieszczonych, obciążenie użytkowe (maszynami, tłumem, materiałami sypkimi, cieczami itp.). Oczywiście to obciążenie działa w płaszczyźnie konstrukcji prętowej. Obciążenie czynne może występować w formie sił skupionych, momentów skupionych oraz obciążenia ciągłego. Obciążenie czynne w formie momentu skupionego możemy traktować jako parę sił, dla której wartość momentu siły jest niezależna od punktu, względem którego obliczamy go. Jednostką tego typu obciążenia czynnego jest knm. Obciążenie ciągłe występuje w dwóch rodzajach: obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone, oraz obciążenie ciągłe nierównomiernie rozłożone. Jednostką tego typu obciążenia jest kn/m. Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone ma całej swej długości stałą wartość. Obciążenie takie może być zastąpione wypadkową, której wartość oraz położenie przedstawia rysunek 1.39. W = Rys. 1.39. Wypadkowa z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego. Przedstawione na rysunku 1.39 obciążenie ciągłe jest dodatnie, ponieważ posiada zwrot w dół. Jak widać na rysunku 1.39 wypadkowa W jest równa polu powierzchni prostokąta o wymiarach i. W przypadku obciążenia nierównomiernie rozłożonego będziemy rozpatrywać tutaj tylko obciążenie liniowe. Przykład takiego obciążenia przedstawia rysunek 1.4. Jak łatwo sprawdzić obciążenie to ma postać x = 1 x 1, (1.1) w którym 1 i mogą być zarówno dodatnie (w dół) jak i ujemne (do góry). 1 1 X X x= x= Rys. 1.4. Obciążenie liniowe. x= x= Najprostszy przypadek obciążenia liniowego jest wtedy, gdy jedna z wartości 1 lub jest równa zero. Obciążenie takie ma formę trójkąta prostokątnego. Wypadkowe z takiego obciążenia przedstawia rysunek 1.41.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 16 1 W = 1 1 W = 1 1 3 3 3 1 3 Rys. 1.41. Wypadkowe z obciążenia trójkątnego. 3 1 3 W 1 = 1 1 W = 1 1 1 3 3 Rys. 1.4. Wypadkowe z obciążenia trapezowego. W przypadku obciążenia trapezowego ( 1 i są obie dodatnie lub obie ujemne) będziemy mieli dwie wypadkowe, które przedstawia rysunek 1.4. W 1 jest wypadkową z jednego trójkąta prostokątnego, a W jest wypadkową z drugiego trójkąta prostokątnego. W przypadku obciążenia przewiniętego ( 1 jest dodatnie i ujemne lub odwrotnie) możemy to obciążenie zamienić na dwa obciążenia trójkątne. Przedstawia to rysunek 1.43. Położenie wypadkowych dla obciążenia przewiniętego przedstawia rysunek 1.44. Obciążenie prętów ukośnych ograniczymy tylko do przypadku obciążenia równomiernie rozłożonego. Ma ono dwie formy. Pierwszą z nich jest obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na rzut poziomy lub pionowy pręta. Wypadkową takiego obciążenia przedstawia rysunek 1.45. Drugą z nich jest obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości pręta. Wypadkową takiego obciążenia przedstawia rysunek 1.46. Podobnie ma się sprawa z poziomym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym. Rysunek 1.47 przedstawia wypadkową z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na rzut pionowy pręta natomiast rysunek 1.48 przedstawia wypadkową z poziomego obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na długości pręta.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 17 1 1 Rys. 1.43. Obciążenie przewinięte. 1.8 Wyznaczanie reakcji równowaga konstrukcji prętowej Konstrukcja prętowa jak wiadomo musi być geometrycznie niezmienna czyli nie może wykonywać żadnych ruchów. Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona układ pozostaje w spoczynku, jeżeli nie działają na niego żadne siły lub siły te znajdują się w równowadze. Ten pierwszy przypadek nie wchodzi w grę więc aby układ prętowy był nieruchomy wszystkie siły działające na niego (czynne i bierne) muszą być w równowadze. by pojedynczy pręt był w równowadze muszą być spełnione warunki równowagi. Najprostsza ich postać to 3 1 3 1 W 1 = 1 W = 1 1 1 3 3 Rys. 1.44. Wypadkowe z obciążenia przewiniętego.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 18 W = X - - Y - - Y X X X Rys. 1.45. Wypadkowa z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na rzut poziomy pręta ukośnego. X = Y = M =. (1.11) Pierwsze z równań (1.11) oznacza sumę rzutów wszystkich sił na oś poziomą X, drugie równanie oznacza sumę rzutów wszystkich sił na oś pionową Y natomiast trzecie z równań oznacza sumę momentów wszystkich sił względem dowolnego punktu. W = - - Y - - Y X X X Rys. 1.46. Wypadkowa z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na długości pręta ukośnego. Możliwa jest także inna forma równań równowagi. Mogą to być na przykład: jedno równanie sumy rzutów wszystkich sił oraz dwa równania sum momentów względem dwóch różnych punktów czyli X = M 1 = M =. (1.1)

