Omówienie zada«potyczki Algorytmiczne 2015
|
|
|
- Przybysław Ciesielski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Omówienie zada«
2 Biznes Najszybsze rozwi zanie: Jarosªaw Kwiecie«(0:24)
3 Na pocz tku mamy kapitaª P (megabajtalarów) i dochody 0 (megabajtalary/rok). W dowolnym momencie mo»emy kupi maszyn typu i, co kosztuje c i, ale zwi ksza nasze dochody o d i. Jak najszybciej mo»na uzyska dochody na poziomie D? Omówienie zadania Biznes
4 Ogólny zarys strategii zakupu: (1) Kupujemy maszyny z kapitaªu pocz tkowego (2) Mamy dochód d i kapitaª p, chcemy kupi jak ± maszyn i o koszcie c i > p czekamy (c i p)/d, i kupujemy (3) Mamy dochód d i kapitaª 0, planujemy zakup jakiej± maszyny i czekamy c i /d i kupujemy (powtarzamy a» mamy D) Omówienie zadania Biznes
5 Ogólny zarys strategii zakupu: (1) Kupujemy maszyny z kapitaªu pocz tkowego (2) Mamy dochód d i kapitaª p, chcemy kupi jak ± maszyn i o koszcie c i > p czekamy (c i p)/d, i kupujemy (3) Mamy dochód d i kapitaª 0, planujemy zakup jakiej± maszyny i czekamy c i /d i kupujemy (powtarzamy a» mamy D) Faza (3): programowanie dynamiczne: dla d = D,..., 0 obliczamy t[d], czas do sukcesu przy dochodzie d (wybieramy optymalne i) Faza (1-2): programowanie dynamiczne: przechodzimy d = 0,..., D, dla ka»dego obliczamy p[d], najwi kszy pozostaªy kapitaª pocz tkowy, który mo»emy mie przy dochodzie d przechodzimy wszystkie maszyny i i (1) aktualizujemy p[d + d i ] lub (2) znajdujemy kandydata t[d + d i ] + (c i p)/d Omówienie zadania Biznes
6 Trójk ty Najszybsze rozwi zanie: Šukasz Marecik (0:57)
7 Danych jest n punktów na pªaszczy¹nie. Nale»y znale¹ liczb trójk tów prostok tnych o wierzchoªkach w danych punktach i o polu z danego przedziaªu. Omówienie zadania Trójk ty
8 Ustalamy wierzchoªek p przy k cie prostym i przesuwamy go na pocz tek ukªadu wspóªrz dnych. Omówienie zadania Trójk ty
9 Ustalamy wierzchoªek p przy k cie prostym i przesuwamy go na pocz tek ukªadu wspóªrz dnych. Grupujemy pozostaªe punkty po kierunkach, jakie tworz z osi OX. Kierunek dla punktu (x, y) wyznaczamy na przykªad normalizuj c ten punkt: dzielimy obie wspóªrz dne przez d, gdzie d = NWD( x, y ). Omówienie zadania Trójk ty
10 Ustalamy wierzchoªek p przy k cie prostym i przesuwamy go na pocz tek ukªadu wspóªrz dnych. Grupujemy pozostaªe punkty po kierunkach, jakie tworz z osi OX. Kierunek dla punktu (x, y) wyznaczamy na przykªad normalizuj c ten punkt: dzielimy obie wspóªrz dne przez d, gdzie d = NWD( x, y ). Niech Q (a,b) b dzie grup dla kierunku (a, b). Wtedy Q ( b,a) to grupa dla kierunku o 90 stopni wi kszego. Omówienie zadania Trójk ty
11 Ustalamy wierzchoªek p przy k cie prostym i przesuwamy go na pocz tek ukªadu wspóªrz dnych. Grupujemy pozostaªe punkty po kierunkach, jakie tworz z osi OX. Kierunek dla punktu (x, y) wyznaczamy na przykªad normalizuj c ten punkt: dzielimy obie wspóªrz dne przez d, gdzie d = NWD( x, y ). Niech Q (a,b) b dzie grup dla kierunku (a, b). Wtedy Q ( b,a) to grupa dla kierunku o 90 stopni wi kszego. Sortujemy punkty (x, y) w Q (a,b) po x 2 + y 2. Omówienie zadania Trójk ty
12 Ustalamy wierzchoªek p przy k cie prostym i przesuwamy go na pocz tek ukªadu wspóªrz dnych. Grupujemy pozostaªe punkty po kierunkach, jakie tworz z osi OX. Kierunek dla punktu (x, y) wyznaczamy na przykªad normalizuj c ten punkt: dzielimy obie wspóªrz dne przez d, gdzie d = NWD( x, y ). Niech Q (a,b) b dzie grup dla kierunku (a, b). Wtedy Q ( b,a) to grupa dla kierunku o 90 stopni wi kszego. Sortujemy punkty (x, y) w Q (a,b) po x 2 + y 2. Przechodzimy jednocze±nie dwoma wska¹nikami po Q (a,b) i Q ( b,a) i zliczamy trójk ty o» danym polu. Korzystamy tutaj z faktu,»e pole przy ustalonym jednym boku ro±nie wraz ze zwi kszaniem drugiego boku. W ten sposób uzyskamy rozwi zanie w czasie ok. O(n 2 log n). Omówienie zadania Trójk ty
