dr Heryk TERENOWSKI Wojskowy Istytut Techiczy Uzbrojeia SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Streszczeie: Wyzaczaie iepewości pomiaru jest koieczą częścią każdej procedury pomiarowej. W referacie omówioo klasycze metody wyzaczaia iepewości pomiaru. Wskazao a zaczeie walidacji procedur pomiarowych, aalizy źródeł błędów przypadkowych i sposobu ich opracowaia w zależości od rozkładu prawdopodobieństwa. Przedstawioo sposób wyzaczaia iepewości stadardowej przy pomiarach bezpośredich i pośredich, budżet iepewości oraz uwagi związae z wyborem współczyika rozszerzeia k przy wyzaczaiu iepewości rozszerzoej. DETERMINATION OF UNCERTAINTY IN MEASUREMENTS Abstract: Determiatio of measuremet ucertaity, is obligatory part of each measuremet procedure. I this paper, classical methods o determiatio of measuremet ucertaity, were discussed. It was poited to importace of validatio i measuremet procedures, aalysis of sources of radom errors ad maer of their developmet i depedece o probability distributio. A way of determiatio of stadard ucertaity i direct ad idirect measuremets, ucertaity budget ad otes coected with selectio of extesio factor k at determiatio of exteded ucertaity were preseted.. Wstęp Podstawowym zadaiem pomiarów jest pozyskaie wiarygodych iformacji jakościowych i ilościowych a temat badaego obiektu, tak aby otrzymae wyiki badań służyły określoemu celowi. Błęde wyiki powodują deziformacje, co może prowadzić do podejmowaia ieprawidłowych decyzji. Zajomość iepewości pomiarów wyików badań jest bardzo ważym elemetem dla laboratoriów, ich klietów i wszystkich istytucji, wykorzystujących te wyiki. Zastosowae metody, sprzęt oraz osoby wykoujące pomiary woszą pewie elemet iepewości do wyiku. Podawaie iepewości razem z wyikiem ie świadczy o braku kompetecji laboratorium. Świadomość tej iedoskoałości oraz umiejętość jej liczbowego wyrażeia staowi podstawę podwyższoego zaufaia do laboratorium. Wyiki pomiarów wielkości fizyczych i chemiczych wraz z iformacją ilościową o jakości pomiarów, pozwalają a porówaie ich z wartościami odiesieia podaymi w specyfikacjach lub ormach a także do oszacowaia ich wiarygodości w porówaiu z wyikami uzyskaymi przez ie laboratoria. Niepewość jest ierozerwalie związaa z wyikami pomiarów i badań. Wszelkie wyiki pomiarów pozbawioe ocey ich dokładości są w istocie tylko wskazaiami. W ostatich latach zaczęto przywiązywać zaczącą uwagę do iepewości pomiarów zarówo w odiesieiu do typowych pomiarów laboratoryjych i przemysłowych, jak też przy aalizach iych wyików (p. kotroli jakości dostaw detali do produkcji). 77
Pojęcie iepewości, jako liczbowo wyrażoej cechy, jest stosukowo owe w historii pomiarów, chociaż błąd i aaliza błędów od dawa są częścią metrologii. Ujedoliceie termiologii, zasad obliczaia i wyrażaia iepewości pomiarów zapropoowao w wydaym przez Międzyarodową Orgaizację Normalizacyją (ISO) Przewodiku pod agielskim tytułem "Guide to the Expressio of Ucertaity i Measuremet". Polska wersja Przewodika, wydaa przez Główy Urząd Miar, zatytułowaa została jako "Wyrażaie iepewości pomiaru. Przewodik" GUM 999 []. W opracowaiu tym podao także podstawowe wiadomości ze statystyki iezbęde w szacowaiu iepewości. Użyta termiologia w iiejszym artykule zgoda jest tym Przewodikiem.. Źródła błędów w procesie pomiarowym Zgodie z podstawowym aksjomatem metrologii ie ma pomiarów bezbłędych, a zatem wykoując pomiary trzeba mieć świadomość, że wyiki będą obarczoe błędami, które mogą powstawać a wszystkich etapach procesu pomiarowego. Podstawowe źródła błędów występujących w procesie pomiarowym zilustrowao a rysuku w postaci diagramu Ishikawy [6]. Błędy w każdej z sześciu wymieioych grup źródeł błędów mogą mieć zarówo charakter przypadkowy jak i systematyczy. Należy wyraźie podkreślić, że iepewość jest efektem błędów przypadkowych, jakie występują w procesie pomiarowym. Metody obliczaia iepewości dotyczą wyików skorygowaych o składowe błędu systematyczego. Zakłada się, że przypadkowe błędy pomiaru, które rozpatrywae są jako zmiea losowa wielu zmieych, podlegają regułom statystyki matematyczej, według której wartość oczekiwaa jest rówa wartości prawdziwej z określoym prawdopodobieństwem. Rysuek. Struktura źródeł błędów w procesie pomiarowym. 78
