Rozkłdy Przegląd Tdeusz M.Molend Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński
Międzynrodow Norm Oceny Niepewności Pomiru (Guide to Epression of Uncertinty in Mesurements-Międzynrodow Orgnizcj Normlizcyjn ISO) ANALIZA NIEPEWNOŚCI POMIARU Guide to the Epression of Uncertinty in Mesurement, ISO, Switzerlnd 1995. Wyrżnie niepewności pomiru: Przewodnik, Główny Urząd Mir, Wrszw 1999. The NIST Reference on Constnts, Units, nd Uncertinty, http://physics.nist.gov/cuu H. Szydłowski, Niepewności w pomirch. Międzynrodowe stndrdy w prktyce. Wyd. Nukowe UAM, Poznń 001. A. Zięb, Anliz dnych w nukch ścisłych i technicznych. PWN, Wrszw, 014. P. Bilski, M. Dobies, A. Kozk, M. Mkrock-Rydzyk: Mteriły do ćwiczeń ze wstępu do prcowni fizycznej. Normy ISO i mtemtyk w lbortorium. Wyd. Nukowe UAM; 014. R. Jniczek Metody oceny niepewności pomirów. Wyd. Prcowni Komp. J. Sklmierskiego, Gliwice 008.
Podził błędów pomiru (przypomnienie) Wyniki pomirów podlegją pewnym prwidłowościom, tzw. rozkłdom typowym dl zmiennej losowej. Z tego względu błędy dzielimy n: Błędy przypdkowe (zwne też losowymi), które podlegją prwom sttystyki i rchunku prwdopodobieństw, wynikją z wielu losowych przyczynków i nie dją się wyeliminowć (zmieniją się w sposób nieprzewidziny). Błędy systemtyczne, które możn ogrniczyć udoskonljąc pomir. (Cechą chrkterystyczną jest ich powtrznie się przy wielu pomirch tej smej wielkości w stłych wrunkch pomiru.) Błąd gruby (zwny omyłką) - różni się, n ogół drstycznie, od wrtości rzeczywistej, nleży strć się wykryć i odrzucić. Błędy ndmierne - pomyłki wynikjące z brdzo różnych przesłnek, niekiedy spowodowne systemtycznymi nieprwidłowościmi w procesie przeliczeniowym. Pomiry tkie nie są w pełni wirygodne. Błąd (niepewność) grniczn dopuszczln kls dokłdności, specyfikcj techniczn przyrządu Błędy cyfrowych przyrządów pomirowych
Typy oceny niepewności wg kodyfikcji ISO Interntionl Orgniztion for Stndriztion Przewodnik Niepewność stndrdow typu A oznczn literą u A () ( symbol wielkości mierzonej) Metody wykorzystujące sttystyczną nlizę serii pomirów: wymg odpowiednio dużej liczby powtórzeń pomiru m zstosownie do błędów przypdkowych Błędy przypdkowe modeluje się (model losowy) z pomocą rozkłdu prwdopodobieństw zwykle rozkłdu normlnego
Uwg Błędy z ntury są systemtyczne: określon przyczyn powoduje określony skutek Kiedy błędy trktuje się jko przypdkowe - przykłdy: Widomo, że zjwisko rozszerzlności termicznej (cieplnej) powoduje błędy temperturowe le nie jest możliwe doprowdzenie do wyrównni tempertury w cłej objętości przedmiotu Tempertur pomieszczeni w którym wykonuje się pomir, tempertur przyrządu i tempertur przedmiotu ciągle się zmieniją Spodziewjąc się, że błąd temperturowy nie będzie mił istotnego wpływu n błąd pomiru rezygnujemy z pomiru tempertur i stosowni korekcji
Typy oceny niepewności wg kodyfikcji ISO Interntionl Orgniztion for Stndriztion Przewodnik Niepewność stndrdow typu B oznczn literą u B () ( symbol wielkości mierzonej) Opier się n nukowym osądzie eksperymenttor wykorzystującym wszystkie informcje o pomirze i źródłch jego niepewności stosuje się gdy sttystyczn nliz nie jest możliw dl błędu systemtycznego lub dl jednego wyniku pomiru
Metod B różne rozkłdy Niepewność stndrdową u oblicz się według wzoru: u = /k gdzie 1/k zleży od rodzju rozkłdu i wynosi: dl rozkłdu jednostjnego 0,58, dl rozkłdu trójkątnego 0,41, dl rozkłdu ntymodlnego V 0,71, dl rozkłdu ntymodlnego U 0,77, dl rozkłdu trpezowego 0,46.