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 19 W = Y Y - - Y - - Y X X Rys. 1.47. Wypadkowa z poziomego obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na rzut pionowy pręta ukośnego. W = Y Y - - - - Y X X Rys. 1.48. Wypadkowa z poziomego obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego długości pręta ukośnego. Możliwe jest także wykorzystanie jako równania równowagi trzech sum momentów względem trzech różnych punktów czyli M 1 = M = M 3 =. (1.13) Punkty 1, i 3 nie mogą być jednak dowolnie dobrane. Punkty te nie mogą leżeć na jednej prostej. Dla układu t prętów możemy takich równań napisać 3t. W rezultacie otrzymamy układ równań składający się z 3t równań oraz 3t niewiadomych. Jeżeli wyznacznik główny układu równań jest różny od zera to układ prętowy jest układem geometrycznie niezmiennym. W ogromnej większości przykładów układ równań da się rozprzęgnąć i wyznaczyć część reakcji korzystając tylko z jednego równania dla każdej z tych reakcji. Jeżeli w belkach całe obciążenie czynne jest prostopadłe do osi belki to wszystkie reakcje poziome są równe zero. Poniżej przedstawione zostaną przykłady belek i ram oraz najlepsze sposoby wyznaczenia reakcji podporowych. W przypadku belek i ram prostych (składających się tylko z jednego pręta) najczęściej da się wyliczyć każdą z trzech reakcji z osobnego warunku równowagi.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH Rysunek 1.49 przedstawia ramę prostą (złożoną z jednego pręta 1). B C 1 D E H F V V F Rys. 1.49. Rama prosta. Reakcję H najlepiej wyznaczyć z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na ramę na oś poziomą X czyli X =. (1.14) Reakcję V najlepiej wyznaczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na ramę względem punktu F czyli M F =. (1.15) Reakcję V F najlepiej wyznaczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na ramę względem punktu czyli M =. (1.16) Korzystając z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na ramę na oś pionową Y czyli Y = (1.17) można sprawdzić obliczenia reakcji pionowych. utor zaleca takie postępowanie, ponieważ wyliczenie jednej reakcji z sumy momentów a drugiej z sumy rzutów może prowadzić do błędnych wyników. Błąd ten będzie skutkował tym, że wykresy sił przekrojowych (o czym będzie mowa w dalszej części) będą źle wyznaczone. W przypadku belki i ramy złożonej należy rozpatrzyć równowagę każdego pręta z osobna i obliczenia rozpocząć od tego pręta, w którym są tylko trzy nieznane reakcje. Rysunek 1.5 przedstawia belkę złożoną zbudowaną z dwóch prętów. Jak widać na pręt numer działają tylko trzy reakcje. Reakcja H C będzie równa zero jeżeli wszystkie siły czynne będą pionowe. Reakcję V D najlepiej obliczyć korzystając z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer względem punktu C czyli

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1 B C D E H C C D E V C H 1 B C V C H C V D V V B Rys.1.5. Belka złożona. M C =. (1.18) Reakcję V C najlepiej obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer względem punktu D czyli M D =. (1.19) Przyjęcie warunków równowagi (1.18) i (1.19) w tej postaci podyktowane jest tym, żeby w tych równaniach występowała tylko jedna niewiadoma reakcja. Mając już obliczone obie reakcje można obliczenia sprawdzić wykorzystując sumę rzutów wszystkich sił działających na pręt numer na oś pionową Y czyli Y =. (1.) Pewnego wyjaśnienia wymaga sprawa reakcji w przegubie C łączącym pręty 1 i. W przegubie tym działają dwie reakcje. Reakcje te działając na poszczególne pręty mają te same wartości ale przeciwne zwroty. Jeżeli połączymy obie belki proste razem to wszystkie reakcje w przegubie dadzą wypadkową równą zero. Reakcję V najlepiej obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 1 względem punktu B czyli M B 1 =. (1.1) Reakcja H jest także równa zero, jeżeli reakcja H C wynosi zero. Reakcję V B najlepiej obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 1 względem punktu czyli M 1 =. (1.) Mając już obliczone obie reakcje można obliczenia sprawdzić wykorzystując sumę rzutów wszystkich sił działających na pręt numer 1 na oś pionową Y czyli

