Teoria grafów i sieci

Teoria grafów i sieci Monika Bartkiewicz 1 / 8

Porównanie grafów dokªadne porównywanie grafów - izomorzm przybli»one porównywanie grafów - wspóªcze±nie stosowane metody maj najcz ±ciej zªo»ono± czasow rz du O(n 3 ), która znacznie utrudnia analiz grafów o liczbie wierzchoªków wi kszej ni» 10 3. / 8

Odlegªo± pomi dzy dwoma wierzchoªkami v i u w grae jest wyra»ona jako dªugo± najkrótszej ±cie»ki pomi dzy nimi. 3 / 8

Centrum w grae Ekscentryczno±ci wierzchoªka u nazywamy najwi ksz dªugo± najkrótszej ±cie»ki wychodz cej z wierzchoªka u s[u] = max v V δuv gdzie δ uv jest dªugo±ci najkrótszej ±cie»ki od u do v. a 4 b 1 5 1 3 c 1 u V a b c d e s[u] 4 3 3 4 e 3 d Centrum spójnego grafu G, to taki wierzchoªek v, dla którego s[v] jest mo»liwie najmniejsza(o najni»szej ekscentryczno±ci). 4 / 8

Centrum w grae Ekscentryczno±ci wierzchoªka u nazywamy najwi ksz dªugo± najkrótszej ±cie»ki wychodz cej z wierzchoªka u s[u] = max v V δuv gdzie δ uv jest dªugo±ci najkrótszej ±cie»ki od u do v. a 4 b 1 5 1 3 c 1 u V a b c d e s[u] 4 3 3 4 e 3 d Centrum spójnego grafu G, to taki wierzchoªek v, dla którego s[v] jest mo»liwie najmniejsza(o najni»szej ekscentryczno±ci). 5 / 8

Centrum w grae Ekscentryczno±ci wierzchoªka u nazywamy najwi ksz dªugo± najkrótszej ±cie»ki wychodz cej z wierzchoªka u s[u] = max v V δuv gdzie δ uv jest dªugo±ci najkrótszej ±cie»ki od u do v. a 4 e b 1 5 1 3 3 d c 1 u V a b c d e s[u] 4 3 3 4 graf ma jedno centrum, w wierzchoªku e Centrum spójnego grafu G, to taki wierzchoªek v, dla którego s[v] jest mo»liwie najmniejsza(o najni»szej ekscentryczno±ci). 6 / 8

Centrum w grae Ekscentryczno±ci wierzchoªka u nazywamy najwi ksz dªugo± najkrótszej ±cie»ki wychodz cej z wierzchoªka u s[u] = max v V δuv gdzie δ uv jest dªugo±ci najkrótszej ±cie»ki od u do v. a 4 e b 1 5 1 3 3 d c 1 u V a b c d e s[u] 4 3 3 4 graf ma jedno centrum, w wierzchoªku e Centrum spójnego grafu G, to taki wierzchoªek v, dla którego s[v] jest mo»liwie najmniejsza(o najni»szej ekscentryczno±ci). 7 / 8

Centrum w grae Graf spójny mo»e posiada kilka wierzchoªków, które s centrami grafu. a 7 4 b 10 5 1 10 c u V a b c d e s[u] 9 8 8 9 8 e 4 d 8 / 8

Centrum w grae Graf spójny mo»e posiada kilka wierzchoªków, które s centrami grafu. a 7 4 e b 10 5 1 4 10 d c u V a b c d e s[u] 9 8 8 9 8 graf ma centra w wierzchoªkach b, c i e 9 / 8

Promie«i ±rednica grafu rednic grafu D(G) nazywamy liczb D(G) = max v V s[v] a 4 b 1 5 1 3 c 1 Promieniem R(G) nazywamy liczb e 3 d R(G) = min v V s[v] u V a b c d e s[u] 4 3 3 4 ±rednica wynosi D(G) = max v V s[v] = 4 promie«wynosi R(G) = min v V s[v] = 1 / 8