Rozkłd jednostjny 0,58 f, ( dl 1 ) ( - s 577 3 0, 3 3 1 0 3 0 d X D
Rozkłd trpezowy 0,46 f () - - - - f, dl 3 4 3 4, dl 3 4 ), ( dl 3 4 3 4 ) ( s 4564 0, 4 5 Złożenie dwóch rozkłdów prostokątnych o różnej szerokości dje rozkłd trpezowy
Rozkłd trójkątny 0,41 - - ) 0, dl 0, ( dl ) ( f 6 3 4 0 0 3 4 d X D - - 6 0,408 s Złożenie dwóch rozkłdów prostokątnych o tej smej szerokości dje rozkłd trójkątny
Rozkłd ntymodlny V 0,71 - - f 0, dl,0 ( dl ) ( 4 0 0 4 d X D s 707 0,
Rozkłdy ntymodlne U dl f, 3 ) ( 3 - dl f, ) ( 4 3 - f, dl 1 1 π 1 ) ( - - s 3 5 s 3 s
Złożenie różnych typów rozkłdów r. + r. (równ szerokość) r. (rozkłd trójkątny) r. + r. (różn szerokość) rozkłd trpezowy r. + r. + r. + r. (min. 4 równej szerokość) r. normlny r. 7 (min. 7, o różnej szerokości) rozkłd normlny r. normlny + r. (trzykrotnie węższy) rozkłd normlny r. normlny + r. normlny rozkłd normlny r. normlny + r. (podobn szerokość) r. niesymetryczny (r. normlny) rozkłd niesymetryczny r. - ozn. rozkłd prostokątny
Centrlne twierdzenie grniczne Sum dużej liczby zmiennych losowych (o dowolnych rozkłdch) jest zmienną losową o rozkłdzie normlnym. Prmetr wynikowego rozkłdu normlnego jest równy sumie wrtości oczekiwnych prmetr jest równy pierwistkowi z sumy wrincji skłdowych zmiennych losowych Centrlne twierdzenie grniczne wyjątkowe znczenie rozkłdu normlnego
Rozkłd normlny f ( ;, ) 1 ( - ) - ep π f () - gęstość prwdopodobieństw wystąpieni wielkości lub jej błędu podleg rozkłdowi Guss - wrtością oczekiwn (może nią być średni rytmetyczn), - odchylenie stndrdowe, - wrincj rozkłdu Rozkłd normlny oznczmy też N(;, )
Skorzystno z: A.Mjhofer Anliz niepewności pomirowych i prcowni wstępn. UW. http://npef.igf.fuw.edu.pl/zdni/whdlo.pdf. Rozkłd normlny Guss f ( ;, ) 1 ( - ) - ep π Pomir o większym σ chrkteryzuje się większym rozrzutem wyników wokół wrtości średniej ztem mniejszą precyzją Skorzystno z: A.Mjhofer Anliz niepewności pomirowych i prcowni wstępn. UW. http://npef.igf.fuw.edu.pl/
Rozkłd normlny Guss Źródło: Wikipedi
Stndrdowy rozkłd normlny rozkłd znormlizownyny Guss jeśli = 0 i = 1 (możemy dokonć podstwieni: z - ) jego funkcj gęstości opisn jest wzorem f ( ; 1 0, 1) f ( ) ep 0,1 - π Uwg: Funkcje gęstości spełniją wrunek unormowni do 1. Funkcje są z tblicowne, wbudowne do rkusz klkulcyjnego, np. Ecel.
Wnioskownie n podstwie próby o momentch, czyli prmetrch rozkłdu prwdopodobieństw nzywmy wnioskowniem prmetrycznym. Rodzje wnioskowni prmetrycznego Wyróżni się trzy rodzje wnioskowni prmetrycznego: 1. Estymcj punktow;. Estymcj przedziłow; 3. Testownie hipotez.
