Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)

Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem prawostronnym punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª [ 0, 0 + r) Otoczeniem lewostronnym punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 ] U( 0, r) otoczenie punktu 0 o promieniu r, U + ( 0, r) otoczenie prawostronne punktu 0 o promieniu r, U ( 0, r) otoczenie lewostronne punktu 0 o promieniu r Denicja Niech 0 R, r > 0 S siedztwem punktu 0 o promieniu r nazywamy zbiór ( 0 r, 0 ) ( 0, 0 +r) S siedztwem prawostronnym punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0, 0 + r) S siedztwem lewostronnym punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 ) S( 0, r) s siedztwo punktu 0 o promieniu r, S + ( 0, r) s siedztwo prawostronne punktu 0 o promieniu r, S ( 0, r) s siedztwo lewostronne punktu 0 o promieniu r U(, r) = (, r), U(+, r) = (r, + ), r R Denicja Niech X R Punkt 0 nazywamy punktem skupienia zbioru X, je±li w dowolnym s siedztwie punktu 0 znajduje si przynajmniej jeden punkt zbioru X Twierdzenie Punkt 0 jest punktem skupienia zbioru X R, je±li istnieje ci g ( n ) n N taki,»e n X, n 0, n N, oraz n = 0 n Przykªad Punkt 2 jest punktem skupienia zbioru X = {(1 + ( 1) n ) n+1 n punktem skupienia zbioru X = (0, 1) : n N}; punkt 0 jest Denicja (Heine) Liczb g R nazywamy granic funkcji f : X R, X R, w punkcie 0, je±li 0 jest punktem skupienia zbioru X oraz ( n ) n N, n X, n 0, [( n n = 0 ) ( n f( n) = g)] f() = g g jest granic funkcji f w punkcie 0 Przykªad Wyznaczy 2 2 4 2 Denicja (Cauchy) Liczb g R nazywamy granic funkcji f : X R, X R, w punkcie 0, je±li 0 jest punktem skupienia zbioru X oraz ɛ > 0 δ > 0 X, [(0 < 0 < δ) ( f() g < ɛ)], ɛ > 0 δ > 0 X, [( S( 0, δ)) (f() U(g, ɛ)] Przykªad Wykaza,»e 5 (3 7) = 8 1

oprac Gra»yna Ciecierska 1 GRANICA FUNKCJI Twierdzenie Je±li ( n ) n N, n 0, n n = 0, n f( n) = g, ( n) n N, n 0, n n = 0, n f( n) = g, g g, to nie istnieje f() Przykªad sgn, gdzie sgn = 1 dla < 0 0 dla = 0 1 dla > 0, nie istnieje Denicja (Heine) Liczb g R nazywamy granic lewostronn funkcji f : X R, X R, w punkcie 0, je±li S ( 0, r) X dla pewnego r > 0 oraz ( n ) n N, n X, n < 0, [( n n = 0 ) ( n f( n) = g)] f() = g g jest granic lewostronn funkcji f w punkcie 0 0 Denicja (Cauchy) Liczb g R nazywamy granic lewostronn funkcji f : X R, X R, w punkcie 0, je±li S ( 0, r) X dla pewnego r > 0 oraz ɛ > 0 δ > 0 X, [( 0 δ < < 0 ) ( f() g < ɛ)], ɛ > 0 δ > 0 X, [( S ( 0, δ)) (f() U(g, ɛ)] Denicja (Heine) Liczb g R nazywamy granic prawostronn funkcji f : X R, X R, w punkcie 0, je±li S + ( 0, r) X dla pewnego r > 0 oraz ( n ) n N, n X, n > 0, [( n n = 0 ) ( n f( n) = g)] f() = g g jest granic prawostronn funkcji f w punkcie 