Algorytm znajdowania centrum grafu Center(G) 1 A wyznaczona przez alg.floyda-warshalla - O(n 3 ) wyznaczanie najdªu»szej ±cie»ki 3 for i 1 to n 4 do 5 s[i] 0 6 for j 1 to n 7 do 8 if (i! = j) and (A[i][j] > s[i]) 9 then 10 s[i] A[i][j] 11 min z najdªu»szych ±cie»ek 1 centrum 1 13 for i 1 to n 14 do 15 if (s[i] < s[centrum]) 16 then 17 centrum i a 7 4 e b 10 5 1 4 10 0 4 7 4 0 10 5 10 10 0 1 5 0 4 7 10 1 4 0 A = d c 0 4 8 9 7 4 0 7 5 8 8 7 0 1 9 5 0 3 7 8 1 3 0 u V a b c d e s[u] 9 8 8 9 8 13 / 8

Algorytm znajdowania centrum grafu 5 5 b c d 8 8 7 3 a e f g k 4 j 0 0 5 7 5 0 5 8 5 0 8 7 8 0 0 3 8 3 0 0 0 0 4 4 0 i h 19 / 8

Algorytm znajdowania centrum grafu A = 5 5 b c d 8 8 7 3 a e f g k 4 j 0 7 1 9 11 14 15 13 11 15 0 5 10 7 9 1 13 11 9 13 7 5 0 5 8 10 13 14 1 10 14 1 10 5 0 13 11 8 10 1 15 19 9 7 8 13 0 5 6 4 6 11 9 10 11 0 3 4 4 8 14 1 13 8 5 3 0 4 7 11 15 13 14 10 6 4 0 8 1 13 11 1 1 4 4 0 6 10 11 9 10 15 4 7 8 6 0 4 15 13 14 19 6 8 11 11 10 4 0 i h Warto±ci tablicy s a 15 b 13 c 14 d 19 e 13 f 11 g 14 h 15 i 13 j 15 k 19 0 / 8

Algorytm znajdowania centrum grafu A = 5 5 b c d 8 8 7 3 a e f g k 4 j 0 7 1 9 11 14 15 13 11 15 0 5 10 7 9 1 13 11 9 13 7 5 0 5 8 10 13 14 1 10 14 1 10 5 0 13 11 8 10 1 15 19 9 7 8 13 0 5 6 4 6 11 9 10 11 0 3 4 4 8 14 1 13 8 5 3 0 4 7 11 15 13 14 10 6 4 0 8 1 13 11 1 1 4 4 0 6 10 11 9 10 15 4 7 8 6 0 4 15 13 14 19 6 8 11 11 10 4 0 i h Warto±ci tablicy s a 15 b 13 c 14 d 19 e 13 f 11 g 14 h 15 i 13 j 15 k 19 / 8

Centrum w drzewie Ka»de drzewo ma albo dokªadnie jedno centrum, albo dwa s siednie centra. a 3 b 3 b b 5 a a 4 b 4 a 1 b 1 4 / 8

Centrum w drzewie Ka»de drzewo ma albo dokªadnie jedno centrum, albo dwa s siednie centra. a 3 b 3 b b 5 a a 4 b 4 a 1 b 1 5 / 8

redni dªugo±ci najkrótszej ±cie»ki w grae G = (V, E), V = n, wychodz c z wierzchoªka u nazywamy l(u) = 1 n 1 v V,v u δ uv redni dªugo±ci ±cie»ki l w grae G, nazywamy l = l(g) = 1 n u V l(u) = 1 n n v V,v u Charakterystyczn dªugo±ci ±cie»ki w grae G nazywamy median l(g). δ uv 6 / 8

Przykªad d 1 a f 1 1 b g 5 3 5 c e Centrum to wierzchoªek g. s[u] l(u) 0 1 5 3 3 7 7 3.50 1 0 5 4 7 3 7 3.67 5 5 0 7 4 3 7 4.33 3 7 0 6 9 5 9 5.33 3 4 4 6 0 6 1 6 4.00 7 7 9 6 0 5 9 6.00 3 3 5 1 5 0 5 3.17 l = 30 7 = 4.9 R(G) = 5 D(G) = 9 Charakterystyczna dªugo± ±cie»ki w grae wynosi 4.00. 7 / 8

Sieci rzeczywiste informacyjne w zeª publikacja naukowa strona WWW wyraz poª czenie cytowanie odno±nik zdanie 8 / 8