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH Y 1 =. (1.3) Rysunek 1.51 przedstawia belkę złożoną także z dwóch prętów. B C D E H B B C D E V B V C V D H 1 B V B HB V Rys. 1.51. Belka złożona. Jest to belka trójprzegubowa, z jednym przegubem niewłaściwym. Wszystkie trzy przeguby nie leżą na jednej prostej więc jest to układ geometrycznie niezmienny. Na każdy z prętów działają po cztery niewiadome reakcje. Reakcja H B będzie równa zero, jeżeli wszystkie siły czynne będą pionowe. Podobnie będzie z reakcją H. Reakcję V najlepiej obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 1 względem punktu B czyli M B 1 =. (1.4) Reakcję V B najlepiej obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 1 względem punktu czyli M 1 =. (1.5) Następnie obliczenia można sprawdzić warunkiem sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer 1 na oś pionową Y czyli Y 1 =. (1.6) Reakcję V C najlepiej obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer względem punktu D czyli M D =. (1.7) Reakcję V D najlepiej obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer względem punktu C czyli

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 3 M C =. (1.8) Następnie obliczenia można sprawdzić warunkiem sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer na oś pionową Y czyli Y =. (1.9) Rysunek 1.5 przedstawia ramę trójprzegubową, w której przeguby i E znajdują się na jednym poziomie. B C D B C V C H C H C V C C D 1 1 H E H E H E H E V V E V V E Rys. 1.5. Rama trójprzegubowa. Reakcję V E najlepiej jest obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na całą ramę względem punktu czyli M 1 =. (1.3) Reakcję V najlepiej jest obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na całą ramę względem punktu E czyli M E 1 =. (1.31) Reakcje V oraz V E można teraz sprawdzić wykorzystując sumę rzutów wszystkich sił działających na całą ramę na oś pionową Y czyli Y 1 =. (1.3) Reakcję H najlepiej jest wyznaczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 1 względem punktu C czyli M C 1 =. (1.33)

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 4 Reakcję H E najlepiej jest wyznaczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer względem punktu C czyli M C =. (1.34) Reakcje H oraz H E można sprawdzić wykorzystując warunek sumy rzutów wszystkich sił działających na całą ramę na oś poziomą X czyli X 1 =. (1.35) Reakcję V C można wyznaczyć z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer 1 na oś pionową Y czyli Y 1 =. (1.36) Reakcję tę można sprawdzić wykorzystując warunek sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer na oś pionową Y czyli Y =. (1.37) Reakcję H C można wyznaczyć z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer 1 na oś poziomą X czyli X 1 =. (1.38) Reakcję tę można sprawdzić wykorzystując warunek sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer na oś poziomą X czyli X =. (1.39) Rysunek 1.53 przedstawia ramę trójprzegubową z przegubami i E na różnych poziomach. Reakcje V i H najlepiej jest wyznaczyć z układu równań, w którym pierwszym równaniem jest warunek sumy momentów wszystkich sił działających na całą ramę względem punktu E, drugim równaniem jest warunek sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 1 względem punktu C czyli M E 1 = M C 1 =. (1.4)

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 5 B C D B C H C H C C D V C V C 1 1 E H E E H E H H V E V E V V Rys. 1.53. Rama trójprzegubowa. Reakcje V E i H E najlepiej jest wyznaczyć z układu równań, w którym pierwszym równaniem jest warunek sumy momentów wszystkich sił działających na całą ramę względem punktu, drugim równaniem jest warunek sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer względem punktu C czyli M 1 = M C =. (1.41) Reakcje V i V E można sprawdzić wykorzystując warunek sumy rzutów wszystkich sił działających na całą ramę na oś pionową Y czyli Y 1 =. (1.4) Reakcje H i H E można sprawdzić wykorzystując warunek sumy rzutów wszystkich sił działających na całą ramę na oś poziomą X czyli X 1 =. (1.43) Reakcję V C można wyznaczyć z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer 1 na oś pionową Y czyli Y 1 =. (1.44) Reakcję tę można sprawdzić wykorzystując warunek sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer na oś pionową Y czyli Y =. (1.45) Reakcję H C można wyznaczyć z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer 1 na oś