0 + 0 Denicja (Cauchy) Liczb g R nazywamy granic prawostronn funkcji f : X R, X R, w punkcie 0, je±li S + ( 0, r) X dla pewnego r > 0 oraz ɛ > 0 δ > 0 X, [( 0 < < 0 + δ) ( f() g < ɛ)], ɛ > 0 δ > 0 X, [( S + ( 0, δ)) (f() U(g, ɛ)] Przykªad 5 (3 7) = 8 Denicja (Heine) Funkcja f : X R, X R ma w punkcie 0 granic niewªa±ciw + je±li dla ka»dego ci gu ( n ) n N zbie»nego do 0 o wyrazach nale» cych do pewnego s siedztwa S( 0, r) X, ci g (f( n )) n N jest rozbie»ny do +, tzn ( n ) n N, n X, n 0, [( n n = 0 ) ( n f( n) = + )] f() = + + jest granic niewªa±ciw funkcji f w punkcie 0 Przykªad 3 1 ( 3) 2 = + 2

oprac Gra»yna Ciecierska 1 GRANICA FUNKCJI Denicja (Cauchy) Funkcja f : X R, X R ma w punkcie 0 granic niewªa±ciw + je±li dla ka»dej liczby ɛ R istnieje liczba δ > 0 taka,»e dla ka»dego argumentu speªniaj cego warunek 0 < 0 < δ zachodzi nierówno± f() > ɛ, tzn ɛ R δ > 0 X, [(0 < 0 < δ) (f() > ɛ)], ɛ R δ > 0 X, [( S( 0, δ)) (f() U(+, ɛ))] Przykªad 1 3 (+1) = + 6 Denicja (Heine) Funkcja f : X R, X R ma w punkcie 0 granic niewªa±ciw je±li dla ka»dego ci gu ( n ) n N zbie»nego do 0 o wyrazach nale» cych do pewnego s siedztwa S( 0, r) X, ci g (f( n )) n N jest rozbie»ny do, tzn ( n ) n N, n X, n 0, [( n n = 0 ) ( n f( n) = )] f() = jest granic niewªa±ciw funkcji f w punkcie 0 Przykªad (1 2 1 n ) = Denicja (Cauchy) Funkcja f : X R, X R ma w punkcie 0 granic niewªa±ciw je±li dla ka»dej liczby ɛ R istnieje liczba δ > 0 taka,»e dla ka»dego argumentu speªniaj cego warunek 0 < 0 < δ zachodzi nierówno± f() < ɛ, tzn ɛ R δ > 0 X, [(0 < 0 < δ) (f() < ɛ)], ɛ R δ > 0 X, [( S( 0, δ)) (f() U(, ɛ))] Denicja (Heine) Funkcja f : X R, X R ma w + granic wªa±ciw g je±li dla ka»dego ci gu ( n ) n N rozbie»nego do + o wyrazach nale» cych do U(+, r) X, ci g (f( n )) n N jest zbie»ny do g, tzn Przykªad ( n ) n N, n X, n U(+, r), [( n n = + ) ( n f( n) = g)] f() = g g jest granic funkcji f w + + 7 6 5 2 + 10 2 +3 = 1 2 Denicja (Cauchy) Funkcja f : X R, X R ma w + granic wªa±ciw g je±li dla ka»dej liczby ɛ > 0 istnieje liczba δ > 0 taka,»e dla ka»dego argumentu speªniaj cego warunek > δ zachodzi nierówno± f() g < ɛ, tzn ɛ > 0 δ > 0 X, [( > δ) ( f() g < ɛ)], ɛ > 0 δ > 0 X, [( U(+, δ)) (f() U(g, ɛ))] Denicja (Heine) Funkcja f : X R, X R ma w + granic niewªa±ciw + je±li dla ka»dego ci gu ( n ) n N rozbie»nego do + o wyrazach nale» cych do U(+, r) X, ci g (f( n )) n N jest rozbie»ny do +, tzn ( n ) n N, n X, n U(+, r), [( n n = + ) ( n f( n) = + )] f() = + + jest granic niewªa±ciw funkcji f w + + 3

