Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN-1995 Jerzy Bobiński Gdańsk, wersja 0.32 (2014) Przykład 16: belka zginana o przekroju złożonym Sprawdzić nośność belki zginanej o rozpiętości l 420 cm i złożonym przekroju poprzecznym 50 250 + 4 38 75 [mm] wykonanej z drewna klasy C30. Belka jest obciążona momentem zginającym M 11 knm i siłą tnącą V 9,5 kn. Współczynnik modyfikacyjny k mod 0,8. C30: f c,0,d 14,15 MPa, f t,0,d 11,08 MPa, f m,d 18,46 MPa, f v,d 1,85 MPa, ρ k 380 kg/m 3, ρ m 460 kg/m 3, E 0,mean 12 GPa Pole przekroju poprzecznego Pola składowe przekroju poprzecznego: A 1 2 3,8 7,5 57 cm 2 A 2 5,0 25,0 125 cm 2 Całkowite pole przekroju (wzór (E-80)): 75 75 250 A tot 2 A 1 + A 2 2 57 + 125 239 cm 2 38 50 38 Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 2 / 23
Parametry przekroju złożonego (1) Gwoździe jednocięte 3,7 70 w dwóch szeregach, rozstaw s 80 mm. 80 80 20 35 20 75 Rozstaw sprowadzony s 1 s/2 40 mm. Odległości między środkami ciężkości: 80 a 1 a 3 0,5 (h 2 h 1 ) 0,5 (250 75) 87,5 mm, a 2 0 mm Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 3 / 23 Parametry przekroju złożonego (2) Moduł podatności chwilowej K ser : K ser ρ 1,5 m d 0,8 /30 460 1,5 3,7 0,8 /30 936,65 kn/m Moduł podatności chwilowej K u (wzór (E-66)): K u 2K ser /3 2 936,65/3 624,43 kn/m Współczynnik γ 1 γ 3 (wzór (E-64)): γ 1 1 1 + (π 2 12 10 6 57 10 4 4 10 2 ) / (624,43 4,2 2 ) 0,290 Zastępczy moment bezwładności belki (wzór (E-63)): I ef 5 253 12 3,8 7,53 + 4 12 + 2 0,290 57 8,75 2 9576 cm 4 Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 4 / 23
Naprężenia normalne i ścinające Naprężenie normalne w środku pasa (wzór (E-68)): σ 1 σ 3 0,290 12 103 87,5 10 3 11 10 3 12 10 3 95,76 10 6 2,91 MPa Naprężenia normalne krawędziowe w pasach (wzór (E-69)): σ m,1 σ m,3 0,5 12 103 75 10 3 11 10 3 12 10 3 95,76 10 6 4,31 MPa Naprężenia normalne krawędziowe w środniku (wzór (E-69)): σ m,2 0,5 12 103 250 10 3 11 10 3 12 10 3 95,76 10 6 14,36 MPa Naprężenia ścinające w środniku (wzór (E-70)): τ 2,max (0,290 5700 87,5 + 0,5 50 1252 ) 10 9 9,5 10 3 50 95,76 10 9 1,06 MPa Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 5 / 23 Warunki nośności Naprężenia krawędziowe zginające w pasach (wzór (E-72)): σ m,1 + σ 1 4,31 + 2,91 7,22 f m,d 18,46 [MPa] Naprężenia krawędziowe zginające w środniku (wzór (E-72)): σ m,2 + σ 2 14,36 + 0 14,36 f m,d 18,46 [MPa] Naprężenia ściskające w pasie górnym (wzór (E-73)): σ 1 2,91 f c,0,d 14,15 [MPa] Naprężenia rozciągające w pasie dolnym (wzór (E-73)): σ 3 2,91 f t,0,d 11,08 [MPa] Naprężenia ścinające w środniku (wzór (E-74)): τ 2,max 1,06 f vd 1,85 [MPa] są spełnione. Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 6 / 23
Wytrzymałość drewna na docisk Wytrzymałość charakterystyczna drewna na docisk f h,k (wzór (E-47)): f h,1,k f h,2,k 0,082ρ k d 0,3 0,082 380 3,7 0,3 21,04 N/mm 2 Stosunek wytrzymałości materiałów β f h,2,k /f h,1,k 1,0 Moment uplastycznienia łącznika Moment charakterystyczny uplastycznienia łącznika M y,k (wzór (E-49)): M y,k 0,3f u d 2,6 0,3 600 3,7 2,6 5403 Nmm f u wytrzymałość drutu stalowego na rozciąganie, f u 600 MPa Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 7 / 23 Sprawdzenie doboru gwoździa Minimalna grubość elementu (wzór (E-43)): { { 7 3,7 26,6 t max (13 3,7 30) 380/400 max 17,2 26,6 mm Poprawność przyjętej średnicy gwoździa: t 6 38 6 Grubości obliczeniowe: t 6,33 3,7 11 38 11 3,45 [mm] t 1 38 mm, t 2 70 38 32 > 8d 8 3,7 29,6 [mm] Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 8 / 23