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 6 poziomą X czyli X 1 =. (1.46) Reakcję tę można sprawdzić wykorzystując warunek sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer na oś poziomą X czyli X =. (1.47) 1.9 Siły przekrojowe podstawowe definicje Załóżmy, że mamy ramę, w której obciążenie czynne i bierne znajduje się w równowadze. Ramę taką przedstawia rysunek 1.54. P 1 P B C 1 D E F P 3 H G V V G Rys. 1.54. Rama z obciążeniem w równowadze. Jeżeli przetniemy ramę przekrojem prostopadłym do osi pręta to okaże się, że odcięta część ramy nie będzie w równowadze. Przedstawia to rysunek 1.55. Na rysunku tym oś X jest osią styczną do osi pręta. by część ramy była w równowadze w przekroju pręta muszą się pojawić dodatkowe siły nazywane siłami przekrojowymi. Siłami tymi dla układów płaski są: siła normalna N, siłą poprzeczna T oraz moment zginający M. Część ramy znajdującą się w równowadze przedstawia rysunek 1.56. Siła normalna jest zawsze styczna do osi pręta i jest dodatnia jeżeli powoduje wydłużenie (rozciągnięcie) pręta. Dodatnia siła normalna nazywa się siłą rozciągającą natomiast ujemna siłą normalna nazywa się siłą ściskającą. Siła normalna przedstawiona na rysunku 1.56 jest dodatnia. W przypadku belek, jeżeli obciążenie czynne belki jest prostopadłe do jej osi to siła normalna w całej belce wynosi zero. Siła poprzeczna jest zawsze prostopadła do osi pręta i jest dodatnia jeżeli powoduje obrót odciętej części belki lub ramy zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Punkt, względem którego następuje obrót odciętej części ramy lub belki znajduje się na pręcie jak najdalej od przekroju pręta. Siła poprzeczna przedstawiona na rysunku 1.56 jest dodatnia. Moment zginający możemy wyobrazić sobie jako parę sił, w której jedna z tych sił będzie rozciągać część przekroju pręta natomiast druga będzie ściskać pozostałą część przekroju pręta. Przedstawia to rysunek 1.57.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 7 B P 1 P C D 1 E B P 1 C 1 X F P 3 H G H V V G V Rys. 1.55. Brak równowagi w odciętej części ramy. P 1 B C 1 T N X M H V Rys. 1.56. Część ramy znajdująca się w równowadze. M S S Rys. 1.57. Moment zginający. Moment zginający jest dodatni jeżeli powoduje rozciąganie dolnej części przekroju pręta a ściskanie górnej części przekroju pręta. Moment zginający przedstawiony na rysunkach 1.56 i 1.57 jest dodatni. Powyższa zasada sprawdza się w przypadku prętów poziomych i ukośnych natomiast nie działa w przypadku prętów pionowych. Dlatego w ramie będziemy stosować bardziej ogólną zasadę znakowania momentu zginającego. Według niej wartości momentów zginających będziemy zaznaczać po stronie rozciąganej pręta.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 8 Rysunek 1.58 przedstawia dodatnie zwroty sił przekrojowych w dwóch sąsiadujących przekrojach ramy. Siły przekrojowe w obu przekrojach posiadają te same wartości lecz przeciwne zwroty. Oczywiście ich wartości i zwroty są takie aby obie części ramy były w równowadze. B P P 1 C T T N N D E 1 M M F P 3 H G V V G Rys. 1.58. Dodatnie zwroty sił przekrojowych. 1.1 Wyznaczanie sił przekrojowych Podstawową metodą wyznaczania sił przekrojowych jest sprawdzenie równowagi odciętej części belki lub ramy. Najpierw należy podzielić belkę lub ramę na przedziały. Podział powinien być zrobiony tak aby granicami przedziałów były punkty, w których są przyłożone siły skupione (siły czynne i bierne), momenty skupione oraz punkty, w których obciążenie ciągłe zmienia swoją wartość (obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone) lub swoją postać (obciążenie liniowe). Podział ten powinien także uwzględniać kształt ramy. Granicami przedziałów powinny być w tym przypadku także punkty, w których oś prętów ulega załamaniu. Rysunek 1.55 pokazuje prawidłowy podział na przedziały dla ramy. Granicami przedziałów są punkty od do G. Belkę lub ramę złożoną możemy podzielić na poszczególne belki lub ramy proste. Należy pamiętać o tym, że w poszczególnych przegubach działają na każdą z belek lub ram prostych