oprac Gra»yna Ciecierska 1 GRANICA FUNKCJI Denicja (Cauchy) Funkcja f : X R, X R ma w + granic niewªa±ciw + je±li dla ka»dej liczby ɛ > 0 istnieje liczba δ > 0 taka,»e dla ka»dego argumentu speªniaj cego warunek > δ zachodzi nierówno± f() > ɛ, tzn ɛ > 0 δ > 0 X, [( > δ) (f() > ɛ)], ɛ > 0 δ > 0 X, [( U(+, δ)) (f() U(+, ɛ))] Twierdzenie Je±li 0 jest punktem skupienia zbioru X, to funkcja f : X R posiada w punkcie 0 co najwy»ej jedn granic Twierdzenie Je±li f 1 : X 1 R, f 2 : X 2 R, gdzie X 1 R, f 1 (X 1 ) X 2 R, s funkcjami speªniaj cymi warunki: 0 jest punktem skupienia zbioru X 1, f 1 () = g, g f 1 (X 1 \ { 0 }), g jest punktem skupienia zbioru f 1 (X 1 ), oraz f 2 (y) = h, to y g (f 2 f 1 )() = h Przykªad ln(1 + ) 1 + Twierdzenie Je±li f 1, f 2 : X 1 R, X 1 R, speªniaj warunki: 0 jest punktem skupienia zbioru X 1, f 1 () = g 1 R, f 2 () = g 2 R, to [f 1 () + f 2 ()] = g 1 + g 2 oraz [f 1 () f 2 ()] = g 1 g 2 Je±li g 2 0, to Przykªad Obliczy 64 3 4 6 f 1() f = g1 0 2() g Je±li 2 a R, to [af 1 ()] = ag 1 Twierdzenie Je±li f 1, f 2, f 3 : X 1 R, X 1 R, speªniaj warunki: X 1, [f 1 () f 2 () f 3 ()] oraz f 1 () = f 3 () = g, to f 2 () = g Przykªad ( 4) sin 1 4 + 4 = 0 sin a 1 = ln a a > 0 log a (1+) arcsin = log a e, a > 0, a 1 tg e 1 ln(1+) arctg sinh tgh (1 + ) 1 = e (1 + a ) = e a, a R a k k +a k 1 k 1 ++a 1+a 0 + b l l +b l 1 l 1 ++b 1+b 0 = a k 0, b l 0 (1+) a 1 = a, a R (1 + 1 ) = e a k bl gdy k = l 0 gdy k < l + gdy k > l, a k bl > 0 gdy k > l, a k bl < 0 Denicja Prost = a nazywamy asymptot pionow lewostronn funkcji f : X R, X R, je±li f() = + lub f() = a a Denicja Prost = a nazywamy asymptot pionow prawostronn funkcji f : X R, X R, je±li f() = + lub f() = a + a + Przykªad (a) f() = ln( 2), = 2, (b) f() = e 1, = 0 4

oprac Gra»yna Ciecierska 2 CI GŠO FUNKCJI Denicja Prost y = a+b nazywamy asymptot uko±n funkcji f w +, je±li + (f() a b) = 0 a = f() +, b = (f() a) + Denicja Prost y = a+b nazywamy asymptot uko±n funkcji f w, je±li (f() a b) = 0 Przykªad f() = 2 1 2 Ci gªo± funkcji Denicja (Heine) Funkcj f : X R, X R nazywamy ci gª w punkcie 0 je±li dla ka»dego ci gu ( n ) n N zbie»nego do 0 o wyrazach nale» cych do pewnego otoczenia U( 0, r) X, ci g (f( n )) n N jest zbie»ny do f( 0 ), tzn [( ) ( )] ( n ) n N, n X, n = 0 f( n) = f( 0 ) n n Wniosek Je±li 0 jest punktem skupienia zbioru X R, to funkcja f : X R jest ci gªa w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f() = f( 0 ) Wniosek Je±li 0 nie jest punktem skupienia zbioru X R, to funkcja f : X R jest ci gªa w punkcie 0 Denicja (Cauchy) Funkcj f : X R, X R nazywamy ci gª w punkcie 0 je±li dla ka»dej liczby ɛ > 0 istnieje liczba δ > 0 taka,»e dla ka»dego argumentu speªniaj cego warunek 0 < δ zachodzi nierówno± f() f( 0 ) < ɛ, tzn ɛ > 0 δ > 0 X, [( 0 < δ) ( f() f( 0 ) < ɛ)], ɛ > 0 δ > 0 X, [( U( 0, δ)) (f() U(f( 0 ), ɛ))] Przykªad [] = ma{z Z : z }, funkcja E : R R okre±lona wzorem E() = [], tzn E() = 2 dla 