13 Alternatywnie, mo»na zgadn,»e liczba wszystkich trójk tów prostok tnych na rysunku nie mo»e by zbyt du»a i przej± po ka»dej parze z Q (a,b) Q ( b,a). Czas tego rozwi zania jest proporcjonalny do liczby wszystkich trójk tów prostok tnych. Omówienie zadania Trójk ty
14 Kolorowania Najszybsze rozwi zanie: Jakub Tarnawski (1:58)
15 Mamy dane dwa kolorowania: ªadne (L) wykorzystuj ce co najwy»ej k kolorów, m dre (M) nie ma singletonów (pojedynczych wierzchoªków o danym kolorze). Szukamy kolorowania, które jest jednocze±nie ªadne i m dre. Omówienie zadania Kolorowania
16 Lemat Rozwi zanie zawsze istnieje. Omówienie zadania Kolorowania
17 Lemat Rozwi zanie zawsze istnieje. Dowód konstruktywny We¹my kolorowanie L. Je±li L jest m dre, to koniec. W przeciwnym razie L ma singleton (v). W kolorowaniu M zbiór W wierzchoªków o takim samym kolorze jak v ma wielko± co najmniej 2 i jest zbiorem niezale»nym. Przemalujmy wszystkie wierzchoªki z W w kolorowaniu L na L(v), a nast pnie usu«my W z grafu. Otrzymali±my mniejszy problem liczba kolorów w L i liczba wierzchoªków spadªy, a kolorowania dalej s ªadne i m dre. Omówienie zadania Kolorowania
18 Lemat Rozwi zanie zawsze istnieje. Dowód konstruktywny We¹my kolorowanie L. Je±li L jest m dre, to koniec. W przeciwnym razie L ma singleton (v). W kolorowaniu M zbiór W wierzchoªków o takim samym kolorze jak v ma wielko± co najmniej 2 i jest zbiorem niezale»nym. Przemalujmy wszystkie wierzchoªki z W w kolorowaniu L na L(v), a nast pnie usu«my W z grafu. Otrzymali±my mniejszy problem liczba kolorów w L i liczba wierzchoªków spadªy, a kolorowania dalej s ªadne i m dre. Rozwi zanie Šatwo zaimplementowa ten dowód w czasie liniowym. Omówienie zadania Kolorowania
19 Stany Najszybsze rozwi zanie: Jarosªaw Kwiecie«(2:27)
20 Mamy zaimplementowa struktur danych utrzymuj c podziaª P zbioru {0, 1,..., n 1}. Omówienie zadania Stany
21 Mamy zaimplementowa struktur danych utrzymuj c podziaª P zbioru {0, 1,..., n 1}. Podziaª mo»emy zmienia nast puj cymi operacjami: 1 union(a, B) dla A, B P zmienia nasz podziaª na P \ {A, B} (A B). 2 split(a, k) zmienia P na P \ A {A 1, A 2 }, gdzie A 1 = {a A : a < k}, A 2 = A \ A 1. Omówienie zadania Stany
22 Mamy zaimplementowa struktur danych utrzymuj c podziaª P zbioru {0, 1,..., n 1}. Podziaª mo»emy zmienia nast puj cymi operacjami: 1 union(a, B) dla A, B P zmienia nasz podziaª na P \ {A, B} (A B). 2 split(a, k) zmienia P na P \ A {A 1, A 2 }, gdzie A 1 = {a A : a < k}, A 2 = A \ A 1. Dla ka»dego a musimy te» umie znale¹ element podziaªu zawieraj cy a. Omówienie zadania Stany
23 Przyjmijmy,»e n = 2 B. Omówienie zadania Stany
24 Przyjmijmy,»e n = 2 B. Wyobra¹my sobie statyczne drzewo przedziaªowe T o li±ciach 0, 1,..., n 1. Wierzchoªki tego drzewa reprezentuj przedziaªy o dªugo±ciach b d cych pot gami dwójki. Omówienie zadania Stany
25 Przyjmijmy,»e n = 2 B. Wyobra¹my sobie statyczne drzewo przedziaªowe T o li±ciach 0, 1,..., n 1. Wierzchoªki tego drzewa reprezentuj przedziaªy o dªugo±ciach b d cych pot gami dwójki. Ka»dy zbiór A P reprezentujemy jako cz ± T A drzewa T. Mianowicie, usuwamy z T w zªy reprezentuj ce przedziaªy o pustym przeci ciu z A. Omówienie zadania Stany
26 Przyjmijmy,»e n = 2 B. Wyobra¹my sobie statyczne drzewo przedziaªowe T o li±ciach 0, 1,..., n 1. Wierzchoªki tego drzewa reprezentuj przedziaªy o dªugo±ciach b d cych pot gami dwójki. Ka»dy zbiór A P reprezentujemy jako cz ± T A drzewa T. Mianowicie, usuwamy z T w zªy reprezentuj ce przedziaªy o pustym przeci ciu z A. Przydaj si tutaj wska¹niki: nullptr reprezentuje usuni te poddrzewo. Omówienie zadania Stany
