Rozdzia l 11. Liczby kardynalne 1. Równoliczność zbiorów Definicja. Dla dowolnych zbiorów x, y : x jest równoliczny z y, gdy istnieje funkcja f : x y, która jest bijekcj a. Zauważmy, że funkcja f : y, gdzie y, tzn. f = nie jest bijekcj a, gdyż nie przekszta lca zbioru na niepusty zbiór y. Zatem zbiór nie jest równoliczny z żadnym niepustym zbiorem. Tymczasem, gdy y =, funkcja f :, a wiȩc znowu f =, jest bijekcj a, zatem zbiór pusty jest równoliczny wy l acznie sam ze sob a. W ogólności mamy: Twierdzenie 1: X jest równoliczny z X. Dowód: Oczywisty na podstawie Tw.4, Rozdzia l 4. Twierdzenie 2: X jest równoliczny z Y Y jest równoliczny z X. Dowód: Oczywisty na podstawie Twierdzeń 8, 9, Rozdzia l 4. Twierdzenie 3: X jest równoliczny z Y Y jest równoliczny z U X jest równoliczny z U. Dowód: Oczywisty na mocy Tw.10, Rozdzia l 4. Jako przydatne ćwiczenie udowodnimy nastȩpuj ace Twierdzenie 4: Dla dowolnego zbioru X : X jest równoliczny z S(X) wtw S(X) jest równoliczny z S(S(X)). Dowód: ( ): Za lóżmy, że X jest równoliczny z S(X). Niech zatem f : X S(X) bȩdzie bijekcj a. Jest jasne, że wówczas funkcja g : X {X} S(X) {S(X)} zdefiniowana nastȩpuj aco: a X, g(a) = f(a) oraz g(x) = S(X), jest bijekcj a. Zatem S(X) jest równoliczny z S(S(X)). ( ): Za lóżmy, że S(X) jest równoliczny z S(S(X)). Niech wiȩc f 1 : X {X} S(X) {S(X)} bȩdzie bijekcj a. Jeśli f 1 (X) = S(X), to naturalnie f 1 X : X S(X) jest bijekcj a, zatem X jest równoliczny z S(X). Przypuśćmy, że f 1 (X) S(X). Wówczas oczywiście: (1) f 1 (X) S(X). Jednakże, ponieważ f 1 jest na, wiȩc dla pewnego a X {X} mamy: (2) f 1 (a) = S(X). Naturalnie z (2), a X, skoro f 1 (X) S(X). Zatem (3) a X.
2. Liczba kardynalna zbioru 142 Ponadto, (4) y X(y a f 1 (y) S(X)). Gdyby bowiem dla jakiegoś y X by lo tak, że y a oraz f 1 (y) S(X), to wówczas f 1 (y) = S(X). Zatem z (2) by loby f 1 (y) = f 1 (a), co implikuje y = a, bo f 1 jest 1-1; sprzeczność. Na mocy (1), (3), (4) możemy określić funkcjȩ g 1 : X S(X) jak nastȩpuje: dla dowolnego y X, { f1 (X) gdy y = a g 1 (y) = f 1 (y) gdy y a. Jak widać, funkcja g 1 przyjmuje na wszystkich elementach swojej dziedziny, oprócz elementu a, te same wartości co funkcja f 1 na tych elementach, zatem (5) g 1 (X {a}) = f 1 (X {a}). Ponadto, (6) g 1 (a) = f 1 (X). Skoro f 1 : S(X) S(X) {S(X)} jest bijekcj a, wiȩc, na mocy (2), obciȩcie f 1 (S(X) {a}) jest bijekcj a przekszta lcaj ac a zbiór S(X) {a} na zbiór S(X). Lecz z (3), S(X) {a} = (X {a}) {X}, zaś f 1 ((X {a}) {X}) = (f 1 (X {a})) {<X, f 1 (X)>}. Skoro wiȩc (f 1 (X {a})) {<X, f 1 (X)>} jest bijekcj a przekszta lcaj ac a zbiór (X {a}) {X} na zbiór S(X), to na mocy (5), funkcja (g 1 (X {a})) {<a, f 1 (X)>} jest bijekcj a przekszta lcaj ac a zbiór X na S(X). Jednakże wed lug (6), (g 1 (X {a})) {<a, f 1 (X)>} = g 1, zatem g 1 jest bijekcj a przekszta lcaj ac a X na S(X); ostatecznie X jest równoliczny z S(X). 2. Liczba kardynalna zbioru Jest jasne, na podstawie Twierdzeń 1, 2, 3, że relacja równoliczności na klasie wszystkich zbiorów ma wszystkie w lasności relacji równoważnościowej. Wskazuje wiȩc ona pewien aspekt, wzglȩdem którego dwa zbiory równoliczne s a podobne (por. Rozdzia l 6). Oczywiście, tym aspektem czy w lasności a, jest ilość elementów w zbiorze. Zatem dwa zbiory s a w relacji równoliczności wtw maj a tȩ sam a wartość ilości wtw maj a tȩ sam a ilość elementów. Już wcześniej, np. w dowodzie lematu do Tw.21, Rozdzia l 1, wykorzystaliśmy fakt istnienia bijekcji przekszta lcaj acej jeden zbiór na drugi, dla stwierdzenia, że zbiory te maj a tak a sam a ilość elementów. Oczywiście informacja, że dane zbiory maj a tȩ sam a ilość elementów, nie mówi nam nic o tym, ile jest elementów w każdym z tych zbiorów. Podobnie, wiedz ac jedynie, że dwa cia la materialne maj a tȩ sam a temperaturȩ, nie wiemy jak a te cia la maj a temperaturȩ. W tym przypadku jednak dysponujemy miar a temperatury, mianowicie mamy takie cia la (np. rtȩć czy alkohol w termometrach), z do l aczon a do nich skal a, dziȩki której odczytujemy ich temperaturȩ. Wiedz ac, że cia lo w termometrze ma tȩ sam a temperaturȩ co dane inne cia lo, jesteśmy w stanie podać temperaturȩ tego danego cia la. W przypadku zbiorów, potrzebujemy w laśnie takiej miary, czyli takich zbiorów (odpowiedników cia l