Nośność łącznika jednociętego (1) Pominięto nośność gwoździa na wyciąganie. Wielkość pomocnicza t pom : [ t pom 1 + t 2 t 1 + ( t2 t 1 ) 2 ] Nośność na jedno cięcie (wzór (E-33)): F (a) v,rk F (b) v,rk F (c) v,rk [ 21,04 38 3,7 2958 N, 1 + 32 38 + 21,04 32 3,7 2491 N, ( 32 1 + 2 1 2 2,55 + 1 3 38 ( ) ] 2 32 2,55. 38 ) 2 ( 1 1 + 32 ) 38 21,04 38 3,7 1 + 1 1136 N, Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 9 / 23 Nośność łącznika jednociętego (2) F (d) v,rk F (e) v,rk [ 2 1 (1 + 1) + 21,04 38 3,7 1,05 2 + 1 [ 2 1 2 (1 + 1) + ] 4 1 (2 + 1) 5403 21,04 3,7 38 2 1 1180 N, ] 4 1 (1 + 2 1) 5403 21,04 3,7 38 2 1 21,04 32 3,7 1,05 993 N, 1 + 2 1 F (f ) 2 1 v,rk 1,15 2 5403 21,04 3,7 1055 N, 1 + 1 F v,rk min {2958, 2491, 1136, 1180, 993, 1055} 993 N. Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 10 / 23
Łączniki warunek nośności Nośność obliczeniowa łącznika(wzór (E-3)): F v,rd k modf v,rk γ M 0,8 993 1,3 611 N Obciążenie (siła rozwarstwiająca) na łącznik (wzór (E-71)): F 1 0,290 12 103 57 10 4 8,75 10 2 4 10 2 9,5 12 10 3 9576 10 8 0,574 kn Warunek nośności: jest spełniony. F v,rd 611 > F 1 574 [N] Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 11 / 23 Rozstawy i odległości gwoździ kąt α 0, rozstaw gwoździ wzdłuż włókien (półka): a 1 (5 + 5 cos α ) d (5 + 5 cos 0 ) 3,7 37 mm < 80 mm warunek na nienachodzenie gwoździ w środniku: t t 2 50 32 18 > 4d 4 3,7 14,8 mm TAK rozstaw gwoździ wzdłuż włókien (środnik): a 1 (5 + 5 cos α ) d (5 + 5 cos 0 ) 3,7 37 mm < 80 mm rozstaw gwoździ w poprzek włókien: a 2 5d 5 3,7 18,5 mm < 35 mm odległość od krawędzi: a 4t a 4c 5d 5 3,7 18,5 mm < 20 mm Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 12 / 23
Przykład 17: słup ściskany o przekroju złożonym Sprawdzić nośność słupa ściskanego o długości l y l z 210 cm i złożonym przekroju poprzecznym 38 75 + 2 38 50 [mm] wykonanego z drewna klasy C30. Słup jest ściskany siłą N 9 kn. Współczynnik modyfikacyjny k mod 0,8, a współczynniki wyboczeniowe µ y µ z 1,0. C30: f c,0,d 14,15 MPa, ρ k 380 kg/m 3, ρ m 460 kg/m 3, E 0,05 8 GPa, E 0,mean 12 GPa Wytężenie elementu Całkowite pole przekroju (wzór (E-80)): z A tot 2 3,8 5 + 3,8 7,5 66,5 cm 2 50 75 y Naprężenia ściskające σ c,0,d (wzór (E-81)): σ c,0,d N A tot 9 10 3 1,35 MPa 66,5 10 4 38 38 38 Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 13 / 23 Parametry przekroju złożonego Parametry gwoździ (przyjęte): średnica gwoździ d 3,5 mm (długość l 70 mm), rozstaw gwoździ s 100 mm, odległości a 1 a 3 38 mm, a 2 0 mm. Moduł podatności chwilowej K ser : K ser ρ 1,5 m d 0,8 /30 460 1,5 3,5 0,8 /30 895,92 kn/m Moduł podatności chwilowej K u (wzór (E-66)): K u 2K ser /3 2 895,92/3 597,28 kn/m Współczynnik γ 1 γ 3 (wzór (E-64)): γ 1 1 1 + (π 2 12 10 6 3,8 5 10 4 10 10 2 ) / (597,28 2,1 2 ) 0,105 Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 14 / 23
Momenty bezwładności przekroju Moment bezwładności dla wyboczenia w kierunku równoległym do szwów (wzór (E-77)): 3,8 53 3,8 7,53 I y 2 + 212,76 cm 4 12 12 Zastępczy moment bezwładności dla wyboczenia w kierunku prostopadłym do szwów (wzór (E-79)): I z 3,83 7,5 12 + 2 3,83 5 12 + 2 0,105 3,8 5 3,8 2 137,64 cm 4 Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 15 / 23 Smukłości przekroju złożonego Długości wyboczeniowe l c,y i l c,z (wzór (E-17)): l c,y µ y l y 1,0 2,10 2,10 m l c,z µ z l z 1,0 2,10 2,10 m Promienie bezwładności i y i i z (wzór (E-18)): i y 212,76 66,5 1,79 cm i i 137,64 z 66,5 Smukłości elementu (wzór (E-16)): λ y 210 1,79 117,32 < 175 i λ z 210 1,44 1,44 cm, 145,83 < 175 Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 16 / 23