2 < 1 1 dla 1 < 0 0 dla 0 < 1 1 dla 1 < 2 2 dla 2 < 3 3 dla 3 < 4 Je±li k Z oraz k < k + 1, to E() = k Je±li 0 Z, to f() = f( 0 ), tzn funkcja E jest ci gªa w 0 ; je±li 0 Z, to f() nie istnieje, funkcja E nie jest ci gªa w 0, { 1 Przykªad a) f() = sgn, b) f() = dla R \ {0} 1 dla = 0 { dla R \ {0} c) f() =, d) f() = 3 dla = 0, Denicja Funkcj f : X R, X R nazywamy lewostronnie ci gª w punkcie 0, je±li U ( 0, r) X dla pewnego r > 0, istnieje wªa±ciwa granica f() oraz f() = f( 0 ) 0 0 5

oprac Gra»yna Ciecierska 2 CI GŠO FUNKCJI Denicja Funkcj f : X R, X R nazywamy prawostronnie ci gª w punkcie 0, je±li U + ( 0, r) X dla pewnego r > 0, istnieje wªa±ciwa granica f() oraz f() = f( 0 ) + 0 + 0 Przykªad Funkcja cz ± caªkowita E jest prawostronnie ci gªa w punkcie 0 Twierdzenie Funkcja f : X R, X R, jest ci gªa w punkcie 0 b d cym punktem skupienia zbioru X, wtedy i tylko wtedy, gdy jest lewostronnie ci gªa i prawostronnie ci gªa w tym punkcie Denicja Funkcj f : X R, X R nazywamy ci gª, je±li jest ci gªa w ka»dym punkcie 0 X Denicja Funkcj f : X R, X R nazywamy ci gª w zbiorze A X, je±li jest ci gªa w ka»dym punkcie 0 A { 1 dla Q Przykªad a) f() = 2 6 + 11, b) f() = 0 dla R \ Q Wniosek Funkcja f : [a, b] R jest ci gªa, je±li jest ci gªa w ka»dym punkcie 0 (a, b), prawostronnie ci gªa w punkcie a oraz lewostronnie ci gªa w punkcie b Wniosek Funkcja f : [a, + ) R jest ci gªa, je±li jest ci gªa w kazdym punkcie 0 (a, + ) i prawostronnie ci gªa w punkcie a Wniosek Funkcja f : (, b] R jest ci gªa, je±li jest ci gªa w kazdym punkcie 0 (, b) i lewostronnie ci gªa w punkcie b Przykªad a) f() = { sin a dla < 0, b) f() = + b dla 0 a + b dla < 1 c) f() = log a dla 1 4 dla > 4 π arctg 1 4 { 3 8+ 2 dla R \ {0} a dla = 0, Twierdzenie Je±li funkcja f : X R, X R, jest ci gªa w punkcie 0 X oraz f( 0 ) > 0, to istnieje U( 0, r) X, r > 0 takie,»e dla ka»dego punktu tego otoczenia funkcja f przyjmuje warto± dodatni, tzn r > 0 U( 0, r) (f() > 0) Twierdzenie Je±li funkcja f : X R, X R, jest ci gªa w punkcie 0 X oraz f( 0 ) < 0, to istnieje U( 0, r) X, r > 0 takie,»e dla ka»dego punktu tego otoczenia funkcja f przyjmuje warto± ujemn, tzn r > 0 U( 0, r) (f() < 0) Twierdzenie Je±li funkcje f 1, f 2 : X R, X R, s ci gªe w punkcie 0 X, to funkcje f 1 + f 2, f 1 f 2, f 1 f 2 okre±lone wzorami: (f 1 + f 2 )() = f 1 () + f 2 (), (f 1 f 2 )() = f 1 () f 2 (), (f 1 f 2 )() = f 1 () f 2 (), dla X s ci gªe w punkcie 0 Ponadto funkcja f1 f, okre±lona wzorem f1 2 f 2 () = f1() f 2() dla X \ { X : f 2 () = 0}, jest ci gªa w 0 Twierdzenie Je±li f 1 : X 1 R, f 2 : X 2 R, X 1 R, f 1 (X 1 ) X 2 R s funkcjami speªniaj cymi warunki: f 1 jest ci gªa w punkcie 0, f 2 jest ci gªa w punkcie f 1 ( 0 ), to funkcja f 2 