Tablice wzorów z probabilistyki

Akademia Górniczo - Hutnicza im. Stanisªawa Staszica Wydziaª Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i In»ynierii Biomedycznej Kierunek: Automatyka i robotyka Tablice wzorów z probabilistyki Prowadz cy: dr Beata Orchel

1 Schematy wyboru Wariacje z powtórzeniami: W k n = V k n = n k Kombinacje z powtórzeniami: Cn k = ( ) n+k 1 n 1 Wariacje bez powtórze«: Vn k = n (n 1)... (n k + 1) = n! k! Kombinacja bez powtórze«: C k n = ( n k ) n! = (n k)!k! Liczba ci gów binarnych, które maja n wyrazów i k jedynek ( ) n # bin = k 2 Przestrze«probabilistyczna Zdarzenie elementarne najprostsze, nierozkªadalne wyniki do±wiadczenia losowego charakteryzuj ce si tym,»e ka»de powtórzenie do±wiadczenia losowego ko«czy si jednym z nich. odzin podzbiorów S zbioru Ω nazywamy σ-ciaªem na Ω je±li: 1) S 2)A S (Ω \ A) S 3) {A i } S A i S Tw. Je»eli na danym zbiorze S zdeniujemy wiele σ-ciaª to iloczyn mnogo±ciowy tych σ-ciaª te» jest σ-ciaªem: S σ-ciaªo na Ω i I S i σ-ciaªo na Ω Zbiory Borelowskie Ω = B = {(, a), a }, σ-ciaªem zbiorów Borelowskich na nazywamy σ-ciaªo generowane przez rodzin B. Miar nazywamy σ-ciaªo na Ω, które: ( ) 1) A S, µ(a) 0 2)A i A j =, i j, A i, A j S(niezale»ne) µ A i = µ(a i ) 3 Wªasno±ci rozkªadu prawdopodobie«stwa (A, B S): a) P ( ) = 0 b) P (Ω A) = 1 P (A) c) A B (zawiera si ) P (A) P (B) d) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) e) P (A \ B) = P (A) P (A B) 1

4 ó»ne modele przestrzeni probabilistycznych 1. Model przeliczalny Ω = (ω 1,..., ω n,...), S = 2 Ω, f : Ω ω i f(ω i ) = p i 0 P (A) = i:ω i A p i, A Ω, p i = 1 i=0 (Ω, S, P ) przestrze«probabilistyczna Ω zbiór sko«czony lub przeliczalny przestrze«probabilistyczna 2. Model klasyczny Ω = (ω 1,..., ω n,...) zbiór sko«czony,, S = 2 Ω, f : Ω ω i f(ω i ) = p i = 1 n, i 1,..., n P (A) = i:ω i A p i = Ā Ω, A Ω, p i = 1, Ā liczno± zbioru A i=0 3. Prawdopodobie«stwo geometryczne Ω odcinek, gura pªaska, bryªa µ miara b d ca odpowiednio dªugo±ci, polem, obj to±ci, 0 < µ < P (A) = µ(a) µ(ω), A S(musimy tak okre±li S, aby A miaªo miar ) 4. Prawdopodobie«stwo warunkowe S σ -ciaªo nad Ω, (Ω, S, P ) przestrze«probabilistyczna, B S, P (B) > 0 S σ -ciaªo nad B, S = {C : C = A B, A S}, (B, S, P ) zacie±niona przestrze«probabilistyczna, P (A B) - prawdopodobie«stwo zdarzenia A pod warunkiem,»e zaszªo zdarzenie B. P B : S A P (A B) = P (A B) P (B) 5. Prawdopodobie«stwo caªkowite denicja: Twierdzenie: 1) n A i = Ω, 2) A i zdarzenia niezale»ne, czylia i A j =, i j n P (B) = P (B A i )P (A i ) Przypadek podziaªu na 2 cz ±ci (X X = Ω) i wydarzenia O: 5 Niezale»no± zdarze«1. P (A B) = P (A) P (B) P (O) = P (O X) P (X) + P (O X ) P (X ) 2. Zdarzenia A 1,..., A n s niezale»ne je»eli dla ka»dego podci gu wybranego z tego ci gu prawdopodobie«stwo iloczynu elementów jest równe iloczynowi prawdopodobie«stw. P (A k1 A k2... A kr ) = P (A k1 ) P (A k2 ) P (A kr ), 1 k 1 k 2... k r 2