Plaując pomiar, rozumiay jako zbiór operacji mających a celu otrzymaie wartości wielkości mierzoej, ależy określić jego dokładość. Dokładość pomiaru wielkości implikuje dobór odpowiediej metody pomiaru, arzędzi pomiarowych, wykoywaie kolejych operacji, opracowaie oraz sformułowaia wyiku pomiaru. Opracowaa procedura pomiarowa powia zapewiać powtarzalość i odtwarzalość wyików pomiarów (Aeks B, []). Aaliza struktury źródeł błędów z uwzględieiem wzajemych oddziaływań, pozwoli oceić i wytypować zasadicze czyiki wpływające w istoty sposób a wielkość mierzoą. Czyiki istote moża ująć w postaci "budżetu iepewości", który podsumowuje oszacowaie stadardowej iepewości złożoej wyiku pomiarów a podstawie iepewości stadardowych każdego z ich. 3. Walidacja procedury Jedym z elemetów statystyczego sterowaia jakością w laboratorium jest walidacja procedur (metod) badawczych. Według ormy PN-EN ISO/IEC 705 [] "walidacja procedury pomiarowej jest potwierdzeiem, przez zbadaie i przedstawieie obiektywego dowodu, że zostały spełioe szczególe wymagaia dotyczące kokretie zamierzoego zastosowaia" Walidacja powia być przeprowadzoa dla owych lub zmodyfikowaych procedur iezormalizowaych lub zormalizowaych stosowaych poza zakresem walidacji. Proces walidacji, lub potwierdzeia w przypadku zormalizowaych procedur aalityczych w laboratorium powiie dostarczyć iformacji a temat czyików wpływających a iepewość wyiku końcowego. Ozacza to, że walidacja jest użyteczym arzędziem pozwalającym a oceę jakości wyików, co ma szczególe zaczeie w badaiach aukowych. Proces walidacji jest czasochłoy i wymaga od przeprowadzających go osób ie tylko wiedzy merytoryczej stosowaej metody, ale także wiedzy z zakresu metod pomiarowych i statystyki. Przed rozpoczęciem prac walidacyjych iezbęde jest przeprowadzeie aalizy i wyzaczeie etapów krytyczych procesu techologiczego, które mają ajwiększy wpływ a jakość wyiku końcowego. Na każdym etapie procesu trzeba mieć a uwadze, chociażby tak proste arzędzie graficze jak odpowiedio dostosoway do aktualych potrzeb, diagram przedstawioy a rys.. Zgodie, jedak, z wymagaiami p. 5.4.5.. ormy PN-EN ISO/IEC 705 [], "walidacja powia być a tyle obszera, a ile jest to koiecze przy daym zastosowaiu, albo obszarze zastosowaia". W procedurach badawczych zazwyczaj mamy do czyieia z daymi wejściowymi opartymi a pomiarach bezpośredich, takich jak pomiar masy, siły, objętości, temperatury i iych wielkości mierzalych. Na tym etapie źródłem iepewości pomiarów jest baza pomiarowa zawierająca odpowiediej klasy urządzeia, posiadająca wymagae dokumety ormalizacyje, właściwie użytkowaa i zajdująca się w odpowiedim staie techiczym. Jest oa podstawą do zapewieia powtarzalości, czyli zapewieia zgodości wyików kolejych pomiarów wielkości mierzoej, wykoywaych w tych samych warukach pomiarowych. Oszacowaie iepewości w pomiarach bezpośredich ie jest sprawą skomplikowaą. A zatem w procesie walidacji powio się uwzględiać między iymi i to kryterium przy doborze aparatury pomiarowej, poieważ bardzo często urządzeia tej samej klasy, posiadające waże świadectwa wzorcowaia, dają róże wskazaia tej samej wielkości mierzoej. Proces walidacji powiie także uwzględiać aktualy sta techiki pomiarowej i obliczeiowej. Zastosowaie ogólodostępych arkuszy kalkulacyjych, dostosowaych do potrzeb daej procedury, które sprawdzają formale waruki ałożoe a dae wejściowe, wykoują stosowe obliczeia, w zaczej mierze elimiują możliwość popełieia pomyłki. 79