27 Przyjmijmy,»e n = 2 B. Wyobra¹my sobie statyczne drzewo przedziaªowe T o li±ciach 0, 1,..., n 1. Wierzchoªki tego drzewa reprezentuj przedziaªy o dªugo±ciach b d cych pot gami dwójki. Ka»dy zbiór A P reprezentujemy jako cz ± T A drzewa T. Mianowicie, usuwamy z T w zªy reprezentuj ce przedziaªy o pustym przeci ciu z A. Przydaj si tutaj wska¹niki: nullptr reprezentuje usuni te poddrzewo. Ka»dy li± a nale»y do dokªadnie jednego A P, wi c suma wielko±ci drzew T A nie przekracza n lg n. Omówienie zadania Stany
28 Przyjmijmy,»e n = 2 B. Wyobra¹my sobie statyczne drzewo przedziaªowe T o li±ciach 0, 1,..., n 1. Wierzchoªki tego drzewa reprezentuj przedziaªy o dªugo±ciach b d cych pot gami dwójki. Ka»dy zbiór A P reprezentujemy jako cz ± T A drzewa T. Mianowicie, usuwamy z T w zªy reprezentuj ce przedziaªy o pustym przeci ciu z A. Przydaj si tutaj wska¹niki: nullptr reprezentuje usuni te poddrzewo. Ka»dy li± a nale»y do dokªadnie jednego A P, wi c suma wielko±ci drzew T A nie przekracza n lg n. Wska¹niki do ojca w drzewach T A pozwalaj znajdowa zbiór, do którego nale»y dany element a. Omówienie zadania Stany
29 Przyjmijmy,»e n = 2 B. Wyobra¹my sobie statyczne drzewo przedziaªowe T o li±ciach 0, 1,..., n 1. Wierzchoªki tego drzewa reprezentuj przedziaªy o dªugo±ciach b d cych pot gami dwójki. Ka»dy zbiór A P reprezentujemy jako cz ± T A drzewa T. Mianowicie, usuwamy z T w zªy reprezentuj ce przedziaªy o pustym przeci ciu z A. Przydaj si tutaj wska¹niki: nullptr reprezentuje usuni te poddrzewo. Ka»dy li± a nale»y do dokªadnie jednego A P, wi c suma wielko±ci drzew T A nie przekracza n lg n. Wska¹niki do ojca w drzewach T A pozwalaj znajdowa zbiór, do którego nale»y dany element a. Trzeba te» utrzymywa sumy warto±ci w elementach podziaªu to jednak niezbyt ciekawy szczegóª techniczny. Omówienie zadania Stany
30 Obserwacja 1: drzewa T A i T B mo»na brutalnie poª czy w czasie O( T A + T B T A T B ). Omówienie zadania Stany
31 Obserwacja 1: drzewa T A i T B mo»na brutalnie poª czy w czasie O( T A + T B T A T B ). Obswerwacja 2: operacj split mo»na zaimplementowa w czasie O(lg n) w oczywisty sposób. Omówienie zadania Stany
32 Obserwacja 1: drzewa T A i T B mo»na brutalnie poª czy w czasie O( T A + T B T A T B ). Obswerwacja 2: operacj split mo»na zaimplementowa w czasie O(lg n) w oczywisty sposób. Zdeniujmy potencjaª Φ(P) = A P T A. Omówienie zadania Stany
33 Obserwacja 1: drzewa T A i T B mo»na brutalnie poª czy w czasie O( T A + T B T A T B ). Obswerwacja 2: operacj split mo»na zaimplementowa w czasie O(lg n) w oczywisty sposób. Zdeniujmy potencjaª Φ(P) = A P T A. Na pocz tku, gdy P = {{1}, {2},..., {n}}, mamy Φ(P) = n lg n. Omówienie zadania Stany
34 Obserwacja 1: drzewa T A i T B mo»na brutalnie poª czy w czasie O( T A + T B T A T B ). Obswerwacja 2: operacj split mo»na zaimplementowa w czasie O(lg n) w oczywisty sposób. Zdeniujmy potencjaª Φ(P) = A P T A. Na pocz tku, gdy P = {{1}, {2},..., {n}}, mamy Φ(P) = n lg n. unite zmniejsza potencjaª i dziaªa w czasie proporcjonalnym do tego zmniejszenia. Omówienie zadania Stany
35 Obserwacja 1: drzewa T A i T B mo»na brutalnie poª czy w czasie O( T A + T B T A T B ). Obswerwacja 2: operacj split mo»na zaimplementowa w czasie O(lg n) w oczywisty sposób. Zdeniujmy potencjaª Φ(P) = A P T A. Na pocz tku, gdy P = {{1}, {2},..., {n}}, mamy Φ(P) = n lg n. unite zmniejsza potencjaª i dziaªa w czasie proporcjonalnym do tego zmniejszenia. split zwi ksza potencjaª o najwy»ej lg n. Omówienie zadania Stany
36 Obserwacja 1: drzewa T A i T B mo»na brutalnie poª czy w czasie O( T A + T B T A T B ). Obswerwacja 2: operacj split mo»na zaimplementowa w czasie O(lg n) w oczywisty sposób. Zdeniujmy potencjaª Φ(P) = A P T A. Na pocz tku, gdy P = {{1}, {2},..., {n}}, mamy Φ(P) = n lg n. unite zmniejsza potencjaª i dziaªa w czasie proporcjonalnym do tego zmniejszenia. split zwi ksza potencjaª o najwy»ej lg n. Wniosek: m operacji zajmie czas O((n + m) lg n). Omówienie zadania Stany