Warunek nośności Smukłość sprowadzona przy ściskaniu λ rel,z (wzór (E-19)): λ rel,z λ z π f c,0,k 145,83 23 E 0,05 π 8000 2,49 > 0,3 Należy uwzględnić wpływ wyboczenia. Wsp. pom. k z (wzór (E-26)): k z 0,5 ( 1 + 0,2 (2,49 0,3) + 2,49 2) 3,82 Współczynnik wyboczeniowy k c,z (wzór (E-27)): 1 k c,z k z + kz 2 λ 2 rel,z Warunek nośności (wzór (E-30) lub (E-31) z M 0): jest spełniony. σ c,0,d k c,z f c,0,d 1 3,82 + 3,82 2 2,49 2 0,15 1,35 0,14 14,15 0,64 < 1 Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 17 / 23 Wytrzymałość drewna na docisk Wytrzymałość charakterystyczna drewna na docisk f h,k (wzór (E-47)): f h,1,k f h,2,k 0,082ρ k d 0,3 0,082 380 3,5 0,3 21,40 N/mm 2 Stosunek wytrzymałości materiałów β f h,2,k /f h,1,k 1,0 Moment uplastycznienia łącznika Moment charakterystyczny uplastycznienia łącznika M y,k (wzór (E-49)): M y,k 0,3f u d 2,6 0,3 600 3,5 2,6 4676 Nmm f u wytrzymałość drutu stalowego na rozciąganie, f u 600 MPa Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 18 / 23
Sprawdzenie doboru gwoździa Minimalna grubość elementu (wzór (E-43)): { { 7 3,5 24,5 t max (13 3,5 30) 380/400 max 14,73 24,5 mm Poprawność przyjętej średnicy gwoździa: t 6 38 6 Grubości obliczeniowe: t 6,33 3,5 11 38 11 3,45 [mm] t 1 38 mm, t 2 70 38 32 > 8d 8 3,5 28 [mm] Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 19 / 23 Nośność łącznika jednociętego (1) Pominięto nośność gwoździa na wyciąganie. Wielkość pomocnicza t pom : [ t pom 1 + t 2 t 1 + ( t2 t 1 ) 2 ] Nośność na jedno cięcie (wzór (E-33)): F (a) v,rk F (b) v,rk F (c) v,rk [ 21,40 38 3,5 2846 N, 1 + 32 38 + 21,40 32 3,5 2397 N, ( 32 1 + 2 1 2 2,55 + 1 3 38 ( ) ] 2 32 2,55. 38 ) 2 ( 1 1 + 32 ) 38 21,40 38 3,5 1 + 1 1062 N, Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 20 / 23
Nośność łącznika jednociętego (2) F (d) v,rk F (e) v,rk [ 2 1 (1 + 1) + 21,40 38 3,5 1,05 2 + 1 [ 2 1 2 (1 + 1) + ] 4 1 (2 + 1) 4676 21,40 3,5 38 2 1 1121 N, ] 4 1 (1 + 2 1) 4676 21,40 3,5 38 2 1 21,40 32 3,5 1,05 889 N, 1 + 2 1 F (f ) 2 1 v,rk 1,15 2 4676 21,40 3,5 962 N, 1 + 1 F v,rk min {2846, 2397, 1062, 1121, 899, 962} 899 N. Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 21 / 23 Łączniki warunek nośności Nośność obliczeniowa łącznika(wzór (E-3)): F v,rd k modf v,rk γ M 0,8 899 1,3 553 N Obliczeniowa siła poprzeczna V (λ ef 137,25, wzór (E-76)): V F c,d 60k c 9 60 0,16 0,94 kn Obciążenie (siła rozwarstwiająca) na łącznik (wzór (E-71)): F 1 0,105 12 103 5 3,8 10 4 3,8 10 2 10 10 2 0,94 12 10 3 137,64 10 8 0,518 kn Warunek nośności: jest spełniony. F v,rd 553 > F 1 518 [N] Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 22 / 23
Rozstawy i odległości gwoździ kąt α 0, rozstaw gwoździ wzdłuż włókien (nakładki): a 1 (5 + 5 cos α ) d (5 + 5 cos 0 ) 3,5 35 mm < 100 mm warunek na nienachodzenie gwoździ w elemencie środkowym: t t 2 38 32 6,0 > 4d 4 3,5 14,0 mm NIE rozstaw gwoździ wzdłuż włókien (element główny): a 1 (5 + 5 cos α ) d (5 + 5 cos 0 ) 3,5 35 mm < 50 mm odległość od krawędzi: a 4t a 4c 5d 5 3,5 17,5 mm < 25 mm 100 100 25 25 50 Nowoczesne konstrukcje drewniane Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN... 23 / 23