2. Liczba kardynalna zbioru 143 wystȩpuj acych w termometrach), których ilość elementów jest znana i które można porównywać pod wzglȩdem ilości elementów z innymi zbiorami. Takimi specjalnymi zbiorami s a pewne liczby porz adkowe. Twierdzenie 5: Dla dowolnego niepustego zbioru X istnieje liczba porz adkowa α z nim równoliczna. Dowód: oczywisty na mocy Tw.9, Rozdzia l 10 oraz faktu, że dla dowolnego niepustego zbioru istnieje funkcja wyboru. Niech X bȩdzie dowolnym niepustym zbiorem. Na mocy Tw.5 istnieje liczba porz adkowa α równoliczna z X. Istnieje wiȩc (Tw.21, Rozdzia l 8) najmniejsza liczba porz adkowa α taka, że α jest równoliczna z X. Definicja. Dla dowolnego niepustego zbioru X najmniejsz a liczbȩ porz adkow a α tak a, że α jest równoliczna z X nazywamy liczb a kardynaln a zbioru X. Liczbȩ porz adkow a nazywamy liczb a kardynaln a zbioru. Jest to również najmniejsza (bo jedyna) liczba porz adkowa równoliczna ze zbiorem. Dla dowolnego zbioru X wprowadzamy 1-argumentow a operacjȩ card przyporz adkowuj ac a każdemu zbiorowi X jego liczbȩ kardynaln a. Zatem card(x) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a równoliczn a z X, czyli card(x) jest równoliczna z X oraz dla dowolnej liczby porz adkowej α, jeżeli α jest równoliczna z X, to card(x) α. Liczbȩ porz adkow a α nazywamy liczb a kardynaln a, gdy dla pewnego zbioru X, α = card(x). Liczba kardynalna jest wiȩc wyróżnionym zbiorem wśród wszystkich zbiorów maj acych tȩ sam a co ona ilość elementów. Innymi s lowy, jest ona wyróżnionym reprezentantem klasy abstrakcji wzglȩdem relacji równoliczności. Formalnie nie wprowadzamy do teorii ZFC pojȩcia klasy abstrakcji wzglȩdem relacji równoliczności, ponieważ taka klasa abstrakcji, zależnie od jej reprezentanta, na ogó l nie jest zbiorem. Sama przecież relacja równoliczności nie jest w ZFC relacj a binarn a (równoważnościow a), nie istnieje bowiem zbiór, na którym by by la ona określona (zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje). Niemniej, bior ac pod uwagȩ Tw.3(2), Rozdzia l 6, można by nieformalnie napisać: dla dowolnych zbiorów X, Y : X jest równoliczny z Y wtw [X] = [Y ], gdzie [X], [Y ] by lyby klasami abstrakcji wzglȩdem relacji równoliczności. Dysponuj ac wyróżnionym reprezentantem klasy abstrakcji [X] jakim jest card(x), można zupe lnie poprawnie pod wzglȩdem formalnym sformu lować odpowiednik powyższego twierdzenia: Twierdzenie 6: Dla dowolnych zbiorów X, Y : X jest równoliczny z Y wtw card(x) = card(y ).
2. Liczba kardynalna zbioru 144 Dowód: Niech X, Y bȩd a dowolnymi zbiorami. ( ): Za lóżmy, że X jest równoliczny z Y. Z definicji liczby kardynalnej mamy: (1) card(x) jest równoliczna z X, (2) α(α jest liczb a porz adkow a α jest równoliczna z X card(x) α), (3) card(y ) jest równoliczna z Y, (4) α(α jest liczb a porz adkow a α jest równoliczna z Y card(y ) α). Zatem z za lożenia oraz (1), na mocy Tw.3, card(x) jest równoliczna z Y, co wraz z (4) implikuje inkluzjȩ card(y ) card(x). Ponadto, z za lożenia, na mocy Tw.2, Y jest równoliczny z X, dlatego wobec (3), na mocy Tw.3, card(y ) jest równoliczna z X. Zatem z (2), card(x) card(y ). Ostatecznie, card(x) = card(y ). ( ): Za lóżmy, że card(x) = card(y ). Wówczas, skoro card(x) jest równoliczny z X, wiȩc card(y ) jest równoliczny z X, czyli na mocy Tw.2, X jest równoliczny z card(y ). Lecz card(y ) jest równoliczny z Y. Zatem na mocy Tw.3, X jest równoliczny z Y. Wniosek: Dla dowolnego zbioru X, card(card(x)) = card(x). Dowód: Ponieważ zbiór card(x) jest równoliczny z X, wiȩc na mocy Tw.6, card(card(x)) = card(x). Oczekujemy, że wyróżnienie spośród wszystkich zbiorów maj acych tȩ sam a ilość elementów jednego zbioru, zwanego ich liczb a kardynaln a, umożliwi odpowiedź na pytanie, ile jest elementów w każdym z tych zbiorów. Bior ac pod uwagȩ wzmiankowan a analogiȩ z temperatur a, wyróżnienie wśród wszystkich cia l maj acych identyczn a temperaturȩ tego cia la, które znajduje siȩ w termometrze, ma sens dlatego, że jest do niego do l aczona skala wskazuj aca jego temperaturȩ. Czy zatem techniczne przecież wyróżnienie liczby kardynalnej jest sensowne dlatego, że znana jest ilość jej elementów? Aby odpowiedzieć na to pytanie należa loby wcześniej rozważyć pojȩcie ilości elementów w zbiorze. Na gruncie teorii mnogości ZFC każdy obiekt teoriomnogościowy jest