37 Obserwacja 1: drzewa T A i T B mo»na brutalnie poª czy w czasie O( T A + T B T A T B ). Obswerwacja 2: operacj split mo»na zaimplementowa w czasie O(lg n) w oczywisty sposób. Zdeniujmy potencjaª Φ(P) = A P T A. Na pocz tku, gdy P = {{1}, {2},..., {n}}, mamy Φ(P) = n lg n. unite zmniejsza potencjaª i dziaªa w czasie proporcjonalnym do tego zmniejszenia. split zwi ksza potencjaª o najwy»ej lg n. Wniosek: m operacji zajmie czas O((n + m) lg n). Ró»ne rozwi zania typu O(n n) tak»e byªy akceptowane. Omówienie zadania Stany
38 O±wietlenie Najszybsze rozwi zanie: Mateusz Radecki (3:18)
39 Rozwa»amy autostrad zªo»on z n odcinków. W ka»dym kroku z prawdopodobie«stwem 1 p remontujemy pierwszy z jeszcze niewyremontowanych odcinków, z prawdopodobie«stwem p ostatni. Dla ka»dego odcinka chcemy wyznaczy oczekiwan liczb kroków, po której zostanie on wyremontowany. Omówienie zadania O±wietlenie
40 Niech P m,k oznacza prawdopodobie«stwo,»e w pierwszych m krokach dokªadnie k razy remontowali±my pierwszy z jeszcze niewyremontowanych odcinków. Zauwa»amy,»e P m,k = ( ) m k (1 p) k p m k. Liczby P m,k mo»emy te» wylicza rekurencyjnie. Omówienie zadania O±wietlenie
41 Niech P m,k oznacza prawdopodobie«stwo,»e w pierwszych m krokach dokªadnie k razy remontowali±my pierwszy z jeszcze niewyremontowanych odcinków. Zauwa»amy,»e P m,k = ( ) m k (1 p) k p m k. Liczby P m,k mo»emy te» wylicza rekurencyjnie. Maj c wszystkie P m,k mo»na ªatwo wyliczy wszystkie odpowiedzi w sumarycznym czasie O(n 2 ). Omówienie zadania O±wietlenie
42 Niech P m,k oznacza prawdopodobie«stwo,»e w pierwszych m krokach dokªadnie k razy remontowali±my pierwszy z jeszcze niewyremontowanych odcinków. Zauwa»amy,»e P m,k = ( ) m k (1 p) k p m k. Liczby P m,k mo»emy te» wylicza rekurencyjnie. Maj c wszystkie P m,k mo»na ªatwo wyliczy wszystkie odpowiedzi w sumarycznym czasie O(n 2 ). Mo»emy jednak zauwa»y,»e skoro oczekiwana dokªadno±c nie jest zbyt du»a, mo»na pomin niektóre P m,k. Intuicyjnie, dla ustalonego m, P m,k jest najwi ksze dla k m(1 p), gdy» jest to oczekiwana liczba remontów pierwszego odcinka. Omówienie zadania O±wietlenie
43 Niech P m,k oznacza prawdopodobie«stwo,»e w pierwszych m krokach dokªadnie k razy remontowali±my pierwszy z jeszcze niewyremontowanych odcinków. Zauwa»amy,»e P m,k = ( ) m k (1 p) k p m k. Liczby P m,k mo»emy te» wylicza rekurencyjnie. Maj c wszystkie P m,k mo»na ªatwo wyliczy wszystkie odpowiedzi w sumarycznym czasie O(n 2 ). Mo»emy jednak zauwa»y,»e skoro oczekiwana dokªadno±c nie jest zbyt du»a, mo»na pomin niektóre P m,k. Intuicyjnie, dla ustalonego m, P m,k jest najwi ksze dla k m(1 p), gdy» jest to oczekiwana liczba remontów pierwszego odcinka. Z nierówno±ci Chernoa mo»na pokaza,»e wystarczy rozwa»a P m,k dla k [k 5 m, k + 5 m]. Omówienie zadania O±wietlenie
44 Neony Najszybsze rozwi zanie: Jakub Tarnawski (4:08)
45 Mamy dane dwa napisy v 1, v 2. Chcemy znale¹ liczb podci gów v 1, które s równe v 2 i odlegªo± mi dzy pierwszym i ostatnim elementem tego podci gu jest wi ksza ni» pewne k. Omówienie zadania Neony
46 Mamy dane dwa napisy v 1, v 2. Chcemy znale¹ liczb podci gów v 1, które s równe v 2 i odlegªo± mi dzy pierwszym i ostatnim elementem tego podci gu jest wi ksza ni» pewne k. Przykªad v 1 = longlonghotel, v 2 = lol, k = 5 l o n g l o n g h o t e l odl l o l 4 (-) l o l 12 (+) l o l 12 (+) l o l 12 (+) l o l 8 (+) l o l 8 (+) Omówienie zadania Neony