reakcje o tych samych wartościach lecz przeciwnych zwrotach. Zakładamy, że przedstawiona na rysunku 1.59 belka znajduje się w równowadze. P B C V a V B b Rys. 1.59. Belka w równowadze. Granicami przedziałów są punkty, B i C. Chcąc wyznaczyć siły przekrojowe w przedziale B należy rozpatrzyć równowagę odciętej części belki. Rysunek 1.6 przedstawia dwie części belki, dla których sprawdzamy równowagę i na jej podstawie wyznaczamy siły przekrojowe. Siły te będą funkcjami zmiennej x, która zmienia się od zera do wymiaru a. W przypadku części belki na rysunku 1.6 a oś X jest zwrócona w prawo natomiast w przypadku części belki na rysunku 1.6 b oś X jest zwrócona w lewo.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 9 a) b) M N X X O N M O B P C V x T T x V B b Rys. 1.6. Siły przekrojowe w przedziale B. Siłę normalną wyznacza się z sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki lub ramy na kierunek siły normalnej czyli N=. (1.48) W przypadku belki przedstawionej na rysunku 1.6 siła normalna wynosi oczywiście zero. Siłę poprzeczną wyznacza się z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki lub ramy na kierunek siły poprzecznej czyli T=. (1.49) Moment zginający wyznacza się z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą część belki lub ramy względem punktu O czyli M O =. (1.5) Warunek ten w skrócie będziemy zapisywać jako M =. (1.51) W przypadku obciążenia liniowego będziemy rozpatrywać głównie przypadek obciążenia trójkątnego. Przypadek ogólny zostanie omówiony w dalszej części. Zakładamy, że 1 = natomiast =. Równanie (1.1) będzie miało teraz postać x = x. (1.5) Rysunek 1.6 przedstawia belkę o takim właśnie obciążeniu trójkątnym. Na rysunku 1.61 zaznaczona jest wartość obciążenia (x) w dowolnym miejscu przedziału B wyrażona równaniem (1.5). Chcąc wyznaczyć wartości sił przekrojowych w przedziale B należy zastosować równowagę odciętej części belki pokazanej na rysunku 1.6.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 3 x (x) B P C V V B a b Rys. 1.61. Belka z obciążeniem trójkątnym. x = a x M X V T x Rys. 1.6. Część belki do wyznaczenia sił przekrojowych. Zastosowanie drugiej części belki wiązałoby się z koniecznością wyznaczenia wypadkowej z obciążenia liniowego (rysunek 1.4). Na rysunku 1.6 nie zaznaczono siły normalnej, która jak wiadomo wynosi zero. Rysunek 1.63 przedstawia belkę z obciążeniem trójkątnym, które jest odwrócone do pokazanego na rysunku 1.61. by obciążenie (x) było opisane równaniem (1.5) oś X musi być zwrócona w lewo a początek układu znajduje się w punkcie B. x (x) B P C V V B a b Rys. 1.63. Belka z obciążeniem trójkątnym. M x = a x P X B C T x V B b Rys. 1.64. Część belki do wyznaczenia sił przekrojowych.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 31 Chcąc wyznaczyć wartości sił przekrojowych w przedziale B należy zastosować równowagę odciętej części belki pokazanej na rysunku 1.64. Zastosowanie drugiej części belki wiązałoby się z koniecznością wyznaczenia wypadkowej z obciążenia liniowego (rysunek 1.4). Na rysunku 1.64 nie zaznaczono siły normalnej, która jak wiadomo wynosi zero. 1.11 Zależności pomiędzy siłami przekrojowymi W niniejszym rozdziale skupimy się nad zależnościami pomiędzy obciążeniem (x), siłą poprzeczną oraz momentem zginającym. Zależność pomiędzy obciążeniem (x) i siłą normalną N(x), ze względu na to, że jest ona rzadko wykorzystywana (w przypadku belek w ogóle się jej nie wykorzystuje ze względu na to, że siła normalna jest równa zero) zostanie pominięta. Pomiędzy obciążeniem (x) a siłą poprzeczną istnieje zależność różniczkowa w postaci dt dx = x. (1.53) Pomiędzy momentem zginającym i siłą poprzeczną istnieje zależność różniczkowa w postaci dm dx =T x. (1.54) Zależności (1.53) i (1.54) są prawdziwe dla osi X zwróconej w prawo. Będą więc one prawdziwe dla funkcji i wyznaczonych dla części belki pokazanej na rysunkach 1.6 a i 1.6. W przypadku, kiedy oś X jest zwrócona w lewo zależność pomiędzy obciążeniem (x) a siłą poprzeczną ma postać dt dx = x. (1.55) Zależność pomiędzy momentem zginającym i siłą poprzeczną ma postać dm dx = T x. (1.56) Zależności (1.55) i (1.56) będą więc prawdziwe dla funkcji i wyznaczonych dla części belki pokazanej na rysunkach 1.6 b i 1.64. Konsekwencją zależności (1.53), (1.54) lub (1.55), (1.56) jest to, że funkcje