zbiorem. Jeżeli wiȩc w ramach ZFC rozważamy formu lȩ postaci x jest ilości a elementów zbioru A lub ilość elementów zbioru A wynosi x, to x musi być nazw a jakiegoś zbioru. Co wiȩcej, różne ilości elementów musz a być ze sob a porównywalne. Jeśli zatem uznać te dwa czynniki: bycie zbiorem oraz porównywalność, jako minimaln a charakterystykȩ pojȩcia ilości elementów, to wówczas można by utożsamić ilość elementów zbioru z jego liczb a kardynaln a. Przes lankami dla tego utożsamienia s a: Tw.6, które mówi, że dwa zbiory maj a tȩ sam a ilość elementów wtw maj a one tȩ sam a liczbȩ kardynaln a, oraz fakt, że liczby kardynalne jako liczby porz adkowe s a porównywalne (wed lug relacji porz adkuj acej ). Uzasadnienie dla utożsamienia ilości elementów zbioru z jego liczb a kardynaln a można wzmocnić przez odwo lanie siȩ do analogii z temperatur a. Ostatecznie skala temperatury jest przecież ustalona niemal zupe lnie arbitralnie. Prawdziwe stwierdzenie, że wartość temperatury danego cia la wynosi x stopni wed lug danej skali, można zast apić prawdziwym stwierdzeniem, że wartość temperatury tego
2. Liczba kardynalna zbioru 145 cia la wynosi y stopni w innej skali. To, co uznamy za wartość temperatury nie jest istotne. Istotne jest to, aby te wartości można porównywać oraz odnosić do wartości innych parametrów termodynamicznych. W ten sposób, na pytanie, czy znana jest ilość elementów liczby kardynalnej, odpowiedzielibyśmy nastȩpuj aco: tak, bowiem t a ilości a jest ona sama (por. również Wniosek powyżej). Konsekwentnie, wyróżnienie wśród wszystkich zbiorów równolicznych ich liczby kardynalnej jest sensowne dlatego, że w ten sposób wyróżniamy ten zbiór, który jest ilości a (reprezentuje w ZFC ilość) elementów w każdym z tych zbiorów. Jednakże utożsamienie ilości elementów zbioru z jego liczb a kardynaln a, precyzyjniej, sformalizowanie czy reprezentowanie na gruncie ZFC pojȩcia ilości elementów zbioru w postaci liczby kardynalnej tego zbioru, może budzić pewne w atpliwości. Oto przecież wyrażenie: ilość obiektów, przynajmniej wówczas gdy tych obiektów jest skończenie wiele, ma w jȩzyku potocznym zupe lnie precyzyjne znaczenie. To, jaka jest ta ilość, nie jest wcale kwesti a wyboru jakiejś skali. Skala jest jedna: ci ag liczb naturalnych. Oczywiście wyrażenie ilość w sformu lowaniu ilość elementów w zbiorze ma mieć to samo znaczenie co w jȩzyku potocznym. W 8, Rozdzia l 1, definiuj ac zbiór n-elementowy, gdzie n jest liczb a naturaln a, implicite wyraziliśmy fakt, że ilość (w sensie potocznym) elementów w takim zbiorze wynosi n, gdzie n jest liczb a naturaln a. Jest oczywiste, że jakiekolwiek dwa zbiory n-elementowe s a równoliczne. Powstaje pytanie, czy ich liczba kardynalna wynosi n. Jeśli nie, to reprezentacja ilości elementów w zbiorze w postaci liczby kardynalnej tego zbioru jest bezwartościowa. Powyższe pytanie ma sens oczywiście wówczas, gdy liczbȩ naturaln a n postrzegamy nie jako abstrakcyjny obiekt s luż acy do zliczania (ze standardowego modelu arytmetyki liczb naturalnych), lecz obiekt teoriomnogościowy, tzn. jako liczbȩ porz adkow a (zbiór n-elementowy) n = {0, 1,..., n 1}, gdzie 0 =, 1 = S( ) itd. Natychmiast stwierdzamy równoliczność dowolnego n-elementowego zbioru z tak a liczb a n. Pytanie nasze sprowadza siȩ wiȩc do nastȩpuj acego: czy card(n) = n? Intuicyjnie jest jasne, (bior ac pod uwagȩ definicjȩ liczby kardynalnej), że odpowiedź jest twierdz aca. Uzasadnimy j a w nastȩpnym paragrafie poświȩconym w ogólności liczbom kardynalnym liczb porz adkowych (zob. Tw.15). W przypadku zbioru nieskończonego, nie widać przeszkód ze strony potocznego rozumienia s lowa ilość, dla pojmowania liczby kardynalnej takiego zbioru jako ilości jego elementów. Zauważmy jeszcze, że podobieństwo miȩdzy danym zbiorem X a jego liczb a kardynaln a card(x), ze wzglȩdu na ilość elementów, poci aga za sob a podobieństwo tych zbiorów pod innym jeszcze wzglȩdem uporz adkowania elementów. Ponieważ card(x) jest liczb a porz adkow a, wiȩc < card(x), > jest zbiorem dobrze uporz adkowanym (por. 1, Rozdzia l 9). Porz adek ten jest odtwarzalny w zbiorze X, jak wskazuje dowód nastȩpuj acego twierdzenia: Twierdzenie 7: Dla dowolnego niepustego zbioru X istnieje relacja czȩściowo porz adkuj aca na X taka, że <X, > jest zbiorem dobrze uporz adkowanym.
