MES w zagadnieniach ośrodka ciągłego 2D i 3D Wykład 2 dla kierunku Budownictwo, specjalności DUA+TOB Jerzy Pamin i Piotr Pluciński Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska Podziękowania: T. Kolendowicz, C. Felippa ADINA R&D, Inc.www.adina.com ALTAIR www.altair.com ANSYS, Inc. www.ansys.com NIST www.fire.nist.gov TNO DIANA www.tnodiana.com Plan prezentacji Modelowanie MES Błędy w modelowaniu MES Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Redukcja błędu dyskretyzacji Stan równowagi dynamicznej Drgania własne Przykłady
Mechanika obliczeniowa (computational mechanics) Skala fizyczna Nanomechanika (fizyka cząstek elementarnych, chemia) Mikromechanika (fizyka kryształów, mikrostruktury) Mechanika kontinuum (założenie o ciągłości pól, homogenizacja, modele fenomenologiczne) Systemy mechaniczne (samoloty, mosty, roboty, silniki,...) Mechanika kontinuum ciała stałe i konstrukcje z nich wykonane płyny (CFD) zadania sprzężone (multiphysics) Fire Dynamics Simulator and Smokeview (FDS-SM) Symulacja pożaru (M. Kwapisz) Proces modelowania Konstrukcja rzeczywista Model fizyczny Równanie rózniczkowe i warunki brzegowe Model matematyczny Model numeryczny Cel: otrzymanie prostego modelu matematycznego, ujmującego najistotniejsze właściwości konstrukcji i jej zachowanie pod działaniem obciążeń, i dostosowanego do narzędzi obliczeniowych.
Proces modelowania Zbiór założeń: model konstrukcji, materiału, obciążenia Model fizyczny: reprezentacja istotnych cech Model matematyczny: zbiór równań (algebraicznych, różniczkowych, całkowych) + warunki graniczne (ograniczające) Dlaczego symulacje MES TEORIA SYMULACJA EKSPERYMENT Zastępują/wspomagają badania doświadczalne Zastępują/wspomagają metody analityczne Nie zastępują modelowania Uwaga na ograniczenia elementów skończonych Różne rodzaje zjawiska blokady (nadsztywności) Więzy kinematyczne (np. nieścisliwość) Formy deformacji o zerowej energii Problemy źle postawione (np. dla materiału z osłabieniem)
Błędy w modelowaniu MES Błąd modelowania Błąd dyskretyzacji Błąd rozwiązania Nieciągłość pochodnych Mapy rozkładu σ xx Bez wygładzania Z wygładzaniem
Wygładzanie wybranej wielkości σ h funkcja otrzymana z rozwiązania MES σ funkcja po wygładzeniu Różnica pomiędzy tymi dwoma polami jest wskaźnikiem błędu dyskretyzacji Zienkiewicza-Zhu Modele fizyczne i matematyczne Zmiany w czasie: zagadnienia stacjonarne - niezależne od czasu (statyka) zagadnienia niestacjonarne - zależne od czasu (dynamika) Uproszczenia na podstawie hipotez: kinematycznych (geometrycznych), np. dominujące wymiary, rodzaj przekroju statycznych/dynamicznych - np. obciążenia wolno- lub szybkozmienne, obciążenia działające w jednej płaszczyźnie Modele matematyczne są: liniowe (małe deformacje i prawo Hooke a) obowiązuje zasada superpozycji nieliniowe
Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Obniżenie wymiarowości: ustroje prętowe (geometrycznie jednowymiarowe) ustroje powierzchniowe (dwuwymiarowe) ustroje bryłowe (trójwymiarowe) Elementy skończone dla mechaniki: 1D - kratowy (truss) 1.5D - belkowy (beam), ramowy (frame) 2D - PSN (panel, plane stress), PSO (plane strain), symetria osiowa (axial symmetry) 2.5D - płytowy (plate/slab), powłokowy (shell) 3D - bryłowy (volume) Ustrój 1.5D - rama Rysunki zaczerpnięte z podręcznika T. Kolendowicz Mechanika budowli dla architektów
Ustrój 2.5D - płyta Zginanie Ścinanie Skręcanie TNO DIANA http://www.tnodiana.com Czteroprzęsłowa płyta po obciążeniem ruchomym Ustrój 2.5D - powłoka Ugięcia pod działaniem obciążenia równomiernego
Rysunki zaczerpnięte z podręcznika: C.A. Felippa, Introduction to Finite Element Methods, University of Colorado at Boulder. www.colorado.edu/engineering/cas/courses.d/ifem.d Geometryczna niezmienność układu
Wykorzystywanie symetrii zadania Gdzie zagęszczać siatkę elementów
Warianty poprawy siatki Rysunki zaczerpnięte z podręcznika: R.D. Cook, Finite Element Method for Stress Analysis, J. Wiley & Sons 1995. Adaptacyjne zagęszczenie siatki elementów Przykład zaczerpnięty ze strony Altair Engineering www.altair.com