47 Miast szuka liczby takich podci gów, gdzie odlegªo± jest wi ksza ni» pewne k, znajd¹my liczb podci gów, gdzie odlegªo± jest nie wi ksza ni» p. Oznaczaj c t liczb przez liczba(p), szukanym wynikiem jest liczba(n) liczba(k). Omówienie zadania Neony
48 Miast szuka liczby takich podci gów, gdzie odlegªo± jest wi ksza ni» pewne k, znajd¹my liczb podci gów, gdzie odlegªo± jest nie wi ksza ni» p. Oznaczaj c t liczb przez liczba(p), szukanym wynikiem jest liczba(n) liczba(k). Jak znale¹ warto± liczba(p)? Poruszamy si okienkiem o dªugo±ci p i trzymamy tablic d wielko±ci m m. d a,b oznacza liczb wyst pie«podci gów równych s[a..b] w aktualnym okienku. Warto±ci d a,b mo»na ªatwo aktualizowa w czasie O(m 2 ) musimy jedynie obsªugiwa dodanie jednej litery z prawej strony okienka i usuni cie jednej litery z lewej strony okienka. Omówienie zadania Neony
49 lol lol lol lol lol lol l lo longh ongh... Omówienie zadania Neony
50 lol lol lol lol lol lol l lo longh ongh... Zªo»ono± O(nm 2 ). Omówienie zadania Neony
51 lol lol lol lol lol lol l lo longh ongh... Zªo»ono± O(nm 2 ). Inne dopuszczalne rozwi zanie u»ywaªo metody dziel i zwyci»aj i miaªo zªo»ono± O(nm 2 log n). Omówienie zadania Neony
52 lol lol lol lol lol lol l lo longh ongh... Zªo»ono± O(nm 2 ). Inne dopuszczalne rozwi zanie u»ywaªo metody dziel i zwyci»aj i miaªo zªo»ono± O(nm 2 log n). Zªo»ono± O(nm 3 ) tak»e mogªa zosta zaakceptowana. Omówienie zadania Neony
53 Taniec
54 Danych jest n m»czyzn, m kobiet i t terminów. Ka»da osoba deklaruje, jak bardzo warto±ciowy jest dla niej ka»dy z terminów. Chcemy utworzy pewn liczb par, z których ma przydzielony termin. Ka»da osoba mo»e wchodzi w skªad co najwy»ej jednej pary, interesuje nas maksymalizacja sumarycznej warto±ci. Omówienie zadania Taniec
55 Interesuje nas najdro»sze skojarzenie w specycznym grae dwudzielnym. Poniewa» po ka»dej stronie mo»emy mie nawet wierzchoªków, wi c nale»y jako± skorzysta ze struktury grafu. Zauwa»amy,»e t 10. Omówienie zadania Taniec
56 Interesuje nas najdro»sze skojarzenie w specycznym grae dwudzielnym. Poniewa» po ka»dej stronie mo»emy mie nawet wierzchoªków, wi c nale»y jako± skorzysta ze struktury grafu. Zauwa»amy,»e t 10. Zamiast grafu dwudzielnego tworzymy sie skªadaj c si z trzech warstw: w pierwszej m»czy¹ni, w drugiej terminy, a w trzeciej kobiety. Dodajemy ¹ródªo (poª czone z ka»dym m»czyzn ) oraz uj±cie (poª czone z ka»d kobiet ) i ustalamy koszty oraz przepustowo±ci kraw dzi tak, aby rozwi zanie zadania sprowadzaªo si do wyliczenia maksymalnego przepªywu o minimalnym koszcie. Omówienie zadania Taniec
57 Interesuje nas najdro»sze skojarzenie w specycznym grae dwudzielnym. Poniewa» po ka»dej stronie mo»emy mie nawet wierzchoªków, wi c nale»y jako± skorzysta ze struktury grafu. Zauwa»amy,»e t 10. Zamiast grafu dwudzielnego tworzymy sie skªadaj c si z trzech warstw: w pierwszej m»czy¹ni, w drugiej terminy, a w trzeciej kobiety. Dodajemy ¹ródªo (poª czone z ka»dym m»czyzn ) oraz uj±cie (poª czone z ka»d kobiet ) i ustalamy koszty oraz przepustowo±ci kraw dzi tak, aby rozwi zanie zadania sprowadzaªo si do wyliczenia maksymalnego przepªywu o minimalnym koszcie. Zauwa»amy,»e co drugi wierzchoªek na dowolnej ±cie»ce powi kszaj cej nale»y do ±rodkowej warstwy, wi c dªugo± takiej ±cie»ki to 2(t + 1). Omówienie zadania Taniec
58 Interesuje nas najdro»sze skojarzenie w specycznym grae dwudzielnym. Poniewa» po ka»dej stronie mo»emy mie nawet wierzchoªków, wi c nale»y jako± skorzysta ze struktury grafu. Zauwa»amy,»e t 10. Zamiast grafu dwudzielnego tworzymy sie skªadaj c si z trzech warstw: w pierwszej m»czy¹ni, w drugiej terminy, a w trzeciej kobiety. Dodajemy ¹ródªo (poª czone z ka»dym m»czyzn ) oraz uj±cie (poª czone z ka»d kobiet ) i ustalamy koszty oraz przepustowo±ci kraw dzi tak, aby rozwi zanie zadania sprowadzaªo si do wyliczenia maksymalnego przepªywu o minimalnym koszcie. Zauwa»amy,»e co drugi wierzchoªek na dowolnej ±cie»ce powi kszaj cej nale»y do ±rodkowej warstwy, wi c dªugo± takiej ±cie»ki to 2(t + 1). Czyli mo»emy szuka kolejnych ±cie»ek Bellmanem-Fordem w sumarycznym czasie O(n 2 t). Omówienie zadania Taniec