6 Model probabilistyczny dla n prób Bernoulliego Prawdopodobie«stwo sukcesu w ka»dym do±wiadczeniu jest takie samo, do±wiadczenia przebiegaj niezale»nie. (k liczba sukcesów), A = {(x 1,..., x n ) : n x i = k} (k sukcesów w n próbach) ( ) n P k = P (A) = p k (1 p) n k k 7 ozkªad i dystrybuanta zmiennej losowej 1. ozkªadem prawdopodobie«stwa zmiennej losowej nazywamy unormowan P x : (Ω, S, P ) przestrze«probabilistyczna, X : Ω S zmienna losowa, A Ω podzbiór Ω P x (A) = P (X 1 [A]) = P ({ω Ω : X(ω) A}) = P (X A) 2. Funkcja charakterystyczna zbioru A nazywamy funkcje δ A (ω): { 1, ω A δ A (ω) = f(ω)δ A (ω) = 0, ω / A { f(ω), ω A 0, ω / A Przypadki rozwini cia (µ = 1 caªka Lebesque'a): A Ω f(ω)µ(ω) = f(ω)δ A (ω)µ(ω) A A = Ω f(ω)µ(ω) = f(ω) + 1µ(ω) 3. G sto± zmiennej losowej X f(x X) Wªasno±ci (a) Sumowalna do 1, f l = f(x)dx = 1 (b) Nieujemna, f(x) > 0 4. Wªasno±ci dystrybuanty: (a) lim F X(x) = 0 x (b) lim F X(x) = 1 x (c) F X (x) niemalej ca (d) zbiór punktów nieci gªo±ci jest przeliczalny, (e) przynajmniej lewostronnie ci gªa lim x x i 5. Dystrybuanta dla ró»nych rozkªadów: Ω F X (x) = F X (x i ) = F X (x 0) dystrybuanta rozkªadu dyskretnego - funkcja schodkowa: P X = i I p i δ xi dystrybuanta rozkªadu ci gªego: F X (x) = P X (x (, x)) = i I p i σ xi ((, x)) = P X = f l F X (x) = P X (x (, x)) = f l ((, x)) = dystrybuanta rozkªadu mieszanego: F X (x) = P X (x (, x)) = i I P X = i I p i + f l p i σ xi ((, x)) + f l ((, x)) = i:x i <X x i:x i <X f(t)dt p i x p i + f(t)dt 3

Dzi ki dystrybuancie mo»emy wyznaczy prawdopodobie«stwo zdarzenia nale» cego do przedziaªu: P (x a, b)) = F (b) F (a) Ka»da zmiana ostro±ci powoduje wstawienie granicy prawostronnej dystrybuanty: P (x (a, b)) = F (b) F (a + 0), P (x (a, b ) = F (b + 0) F (a + 0), P (x a, b ) = F (b + 0) F (a), Dla rozkªadu dyskretnego ponadto: p i = F (x i + 0) F (x i ) 0 8 Momenty zmiennych losowych 1. Warto± oczekiwana E(X) = Je±li istnieje E(X): n p i x i dla P X = p i δ i o ile p i x i < + i i xf(x)dx dla P X = f l o ile x f(x)dx < + E(aX + b) = ae(x) + b 2. moment rz du n: E((x x 0 ) n ) 3. moment zwykªy: x 0 = 0 4. moment centralny: x 0 = E(x) 5. wariancja (moment centralny drugiego rz du): (a) zawsze nieujemna: V (X) 0 (b) V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 (c) V (ax + b) = a 2 V (X) 9 Kwantyle V (X) = E((X E(X)) 2 ) Kwantyl rz du p (p 0, 1 ) zmiennej losowej o g sto±ci f i dystrybuancie F X nazywamy ka»da liczb x p speªniaj c jeden z warunków (równowa»nych sobie): 1. P (X < x p ) = p 2. x p f(x) dx = p 3. F X (x p ) = p Kwantyl rz du 1 2 nazywamy median i oznaczamy m e, (x 0,5 = m e ). 10 Najwa»niejsze rozkªady zmiennych losowych 10.1 Dyskretne Zmienna losowa przyjmuje sko«czon lub przeliczaln liczb warto±ci. Poda rozkªad takiej zmiennej losowej to poda warto±ci jakie ona przyjmuje oraz prawdopodobie«stwo przyj cia tych warto±ci. n P X = p i σ xi gdzie σ xo (A) miara unormowana: σ xo (A) = { 1, x A 0, x/ A i X 4