Sieci rzeczywiste Przykªady w zªów i poª cze«tworz cych sieci spoªeczne w zeª poª czenie biologiczne w zeª poª czenie osoba znajomo± neuron akson rma kontrakt, wspóªpraca proteina poª czenia lotnicze naukowiec wspólna publikacja skrzy»owanie reakcja zyczna komunikacyjne w zeª poª czenie stacja transformatorowa przewód wysokiego napi cia lotnisko poª czenia lotnicze skrzy»owanie tory numer telefonu poª czenie telefoniczne (rozmowa) 9 / 8

Miary strukturalne sieci -stopie«wierzchoªka Niech G b dzie sieci o n wierzchoªkach i m kraw dziach. Ponadto, niech k i, dla i = 1,,..., n oznacza stopnie kolejnych wierzchoªków grafu. Wówczas rednim stopniem wierzchoªka nazywamy n k = 1 n i=1 k i = m n b a c k = E n = 16 5 = 3, e d 30 / 8

Miary strukturalne sieci -stopie«wierzchoªka G sto±ci sieci ρ nazywamy ρ = ( m n ) = m n(n 1) = k n 1 31 / 8

Rozkªad stopni wierzchoªka Rozkªad stopni wierzchoªków P(k) opisuje prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany w zeª b dzie miaª stopie«k. b a e d c k 1 3 4 P(k) 0 1 5 5 gdzie P(k) = 0 dla pozostaªych warto±ci k. 5 Przy badaniu sieci, bardzo cz sto korzystamy z rozkªadu stopni wierzchoªków, celem okre±lenia budowy struktury sieci. 3 / 8

33 / 8

Wspóªczynnik gronowania Wspóªczynnik gronowania wierzchoªka C i, to stosunek liczby E i istniej cych kraw dzi mi dzy s siadami wierzchoªka do wszystkich mo»liwych kraw dzi mi dzy tymi s siadami. Je»eli k i = deg(v i ) dla wszystkich wierzchoªków v i V, to liczba mo»liwych kraw dzi wynosi k i(k i 1) a wspóªczynnik gronowania wynosi gdzie 0 E i k i (k i 1)/ C i = E i k i (k i 1) a b c C a C b C c C d C e 1 1 1 3 3 e d 34 / 8

Wspóªczynnik gronowania Wspóªczynnik gronowania wierzchoªka C i, to stosunek liczby E i istniej cych kraw dzi mi dzy s siadami wierzchoªka do wszystkich mo»liwych kraw dzi mi dzy tymi s siadami. Je»eli k i = deg(v i ) dla wszystkich wierzchoªków v i V, to liczba mo»liwych kraw dzi wynosi k i(k i 1) a wspóªczynnik gronowania wynosi gdzie 0 E i k i (k i 1)/ C i = E i k i (k i 1) a b c C a C b C c C d C e 1 1 1 3 3 C a = Ea 3 = 3 = 3 e d 38 / 8

Wspóªczynnik gronowania Wspóªczynnik gronowania wierzchoªka C i, to stosunek liczby E i istniej cych kraw dzi mi dzy s siadami wierzchoªka do wszystkich mo»liwych kraw dzi mi dzy tymi s siadami. Je»eli k i = deg(v i ) dla wszystkich wierzchoªków v i V, to liczba mo»liwych kraw dzi wynosi k i(k i 1) a wspóªczynnik gronowania wynosi gdzie 0 E i k i (k i 1)/ C i = E i k i (k i 1) a b c C a C b C c C d C e 1 1 1 3 3 C a = Ea 3 = 3 = 3 zatem 0 C i 1 e d ba.exe 39 / 8

Wspóªczynnik gronowania Wspóªczynnik gronowania reprezentuje prawdopodobie«stwo istnienia bezpo±redniego poª czenia pomi dzy dwoma s siadami danego wierzchoªka. Wspóªczynnik gronowania dla grafu peªnego wynosi 1. a b c e d Wspóªczynnik gronowania dla sieci jest warto±ci C i u±rednion warto±ci, liczon po wszystkich w zªach. n i=1 C = C i = C i n Dla wielu du»ych sieci warto± wspóªczynnika gronowania C jest du»a. 40 / 8