Wrtość prwdopodobieństw W celu wyznczeni prwdopodobieństw tego, że wrtość znjduje się w przedzile (, b ), możn zstosowć metodę grficznego cłkowni lub wyznczyć prwdopodobieństwo nlitycznie lub skorzystć z wrtości dystrybunty rozkłdu normlnego stndryzownego (tblice wrtości, funkcje są z tblicowne, wbudowne do rkusz klkulcyjnego, np. Ecel).
Przedził ufności W przypdku estymcji przedziłowej, n podstwie wyników z wylosownej próby, konstruowny jest przedził liczbowy, który z określonym z góry prwdopodobieństwem pokryw wrtość prmetru estymownego. Przedził ten jest określny minem przedziłu ufności, ntomist prwdopodobieństwo poziomem (współczynnikiem) ufności. Poziom ufności (oznczny dlej jko ) możn zdefiniowć jko prwdopodobieństwo, że skonstruowny przedził ufności zwier wrtość prmetru estymownego. Przyjmuje się, że prwdopodobieństwo to spełni wrunek: 0,90. Istnieje określon relcj między wielkością poziomu ufności precyzją szcowni prmetru estymownego: im wyższy jest poziom ufności, tym mniejsz precyzj szcowni (większy błąd szcunku, większ rozpiętość przedziłu ufności).
Przedził ufności Przedziłem ufności o współczynniku ufności 1 α nzywmy tki przedził (, b ), który spełni wrunek: P 1- b Współczynnik ufności 1 α jest wielkością, którą możn interpretowć w nstępujący sposób: jest to prwdopodobieństwo wyznczeni tkiego przedziłu, że rzeczywist wrtość prmetru w populcji znjdzie się w tym przedzile. Im większ wrtość tego współczynnik, tym szerszy przedził ufności, więc mniejsz dokłdność estymcji prmetru. Im mniejsz wrtość 1 α, tym większ dokłdność estymcji, le jednocześnie tym większe prwdopodobieństwo popełnieni błędu. Wybór odpowiedniego współczynnik jest więc kompromisem pomiędzy dokłdnością estymcji ryzykiem błędu. W prktyce przyjmuje się zzwyczj wrtości: 0,99; 0,95 lub 0,90, zleżnie od prmetru.
Przedził ufności Prwdopodobieństwo α nzywne jest poziomem istotności odpowidjący mu obszr nzyw się obszrem krytycznym UWAGA: W Pordniku jko odpowiednik trdycyjnych pojęć, GUM przyjął konwencję, gdzie stosuje się: przedził objęci zmist przedził ufności prwdopodobieństwo objęci zmist poziom (współczynnik) ufności Rys. wykonno n podstwie rys. A3 z: A. Zięb: Anliz dnych. PWN, Wrszw 014.
Rys. wykonny n podstwie rys. A3 z: A.Zięb: Anliz dnych. PWN, Wrszw 014. Ilustrcj różnych prmetrów skli odchylenie grniczne U połow szerokości przedziłu objęci, odpowid: niepewność rozszerzon Dl kżdego rozkłdu symetrycznego, dl którego istnieje odchylenie stndrdowe, przedził objęci (, b ) możemy określić jko Jeśli k = to P 0,95. ( - k, + k)
Źródło: http://mrpw.elis.pl/wsti/roznosci/error/guss_b.gif W przedzile - - - 3 wszystkich wyników 3 zwier się zwier się zwier się 68,69 % 95,450 % 99,994 % Punkt przegięci krzywej znjduje się w odległości 1 od średniej
NIEPEWNOŚĆ ROZSZERZONA przypomnienie N potrzeby wnioskowni o zgodności wyniku pomiru z innymi rezulttmi Międzynrodow Norm wprowdz pojęcie NIEPEWNOŚCI ROZSZERZONEJ U() i WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZENIA k. NIEPEWNOŚĆ ROZSZERZONA wynosi U() = k u() i określ przedził ± U() otczjący wynik pomiru, w którym zwier się duż, z góry określon część wyników, jkie możn przypisć wielkości mierzonej. Typowe wrtości współczynnik rozszerzeni k mieszczą się w przedzile między 3.