2. Liczba kardynalna zbioru 146 Dowód: Niech X bȩdzie dowolnym niepustym zbiorem. Rozważmy dobrze uporz adkowany zbiór <card(x), >. Skoro zbiory card(x), X s a równoliczne, niech wiȩc f : card(x) X bȩdzie bijekcj a. Wówczas naturalnie X = f (card(x)). Zatem, wed lug Tw.19, Rozdzia l 5, relacja zdefiniowana na X nastȩpuj aco: a, b X(a b wtw f (a) f (b)), jest relacj a czȩściowo porz adkuj ac a oraz <X, > jest zbiorem dobrze uporz adkowanym. Aby podać charakterystykȩ pojȩcia liczby kardynalnej w terminach liczb porz adkowych, porównajmy najpierw dowoln a liczbȩ porz adkow a z jej liczb a kardynaln a: Twierdzenie 8: Dla dowolnej liczby porz adkowej α: card(α) α (tzn. card(α) α lub card(α) = α). Dowód: Z definicji liczby kardynalnej mamy: β(β jest równoliczna z α card(α) β). Na mocy Tw.1, α jest równoliczna z α, zatem card(α) α. Twierdzenie 9: Dla dowolnej liczby porz adkowej α nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) α jest liczb a kardynaln a (tzn. dla pewnego X, α = card(x)), (ii) card(α) = α, (iii) β(β α card(β) card(α)). Dowód: Niech α bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a. (i) (ii): Oczywisty na mocy Wniosku z Tw.6. (ii) (i): Oczywisty. (ii) (iii): Za lóżmy, że card(α) = α oraz β α. Zatem β card(α). Wed lug Tw.8, card(β) β lub card(β) = β. St ad (Tw.14, Rozdzia l 8) card(β) card(α). (iii) (ii): Za lóżmy (iii) oraz nie wprost, że card(α) α. Wówczas z Tw.8, card(α) α. Zatem z (iii) uzyskujemy: card(card(α)) card(α) i konsekwentnie, na mocy wniosku z Tw.6, card(α) card(α), co jest niemożliwe. Jak widać, liczby kardynalne to te liczby porz adkowe α, dla których zachodzi równość card(α) = α, natomiast liczby porz adkowe nie bȩd ace liczbami kardynalnymi to te liczby α, dla których zachodzi: card(α) α (na mocy Tw.8). Uogólniamy Tw.8 do nastȩpuj acego twierdzenia: Twierdzenie 10: Dla dowolnego zbioru liczb porz adkowych x oraz dowolnej liczby porz adkowej β, x β card(x) β. Dowód: Gdy x =, to card(x) =, a zatem prawd a jest, że x β card(x) β dla dowolnej β. Niech wiȩc x. Za lóżmy, że (1) x β oraz (2) card(x) β,
2. Liczba kardynalna zbioru 147 dla pewnej liczby porz adkowej β. Z (2) mamy natychmiast: (3) β card(x). Na mocy Tw.9, Rozdzia l 10, niech α bȩdzie liczb a porz adkow a tak a, że funkcja din(α, x, h(α, x, wb(x))) α jest bijekcj a przekszta lcaj ac a zbiór α na zbiór liczb porz adkowych x. Oznaczmy jak poprzednio, d α = din(α, x, h(α, x, wb(x))). Ponieważ α jest równoliczna z x, wiȩc na mocy Tw.6, card(α) = card(x). Zatem z Tw.8 mamy: card(x) α, sk ad wobec (3), otrzymujemy: (4) β α. Ponieważ d α(α) = x, wiȩc na mocy (4), d α(β) x. Zatem z (1), (5) d α(β) β. Lecz jednocześnie na mocy (4), β α oraz β α. Zatem dla pewnej γ : γ α oraz γ β. Przypuszczenie, że d α(γ) d α (β) prowadzi do równości d α(γ) = d α(δ), dla pewnej δ β. Wówczas jednak, γ = δ, bo d α α jest różnowartościowa, zatem γ β, co jest niemożliwe. Ostatecznie d α(γ) d α(β), lecz d α(γ) x (bo γ α), zatem x d α(β). St ad i z (4), na mocy Tw.11, Rozdzia l 10, otrzymujemy: β d α(β), sk ad wobec (5), d α(β) d α(β), co jest niemożliwe. Obecnie podamy kilka faktów charakteryzuj acych liczby kardynalne dowolnych zbiorów. Najpierw wykorzystamy Tw.10 w dowodzie, jeśli nie oczywistego, to przynajmniej zgodnego z intuicjami twierdzenia, mówi acego, że operacja card jest monotoniczna: Twierdzenie 11: Dla dowolnych zbiorów X, Y : X Y card(x) card(y ). Dowód: Niech X Y. Ponieważ Y jest równoliczny z card(y ), wiȩc niech f : Y card(y ) bȩdzie bijekcj a. Wówczas naturalnie obciȩcie f X : X (f X)(X) jest bijekcj a. Zatem zbiory X oraz ( f X)(X) s a równoliczne, czyli na mocy Tw.6 mamy: (1) card(( f X)(X)) = card(x). Lecz (2) ( f X)(X) = f (X) card(y ). Z (2), na mocy Tw.10 (oczywiście ( f X)(X) jako podzbiór liczby porz adkowej card(y ) jest zbiorem liczb porz adkowych) otrzymujemy: card(( f X) (X)) card(y ), co wobec (1) daje: card(x) card(y ). Nastȩpne twierdzenie jest odpowiednikiem Tw.6: Twierdzenie 12: Dla dowolnych zbiorów X, Y, card(x) card(y ) wtw istnieje funkcja f : X Y, która jest różnowartościowa. Dowód: ( ): Za lóżmy, że card(x) card(y ). Naturalnie card(y ) jest równoliczna z Y. Niech wiȩc g : card(y ) Y bȩdzie bijekcj a. Na mocy