Wspóªczynnik gronowania Sie Wspóªczynnik C WWW 0,1078 Internet na poziomie domen 0,18-0,3 Baza wspóªpracy naukowców 0,76 E. Coli, sie reakcji 0,59 Sie pokarmowa 0,15 Sie wspóªwyst powania wyrazów 0,77 Sie synonimów 0,7 Sie energetyczna 0,08 44 / 8

wiat sieci zªo»onych z internetem w tle Sie j zykowa zbudowana na podstawie pierwszych 34 wersetach Ksi gi Rodzaju. W zªami s sªowa w ich podstawowej formie, kraw d¹ reprezentuje fakt wyst pienia obu sªów jednocze±nie w co najmniej 3 zdaniach. C = 0.77 45 / 8

wiat sieci zªo»onych z internetem w tle W sieciach rzeczywistych cz sto wyst puje korelacja, pomi dzy wysokim stopniem wierzchoªka i niskim wspóªczynnikiem gronowania. 46 / 8

Systemy zªo»one Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Systemy zªo»one, to systemy skªadaj ce si z du»ej liczby elementów, zdolnych do interakcji ze sob i ze swoim ±rodowiskiem. Interakcja pomi dzy elementami mo»e wyst pi pomi dzy najbli»szymi s siadami lub odlegªymi. Wspóln cech wszystkich zªo»onych systemów jest to,»e posiadaj one wªasn organizacj bez stosowania zewn trznych zasad organizacji. System zªo»ony nie jest sum prost jego cz ±ci. 47 / 8

Klasykacja modeli sieci zªo»onych Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert 48 / 8

Klasykacja modeli sieci zªo»onych Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert sieci deterministyczne - opis modelu sieci nie zawiera»adnego elementu losowo±ci. Oznacza to,»e ewolucja sieci jest z góry przes dzona i zale»y wyª cznie od parametrów pocz tkowych. sieci przypadkowe - opis modelu uwzgl dnia czynnik losowy podczas ewolucji sieci. 49 / 8

Model Erd sa - Rényi - klasyczny graf losowy Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert 1959 Zaªo»enia modelu sieci powstaj w sposób losowy wykorzystano rachunek prawdopodobie«stwa do analizy sieci ka»dy w zeª miaª podobn liczb poª cze«z innymi w zªami (±rednia warto± stopnia wierzchoªka jest dobrze okre±lona) Graf losowy powstaje poprzez utworzenie losowych poª cze«pomi dzy danymi wierzchoªkami. 50 / 8

Model Erd sa - Rényi - klasyczny graf losowy Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Oznaczmy, przez G(n, p) sie o n wierzchoªkach, dla której p oznacza prawdopodobie«stwo,»e istnieje kraw d¹ pomi dzy wierzchoªkami i i j. konstrukcja grafu ustalamy liczb w zªów sieci z zadanym prawdopodobie«stwem p, b dziemy przypisywa poª czenie ka»dej z ( n ) kraw dzi dla n = 16 i p = 1. 7 ( ) n 1 P(k) = p k (1 p) n 1 k k 51 / 8

Model Erd sa - Rényi - klasyczny graf losowy Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert rozwa»ana sie zawiera ( ) n m = p kraw dzi. n(n 1) = p z lematu o u±ciskach dªoni (±redni stopie«wierzchoªka=warto± ±rednia rozkªadu dwumianowego) k = m n = p(n 1) 5 / 8

Model Erd sa - Rényi - klasyczny graf losowy Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert rozkªad stopni jest rozkªadem dwumianowym ( ) n 1 P(k) = p k (1 p) n 1 k k gdy n, wówczas rozkªad dwumianowy mo»na przybli»y rozkªadem Poissona P(k) = e k k k k! gdzie k = pn wspóªczynnik gronowania dla grafu losowego C = C i = p 53 / 8

Model Erd sa - Rényi - klasyczny graf losowy Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert http://www.if.pw.edu.pl/ agatka/moodle/rys/er.swf 54 / 8

Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Grafy losowe o zadanym rozkªadzie stopni w zªów Rozkªad stopni wierzchoªków P(k) opisuje prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany w zeª b dzie miaª stopie«k. Konstrukcja grafu ustalamy liczb w zªów sieci ustalamy rozkªad k i = deg(v i ), dla i = 1,.., n, taki,»e suma n jest parzysta i=1 k i k = k kp(k) 55 / 8