obciążenia (x), siły poprzecznej oraz momentu zginającego posiadają postacie przedstawione w Tabeli 1. Rysunek 1.65 przedstawia przykładowe wykresy obciążenia ciągłego (x), siły poprzecznej oraz momentu zginającego. Funkcje tych wielkości spełniają zależności (1.53) i (1.54), ponieważ oś X jest zwrócona w prawo. Osie rzędnych (x) i skierowane są do góry (dodatnie obciążenie działa w dół). Oś rzędnych jest skierowana w dół ze względu na zasadę znakowania dodatnich momentów zginających, które rozciągają dolną część przekroju pręta (rysunek 1.57). Dodatni kąt będzie zawsze kręcił osią X w kierunku osi (x), i. Dla obciążenia ciągłego (x) i siły poprzecznej dodatni kąt kręci odwrotnie do obrotu wskazówek zegara natomiast dla momentu zginającego dodatni kąt kręci zgodnie

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 3 z ruchem wskazówek zegara. Sytuacja przedstawiona na tym rysunku odpowiada ostatniej kolumnie Tabeli 1. Tabela 1. Postacie funkcji (x), oraz. Postacie funkcji (x) x = x = x =const. x =a x b T x = T x =const. T x =a x b T x =c x d x e M x =const. M x =a x b M x =c x d x e M x = f x 3 g x h x j (x) 1 O 1 X T 3 O O 3 X T EXT T 4 1 M EXT X M EXT1 3 4 Rys. 1.65. Przykładowe funkcje (x), i. Punkt O 1 odpowiada miejscu zerowemu funkcji (x). Na wykresie siły poprzecznej odpowiada on wartości ekstremalnej siły poprzecznej T EXT (warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest zerowanie się pierwszej pochodnej funkcji). nalogicznie punkty O i O 3 na wykresie siły poprzecznej oznaczają miejsca zerowe tej funkcji a na wykresie momentu zginającego oznaczają one wartości ekstremalne momentu zginającego M EXT1 i M EXT. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji jednej zmiennej oznacza jak wiadomo tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji. Czyli

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 33 tan 1 = 1, (1.57) tan =, (1.58) tan 3 =T 3, (1.59) tan 4 =T 4. (1.6) Kąty 1 i 4 mają wartość ujemną natomiast kąty i 3 mają wartość dodatnią. Punkt O 1 na wykresie momentu zginającego oznacza punkt przegięcia funkcji momentu zginającego, ponieważ warunkiem koniecznym istnienia punktu przegięcia jest zerowanie się drugiej pochodnej funkcji. Przypadek, kiedy zarówno obciążenie ciągłe i siła poprzeczna są równe zero a moment zginający ma wartość stałą nazywa się czystym zginaniem. Czyste zginanie zachodzi w przedziale BC w belce przedstawionej na rysunku 1.66. P P B C D P P a b a +P -P P a Rys. 1.66. Belka z przypadkiem czystego zginania. 1.1 Wskazówki praktyczne siła poprzeczna w belkach Narysowanie wykresu siły poprzecznej w belce jest bardzo proste. Należy poruszać się po belce od lewego końca i analizować jakie jest obciążenie belki. Jeżeli na jakimś fragmencie belki obciążenie ciągłe (x) będzie wynosiło zero to siła poprzeczna będzie miała stałą wartość. Siła poprzeczna nie ulegnie zmianie w miejscy przegubu, ponieważ reakcje działające w przegubie równoważą się (ich wypadkowa wynosi zero). Jeżeli w jakiś punkcie belki działa moment skupiony to w tym punkcie siła poprzeczna nie zmienia swojej wartości.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 34 Inaczej ma się sprawa z siłą skupioną, która może być obciążeniem czynnym lub reakcją (obciążeniem biernym). W punkcie, w którym jest przyłożona siła skupiona wartość siły poprzecznej ulegnie zmianie o wartość siły skupionej. Jeżeli siła skupiona działa w dół wartość siły poprzecznej ulegnie zmniejszeniu natomiast jeżeli siła skupiona działa do góry wartość siły poprzecznej ulegnie zwiększeniu. Rysunek 1.67 przedstawia takie przypadki. R R R R R R R R R R R R Rys. 1.67. Zmiany wartości siły poprzecznej w punkcie działania siły skupionej. Jeżeli na jakimś odcinku belki działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone to zgodnie z Tabelą 1 siła poprzeczna będzie funkcją liniową. Jeżeli obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone będzie działać w dół to wartość siły poprzecznej będzie maleć liniowo i na końcu przedziału zmaleje o wartość wypadkowej z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego. Jeżeli obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone będzie działać do góry to wartość siły poprzecznej będzie rosnąć liniowo i na końcu przedziału zwiększy się o wartość wypadkowej