2. Liczba kardynalna zbioru 148 za lożenia, rozważmy jej obciȩcie g card(x). Niew atpliwie g card(x) jest bijekcj a przekszta lcaj ac a card(x) na zbiór g (card(x)), bȩd acy podzbiorem zbioru Y. Skoro X jest równoliczny z card(x), niech wiȩc h : X card(x) bȩdzie bijekcj a. Wówczas z lożenie bijekcji h (g card(x)) : X g (card(x)) jest bijekcj a (Tw.10, Rozdzia l 4). Zatem, ponieważ g (card(x)) Y, wiȩc h (g card(x)) : X Y jest różnowartościowa. ( ): Za lóżmy, że f : X Y jest funkcj a różnowartościow a. Wówczas f : X f (X) jest bijekcj a, czyli zbiory X, f (X) s a równoliczne. Konsekwentnie, wed lug Tw.6, card(x) = card( f (X)). Lecz f (X) Y, zatem na mocy Tw.11, card( f (X)) card(y ). Ostatecznie card(x) card(y ). Twierdzenie 13: Dla dowolnych zbiorów X, Y, jeżeli f : X Y jest funkcj a przekszta lcaj ac a X na Y, to card(y ) card(x). Dowód: Za lóżmy, że f : X Y jest na. Gdy X =, to wówczas z za lożenia również Y = (bo gdyby Y, to jedyna funkcja f Y, tzn. f = nie by laby na ), zatem card(y ) card(x). Za lóżmy, że X. Na mocy Tw.12, Rozdzia l 6, rozważmy bijekcjȩ g : X/ f Y tak a, że dla dowolnego a X, g([a] f ) = f(a), gdzie f jest relacj a równoważności na X wyznaczon a przez funkcjȩ f (tzn. a f b wtw f(a) = f(b)). Naturalnie funkcja odwrotna do g, a wiȩc g jest bijekcj a przekszta lcaj ac a zbiór Y na zbiór ilorazowy X/ f (Tw.8,9, Rozdzia l 4). Ponadto X/ f jest podzia lem zbioru X (Tw.5, Rozdzia l 6). Rozważmy wiȩc aksjomat wyboru w wersji (AxC) ( 3, Rozdzia l 10) dla podzia lu X/ f niepustego zbioru X. Wówczas stwierdzamy istnienie zbioru U takiego, że dla dowolnego Z X/ f, zbiór U Z ma dok ladnie jeden element. Dla każdego Z X/ f oznaczmy ten jedyny element zbioru U Z jako a Z. Rozważyć wiȩc można funkcjȩ h : X/ f X określon a nastȩpuj aco: dla dowolnego Z X/ f, h(z) = a Z (naturalnie a Z X, bo a Z Z X). Funkcja h jest różnowartościowa, bowiem gdy Z 1 Z 2 dla Z 1, Z 2 X/ f, to Z 1 Z 2 =, zatem skoro a Z1 Z 1 oraz a Z2 Z 2, wiȩc a Z1 a Z2, czyli h(z 1 ) h(z 2 ). Dlatego funkcja h : X/ f h(x/ f ) jest bijekcj a. Na mocy Tw.10, Rozdzia l 4, z lożenie g h : Y h(x/ f ) jest bijekcj a. St ad, ponieważ h(x/ f ) X, funkcja: g h : Y X jest różnowartościowa. Ostatecznie, na mocy Tw.12, otrzymujemy: card(y ) card(x). Zilustrujmy użyteczność powyższych twierdzeń, formu luj ac nastȩpuj acy Lemat: Dla dowolnych zbiorów X, Y, jeżeli card(x) = card(y ) = ω, to card(x Y ) = ω. Dowód: Za lóżmy, że zbiory X, Y s a takie, że card(x) = card(y ) = ω. Niech wiȩc f 1 : ω X, f 2 : ω Y bȩd a bijekcjami. Określmy funkcjȩ g : ω X Y nastȩpuj aco: dla dowolnej α ω, g(2α) = f 1 (α) oraz g(2α +
3. Liczby kardynalne liczb porz adkowych 149 1) = f 2 (α), gdzie 2α jest liczb a naturaln a postaci S 2n ( ) i 2α + 1 jest liczb a postaci S 2n+1 ( ), gdy α ma postać S n ( ) (n jest tu ilości a aplikacji operacji S). Jest jasne, że g jest funkcj a na. Bowiem dla dowolnego a X Y, gdy a X, to liczba naturalna α = 2(f1 (a)) jest taka, że g(α) = a, gdy zaś a Y, to liczba naturalna α = 2(f2 (a)) + 1 jest taka, że g(α) = a. Na mocy Tw.13 otrzymujemy: card(x Y ) card(ω). Zatem wed lug Tw.8, card(x Y ) ω. Z drugiej strony, skoro X X Y, wiȩc zgodnie z Tw.11, card(x) card(x Y ), czyli z za lożenia, ω card(x Y ). Ostatecznie card(x Y ) = ω. Oczywiście powyższy lemat pojmujemy w tej chwili ca lkiem dos lownie, a wiȩc hipotetycznie nie rozstrzyga on wcale kwestii, czy istniej a takie zbiory, których liczb a kardynaln a jest ω. 3. Liczby kardynalne liczb porz adkowych Najpierw zajmiemy siȩ liczbami kardynalnymi liczb naturalnych, nastȩpnie zaś liczbami kardynalnymi liczb porz adkowych wiȩkszych lub równych ω. Dowód wzmiankowanego wcześniej faktu, iż liczba kardynalna dowolnej liczby naturalnej jest w laśnie t a liczb a naturaln a, oprzemy miȩdzy innymi na nastȩpuj acym twierdzeniu: Twierdzenie 14: α ω, α nie jest równoliczna z S(α). naturalna nie jest równoliczna ze swoim nastȩpnikiem.) (Żadna liczba Dowód: Indukcyjny, na podstawie Tw.13, Rozdzia l 7. Naturalnie nie jest równoliczny z S( ). Niech α ω. Za lóżmy, że α nie jest równoliczna z S(α). Wówczas, na mocy Tw.4, S(α) nie jest równoliczna