Sie maªych ±wiatów Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert W 1967 ameryka«ski psycholog spoªeczny Stanley Milgram rozesªaª do kilkuset losowo wybranych ludzi z Nebraski i Kansas przesyªki z pro±b, by przekazali je dalej komu± ze swych znajomych, tak by mo»liwie najszybciej dotarªy do pewnej osoby mieszkaj cej w Bostonie. Milgram ±ledziª los przesyªek. Okazaªo si,»e ªa«cuch dziel cy osoby, które losowo wybraª, od celu, miaª ±rednio sze± ogniw. 56 / 8

Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Sieci maªych ±wiatów - eksperyment Jure Leskoveca i Erica Horvitza W 007 Jure Leskovec i Eric Horvitz przeprowadzili eksperyment pry u»yciu 30 trylionów e-mailowych przesyªek do 40 millionów ludzi. rednia dªugo± ±cie»ki pomi dzy u»ytkownikami Microsoft Messenger wynosiªa 6.6 57 / 8

Sieci maªych ±wiatów - stopie«bacona Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert http://oracleofbacon.org/index.php 58 / 8

Sie maªych ±wiatów Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Maªy ±wiat jest charakteryzowany przez ±redni dªugo± ±cie»ki w grae. l ln n ln k 59 / 8

Model Watts'a i Strogatz'a Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Pytanie Czy sieci regularne s zjawiskiem cz stym? Watts i Strogatz zauwa»yli,»e sieci rzeczywiste nie s ani doskonale regularne, ani zupeªnie losowe. Model W-S opisuje procedury przej±cia od sieci regularnej, poprzez sie maªych ±wiatów do sieci losowej. 60 / 8

Model Watts'a i Strogatz'a - budowa Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert W modelu W-S, sieci zªo»one, mo»na budowa poprzez zastosowanie tzw. przekablowania (ang. rewiring) niektórych w zªów sieci(utworzenia skrótów). Prawdopodobie«stwo p oznacza,»e powi zania losowo wybranego w zªa sieci zostan zmienione (przekablowane). wybieramy losowo w zeª usuwamy jedno ª cze wybieramy kolejny w zeª(odlegªy) usuwamy jedno z poª cze«ª czymy oba wybrane w zªy procedur powtarzamy, a» do momentu, w którym modykacjami zostaªo obj tych p n w zªów 63 / 8

Model Watts'a i Strogatz'a Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Mo»na zauwa»y,»e dla du»ego przedziaªu prawdopodobie«stw, w rozwa»anym modelu sie zachowuje wªasno±ci maªego ±wiata. Typowe cechy sieci maªego ±wiata C >> C losowy (du»o wi kszy) oraz l << l regularna 64 / 8

Model Watts'a i Strogatz'a Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Pytanie Czy sieci rzeczywiste mog by jednocze±nie rzadkie, silnie zgronowane i posiada efekt maªych ±wiatów?. Wspóªistnienie tych cech jest mo»liwe dzi ki istnieniu nielicznych dalekozasi gowych poª cze«, tzw. skrótów. wspóªczynnik ±rednia gronowania ±cie»ka sie regularna wysoki ro±nie wraz ze wzrostem liczby w zªów sie maªych ±wiatów wysoki zale»y logarytmicznie od N graf losowy bliski zeru zale»y logarytmicznie od N 65 / 8

Model Barabasi-Albert Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert 1999 - Réka Albert i Albert-László Barabási podj li jedn z pierwszych prób zbadania struktury sieci WWW zaprogramowali robota sieciowego, którego zadaniem byªo wej±cie na ka»d stron WWW w domenie Uniwersytetu Notre Dame w Indianie odnale¹ wszystkie odno±niki na tej stronie zapami ta liczb linków oraz lokalizacj (witryn pocz tkow i t, na który wskazuje link) pod»y linkami do wskazywanych stron i caª procedur powtórzy z nowej strony wówczas zostaªo zaindeksowanych w ten sposób 300 tys. witryn oraz przeanalizowane okoªo 1,5 miliona poª cze«pomi dzy nimi wyniki analizy pokazaªy,»e w sieci WWW istniej witryny które maj niewiele poª cze«przy jednoczesnym istnieniu witryn, które posiadaj bardzo wiele poª cze«- huby. 68 / 8