59 Mo»emy te» szuka ±cie»ki powi kszaj cej w skompresowanej wersji sieci, w której zostawiamy tylko ±rodkow warstw. Je±li u oraz v s dwoma wierzchoªkami z tej ±rodkowej warstwy, a w sieci mamy kraw dzie u c 1 x oraz x c 2 v (o przepustowo±ci 1), to w skompresowanej sieci dodajemy kraw d¹ u c 1+c 2 v (te» o przepustowo±ci 1). Dla ka»dego (u, v) zostawiamy najta«sz z tak skonstruowanych kraw dzi. Omówienie zadania Taniec
60 Mo»emy te» szuka ±cie»ki powi kszaj cej w skompresowanej wersji sieci, w której zostawiamy tylko ±rodkow warstw. Je±li u oraz v s dwoma wierzchoªkami z tej ±rodkowej warstwy, a w sieci mamy kraw dzie u c 1 x oraz x c 2 v (o przepustowo±ci 1), to w skompresowanej sieci dodajemy kraw d¹ u c 1+c 2 v (te» o przepustowo±ci 1). Dla ka»dego (u, v) zostawiamy najta«sz z tak skonstruowanych kraw dzi. Kompresja zmniejsza czas znalezienie najta«szej ±cie»ki powi kszaj cej do O(t 3 ), ale skonstruowanie skompresowanej sieci wymaga przejrzenia 2n t par kraw dzi. Omówienie zadania Taniec
61 Mo»emy te» szuka ±cie»ki powi kszaj cej w skompresowanej wersji sieci, w której zostawiamy tylko ±rodkow warstw. Je±li u oraz v s dwoma wierzchoªkami z tej ±rodkowej warstwy, a w sieci mamy kraw dzie u c 1 x oraz x c 2 v (o przepustowo±ci 1), to w skompresowanej sieci dodajemy kraw d¹ u c 1+c 2 v (te» o przepustowo±ci 1). Dla ka»dego (u, v) zostawiamy najta«sz z tak skonstruowanych kraw dzi. Kompresja zmniejsza czas znalezienie najta«szej ±cie»ki powi kszaj cej do O(t 3 ), ale skonstruowanie skompresowanej sieci wymaga przejrzenia 2n t par kraw dzi. Zamiast kompresowa za ka»dym razem od pocz tku, lepiej utrzymywa skompresowan wersj. W tym celu dla ka»dego (u, v) przechowujemy zbiór kandydatów, z którego w ka»dej iteracji wyci gamy najta«szego. Nast pnie szukamy najta«szej ±cie»ki w skompresowanej sieci. Po znalezieniu kolejnej ±cie»ki powi kszaj cej musimy zmieni co najwy»ej 2t 3 kandydatów. Omówienie zadania Taniec
62 Mo»emy te» szuka ±cie»ki powi kszaj cej w skompresowanej wersji sieci, w której zostawiamy tylko ±rodkow warstw. Je±li u oraz v s dwoma wierzchoªkami z tej ±rodkowej warstwy, a w sieci mamy kraw dzie u c 1 x oraz x c 2 v (o przepustowo±ci 1), to w skompresowanej sieci dodajemy kraw d¹ u c 1+c 2 v (te» o przepustowo±ci 1). Dla ka»dego (u, v) zostawiamy najta«sz z tak skonstruowanych kraw dzi. Kompresja zmniejsza czas znalezienie najta«szej ±cie»ki powi kszaj cej do O(t 3 ), ale skonstruowanie skompresowanej sieci wymaga przejrzenia 2n t par kraw dzi. Zamiast kompresowa za ka»dym razem od pocz tku, lepiej utrzymywa skompresowan wersj. W tym celu dla ka»dego (u, v) przechowujemy zbiór kandydatów, z którego w ka»dej iteracji wyci gamy najta«szego. Nast pnie szukamy najta«szej ±cie»ki w skompresowanej sieci. Po znalezieniu kolejnej ±cie»ki powi kszaj cej musimy zmieni co najwy»ej 2t 3 kandydatów. Takie rozwi zanie dziaªa w czasie O(nt 2 (t + log n)). Omówienie zadania Taniec
63 Edycja
64 Dane 2 sªowa v, w tej samej dªugo±ci. Jak zamieni v na w w najkrótszym czasie, je±li: zamiana konkretnej litery x na y zajmuje 1 sekund, zamiana wszystkich liter x na y zajmuje c sekund? Omówienie zadania Edycja