Generacja siatki elementów Monitoring błędów dyskretyzacji Adaptacyjne zagęszczenie siatki
Stan równowagi dynamicznej S Z Y X t ρb d (x, y, z) P ρü(x, y, z) ρb(x, y, z) n t d ( ) = t pochodna po czasie t u wektor przemieszczenia [m] u wektor prędkości [m/s] ü wektor przyspieszenia [m/s 2 ] Siły ρb wektor gęstości sił masowych [N/m 3 ] ρb d wektor gęstości sił masowych tłumienia [N/m 3 ] ρü wektor gęstości sił bezwładności [N/m 3 ] t wektor gęstości sił powierzchniowych [N/m 2 ] t d wektor gęstości sił powierzchniowych tłumienia [N/m 2 ] Stan równowagi dynamicznej Równanie równowagi ciała X Z S t ρb d (x, y, z) P ρü(x, y, z) ρb(x, y, z) n Y t d ( t t d ) ds + S Statyczne warunki brzegowe t t d = σn gdzie σ tensor naprężeń ρ ( b b d ü ) d = 0 Wykorzystując twierdzenie Greena Gaussa Ostrogradzkiego σnds = L T σd gdzie L macierz operatorów różniczkowych S
Równanie równowagi Równania Naviera ( L T σ + ρ ( b b d ü )) d = 0 L T σ + ρ ( b b d ü ) = 0 P σ ij,j + ρ ( b i b d i ü i ) = 0 Sformułowanie słabe funkcja wagowa w = δu kinematycznie dopuszczalna wariacja przemieszczenia (zgodna z kinematycznymi warunkami brzegowymi zasada prac wirtualnych) (δu) T ( L T σ + ρ ( b b d ü )) d = 0 (Lδu) T σd + (δu) T σnds + S (Lδu) T σd (δu) T ( t t d) ds S δu (δu) T ρ ( b b d ü ) d = 0 (δu) T ρ ( b b d ü ) d = 0 Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi (Aproksymacja MES: u eh (x, t) = N e (x)d e (t)) { ( (L e δu e ) T σ e d e (δu e ) T t e t de) ds e e S e (δu e ) T ρ (b e b de ü e) } d e = 0 { e ( (L e N e δd e ) T σ e d e (N e δd e ) T t e t de) ds e e S e (N e δd e ) T ρ (b e b de ü e) } d e = 0 e ( (δd e ) { T B et σ e d e t e t de) ds e e δd e = IT e δd S e N et N et ρ e (b e b de ü e) } d e = 0
Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi { } { } IT et B et σ e d e + IT et N et ρü e d e + e e } + IT {S et N et t de ds e + N et ρb de d e = e e = } IT {S et N et t e ds e + N et ρb e d e e e Uwzględnienie związków kinematycznych, fizycznych i tłumienia liniowy związek kinematyczny: ε = Lu liniowa sprężystość: σ = Dε σ e =D e L e u e =D e L e N e d e =D e B e IT e d, ü e =N e de =N e IT e d lepkie tłumienie: t de =µ d u e =µ d N e ḋ e =µ d N e IT e ḋ, ρb de =µ b u e =µ b N e ḋ e =µ b N e IT e ḋ Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi drgania wymuszone z tłumieniem { } IT et B et D e B e d e IT e d+ e + k e { IT et ρn et N e d e IT e d+ e m e { } + IT et µ d N et N e ds e + µ b N et N e d e IT e ḋ = S e e c { e } = IT et N et t e ds e + N et ρb e d e S e e } f e
Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi drgania wymuszone z tłumieniem IT et k e IT e K e d + K e d + IT et m e M e IT e d + IT et c e C e M e d E + C e ḋ = IT e F e ḋ = IT et f e F e K K e d + M M e d + C C e ḋ = F F e Kd + M d + Cḋ = F Równanie równowagi układu zdyskretyzowanego Równanie równowagi drgania wymuszone z tłumieniem M d(t) + Cḋ(t) + Kd(t) = F(t) M macierz bezwładności C macierz tłumienia K macierz sztywności F wektor węzłowych obciążeń zewnętrznych Równanie równowagi drgania własne bez tłumienia M d(t) + Kd(t) = 0 Równanie równowagi statyka Kd = F Przed rozwiązaniem konieczne jest uwzględnienie podstawowych (kinematycznych) warunków brzegowych
Drgania własne Aproksymacja u e (x, t) = N e (x)d e (t) = N e (x)d e A sin(ωt + ϕ) N e macierz funkcji kształtu d e A wektor amplitud drgań własnych ω częstość drgań własnych ϕ przesunięcie fazowe ω = 2πf = 2π T gdzie f, T odpowiednio częstotliwość i okres drgań własnych Drgania własne Przemieszczenie zależne od czasu Równanie równowagi = problem własny d e (t) = d e A sin(ωt + ϕ) d e (t) = ω 2 d e A sin(ωt + ϕ) po agregacji i podstawieniu do równania równowagi ( K ω 2 M ) d A sin(ωt + ϕ) = 0 równanie jest spełnione dla det ( K ω 2 M ) = 0 lub d A = 0 wynik: spektrum częstości drgań własnych i odpowiednie formy drgań (ω 1, d A1 ), (ω 2, d A2 ),...