Sieci bezskalowe - scale-free Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Sieci bezskalow nazywamy sie, której rozkªad stopni wierzchoªków jest rozkªadem pot gowym. przeci tnie ilo± wierzchoªków stopnia k jest proporcjonalna do k τ dla pewnego wykªadnika τ pot gowy rozkªad stopni wierzchoªków oznacza,»e nie ma charakterystycznego ±redniego stopnia wierzchoªka bezskalowy oznacza,»e prawo pot gowe wraz z wykªadnikiem jest niezmiennicze przy wybraniu dowolnego losowego podgrafu (z du»ym prawdopodobie«stwem) bezskalowe s : Internet, sie telefonii, wiele z sieci spoªecznych 69 / 8

Sieci bezskalowe - scale-free Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Uniwersalna reguªa rz dz ca sieciami bezskalowymi: ba.exe wzrost sieci nie odbywa si w sposób przypadkowy obowi zuje reguªa preferencyjnego doª czania w zªów - nowe w zªy b d z wi kszym prawdopodobie«stwem tworzy poª czenia do w zªów, które maj wysoki stopie«70 / 8

Wzrost sieci BA Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Metoda wzrostu sieci w chwili t=0, sie skªada si z m wierzchoªków w kolejnych krokach czasowych do sieci dodawane s nowe w zªy, które tworz m poª cze«do istniej cych ju» wierzchoªków sieci. nowe w zªy realizuj liniow reguª preferencyjnego doª czania, która polega na tym,»e prawdopodobie«stwo,»e nowy wierzchoªek utworzy poª czenie do jednego ze starszych w zªów, jest wprost proporcjonalne do stopnia tego w zªa k i mt 74 / 8

Rozkªad stopni wierzchoªków Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Rozkªad stopni wierzchoªków P(k) opisuje prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany w zeª b dzie miaª stopie«k. W rozkªadach pot gowych P(k) = C k α ksztaªt wykresu rozkªadu ma charakter "tªustego ogona" w skali podwójnie logarytmicznej wykres jest linia prost gdzie a = α i b = ln C. ln P(k) = α ln k + ln C y = ax + b 75 / 8

Rozkªad stopni wierzchoªków Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert 76 / 8

Bezpiecze«stwo Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Zaatakowanie odpowiednio du»ej liczby hubów mo»e spowodowa rozspójnienie sieci. Natomiast sie pozostaje odporna na losowe ataki. Bardziej prawdopodobna jest awaria w zªa, który nie jest hubem, poniewa» jest ich wi cej. 77 / 8

Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Struktura sieci serwisów WWW - analiza odno±ników Mining Web Logs to Improve Website Organization, Ramakrishnan Srikant, http://www10.org/cdrom/papers/345/index.html Optymalizacja struktury serwisu na podstawie analizy sposobu nawigacji w serwisie identykacja brakuj cych i niepotrzebnych poª cze«identykacja stron, na których u»ytkownicy rezygnowali z korzystania z serwisu badanie dªugo±ci ±cie»ek W badaniach uwzgl dniono ponad 00 milionów stron WWW. 78 / 8

Struktura sieci serwisów WWW Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Cz ±ci sieci WWW: -SCC (rdze«silnie spójna skªadowa sieci WWW), -IN (strony maj ce odno±niki do rdzenia), -OUT (strony, do których odwoªuj si elementy tworz ce rdze«) -TENDRILS (skróty) -DISCONNECTED COMPONENTS 79 / 8

Analiza serwisów WWW 000 Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert SCC 56,4 miliona stron, IN 43,3 miliona stron, OUT 43,1 miliona stron, TENDRILS 43,8 miliona stron, DISCONNECTED COMPONENTS 16,8 miliona stron ±rednica sieci WWW 905 ±rednia z istniej cych poª cze«w sieci WWW: poª czenia do przodu 16,18 poª czenia do tyªu 16,1 bez uwzgl dniania kierunku 6,8 ±rednica rdzenia 8. 80 / 8

Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Struktura sieci serwisów WWW - analiza odno±ników http://touchgraph.com/ 81 / 8

Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Dzi kuj za uwag!!! 8 / 8