Szcownie prmetrów metodą przedziłową Ogólny schemt postępowni w procedurze szcowni prmetrów metodą przedziłową możn ująć w nstępujących punktch: 1) z populcji generlnej losown jest prób sttystyczn, ) n podstwie wyników uzysknych z próby ustln jest wrtość estymtor odpowiedniego dl szcownego prmetru estymownego, 3) zkłdny jest poziom ufności uwzględnijący wynikjące z tego fktu konsekwencje w postci określonej precyzji szcowni prmetru estymownego, 4) z tblic sttystycznych odpowiedniego rozkłdu odczytywn jest włściw dl przyjętego poziomu ufności wrtość sttystyki teoretycznej, 5) uzyskne dl próby wrtości odpowiednich prmetrów orz odczytn z tblic wielkość sttystyki teoretycznej wstwine są do odpowiedniej formuły szcowni przedziłu ufności dl określonego prmetru estymownego; przedził ten zostje określony poprzez wyznczenie jego dolnej i górnej grnicy.
Rozkłd Student (rozkłd t lub rozkłd t-student) Rozkłd normlny nie stnowi dobrego przybliżeni rozkłdu wyników w przypdku młych prób (n < 30). Odchyleni od wrtości rzeczywistej w tkiej próbie są większe niż te przewidywne rozkłdem normlnym. Dobry rozkłd wyników pomirów opisuje tzw. funkcj rozkłdu t-student. Przy oprcowniu wyników pomirów często powstje zgdnienie oszcowni przedziłu, w którym leży, z określonym prwdopodobieństwem, rzeczywist wrtość mierzon, jeśli dysponujemy tylko wynikmi n pomirów, dl których możemy wyznczyć tkie prmetry, jk średni i odchylenie stndrdowe lub wrincj ( z próby ), nie znmy ntomist odchyleni stndrdowego w populcji. Zgdnienie to rozwiązł (w 1908 r.) W. S. Gosset (pseudonim Student) podjąc funkcję zleżną od wyników pomirów i, niezleżną od.
Rozkłd Student (rozkłd t lub rozkłd t-student) Źródło: Wikipedi
Model dl młej próby Mł prób - przyjmuje się trktowć próbę o liczebności n < 30. Estymtorem dl oszcowni wrtości średniej w populcji generlnej jest średni z próby Przyjmuje się złożenie, że rozkłd bdnej zmiennej w populcji generlnej m chrkter rozkłdu normlnego. Z populcji tej losown jest prób i n podstwie uzysknych z niej dnych wyznczn jest wrtość średni i odchylenie stndrdowe. Z góry zkłdny jest poziom ufności. Przedził ufności dl wrtości średniej w populcji generlnej szcowny jest według wzoru: - t t s E n -1 t t s n -1 Występując w powyższym wzorze wielkość t t jest wrtością sttystyki odczytywną z tblic rozkłdu t-student dl v = n 1 orz 1. Uzyskny przedził z prwdopodobieństwem równym poziomowi ufności pokryw nieznną wrtość średnią w populcji generlnej. Wrto zwrócić uwgę, iż otrzymny przedził jest symetryczny względem średniej z próby.
Model dl młej próby Przedził ufności dl wrtości średniej w populcji generlnej szcowny jest też według wzoru: -t s v, s E tv, gdzie współczynnik t v, - wrtości krytyczne rozkłdu t-student (tblice, rkusz klk.). UWAGA: Błędn byłby interpretcj, że szcown średni znjduje się w uzysknym przedzile z prwdopodobieństwem równym, poniewż to przedził jest zmienny, nie szcown wrtość średni (on jest wielkością stłą). Uwg t dotyczy estymcji wszelkich prmetrów szcownych metodą przedziłową.
Rys. Porównnie rozkłdu t-student z rozkłdem Guss. (W nwisch v liczb stopni swobody.) Rys. zczerpnięto z: P. Bilski, M. Dobies, A. Kozk, M. Mkrock-Rydzyk, Mteriły do ćwiczeń ze wstępu do prcowni fizycznej. Normy ISO i mtemtyk w lbortorium. Wyd. Nukowe UAM; 014.