f 1 : X 1 R jest ci gªa w punkcie 0 Twierdzenie Je±li X jest przedziaªem i funkcja f : X R, jest ci gªa i rosn ca (malej ca), to f(x) jest przedziaªem oraz funkcja odwrotna f 1 : f(x) R jest ci gªa i rosn ca (malej ca) Denicja Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje nale» ce do nast puj cych klas: wielomiany; funkcje trygonometryczne; funkcje wykªadnicze; funkcje odwrotne do wymienionych: funkcje pierwiastkowe, funkcje cyklometryczne, funkcje logarytmiczne; sumy, ró»nice, iloczyny, ilorazy i zªo»enia funkcji wymienionych 6

oprac Gra»yna Ciecierska 2 CI GŠO FUNKCJI Twierdzenie Funkcje elementarne s ci gªe Denicja Punkt 0 X nazywamy punktem nieci gªo±ci pierwszego rodzaju funkcji f : X R, X R, je±li istniej granice wªa±ciwe f(), f() oraz f() f( 0 ) lub f() f( 0 ) + 0 0 + 0 0 Denicja Punkt 0 X nazywamy nieusuwalnym punktem nieci gªo±ci pierwszego rodzaju funkcji f : X R, X R, je±li jest punktem nieci gªo±ci pierwszego rodzaju oraz 0 f() + 0 f() Denicja Punkt 0 X nazywamy usuwalnym punktem nieci gªo±ci pierwszego rodzaju funkcji f : X R, X R, je±li jest punktem nieci gªo±ci pierwszego rodzaju oraz istnieje f(), tzn f() = f() 0 + 0 Denicja Punkt 0 X nazywamy punktem nieci gªo±ci drugiego rodzaju funkcji f : X R, X R, je±li przynajmniej jedna z granic f(), f() nie istnieje lub jest niewªa±ciwa Przykªad a) f() = { 1 1+e 1 dla R \ {0} 0 dla = 0 0 + 0, b) f() = 1 cos 1 dla < 0 0 dla = 0 sin 1 dla > 0 Twierdzenie (Weierstrass) Je±li funkcja f : [a, b] R, jest ci gªa, to jest( ograniczona i osi ga ) swoje kresy, tzn m, M R [a, b], (m f() M); c [a, b], f(c) = inf f() ; [a,b] ( ) d [a, b], f(d) = sup f() [a,b] Przykªad a) f() = a, a > 0, [0, 1], b) f() = a, a > 0, (0, a), c) f() = a, a > 1, [0, + ) Twierdzenie Je±li funkcja f : [a, b] R, jest ci gªa i f(a) f(b) < 0, to istnieje pierwiastek równania f() = 0 w przedziale (a, b), tzn c (a, b), (f(c) = 0) Przykªad a) f() = sin + 1, [0, 3π 2 ], b) f() = { 2 + 2 dla 2 < 0 2 2 dla 0 2 Twierdzenie (Darbou) Je±li funkcja f : [a, b] R, jest ci gªa i speªnia warunek f(a) < f(b), to przyjmuje warto±ci po±rednie, tzn y R, ((f(a) < y < f(b)) ( c (a, b), (y = f(c))) Przykªad f() 4 3 sin π + 3, [ 2, 2], 2 1 3 Literatura 1 Gewert M, Skoczylas Z, 2012, Analiza matematyczna 1 Denicje, twierdzenia, wzory, Ocyna Wydawnicza GiS 2 Kaczor W J, Nowak M T, 2015, Zadania z analizy matematycznej Cz 2 Funkcje jednej zmiennejrachunek ró»niczkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN 3 Kuratowski K, 2013, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe PWN 4 Musielakowie H i J, 2011, Analiza matematyczna T1, cz 1, 2, Wydawnictwo Naukowe UAM 5 Rudnicki W, 2012, Wykªady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN 7