a) ozkªad zero-jedynkowy b) ozkªad dwumianowy P X = (1 p)δ 0 + pδ 1, p (0, 1) E(X) = p, V (X) = p(1 p) P x = n ( ) n δ i p i (1 p) n i i i=0 E(X) = pn, V (X) = np(1 p) c) ozkªad Poissona z parametrem λ > 0 (k dowolne) rozkªad zdarze«rzadkich (wypadki, wygrane, spadaj ce krople deszczu) P (X x = k) = λk k! e λ, k N 0 E(X) = λ, V (X) = λ d) ozkªad geometryczny - czas oczekiwania na pierwszy sukces P (x = k) = q k 1 p q = 1 p p (0, 1), k N 0 E(X) = 1 p, V (X) = p q 2 10.2 Typu ci gªego Je±li istnieje nieujemna sumowalna funkcja g sto±ci rozkªadu f(x) i jest ona ci gªa to rozkªad zmiennej X jest rozkªadem ci gªym: P X = f l a) ozkªad normalny X N(m, σ), m, σ > 0, f(x) = 1 σ 2π e (x m) 2 2σ 2 E(X) = m, V (X) = σ 2 ( ) X m F (X) = Φ, Φ( X) = 1 Φ(X) σ b) ozkªad jednostajny f(x) = 1, x (a, b) b a 0, x / (a, b) E(X) = a + b 2 c) ozkªad wykªadniczy (λ > 0) czas bezawaryjnej pracy, V (X) = (b a)2 12 f(x) = { λe λx, x 0 0, x < 0 E(X) = 1 λ, V (X) = 1 λ 2 E(X) ±redni czas bezawaryjnej pracy 5

11 Funkcje zmiennej losowej X zmienna losowa, g(x) funkcja przeksztaªcaj ca X Y taka,»e P (g(x) = ± ) = 0 I y - zbiór tych x, dla których: g(x) < y, I y = {x : g(x) < y} Ciekawe przypadki: Y = g(x), F Y (y) = P (Y < y) = P (y(x) < y) = P (X I Y ) P X = f x l rozkªad ci gªy, Y = g(x) i g(x) nie jest staªa w»adnym przedziale oraz zbiór rozwi za«równania y = g(x), (x 1, x 2,..., x n ) jest przeliczalny dla ka»dego y, to rozkªad zmiennej losowej Y wyra»a si wzorem: P y = f Y l. f Y (y) = f x (x 1 ) g (x 1 ) + f x(x 2 ) g (x 2 ) +..., dla y : x 1,x 2,... takie»e g(x i ) = y i g (x i ) 0 0, dla pozostaªych y P X (x) rozkªad dowolny, g(x) dyskretna, staªa (przedziaªami) P Y (y) = n p iδ yi rozkªad dyskretny, w którym warto±ci p i s ró»nic dystrybuant na danym przedziale funkcji g(x), a y i to kolejne warto±ci funkcji g(x). Momenty funkcji zmiennych losowych g(x i )p i n, gdy P X = p i δ xi i g(x i )p i < + i E(Y ) = E(g(x)) f(x)g(x)dx, gdy f(x)g(x) dx < + 12 Nierówno± Czebyszewa: 1. ε>0, X 0, P (x ε) E(X) ε 2. ε>0, E(X) = m < +, P ( x m ɛ) V (X) ε 2 3. σ > 0, c > 0, V (x) = σ 2, E(x) = m, P ( x m cσ) 1 σ 2 13 Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego: Ci g niezale»nych zmiennych losowych {X i },..,n o tym samym rozkªadzie, x dana warto± ograniczaj ca E(X i ) = m < +, V (X i ) = σ 2 < +, σ > 0, S n = lim P n ( ) ( ) S n E(S n ) Sn nm < x = P V (Sn ) σ < x Φ(x) n n x i E(S n ) = E(X 1 + X 2 +... + X n ) = nm, V (S n ) = nσ 2 Twierdzenie Moivre'a - Laplace'a - rozkªad binarny: P X (x) = pδ 1 + (1 p)δ 0, E(X) = p, V (X) = pq = p(1 p) ( ) Sn np P < x Φ(x) npq 6