Dają także możliwość a bieżąco wyliczeia iepewości wykoaego pomiaru. Łatwość przeprowadzeia symulacji procesu badawczego daje szerszy obraz możliwości jego optymalizacji mających a celu uzyskaie bardziej wiarygodych wyików. Należy podkreślić, że przy stosowaiu tej samej procedury i tych samych urządzeń ie jest koiecze wyzaczaie za każdym razem iepewości pojedyczego wyiku. Wyzaczoa iepewość jest wartością, która może być odpowiedia w odiesieiu do wszystkich wyików uzyskaych przy wykorzystaiu daej procedury pomiarowej, w daych warukach i w daym laboratorium. 4. Matematyczy model pomiaru Metody pomiarów wielkości fizyczych (fizykochemiczych) możemy podzielić a bezpośredie i pośredie. Pomiary bezpośredie polegają wprost a porówaiu daej wielkości z odpowiedią miarą wzorcową, a wyik pomiaru jest otrzymyway bezpośredio z odczytu wskazań przyrządu pomiarowego w wielkościach wskazań mierzoego parametru (p. pomiar: długości liijką, masy a wadze, lub apięcia woltomierzem). W przypadku pomiarów pośredich wartość badaej wielkości wyzaczaa jest a podstawie pomiarów bezpośredich iych wielkości fizyczych, które są z ią związae zaym prawem fizyczym lub chemiczym. Przykłady pomiarów metodą pośredią to pomiar gęstości ciała a podstawie pomiarów jego masy i objętości, pomiar rezystacji a podstawie pomiarów apięcia i atężeia prądu itp. Rozróżieie metod bezpośredich i pośredich jest szczególie waże ze względu a stosowae sposoby szacowaia dokładości wyików pomiarów. Rówaie modelowe jest matematyczym opisem zależości wartości wyiku od wartości mierzoych. Zależość tą możemy przedstawić w postaci rówaia: y = f(x, x, x 3,, x ) () gdzie: y wartość wyiku; x, x, x 3,, x - wartości pomiarowe (dokładiej wskazaia przyrządów aktuale, w chwili pomiarów, odczytae subiektywie lub automatyczie). Jak wykazuje praktyka, żade pomiar, iezależie od staraości jego wykoaia ie daje całkowicie dokładego wyiku, a więc wskazaia przyrządów x, x, x 3,, x jak i otrzymay wyik y zawierają błędy, których wielkość ie jest zaa. Stąd też wartości wskazań przyrządów jak i otrzymay wyik końcowy ie mogą być traktowae jako ostateczy wyik pomiaru. Ze względu a zmieość błędu w kolejych wskazaiach wyiku pomiaru powtarzaego doświadczeia pomiarowego, możemy wyróżić błędy admiarowe, systematycze i przypadkowe. Z błędem admiarowym mamy do czyieia wtedy, gdy wyik pomiaru daej wielkości odbiega zaczie od pozostałych wyików. Istieją odpowiedie testy statystycze pozwalające odrzucić taki "podejrzay" pomiar. Błędy systematycze to błędy, które przy wielu pomiarach tej samej wartości daej wielkości, wykoywaych w tych samych warukach, pozostają stałe co do zaku i modułu, lub zmieiają się według określoego prawa wraz ze zmiaą waruków odiesieia. Błędy te moża przewidzieć a podstawie zajomości daego procesu pomiarowego. Cechą błędów systematyczych jest możliwość ich częściowej lub całkowitej elimiacji za pomocą poprawek lub poprzez kalibrację układu pomiarowego. Błędy przypadkowe zmieiają się w sposób ieprzewidziay, zarówo co do zaku jak i modułu przy wykoywaiu pomiarów tej samej wielkości w warukach pozorie iezmieych. W chwili pomiaru wartość błędów przypadkowych ie jest zaa. Moża 80