z S(S(α)). Ostatecznie (Tw.13, Rozdzia l 7), α ω, α nie jest równoliczna z S(α). Twierdzenie 15: kardynaln a.) α ω, card(α) = α. (Każda liczba naturalna jest liczb a Dowód: Indukcyjny, na podstawie Tw.13, Rozdzia l 7. Naturalnie card( ) =. Niech α ω. Za lóżmy, że card(α) = α. Na mocy Tw.8, (1) card(s(α)) S(α) lub card(s(α)) = S(α). Przypuśćmy, że card(s(α)) S(α). Wówczas z definicji nastȩpnika mamy: (2) card(s(α)) α lub card(s(α)) = α. Przypuśćmy, że card(s(α)) α. Jednakże α S(α), zatem wed lug Tw.11, card(α) card(s(α)), czyli z za lożenia indukcyjnego, α card(s(α)), co wraz z naszym przypuszczeniem implikuje card(s(α)) card(s(α)), a to jest niemożliwe. Zatem, na mocy (2), card(s(α)) = α. Jednakże wówczas, skoro card(s(α)) jest równoliczna z S(α), to α jest równoliczna z S(α), a to jest również niemożliwe, na mocy Tw.14. Ostatecznie, alternatywa (2) nie jest
3. Liczby kardynalne liczb porz adkowych 150 prawdziwa, zatem wed lug (1), otrzymujemy: card(s(α)) = S(α), co kończy dowód. Twierdzenie 16: card(ω) = ω. Dowód: Na mocy Tw.8 wystarczy wykazać, że card(ω) ω. Za lóżmy nie wprost, że card(ω) ω. Wówczas card(ω) jest liczb a naturaln a, zatem jej nastȩpnik S(card(ω)) jest również liczb a naturaln a (Tw.10, Rozdzia l 7), tzn. S(card(ω)) ω. St ad, z jednej strony, S(card(ω)) ω, i wed lug Tw.11, card(s(card(ω))) card(ω). Z drugiej strony, na mocy Tw.15, card(s(card(ω))) = S(card(ω)). Dlatego S(card(ω)) card(ω), a ponieważ card(ω) S(card(ω)), wiȩc card(ω) card(ω), co jest niemożliwe. Dowód Tw.16 można uogólnić do dowodu nastȩpuj acego twierdzenia: Twierdzenie 17: Dla dowolnej liczby porz adkowej α, jeżeli card(α) α, to card(α) jest graniczna. (Liczba kardynalna liczby porz adkowej nie bȩd acej liczb a kardynaln a jest liczb a graniczn a.) Dowód: Za lóżmy, że (1) card(α) α oraz nie wprost, że card(α) jest izolowana. Wówczas dla pewnej liczby porz adkowej β, (2) card(α) = S(β). Z (2), β card(α), skoro wiȩc card(α) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a równoliczn a z α, to wed lug Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8 uzyskujemy wyrażenie: (3) β nie jest równoliczna z α. Na mocy (1) i Tw.9, Rozdzia l 9, S(card(α)) α, zatem zgodnie z Tw.11 otrzymujemy: (4) card(s(card(α))) card(α). Z drugiej strony, card(α) S(card(α)). Zatem na podstawie Tw.11 i Wniosku z Tw.6, (5) card(α) card(s(card(α))). Z (4) i (5) otrzymujemy równość card(s(card(α))) = card(α), co na mocy Tw.6 implikuje, że S(card(α)) jest równoliczny z α. St ad S(card(α)) jest równoliczny z card(α), czyli z (2), S(S(β)) jest równoliczny z S(β). Wówczas jednak, na mocy Tw.4, S(β) jest równoliczny z β, tzn. wed lug (2), card(α) jest równoliczny z β i konsekwentnie α jest równoliczne z β; sprzeczność z (3). Na podstawie Tw.17 i Tw.8 można sformu lować oczywiste wnioski: Wniosek 1: Jeżeli liczba kardynalna jakiejś liczby porz adkowej jest liczb a izolowan a, to jest ona równa tej liczbie porz adkowej.
3. Liczby kardynalne liczb porz adkowych 151 Wniosek 2: Dla dowolnej liczby porz adkowej α, jeżeli α jest graniczna, to card(α) jest graniczna. Dowód: Za lóżmy, że α jest graniczna. Na mocy Tw.8, card(α) α lub card(α) = α. Jeśli spe lniony jest drugi cz lon tej alternatywy, to naturalnie card(α) jest graniczna. Jeśli zaś pierwszy, to na mocy Tw.17, card(α) jest graniczna. Zauważmy jeszcze, że Tw.16 wynika bezpośrednio z Wniosku 2 i Tw.8 tego rozdzia lu oraz z Tw.13, Rozdzia l 9 i faktu, że card(ω). Twierdzenie 18: Dla dowolnej liczby porz adkowej α, jeżeli ω α, to α jest równoliczna z S(α). Dowód: Niech α bȩdzie liczb a porz adkow a tak a, że ω α. Zatem ω (α ω) = α oraz ω (α ω) =. Rozważmy funkcjȩ f : α {α} α określon a nastȩpuj aco: β ω, f(β) = S(β), β α ω, f(β) = β oraz f(α) = 0. Zauważmy, że f (α {α}) = α. Weźmy bowiem dowoln a liczbȩ β α. Gdy β = 0, to β = f(α) i α α {α}, gdy zaś 0 β ω, to β = S( β) = f( β) i β ω α {α}. Wreszcie, gdy β α ω, to β = f(β) i oczywiście β α {α}. Ponadto, z określenia funkcji f oraz faktu, że ω jest zbiorem indukcyjnym (zamkniȩtym na operacjȩ nastȩpnika) wynika, że f jest różnowartościowa. Skoro wiȩc f : S(α) α jest bijekcj a, to liczby porz adkowe α, S(α) s a