Rys. Przedziły ufności dl różnych wrtości rozkłdu t-student Rys. znleziony w sieci.
v 1 0,8 0,6 0,4 0, 0,1 0,05 0,0 0,01 0,001 1 0,35 0,77 1,376 3,078 6,314 1,706 31,81 63,656 636,578 0,89 0,617 1,061 1,886,9 4,303 6,965 9,95 31,6 3 0,77 0,584 0,978 1,638,353 3,18 4,541 5,841 1,94 4 0,71 0,569 0,941 1,533,13,776 3,747 4,604 8,61 5 0,67 0,559 0,9 1,476,015,571 3,365 4,03 6,869 6 0,65 0,553 0,906 1,44 1,943,447 3,143 3,707 5,959 7 0,63 0,549 0,896 1,415 1,895,365,998 3,499 5,408 8 0,6 0,546 0,889 1,397 1,86,306,896 3,355 5,041 9 0,61 0,543 0,883 1,383 1,833,6,81 3,5 4,781 10 0,6 0,54 0,879 1,37 1,81,8,764 3,169 4,587 15 0,58 0,536 0,866 1,341 1,753,131,60,947 4,073 0 0,57 0,533 0,86 1,35 1,75,086,58,845 3,85 5 0,56 0,531 0,856 1,316 1,708,06,485,787 3,75 30 0,56 0,53 0,854 1,31 1,697,04,457,75 3,646 35 0,55 0,59 0,85 1,306 1,69,03,438,74 3,591 40 0,55 0,59 0,851 1,303 1,684,01,43,704 3,551 Tblic. Współczynniki rozkłdu t-student
Znjąc estymtory punktowe rozkłdu wrtości średniej, otrzymne z próby o młej liczebności (tj. E i s ) orz korzystjąc z wrtości krytycznych rozkłdu t-student Przedził ten określ się nstępująco P { -tv, s E tv, s} 1- gdzie -t s v, s E tv, przedził objęci (przedził ufności) 1 - prwdopodobieństwo objęci (poziom (współczynnik) ufności) - poziom istotności Zgodnie z zlecenimi norm ISO estymcję przedziłow wykonuje się n poziomie ufności 1 - = 0,9545, czyli dl poziomu istotności = 0,0455, dl którego wsp. t, 0,0455 = (obszr ).
Przykłd N wdze lbortoryjnej zwżono 9 rzy msę metlowego wlc. Wyniki pomirów msy wlc zpisne są w tbeli Lp. 1 3 4 5 6 7 8 9 m, g 54,9 54, 54,6 54,7 54, 54,7 54,4 54,6 54, m 54,5 g, s m 0,598 g, s 0,0866 g m Wykonć estymcję przedziłową dl wrtości średniej ms wlców, przyjmując nstępujący przedził ufności: 1 - = 0,8. Rozwiąznie Z tblicy zwierjącej wrtości krytyczne współczynników rozkłdu t-student odczytujemy współczynniki t v, dl liczby stopni swobody v = n 1 = 9 1 = 8 orz poziomu ufności 1 - = 0,8 czyli poziomu istotności = 0, który wynosi t 8; 0, = 1,397.
Aby określić przedził ufności dl wrtości średniej msy wlc, nleży znleźć wrtości grniczne tego przedziłu, które n podstwie wzoru P możn zpisć jko { { -tv, s E tv, s} 1- m t 8;0, m Obliczmy wrtość liczbową Wrtość oczekiwn średniej msy wlc E m zwier się z prwdopodobieństwem 1 - = 0,8 w przedzile s. t8 ;0, sm} 1,3970,0866 0,1098 0,1 Znjdujemy grnice przedziłu ufności dolną { m -t ; 0, sm} 54,50-1,397 0,0866 54,379 i górną m t s } 54,50 1,397 0,0866 54,61 8 { 8; 0, m Możemy to zwięźle zpisć 54,38 g E m 54,6 g m 54,6 g} 0,8 P{ 54,38 g E 54,38 54,6
Przedziłowe kryterium zgodności wyników pomirów Budujemy przedził domknięty dl wyniku eksperymentlnego w postci -U( ); U( ) Budujemy przedził domknięty dl wrtości tblicowej w postci T T -U( T ); T U( T ) Sprwdzmy, czy istnieje część wspóln obu przedziłów. Jeżeli istnieje to wyniki są zgodne, wówczs spełnion jest nstępując nierówność - T U( ) U( T ) T relcj to: kryterium zgodności wyników pomirów Uwg: zdrz się, że t nierówność jest spełnion dl niepewności stndrdowych. Wówczs nie m potrzeby sprwdzć dl niepewności stndrdowej rozszerzonej.