jedyie wyzaczyć ich parametry statystycze a podstawie wielu wyików pomiarów. Błędy te powodują, że wyiki pomiarów są zmieymi losowymi. Wartości pomiarowe x, x, x 3,, x są więc realizacjami pewych fukcji losowych odpowiedio X, X, X 3,, X. Wobec powyższego rówaie Y = f(x, X, X 3,, X ) () przedstawia pośredią wielkość mierzoą Y jako fukcję zmieych losowych. Zmiee losowe Y, X, X, X 3,, X. w wyiku realizacji procesu pomiarowego przyjmują z pewym prawdopodobieństwem wartości z określoych zbiorów. Metody statystycze umożliwiają określeie miary tych zbiorów i prawdopodobieństw, z jakimi wyiki ależą do tych zbiorów. Każda zmiea losowa geeruje pewie rozkład prawdopodobieństwa o określoych charakterystykach liczbowych. Najważiejsze z ich to wartość oczekiwaa µ i wariacja σ. W praktyce rozkład prawdopodobieństwa jak i wartości tych parametrów ie są do końca pozawale. Ich wartości szacuje się a podstawie prób doświadczalych. Estymatorem wartości oczekiwaej µ jest wartość przecięta z próby x x = x i (3) i= a wariacji σ. wartość określoa wyrażeiem s (x) = (x i x)...(4) i= Natomiast estymator wariacji dla średiej liczoy jest jako s (x) s (x) = (5) Szacowaie rozkładu prawdopodobieństwa jest pracochłoe i ie zawsze możliwe do wykoaia. Błędy pomiarów z zasady mają rozkłady zbliżoe do rozkładu ormalego, dlatego też w wielu przypadkach, przy opracowywaiu wyików pomiarów, posługujemy się tym rozkładem. 5. Ocea iepewości pomiarów Niepewość pomiaru jest to parametr związay z wyikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, które moża w uzasadioy sposób przypisać wartości mierzoej [5]. Według [] przyjęto, że parametrem takim będzie odchyleie stadardowe albo jego wielokrotość. Niepewość (ag. ucertaity) wielkości x ozaczaa jest symbolem u(x). Jak już wspomiao, metody pomiarowe, w ogólym ujęciu moża podzielić a bezpośredie i pośredie. W metodzie pośrediej korzysta się z wyików pomiarów bezpośredich w odiesieiu do poszczególych wielkości mierzoych. 5. Ocea iepewości pomiarów bezpośredich Pomiary bezpośredie, takie jak pomiar masy, długości, temperatury, apięcia itp., wykouje się przy pomocy specjalistyczych przyrządów, otrzymując odpowiedie ich wskazaia. Wskazaie przyrządu wyik surowy, ie odzwierciedla dokładie wielkości mierzoej. Wielkość mierzoa X wyosi: X = (X w + P ) ± U(X) gdzie: X w wyik surowy (wskazaie przyrządu), czyli wyik przed korekcją błędów systematyczych, U(X) iepewość rozszerzoa wielkości X. 8
P poprawka sumarycza, kompesująca wyzaczale błędy systematycze, p.: poprawości wskazaia, błędu temperaturowego itp., które też są wyzaczoe z pewą iepewością. Zatem P = f( P, P,, Pm) jest fukcją wielu zmieych P, P,, Pm, z których każda jest obarczoa iepewością stadardową u(p i ) i =,, 3,, m. Niepewość U(P ) jest wypadkową iepewością wyzaczaia poprawek. Składiki X w i P są obciążoe iepewościami cząstkowymi U(X w ) i U(P ). Wykoując serię pomiarów wielkości X w warukach powtarzalości określaa jest wariacja s (x) a podstawie wzoru (4). Niepewość stadardowa u s (x) wyosi: pojedyczego pomiaru x w wielkości mierzoej X us (x w ) = (x wi x w ) (6) ( ) i= Natomiast, jeśli za wyik pomiaru przyjmuje się średią, otrzymaą z serii pomiarów, określoą wzorem (3), to iepewość wyosi: us (x w ) = (x w x w ) (7) i ( ) i= Niepewości te, związae z wyikiem surowym, odzwierciedlają czyiki losowe wpływające a pomiar w daej chwili. Niepewość obliczaa w te sposób jest iepewością stadardową obliczoą metodą typu A. W przypadku jedego pomiaru lub jeżeli wskazaia przyrządu są takie same w serii pomiarów, iepewość stadardowa u s wyzaczaa jest a podstawie rozkładu prawdopodobieństwa określoego a przedziale rówym wartości działki elemetarej d urządzeia. Bardzo często przyjmoway jest rozkład jedostajy a tym przedziale, dla którego d u s (x w ) = (8) 3 jest odchyleiem stadardowym. 