równoliczne. Wniosek: Dla dowolnej liczby porz adkowej α, jeżeli ω α, to dla dowolnej liczby naturalnej n, α jest równoliczna z S n (α). Dowód: (indukcyjny). Za lóżmy, że ω α. Na mocy Tw.1, α jest równoliczna z S 0 (α). Za lóżmy, że dla jakiegoś n, α jest równoliczna z S n (α). Ponieważ α S n (α) (zob. lemat przed Tw.12, Rozdzia l 9), wiȩc ω S n (α), zatem na mocy Tw.18, S n (α) jest równoliczna z S n+1 (α). St ad, na mocy za lożenia indukcyjnego oraz Tw.3, α jest równoliczna z S n+1 (α). Twierdzenie 19: Dla dowolnej liczby izolowanej α nie bȩd acej liczb a naturaln a, card(α) = card(ng(α)), gdzie ng(α) jest najwiȩksz a liczb a graniczn a należ ac a do α (por. 4, Rozdzia l 9). Dowód: Niech α bȩdzie liczb a izolowan a tak a, że α ω. Wówczas oczywiście (Tw.17, Rozdzia l 8), ω α lub ω = α, a ponieważ α jest izolowana zaś ω graniczna, wiȩc mamy: (1) ω α. Na mocy Wniosku z Tw.12, Rozdzia l 9, (2) α = S n+1 (ng(α)) dla pewnego n. Ponieważ ng(α) jest najwiȩksz a liczb a graniczn a należ ac a do α, wiȩc wed lug (1) otrzymujemy: ω ng(α). St ad, na mocy Wniosku z Tw.18, ng(α) jest
3. Liczby kardynalne liczb porz adkowych 152 równoliczna z S n+1 (ng(α)). Zatem z (2), ng(α) jest równoliczna z α, co na mocy Tw.6 daje: card(α) = card(ng(α)). Na mocy Tw.19 oraz Wniosku 2 z Tw.17 liczba kardynalna dowolnej liczby izolowanej nie bȩd acej liczb a naturaln a jest liczb a graniczn a. Bior ac pod uwagȩ Tw.15, stwierdzamy wiȩc, że wśród wszystkich liczb kardynalnych tylko liczby naturalne s a liczbami izolowanymi. Gdyby bowiem jakaś liczba kardynalna α by la izolowana i nie by la liczb a naturaln a, to bed ac liczb a kardynaln a samej siebie musia la by być jednocześnie liczb a graniczn a. Sformu lujmy wiȩc Wniosek: Każda liczba kardynalna nie bȩd aca liczb a naturaln a jest graniczna. Aby wykazać, że powyższy Wniosek nie zależy od jawnej postaci liczby izolowanej nie bȩd acej liczb a naturaln a podanej we Wniosku z Tw.12, Rozdzia l 9 i wykorzystywanej w dowodzie Tw.19 wykonajmy jego dowód bez opierania siȩ na Tw.19. Dowód: Za lóżmy, że (1) α = card(α) oraz α ω. St ad oczywiście ω α. Za lóżmy nie wprost, że α jest izolowana, czyli dla pewnej β, α = S(β). Mamy wiȩc: (2) ω S(β). Wed lug Tw.3, Rozdzia l 9 (dok ladniej Wniosku 1 z tego twierdzenia, 4, Rozdzia l 9), ω jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że ω S(x). Zatem z (2), ω β. Lecz ω = ω (Tw.8(2), Rozdzia l 9), bo ω jest graniczna. Ostatecznie, ω β. Wobec tego, na mocy Tw.18, β jest równoliczna z S(β), czyli β jest równoliczna z α. St ad (3) card(β) = card(α). Z drugiej strony jednak, β S(β), czyli β α. St ad zaś, na mocy (1) i Tw.9(ii) (iii) otrzymujemy: card(β) card(α), co jest niemożliwe wobec (3). Spróbujmy obliczyć liczby kardynalne liczb granicznych oznaczonych w 5, Rozdzia l 9 jako ω 1, ω 2,..., ω n,..., gdzie ω 1 = ω S ω (ω) oraz ω i = ω i 1 S ω (ω i 1 ) dla i = 2, 3,.... W tym celu zauważmy, że dla dowolnej liczby porz adkowej α, zbiór S ω (α) = {z : y(y ω z = S y (α))} jest równoliczny z ω. Funkcja f : ω S ω (α) określona nastȩpuj aco: y ω, f(y) = S y (α), jest bowiem bijekcj a. Z definicji zbioru S ω (α) mamy przecież natychmiast: S ω (α) = f (ω), czyli f jest na. Ponadto, gdy m n dla jakichś m, n ω, a wiȩc gdy m n lub n m, to odpowiednio S m (α) S n (α) lub S n (α) S m (α) wed lug lematu z 4, Rozdzia l 9. Zatem S m (α) S n (α), tzn. f(m) f(n),
4. Liczby kardynalne wiȩksze od ω 153 czyli f jest różnowartościowa. Ostatecznie, na mocy Twierdzeń 6, 16, dla dowolnej liczby porz adkowej α, card(s ω (α)) = ω. St ad oraz na mocy Tw.16 i lematu z 2: card(ω 1 ) = card(ω S ω (ω)) = ω oraz dla i = 2, 3,..., card(ω i ) = card(ω i 1 S ω (ω i 1 )) = ω (oczywisty dowód indukcyjny pomijamy). Liczby graniczne ω 1, ω 2,... nie s a wiȩc liczbami kardynalnymi. Nie należy st ad jednak wysuwać przypuszczenia, że jedynymi liczbami kardynalnymi, które nie s a izolowanymi liczbami porz adkowymi, s a liczby: oraz ω. Bogactwo liczb kardynalnych (naturalnie bȩd acych liczbami granicznymi) jest, jak wykażemy w nastȩpnym paragrafie, cokolwiek przerażaj ace. 4. Liczby kardynalne wiȩksze od ω Fundamentalnym dla ustalenia istnienia liczb kardynalnych α takich, że