65 Šatwo zauwa»y,»e operacje typu (1) mo»na zostawi na sam koniec. Rozwi zanie niepoprawne: Dla ka»dej pary liter x, z liczymy koszt zamiany r xz, czyli ile czasu zajmie poprawienie wszystkich liter x na z, o ile dokonamy zamiany x z (lub nie dokonamy»adnej zamiany x, dla x = z). Koszt zamiany x z jest wliczony w r xz. Dla ka»dej litery x znajdujemy b(x), czyli takie y, dla którego r xy jest najmniejsze. Sumujemy r x,b(x) po wszystkich literach. Niepoprawne, bo: Cykle: potrzebujemy dodatkowej tymczasowej litery (koszt ro±nie o c) Permutacja: Je±li b jest permutacj i nie jest identyczno±ci, to tymczasowej litery nie ma. (zupeªnie niepoprawne) Omówienie zadania Edycja
66 Za ka»dy cykl w rozwi zaniu musimy wi c zapªaci dodatkowo c. By unikn wzrostu kosztu o c, musimy cykl rozbi : Dla pewnego x na cyklu, zamieni x na z(x) b(x) Dla pewnego x, zamieni x na z(x) le» ce na cyklu Ka»da zamiana x na z(x) b(x) podwy»sza koszt o r x,z(x) r x,b(x) 0. Nie musimy si przejmowa mo»liwo±ci stworzenia nowych cykli, ani tym,»e funkcja si mo»e sta permutacj, bo to by wymagaªo niepotrzebnego podwy»szenia kosztu. Omówienie zadania Edycja
67 Funkcja rekurencyjna dp(u, x, i) (spami tywane wyniki) U reprezentuje zbiór cykli, które musimy jeszcze rozbi x przechodzi po wszystkich literach i mówi nam, czy trzeba rozbi permutacj Dla x = 26 zwracamy c U o ile i = 0 ( w przeciwnym przypadku). Dla x < 26 próbujemy zamieni x na wszystkie mo»liwe litery z i zwracamy najmniejsze r x,z + dp(u (x,z), x + 1, i (z b(x))) gdzie U (x,z) = U minus cykle rozbite przez x z Zªo»ono± czasowa: O(2 r n 2 ), gdzie n liczba liter (26), r liczba cykli (n/2 = 13) Omówienie zadania Edycja
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Wektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009
Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie
2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona
Algorytmy i Struktury Danych
Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez
Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz
Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia
Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2
Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.
1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,
![1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,](/thumbs/93/111864182.jpg "1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,")
XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2
Wojewódzki Konkurs Matematyczny
sumaryczna liczba punktów (wypeªnia sprawdzaj cy) Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych.
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Wojewódzki Konkurs Matematyczny
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Stereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a
Szybkie mno»enie wielomianów i macierzy
Szybkie mno»enie wielomianów i macierzy Šukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 1 / 30 Szybka Transformata Fouriera Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 2 / 30
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Geometria. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Geometria Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Dane s równania postych, w których zawarte s boki trójk ta ABC : 3x 4y + 36 = 0 x y = 0 4x + 3y + 23 = 0 1. Obliczy wspóªrz dne wierzchoªków
Listy i operacje pytania
Listy i operacje pytania Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet l ski Instytut Informatyki pa¹dziernika 07 Który atrybut NIE wyst puje jako atrybut elementów listy? klucz elementu (key) wska¹nik
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi Rozpoznawanie j zyków bezkontekstowych Problem rozpoznawania j zyka L polega na sprawdzaniu przynale»no±ci sªowa wej±ciowego x do L. Zakªadamy,»e j zyk
Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw
Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za
Lab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Ukªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.