14 Miara Jordana i Lebesgue'a Miara Lebesgue'a jest uogólnieniem miary Jordana i ma nast puj ce wªasno±ci: 1. Ka»dy zbiór Borelowski jest mierzalny w sensie Lebesgue'a 2. Zbiory jednopunktowe, sko«czone i przeliczalne maj miar Lebesgue'a równ zero 3. Je»eli zbiór jest mierzalny w sensie Jordana to jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i obie miary s sobie równe 15 Wielowymiarowe zmienne losowe Dana jest przestrze«probabilistyczna (Ω, F, P ) oraz X 1, X 2,..., X n zmienne losowe. ozkªad dyskretny Mówimy, ze wektor losowy (X, Y ) jest typu dyskretnego je±li istnieje sko«czony lub przeliczalny zbiór K 2 taki,»e P (X,Y ) (K) = 1, K = {(x 1, y 1 ),..., (x m, y n )}. P (X,Y ) = i={1,...,m} j={1,...,n} p ij δ (xi,y j ), p ij 0, p ij = 1 ozkªad ci gªy Mówimy, ze wektor losowy (X, Y ) ma rozkªad typu ci gªego, je±li istnieje sumowalna funkcja f : 2 2 taka,»e P (X,Y ) = f l 2, f - g sto± wektora losowego (X, Y ). P (X,Y ) (A) = P ((x, y) A) = A f(x, y) dx dy, A B( 2 ) 16 Dystrybuanta wektora losowego (X, Y ) : F (X, Y ) : 2 F (X,Y ) (x, y) = i:x i <x j:y j <y (,x) (,y) p ij, 1. Wªasno±ci dystrybuanty wektora losowego (X, Y ): P (X,Y ) = ij ij p ij δ ( x i, y j ) rozkªad dyskretny f(s, t) ds dt, P (X,Y ) = f l 2 rozkªad ci gªy (a) x lim F (X,Y )(x, y) = 0, y lim F (X,Y )(x, y) = 0 y x (b) x lim F (X,Y ) (x, y) = 1 y (c) Funkcja niemalej ca ze wzgl du na ka»d ze zmiennych (d) Funkcja przynajmniej lewostronnie ci gªa ze wzgl du na ka»d ze zmiennych (e) Dystrybuanta nad prostok tem (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) musi by dodatnia: P (x 1, X < x 2 y 1, Y < y 2 ) = F (X,Y ) (x 1, y 1 ) + F (X,Y ) (x 2, y 2 ) F (X,Y ) (x 1, y 2 ) F (X,Y ) (x 2, y 1 ) 0 Je±li rozkªad wektora losowego jest ci gªy, to: f (X,Y ) (x, y) = F 2 x y 7

2. ozkªady brzegowe: Wektor losowy typu dyskretnego P (X,Y ) = ij n p ij δ ( x i, y j ), p i = p i0 j, p j = j=1 m p ij0, P X = m p i δ xi, P Y = Wektor losowy typu ci gªego P (X,Y ) = f l 2, f 1 (x) = 3. ozkªady warunkowe: Wektor losowy typu dyskretnego n p j δ xi, j=1 f (X,Y ) (x, y)dy, f 2 (y) = P X = f 1 l, P Y = f 2 l, E(X) = xf 1 dx, E(Y ) = yf 2 dy, f (X,Y ) (x, y)dx p xi y j = p i j = P (X = x i Y = y j ) = P ((X, Y ) = (x i, y j ), P (Y = y j ) > 0, P (Y = y j ) P X Y =yj = m p (xi y j )δ xi p yj x i = p j i = P (Y = y j X = x i ) = P ((X, Y ) = (x i, y j ), P (X = x i ) > 0, P (X = x i ) n P Y X=xi ) = p (yj x i )δ yj Wektor losowy typu ci gªego j=1 ϕ(x Y = y 0 ) = f(x, y 0) f 2 (y 0 ), f 2(y 0 ) > 0, P X Y =y0 = ϕ(, y 0 )l ψ(y X = x 0 ) = f(x 0, y) f 1 (x 0 ), f 1(x 0 ) > 0, P Y X=x0 = ψ(x 0, )l F (X Y = y 0 ) = x ϕ(x y 0 )dy, F (Y X = x 0 ) = 4. Linie regresji pierwszego rodzaju: {(E(X Y = y), y)} linia regresji zmiennej losowej X wzgl dem zmiennej Y, E(X Y = y 0 ) = xϕ(x y 0 )dx {x, (E(Y X = x))} linia regresji zmiennej losowej Y wzgl dem zmiennej X, E(Y X = x 0 ) = yψ(y x 0 )dy y ψ(y x 0 )dx 8