ω α jest Twierdzenie Cantora: Dla dowolnego zbioru X, card(x) card(p (X)). (Ilość elementów zbioru jest mniejsza od ilości elementów jego zbioru potȩgowego.) Dowód: Rozważmy funkcjȩ f : X P (X) określon a nastȩpuj aco: y X, f(y) = {y}. Jest widoczne, że f jest różnowartościowa. Zatem f : X f (X) jest bijekcj a, co implikuje, że zbiory X, f (X) s a równoliczne, czyli na mocy Tw.6, card(x) = card( f (X)). Jednakże f (X) P (X), zatem na mocy Tw.11, card( f (X)) card(p (X)). Wobec tego, card(x) card(p (X)), tzn. card(x) card(p (X)) lub card(x) = card(p (X)). Aby zakończyć dowód wystarczy wiȩc wykazać, że card(x) card(p (X)). Za lóżmy nie wprost, że card(x) = card(p (X)). Wówczas na mocy Tw.6, X jest równoliczny z P (X). Niech wiȩc funkcja g : X P (X) bȩdzie bijekcj a. Rozważmy aksjomat podzbiorów x(φ(x) x X) y x(x y φ(x)), gdzie φ(x) jest postaci: x X x g(x). Ponieważ poprzednik powyższej implikacji jest spe lniony, istnieje wiȩc zbiór Z = {x : φ(x)}, tzn. Z = {x : x X x g(x)}. Oczywiście Z X, czyli Z P (X). Ponieważ funkcja g przekszta lca X na zbiór P (X), wiȩc niech x 0 X bȩdzie takim elementem, że g(x 0 ) = Z. Wówczas otrzymujemy: x 0 Z x 0 Z, czyli sprzeczność. Jeśli bowiem x 0 Z, to z definicji zbioru Z, x 0 g(x 0 ), zatem x 0 Z. Jeśli zaś x 0 Z, to, ponieważ x 0 X, wiȩc x 0 g(x 0 ), zatem x 0 Z. Wniosek: ω card(p (ω)). Dowód: oczywisty na podstawie Tw. Cantora i Tw.16. Jak widać, card(p (ω)) jest liczb a kardynaln a wiȩksz a od ω. Lecz ponadto, wed lug Tw. Cantora, card(p (ω)) card(p (P (ω))) itd., tzn. mamy liczby kardynalne ω, card(p (ω)), card(p (P (ω))),..., card(p n (ω)),... takie, że
4. Liczby kardynalne wiȩksze od ω 154 ω card(p (ω)) card(p (P (ω)))... card(p n (ω))... Co wiȩcej, weźmy pod uwagȩ zbiór P ω (ω) = {z : y(y ω z = P y (ω))} (jego istnienie gwarantuje aksjomat podstawiania zob. w 5, Rozdzia l 9 zastosowanie tego aksjomatu dla stwierdzenia istnienia zbioru F ω (X) dla dowolnej operacji jednoargumentowej F oraz dowolnego zbioru X). Nastȩpuj acy fakt stwierdza istnienie liczby kardynalnej wiȩkszej od każdej liczby kardynalnej z powyższej sekwencji: Twierdzenie 20: n ω, card(p n (ω)) card( P ω (ω)). Dowód: Ponieważ z definicji zbioru P ω (ω), n ω, P n (ω) P ω (ω), wiȩc n ω, P n (ω) P ω (ω) (Tw.11(1), Rozdzia l 1). St ad, wed lug Tw.11 otrzymujemy: (1) n ω, card(p n (ω)) card( P ω (ω)). Na mocy (1) oraz Tw.18, Rozdzia l 8, aby dowieść twierdzenia, wystarczy wykazać, że n ω, card(p n (ω)) card( P ω (ω)). Za lóżmy wiȩc nie wprost, że dla pewnego n ω, (2) card(p n (ω)) = card( P ω (ω)). Z Tw. Cantora, card(p n (ω)) card(p (P n (ω))). Zatem z (2) uzyskujemy: (3) card( P ω (ω)) card(p (P n (ω))). Lecz card(p (P n (ω))) = card(p n+1 (ω)), wiȩc wed lug (1), card(p (P n (ω))) card( P ω (ω)), co wraz z (3) prowadzi do absurdu: card( P ω (ω)) card( P ω (ω)). Ponieważ nic nie stoi na przeszkodzie zastosować Tw. Cantora dla zbiorów P ω (ω), P ( P ω (ω)),..., P n ( P ω (ω)),..., wiȩc otrzymujemy kolejn a sekwencjȩ liczb kardynalnych: card( P ω (ω)) card(p ( P ω (ω)))... card(p n ( P ω (ω))).... Co wiȩcej, analogicznie jak poprzednio, można rozważyć zbiór P ω ( P ω (ω)), aby, identycznie dowodz ac, otrzymać analogon Tw.20: n ω, card(p n ( P ω (ω)) card( P ω ( P ω (ω))) i znowu zastosować Tw. Cantora dla zbiorów P n ( P ω ( P ω (ω)) dla n ω itd. w nieskończoność. Na koniec rozważmy jeszcze interesuj acy problem zwi azany z najmniejsz a liczb a kardynaln a wiȩksz a od ω, precyzyjniej, najmniejsz a liczb a porz adkow a α tak a, że α jest liczb a kardynaln a i ω α. Na mocy Tw.21, Rozdzia l 8, niech α 0 bȩdzie najmniejsz a liczb a kardynaln a wiȩksz a od liczby ω. Wed lug Wniosku z Tw. Cantora oraz Wniosku z Tw.6, niew atpliwie α 0 card(p (ω)), zatem α 0 card(p (ω)) lub α 0 = card(p (ω)). Okazuje siȩ, że w ramach teorii ZFC nie można rozstrzygn ać, który z cz lonów tej alternatywy jest twierdzeniem teorii. Równość α 0 = card(p (ω)), czyli supozycja, że najmniejsz a liczb a kardynaln a wiȩksz a od ω jest liczba card(p (ω)),
4. Liczby kardynalne wiȩksze od ω 155 zwana jest hipotez a continuum (od nazwy liczby kardynalnej card(p (ω)), zwanej liczb a continuum) por. 3, Rozdzia l 7.