Przegląd - podsumownie Model losowy Przewodnik wprowdz dw podstwowe prmetry niepewności. Są to: niepewność stndrdow (stndrd uncertinty) - zdefiniown przez niepewność wyniku pomiru wyrżoną jko odchylenie stndrdowe"; niepewność rozszerzon (epnded uncertinty) - zdefiniown przez wielkość określjącą przedził wokół wyniku pomiru, tki że możn oczekiwć, iż obejmie on dużą część wrtości, które w uzsdniony sposób możn przyporządkowć wielkości mierzonej.".3.1 stndrd uncertinty - uncertinty of the result of mesurement epressed s stndrd devition.3.5 epnded uncertinty - quntity defining n intervl bout the result of mesurement tht my be epected to encompss lrge frction of 39 the distribution of vlues tht could resonbly be ttributed to the mesurnd
Przegląd - podsumownie Model losowy Istotnym problemem przy szcowniu niepewności pomirów w modelu losowym jest łączenie skłdników niepewności. Proces ten przebieg w nstępujących etpch: oszcownie niepewności stndrdowej typu A (rozkłd gussowski), przy wykorzystniu odchyleni stndrdowego próbki nie mniejszej niż 10 pomirów; oszcownie skłdowej niepewności stndrdowej typu B (rozkłd niegussowski); połączenie niepewności typu A i B, by dć niepewność rozszerzoną przy określonym poziomie ufności: U k s m 3 40
Przegląd - podsumownie Model losowy Niepewność rozszerzoną oblicz się przez pomnożenie pierwistk sumy kwdrtów niepewności typu A * (rozkłd gussowski) i typu B ** (nie-gussowski) przez współczynnik rozszerzeni k, określonego dl konkretnego poziomu ufności. * Przewodnik, 4. ** Przewodnik, 4.3 wsp. k (zleżny od liczby pomirów orz poziomu ufności ) 41
Przegląd - podsumownie Model losowy W prktyce lbortoryjnej będziemy stosowć nstępujące zleżności: -odchylenie stndrdowe poszczególnego wyniku pomiru (Przewodnik, 4..): n 1 S S - - i i i n 1 i1 - odchylenie stndrdowe średniej rytmetycznej (Przewodnik, 4..3): S n 1 S i - n n-1 S i1 S i n 4
Przegląd - podsumownie Model losowy Tk więc, dl skończonej serii pomirów mmy: ˆ n, t S gdzie: 1 n i n i 1 n 1 S i - n n-1 i1 43
Przegląd podsumownie Szcownie błędów i niepewności pomirów pośrednich Kompletny wynik pomiru skłd się z: - estymty wrtości wielkości mierzonej, - miry niedokłdności, - mnożnik (jeżeli jest potrzebny), - jednostki wielkości mierzonej. 44
Zpisnie kompletnego wyniku pomiru Nleży stosowć się do nstępujących zsd: - estymt wrtości i jej grniczny błąd bezwzględny wyrż się w tym smym formcie, przyjmując dl błędu (niepewności) jedną lub dwie cyfry znczące; - przyjmujemy dwie cyfry znczące niepewności w przypdku gdy jej zokrąglenie do jednej cyfry znczącej spowodowłoby wzrost wrtości tej niepewności o więcej niż 10 %; - grniczny błąd bezwzględny zokrąglmy zwsze w górę ; - wynik pomiru zokrąglmy w sposób klsyczny ; - Osttni cyfr zncząc w kżdym wyniku powinn być tego smego rzędu (stć n tym smym miejscu dziesiętnym) co błąd. 45
Przykłd: Zpisnie kompletnego wyniku pomiru R = (135,57489 ± 0,046963) - źle!!! R = (135,57 ± 0,05) - dobrze!!! m = (1,58997671 ± 0,01341799) kg - źle!!! m = (1,590 ± 0,014) kg - dobrze!!! d = (0,0037688631 ± 0,00001178) m źle!!! d = (3,769 ± 0,01)10-3 m dobrze!!! 46
PRZYKŁAD ZALECANEGO SPOSOBU ZAPISU NIEPEWNOŚCI NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA g = 9,781 m/s u(g) = 0,076 m/s g = 9,781(76) m/s NIEPEWNOŚĆ ROSZERZONA g = 9,78 m/s U(g) = 0,15 m/s g = (9,78 ± 0,15) m/s
Przegląd podsumownie Pomiry w Prcowni Fizycznej Kżdy pomir w lbortorium jest obrczony niepewnością pomirową, którą eksperymenttor musi określić zgodnie z pewnymi zsdmi. W pierwszej kolejności nleży przenlizowć źródł błędów, pmiętjąc, by wyeliminowć wyniki obrczone błędem grubym. W lbortorium studenckim błędy systemtyczne z reguły przewyższją błędy przypdkowe. Wielokrotne powtrznie pomirów, gdy dominuje błąd systemtyczny, nie m sensu. W tkim przypdku dokonujemy tylko 3-5 pomirów w tych smych wrunkch w celu sprwdzeni powtrzlności.