z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego. Rysunek 1.68 przedstawia takie przypadki. Jeżeli wartości sił poprzecznych na początku i końcu przedziału mają przeciwne wartości to pomiędzy nimi znajduje się miejsce zerowe. Rysunek 1.69 przedstawia równowagę części przedziału, w którym obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone jest w dół i siła poprzeczna na lewym końcu przedziału jest do góry (dodatnia). Siła poprzeczna będzie równa zero wtedy, gdy wartość bezwzględna wypadkowej z obciążenia równomiernie rozłożonego będzie równa wartości bezwzględnej siły poprzecznej z lewej strony T czyli T = x. (1.61) Ostatecznie miejsce zerowe funkcji poprzecznej będzie się znajdowało od lewego końca przedziału w odległości

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 35 x = T. (1.6) Rys. 1.68. Zmiany wartości siły poprzecznej w przedziale od działania obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego.. M T x Rys. 1.69. Równowaga części przedziału. Wzór (1.6) jest także prawdziwy dla obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego do góry i siły poprzecznej na lewym końcu T w dół (ujemnej). Sytuację taką przedstawia rysunek 1.7. M T x Rys. 1.7. Równowaga części przedziału. nalogicznie odległość od prawego końca przedziału wynosi

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 36 x P = T P, (1.63) w którym T P oznacza wartość siły poprzecznej z prawej strony przedziału. Przypadek obciążenia liniowego zostanie ograniczony do obciążenia trójkątnego. Z Tabeli 1 wynika, że jeżeli obciążenie jest funkcją liniową to siła poprzeczna jest funkcją kwadratową. by jednoznacznie narysować parabolę potrzebne są trzy punkty. Dwa z nich to odpowiednio: początek i koniec przedziału natomiast trzeci punkt to będzie ekstremum tego wykresu. Jak wiadomo warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest zerowanie się pierwszej pochodnej tej funkcji. Zgodnie z (1.53) pierwszą pochodną siły poprzecznej jest minus obciążenie ciągłe. Siłą poprzeczna będzie miała ekstremum w miejscu, w którym wartość obciążenia ciągłego wynosi zero. Jeżeli obciążenie trójkątne będzie działać w dół to wartość siły poprzecznej będzie maleć i na końcu przedziału zmaleje o wartość wypadkowej z obciążenia trójkątnego. Jeżeli obciążenie trójkątne będzie działać do góry to wartość siły poprzecznej będzie rosnąć i na końcu przedziału zwiększy się o wartość wypadkowej z obciążenia trójkątnego. Rysunki 1.71, 1.7, 1,73 oraz 1.74 przedstawiają takie przypadki. Na rysunkach 1.71 i 1.7 ekstremum siły poprzecznej znajduje się na lewym końcu przedziału a na rysunkach 1.73 i 1.74 na prawym końcu przedziału. Jeżeli wartości sił poprzecznych na początku i końcu przedziału mają przeciwne wartości to pomiędzy nimi znajduje się miejsce zerowe. Najwygodniej wyznaczyć położenie miejsca zerowego siły poprzecznej od punktu, w którym obciążenie trójkątne równa się zero. Rysunek 1.75 przedstawia równowagę części przedziału. Na rysunku tym T oraz oznaczają siłę poprzeczną oraz moment zginający w miejscu, w którym obciążenie trójkątne ma wartość zero. Natomiast oznacza wartość obciążenia trójkątnego na drugim końcu przedziału a oznacza długość przedziału, w którym działa obciążenie trójkątne. Siła poprzeczna będzie miała miejsce zerowe w punkcie, w którym wartość bezwzględna wypadkowej z obciążenia trójkątnego będzie się równała się wartości bezwzględnej siły poprzecznej w punkcie, w którym obciążenie trójkątne przyjmuje wartość zero. Prawdziwa jest zatem zależność 1 1 1 Rys. 1.71. Zmiany wartości siły poprzecznej w przedziale od działania obciążenia trójkątnego. 1 1 1 Rys. 1.7. Zmiany wartości siły poprzecznej w przedziale od działania obciążenia trójkątnego.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 37 1 1 1 Rys. 1.73. Zmiany wartości siły poprzecznej w przedziale od działania obciążenia trójkątnego. 1 1 1 Rys. 1.74. Zmiany wartości siły poprzecznej w przedziale od działania obciążenia trójkątnego. x = x T x Rys. 1.75. Równowaga części przedziału z obciążeniem trójkątnym. T = 1 x x. (1.64) Ostatecznie zatem odległość miejsca zerowego od punktu, w którym obciążenie trójkątne ma wartość zero wynosi = x T. (1.65) Wzór (1.65) jest prawdziwy dla obciążenia trójkątnego dodatniego i ujemnego oraz dla siły poprzecznej T dodatnie i ujemnej.