Drgania własne Element belkowy z e A, I, ρ z e d e 1 d e 3 0 l e x e d e 2 i d e 4 j x e Funkcje kształtu N e = [N e 1 N e 2 N e 3 N e 4 ] 1 N e 1 (xe ) = 1 3 ( x e l e ) 2 + 2 ( x e l e ) 3 1 N e 3 (xe ) = 3 ( x e l e ) 2 2 ( x e l e ) 3 0 l e x e 0 l e x e N e 2 (xe ) = x e [ 1 ( x e l e )] 2 N e 4 (xe ) = x e [ (x e l e ) 2 ( x e l e ) ] 0 l e x e 0 l e x e Drgania własne Macierz sztywności element belkowy k e = l e 0 B et D e B e dx e, B e = LN e, L = [ d2 dx e2 12 6l e 12 6l e k e = Ee I e 6l e 4l e 2 6l e 2l e 2 l e 3 12 6l e 12 6l e 6l e 2l e 2 6l e 4l e 2 ], D e = [E e I e ] Macierz bezwładności element belkowy m e = l e 0 ρa e N et N e dx e, m e = µe l e 420 µ e = ρa e masa na jedn. długości [kg/m] 156 22l e 54 13l e 22l e 4l e 2 13l e 3l e 2 54 13l e 156 22l e 13l e 3l e 2 22l e 4l e 2
Przykład Drgania giętne wspornika EI l 3 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l 2-12 -6l 12-6l ω 2 µl 420 6l 2l 2-6l 4l 2 d A1 = 0, d A2 = 0 ( K ω 2 M ) d A = 0 ([ ] 12-6l -6l 4l 2 156 22l 54-13l 22l 4l 2 13l -3l 2 54 13l 156-22l -13l -3l 2-22l 4l 2 [ ] [ ] 12-6l -6l 4l 2 λ 156-22l 420-22l 4l 2 = 0 λ 1 = 12.48 Z d A1 d A2 d A3 d A4 = 0 0 0 0 [ ])[ ] [ ] λ 156-22l da3 0 420-22l 4l 2 = d A4 0 3.53 EI ω 1 = λ 2 = 1211.52 l 2 µ ω 2 = 34.81 EI l 2 µ E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 X Przykład Wspornik Postaci drgań własnych Formy drgań własnych wyznaczone z jednego z dwóch równań liniowo zależnych po podstawieniu odpowiedniej wartości własnej d A4 dla ω 1 d A3 = 0.728l d A4 dla ω 2 d A4 0 l e x e 0 l e x e d A3 = 0.131l d A4
Modelowanie drążenia tunelu Mechanika gruntów i mechanika betonu wymagają trójwymiarowych modeli nieliniowych i wydajnych implementacji MES Zaawansowane zagadnienia mechaniki Obciążenia wyjątkowe, np. uderzenie Nielinowości fizyczne, np. uszkodzenie, zarysowanie, odkształcenia plastyczne Nieliniowości geometryczne, tzn. duże przemieszczenia, duże odkształcenia Zagadnienie kontaktu (więzów jednostronnych) ADINA R&D, Inc. www.adina.com Uderzenie belki, głowy w kasku, samochodu Idealizacja zapory - przerwana zapora ANSYS, Inc. www.ansys.com Zagadnienie kontaktowe, inne zagadnienie kontaktowe Zagadnienie dynamiczne TNO DIANA http://www.tnodiana.com Ewolucja ciśnienia porowego pod drogą Ewolucja odkształceń plastycznych pod palem