Powtórzeni Niepewność stndrdow pomiru Niepewność stndrdow u niepewność wyrżon w formie odchyleni stndrdowego. Niepewność stndrdow złożon u c niepewność stndrdow wyniku pomiru, gdy wynik ten jest otrzymny z wrtości pewnej liczby innych wielkości (w pomirze pośrednim). Niepewność rozszerzon U to wielkość powiązn z pewnym poziomem ufności U = k u
OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH BEZPOŚREDNICH 1. Wykonujemy serię (skończoną) pomirów. Wielkością njbrdziej prwdopodobną jest średni rytmetyczn : n i 1 n i 3. Niepewność stndrdow pojedynczego pomiru u() (tzw. odchylenie stndrdowe pojedynczego pomiru S ) u( ) S 1 n -1 n - i i1
Eksperymenttor brdziej interesuje niepewność wyniku czyli wrtości średniej Niepewność stndrdow średniej: u S S n n i1 n i n - -1
OCENA NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B Njczęstszym przykłdem oceny niepewności metodą typu B jest wyznczenie niepewności wynikjącej z dokłdności przyrządu (niepewności wzorcowni). Przyrząd pomirowy powinien gwrntowć tką dokłdność by wynik pomiru różnił się od wrtości rzeczywistej nie więcej niż o dziłkę elementrną - p. Wiemy, że odchylenie wyniku pomiru od wrtości rzeczywistej nie wykrcz poz przedził ± p tzn. wrtość rzeczywist zwier się n pewno w przedzile ( - p, + p ). W njprostszym przypdku możemy przyjąć, że prwdopodobieństwo uzyskni dowolnej wrtości z tego przedziłu jest tkie smo tzn. opisuje je rozkłd równomierny (jednorodny). Jeżeli skorzystmy ze wzoru n dyspersję rozkłdu równomiernego to otrzymmy nstępujące wyrżenie n niepewność stndrdową: u( ) Δp 3
OCENA NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B NIEPEWNOŚĆ CAŁKOWITA Przyczynkmi niepewności pomirów są niepewność wzorcowni d, niepewność eksperymenttor e orz niepewności wyników zczerpniętych z litertury, tblic mtemtycznych lub klkultor t. Wówczs niepewność stndrdow powinn być obliczon ze wzoru u( ) ( d) 3 ( e) 3 ( t ) 3
NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA POMIARÓW POŚREDNICH k i i i c u f y u 1 ) ( ) ( - 1 1 1 1 ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( k i k i j j i j i j i k i i i c r u u f f u f y u Niepewność stndrdową dl pomirów pośrednich nieskorelownych oblicz się ze wzoru: Ntomist w celu wyznczeni niepewność stndrdowej dl pomirów pośrednich skorelownych nleży uwzględnić korelcje zchodzące pomiędzy wielkościmi mierzonymi bezpośrednio:
NIEPEWNOŚĆ CAŁKOWITA W przypdku gdy występują obydw typy niepewności równocześnie wyznczmy STANDARDOWĄ NIEPEWNOŚĆ CAŁKOWITĄ (złożoną) wykorzystując prwo propgcji niepewności. u u ( ) u ( c ( ) A B ) gdzie: u c () niepewność cłkowit, u A () niepewność obliczon z rozrzutu sttystycznego serii wyników pomirów, u B () niepewność obliczon inną drogą niż z rozrzutu wyników. Prwo propgcji niepewności w powyższej formie wynik z prw propgcji wrincji. Pondto powyższy wzór zkłd, że czynniki odpowiedzilne z ob typy niepewności są od siebie niezleżne.