5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 38 1.13 Wskazówki praktyczne moment zginający w belkach Chcąc wyznaczyć wykres momentu zginającego wystarczy obliczyć jego wartości w charakterystycznych punktach korzystając z równowagi części belki. W większości przypadków wykres momentu zginającego jest funkcją ciągłą. W przegubie rzeczywistym moment wynosi zawsze zero. Jeżeli belka jest zakończona podporą przegubowo-nieprzesuwną lub przegubowo przesuwną i dodatkowo w tym miejscu nie działa moment skupiony to moment zginający wynosi zero. Jeżeli nad podporami przegubowymi na końcu belki działa moment skupiony to moment zginający ma wartość momentu skupionego. Znak momentu zginającego zależy od kierunku działania momentu skupionego. Rysunek 1.76 przedstawia sytuację, kiedy na końcu belki na podporami przegubowymi działa moment skupiony. Na rysunku 1.76 a i b jest rozciągana część górna przekroju pręta nad podporą natomiast na rysunku 1.76 c i d jest rozciągana część dolna przekroju pręta nad podporą. Jeżeli obciążenie ciągłe (x) równa się zero to wykres momentu zginającego jest liniowy. Do jego jednoznacznego określenia potrzebne są dwa punkty. Punktami tymi będą wartości momentu zginającego na początku i końcu przedziału. Jeżeli siła poprzeczna jest dodatnia to wykres momentu maleje. Jeżeli siła poprzeczna jest ujemna to wykres momentu rośnie. Kąt nachylenia liniowego wykresu momentu zginającego równa się sile poprzecznej w przedziale (zgodnie z (1.51)) czyli moment zginający wzrośnie lub zmaleje o wartość iloczynu wartości bezwzględnej siły poprzecznej w przedziale i długości przedziału. Przedstawia to rysunek 1.77. Jeżeli obciążenie ciągłe (x) jest stałe to wykres momentu zginającego jest paraboliczny. Do jego jednoznacznego określenia potrzebne są trzy punkty. Dwoma z tych punktów będą wartości momentu zginającego na początku i końcu przedziału. Jeżeli siła poprzeczna posiada miejsce zerowe to trzecim punktem potrzebnym do jednoznacznego narysowania paraboli będzie ekstremum wykresu momentu zginającego. Jeżeli siła poprzeczna nie posiada miejsca zerowego w przedziale to aby narysować wykres momentu zginającego trzeba wykorzystać właściwość momentu zginającego, który jest krzywą łańcuchową. Innymi słowy brzuszek paraboli musi być zawsze zwrócony w stronę obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego. Jeżeli obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone skierowane jest w dół to brzuszek paraboli skierowany jest w dół i odwrotnie. Rysunek 1.78 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale jeżeli obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone jest dodatnie i siła poprzeczna w całym przedziale jest dodatnia. Moment zginający posiada ekstremum poza przedziałem z prawej strony, ponieważ tam właśnie siła poprzeczna posiada miejsce zerowe. Rysunek 1.79 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale jeżeli obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone jest dodatnie i siła poprzeczna posiada w przedziale miejsce zerowe. Moment zginający posiada ekstremum w miejscu, w którym siła poprzeczna posiada miejsce zerowe. Rysunek 1.8 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale jeżeli obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone jest dodatnie i siła poprzeczna w całym przedziale jest ujemna. Moment zginający posiada ekstremum poza przedziałem z lewej strony, ponieważ tam właśnie siła poprzeczna posiada miejsce zerowe. Rysunek 1.81 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale jeżeli obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone jest ujemne i siła poprzeczna w całym przedziale jest dodatnia. Moment zginający posiada ekstremum poza przedziałem z lewej strony, ponieważ tam właśnie siła poprzeczna posiada miejsce zerowe. Rysunek 1.8 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale jeżeli obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone jest ujemne i siła poprzeczna posiada w przedziale miejsce zerowe. Moment zginający posiada ekstremum w miejscu, w którym siła poprzeczna posiada miejsce zerowe. Rysunek 1.83 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale jeżeli obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone jest ujemne i siła poprzeczna w całym przedziale jest ujemna. Moment zginający posiada ekstremum poza przedziałem z prawej strony, ponieważ tam właśnie siła poprzeczna posiada miejsce zerowe.