5. Momenty dwuwymiarowych zmiennych losowych: Moment zwykªy wektora losowego (X, Y ) rz du t + s: m ts = E(X t Y s ) x t y s f(x, y)dx dy, P (X,Y ) = f l 2 o ile caªka jest zbie»na E(X t Y s ) = x t i ys j p ij ij P (X,Y ) = p ij δ (xi,y j ) ij o ile szereg jest zbie»ny Moment centralny mieszany rz du t + s: µ ts = E ( (X E(X)) t (Y E(Y )) s) 6. Kowariancja - Moment centralny mieszany rz du 2 wektora losowego (X, Y ): xy f(x, y)dx dy, P (X,Y ) = f l 2 o ile caªka jest zbie»na E(XY ) = x i y j p ij P (X,Y ) = p ij δ (xi,y j ) ij o ile szereg jest zbie»ny 17 Wspóªczynnik korelacji gdzie V (X) > 0, Wªasno±ci: 1. ϱ 1 ij V (Y ) > 0 - wariancje zmiennych cov(x, Y ) = µ 11 = E(XY ) E(X) E(Y ) ϱ = ϱ (X,Y ) = ϱ XY = cov(x, Y ) V (X) V (Y ) 2. ϱ (X,Y ) = ϱ(ax + b, cy + d), a, c 0 zale»no± liniowa (X,Y silnie skorelowane) 3. ϱ = 1 P (Y = ax + b) = 1 a 0 18 Niezale»no± zmiennych losowych Zmienne losowe X, Y nazywamy niezale»nymi je»eli dla dowolnych zbiorów borelowskich A i B: Warunki niezale»no±ci (X, Y niezale»ne): P (X A, Y B) = P (X A) P (Y B) Ogólny warunek: (X,Y ) 2 F (X,Y ) (x, y) = F X (x) F Y (y) ozkªad ci gªy P (X,Y ) = fl 2 (X,Y ) 2 f(x, y) = f 1 (x) f 2 (y) ozkªad dyskretny P (X,Y ) = ij p ijδ (xi,y j ) (X,Y ) 2 p ij = p i p j Dla ka»dych zmiennych niezale»nych E(XY ) = E(X) E(Y ), wi c wszystkie zmienne niezale»ne s nieskorelowane, ale nie na odwrót. 19 Zmienne nieskorelowane (X, Y ) nieskorelowane V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) (X, Y ) nieskorelowane ϱ = 0 cov(x, Y ) = 0 V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2cov(X, Y ) E(X), E(Y ) = E(XY ) = E(X) E(Y ) cov(x, Y ) = 0 ϱ = 0 9

20 egresja liniowa E(Y h(x)) 2 = min: 1. Pierwszego rodzaju: h(x) = E(Y X = x) 2. Drugiego rodzaju zmiennej losowej Y wzgl dem zmiennej losowej X to prosta: y = ax + b, E(Y ax b) 2 = min gdzie: a = ϱ σ y, σ x m x, m y, m z z rozkªadów brzegowych, b = m y ϱ σ y σ x, ϱ wspóªczynnik korelacji y m y = ϱ σ y σ x (x m x ) 21 ozkªad normalny na pªaszczy¹nie X N(m 1, m 2 ; σ 1, σ 2 ): ozkªady brzegowe: f(x, y) = ( 1 2πσ 1 σ 2 1 ϱ 2 e 1 2(1 ϱ 2 ) ( (x m 1 ) 2 σ 2 1 P X = f 1 l, X N(m 1, σ 1 ) P Y = f 2 l, Y N(m 2, σ 2 ) )) +2ϱ x m 1 x m 2 + (x m 2 )2 σ 1 σ 2 σ 2 2 Dla takiego rozkªadu linie regresji pierwszego rodzaju = linie regresji drugiego rodzaju 22 Funkcje dwuwymiarowych zmiennych losowych Dla zmiennych (X,Y): P (X,Y ) = f (x,y) l 2 Dla zmiennych (U,V): P (U,V ) = k (u,v) l 2 U = U(x, y), V = V (x, y) Maj c dany wzór na (u, v) szukamy: x = x(u, v) y = y(u, v) Jakobian: J = x u y u x v y v 0 G sto± nowego rozkªadu wyra»a si wzorem: f (X,Y ) (x(u, v), y(u, v) J (x, y) D k (U,V ) (u, v) = 0 pozostaªe x,y ozkªad brzegowy (faktycznie wyznaczany): k U (u) = Przypadki szczególne: k (U,V ) (u, v)dv 1. Splot funkcji U = X + Y, V = X = J = 1 Je±li (X,Y) - niezale»ne f(x, y) = f 1 (x) f 2 (y) k U (u) = f(x, u x)dx = f 1 (x) f 2 (u x)dx = f 1 f 2 2. U = X Y = J = 1 3. U = XY = J = 1 x 10

23 Tablica rozkªadu normalnego x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586 0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535 0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409 0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173 0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793 0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240 0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490 0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524 0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327 0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891 1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214 1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298 1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147 1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91308 0,91466 0,91621 0,91774 1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189 1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408 1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449 1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327 1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062 1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670 2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169 2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574 2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899 2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158 2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361 2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520 2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643 2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736 2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807 2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992 3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 11