5. Ocea iepewości wyzaczaej wielkości a podstawie pomiarów pośredich Bardzo często w badaiach wyik wielkości określaej jest fukcją wielu argumetów (patrz wzór ) otrzymywaych w pomiarach bezpośredich lub wyzaczaych iymi metodami. Stosując prawo propagacji iepewości stadardowych poszczególych składików otrzymuje się iepewość stadardową złożoą u(y). Zakładając iezależość argumetów we wzorze (), iepewość stadardową złożoą wyzaczaa jest z rówaia: f u s (Y) = u (X i ) i= X (9) i Każda ze składowych obciążoa jest iepewością stadardową u(x i ), które ależy wyzaczyć. Niepewości te możemy wyzaczyć a podstawie serii pomiarów, czyli metodą statystyczą, zwaą w przewodiku [] metodą typu A. Mimo, że wszystkie składowe mogą być wyzaczae metodą typu A to często takie postępowaie jest ekoomiczie ieuzasadioe i wiele składowych iepewości trzeba wyzaczać iymi, bardziej praktyczymi sposobami określaymi w [] jako metoda typu B. 8
Jeśli iepewości były wyzaczae metodą typu A i typu B, to iepewość stadardową całkowitą określa wzór: u sc (Y) = u (x) + u (x) (0) sa sb 5.3 Budżet iepewości Aalizę złożoej iepewości pomiaru ajlepiej jest przedstawić w postaci tabeli zwaej budżetem iepewości. Symbol wielokści Estymata wielkości Niepewość stadardowa Współczyik wrażliwości Udział w złożoej iepewości stadardowej Xi x i u(x i ) c i = f/ x i u i =c i* u(x i ) X x u(x ) c u =c * u(x ) X x u(x ) c u =c * u(x )............... X x u(x ) c u =c * u(x ) Y u s (Y) Niepewość złożoa wyiku pomiaru wielkości, zgodie z ogólymi zasadami, szacowaa jest w astępujących etapach: - idetyfikacja źródeł iepewości, - przyjęcie typów rozkładów gęstości prawdopodobieństwa dla wielkości wejściowych, - estymacja odchyleń stadardowych u(x i ), - wyzaczeie współczyików wrażliwości c i, - zestawieie budżetu iepewości, - obliczeie wartości złożoej iepewości stadardowej u s (Y) - obliczaie iepewości rozszerzoej U(Y). Wyik pomiaru Y składa się z wartość mierzoej wielkości fizyczej y oraz iepewości rozszerzoej pomiaru U(Y). Y= y ± U(Y) Niepewość rozszerzoa U jest określoa jako: U(Y) = k u cs (y) gdzie: u cs (y) iepewość stadardowa całkowita, k współczyik rozszerzeia, który odzwierciedla pewie poziom ufości dla przedziału (y-u, y+u). Zwykle wartość k zawiera się w graicach do 3, ale dla specjalych zastosowań może być wybraa spoza tego przedziału. Ideałem byłoby możliwość wyboru współczyika k, który wyzaczałby przedział y ± U odpowiadający ściśle określoemu poziomowi ufości p (wyoszącemu p.: 95% lub 99%). Nie jest to jedak łatwe do wykoaia w praktyce poieważ ie mamy dokładej wiedzy o rozkładzie prawdopodobieństwa wyiku pomiaru i jego całkowitej iepewości stadardowej. Zakładając rozkład ormaly, co ma w większości przypadków uzasadieie, szczególie przy dużej liczby stopi swobody, to dla k= otrzymamy przedział o poziomie ufości w przybliżeiu rówym 95% zaś dla k=3 tworzy się przedział ufości w przybliżeiu rówy 99%. 83
6. Wioski. W procesie pomiarowym wielkości pomiarowe są zmieymi losowymi. Wyiki jakie bezpośredio są otrzymywae podczas pomiarów, są tylko wskazaiami przyrządów i reprezetują pojedycze realizacje tych zmieych losowych w chwili pomiaru.. Każdy wyik pomiaru powiie być podaway wraz z jego iepewością wyzaczeia. 3. Wartość pomiaru bez określeia wartości iepewości ie ma żadej wartości. 4. Wyik końcowy podaje się zwykle z taką ilością miejsc po przeciku, jaka jest w określeiu iepewości. Przykład: m= (5,09 ± 0,06) g, m = (5,094 ± 0,058)g dla k=. Literatura [] Wyrażaie iepewości pomiaru. Przewodik. Główy Urząd Miar.999. [] PN-EN ISO/IEC 705:005; Ogóle wymagaia dotyczące kompetecji laboratoriów badawczych i wzorcujących. [3] Dokumet EA-4/0: Wyrażaie iepewości pomiaru przy wzorcowaiu. 999. [4] Dokumet EA-04/6. Wytycze EA dotyczące wyrażaia iepewości w badaiach ilościowych. 003. [5] Międzyarodowy słowik podstawowych i ogólych termiów metrologii. GUM. 996. Iteratioal Vocabulary of Basic ad Geeral Terms i Metrology (VIM). [6] Aredarski J.: Niepewość pomiarów. Oficya Wydawicza Politechiki Warszawskiej, Warszawa 006 [7] Bulska E. Metrologia chemicza. Warszawa 008. Wydawictwo MALMUT. 84