NIEPEWNOŚĆ CAŁKOWITA Jeśli obydw typy niepewności, A i B, występują równocześnie, to nleży posłużyć się nstępującym wzorem n niepewność stndrdową (cłkowitą): 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( 1) ( 1 ) ( ) ( ) ( t e d 1 B A n n u u u n i i - -
NIEPEWNOŚĆ ROZSZERZONA N potrzeby wnioskowni o zgodności wyniku pomiru z innymi rezulttmi Międzynrodow Norm wprowdz pojęcie NIEPEWNOŚCI ROZSZERZONEJ i WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZENIA k. NIEPEWNOŚĆ ROZSZERZONA wynosi U() = k u() U() i określ przedził ± U() otczjący wynik pomiru, w którym zwier się duż, z góry określon część wyników, jkie możn przypisć wielkości mierzonej. Typowe wrtości współczynnik rozszerzeni k mieszczą się w przedzile między 3.
Bibliogrfi podstwow i uzupełnijąc wybrn 1. Guide to the Epression of Uncertinty in Mesurement, ISO, Switzerlnd 1995. The NIST Reference on Constnts, Units, nd Uncertinty, http://physics.nist.gov/cuu/uncertinty/inde.html Wyrżnie niepewności pomiru: Przewodnik, Główny Urząd Mir, Wrszw 1999.. A. Zięb, Anliz dnych w nukch ścisłych i technicznych. PWN, Wrszw, 014. 3. P. Bilski, M. Dobies, A. Kozk, M. Mkrock-Rydzyk, Mteriły do ćwiczeń ze wstępu do prcowni fizycznej. Normy ISO i mtemtyk w lbortorium. Wyd. Nukowe UAM; 014. 4. H.Szydłowski, Niepewności w pomirch. Międzynrodowe stndrdy w prktyce. Wydwnictwo Nukowe UAM, Poznń 001. 5. R. Jniczek, Metody oceny niepewności pomirów. Wyd. Prc. Komputerowej Jck Sklmierskiego. Ktowice-Gliwice 008. 6. E.Dębowsk, MĘDZYNARODOWE NORMY OCENY NIEPEWNOŚCI POMIARÓW. IFD UWr., Wrocłw 003 (plik). 7. H. Szydłowski (red), Teori pomirów. PWN, Wrszw 1981 8. H. Szydłowski, Prcowni fizyczn. PWN, Wrszw 1999. 9. J.R.Tylor, Wstęp do nlizy błędu pomirowego. PWN, Wrsz 1995. 10. G. L.Squires, Prktyczn fizyk, Wydwnictwo Nukowe PWN, Wrszw, 199. 11. J.L. Kcperski, Oprcownie dnych pomirowych, Wyd. UŁ, Łódź 1997. 1. Elektroniczny Podręcznik Sttystyki PL, Krków, SttSoft (006). WEB: http://www.sttsoft.pl/tetbook/stthome.html.
Odnośniki do stron www Andrzej Zięb: Rozdz. 1. Oprcownie dnych pomirowych: http://www.ftj.gh.edu.pl/zdf/dnepom.pdf Rozdz. 1. Oprcownie dnych pomirowych; Rozdz.. Pomir: liczby i obliczeni liczbowe http://cyfrotek.pl/ebooki/anliz_dnych_w_nukch_scislych_i_technice-ebook/p040791i040#drmowy-frgment R.Jniczek, Metody oceny niepewności pomirów. Wyd. Prc. komputerowej Jck Sklmierskiego, Ktowice-Gliwice 008 Rys. 6. Ogólne zleceni określeni wrtości współczynnik rozszerzeni k http://chip.wior.pl/science/pn/files/streszczeni/007%0iv%00%0-%0str%0ref%0-%0r%0jniczek.doc