2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze
c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie
7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
MiASI. Modelowanie systemów informatycznych. Piotr Fulma«ski. 18 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
MiASI Modelowanie systemów informatycznych Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 18 stycznia 2010 Spis tre±ci 1 Analiza systemu informatycznego Poziomy analizy 2
12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach
12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3:
Szeregowanie zada« Wykªad nr 5. dr Hanna Furma«czyk. 4 kwietnia 2013
Wykªad nr 5 4 kwietnia 2013 Procesory dedykowane Przypomnienie: zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie
c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie
8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
Programowanie wspóªbie»ne
1 Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 5 monitory cz. 1 Zadanie 1: Stolik dwuosobowy raz jeszcze W systemie dziaªa N par procesów. Procesy z pary s nierozró»nialne. Ka»dy proces cyklicznie wykonuje wªasnesprawy,
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Lekcja 12 - POMOCNICY
Lekcja 12 - POMOCNICY 1 Pomocnicy Pomocnicy, jak sama nazwa wskazuje, pomagaj Baltiemu w programach wykonuj c cz ± czynno±ci. S oni szczególnie pomocni, gdy chcemy ci g polece«wykona kilka razy w programie.
XIII KONKURS MATEMATYCZNY
XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Minimalne drzewa rozpinaj ce
y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego
Rekurencyjne struktury danych
Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Dynamiczny przydziaª pami ci Pami, która jest przydzielana na pocz tku dziaªania procesu to: pami programu czyli instrukcje programu pami statyczna zwi zana ze zmiennymi
Teoria grafów i sieci 1 / 188
Teoria grafów i sieci / Drzewa z wagami Drzewem z wagami nazywamy drzewo z korzeniem, w którym do ka»dego li±cia przyporz dkowana jest liczba nieujemna, nazywana wag tego li±cia. / Drzewa z wagami Drzewem
Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej.
Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej. Paulina Michta V Liceum Ogólnoksztaªc ce im. Augusta Witkowskiego w Krakowie Opiekun: dr Jacek Dymel 2 1 Wprowadzenie
TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}.
Podstawowe denicje: TEORIA GRAFÓW Graf (nieskierowany) G = (V, E) struktura skªadaj ca si ze: zbioru wierzchoªków V = {,,..., v n } oraz zbioru kraw dzi E = {e 1, e 2,..., e m }. Z ka»d kraw dzi e skojarzona
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
O pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.
Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej
Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej Problem Komiwoja»era (PK) Dane: n liczba miast, n Z +, c ji, i, j {1,..., n}, i j odlegªo± mi dzy miastem i a miastem j, c ji = c ij, c ji R +. Zadanie:
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
A. Auxiliary Question of the Universe
Nieformalny wst p Dodatkow trudno±ci w dzisiejszym konkursie byªo to,»e zadania byªy sformuªowane w j zyku angielskim, a do tego autorami zada«nie byli native speakers. W takich wypadkach nie warto si
WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Algorytmy tekstowe. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI
Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Wyszukiwanie wzorca Wyszukiwaniem wzorca nazywamy sprawdzenie, czy w podanym tekscie T znajduje si podci g P. Szukamy sªowa kot: Ala ma kota, kot ma ale. Algorytm naiwny
Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie
Programowanie wspóªbie»ne
1 Zadanie 1: Bar Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 6 monitory cz. 2 Napisz monitor Bar synchronizuj cy prac barmana obsªuguj cego klientów przy kolistym barze z N stoªkami. Ka»dy klient realizuje nast
Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe
Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe
Grafy i Zastosowania. 6: Najkrótsze ±cie»ki. c Marcin Sydow. Najkrótsze cie»ki. Warianty. Relaksacja DAG. Algorytm Dijkstry.
6: ±cie»ki Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3: dowolny graf () ±cie»ki dla wszystkich
Biedronka. Wej±cie. Wyj±cie. Przykªady. VI OIG Zawody dru»ynowe, Finaª. 19 V 2012 Dost pna pami : 64 MB.
Biedronka Pªot ma D cm dªugo±ci i zbudowany jest z desek zako«czonych trójk tami równoramiennymi, poª czonych ze sob w jedn caªo±. Dªugo± ramienia ka»dego z trójk tów stanowi P % dªugo±ci podstawy. Po
Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Podstawy modelowania w j zyku UML
Podstawy modelowania w j zyku UML dr hab. Bo»ena Wo¹na-Szcze±niak Akademia im. Jan Dªugosza bwozna@gmail.com Wykªad 2 Zwi zki mi dzy klasami Asocjacja (ang. Associations) Uogólnienie, dziedziczenie (ang.
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
NUMER IDENTYFIKATORA:
Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl
Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. W pewnym sonda»u partia A uzyskaªa o 8 punktów procentowych wi ksze poparcie ni» partia B. Wiadomo,»e liczba gªosów oddanych w sonda»u
1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza
165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany
r = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Teoria grafów i sieci 1 / 58
Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo
Zarządzanie Zasobami by CTI. Instrukcja
Zarządzanie Zasobami by CTI Instrukcja Spis treści 1. Opis programu... 3 2. Konfiguracja... 4 3. Okno główne programu... 5 3.1. Narzędzia do zarządzania zasobami... 5 3.2. Oś czasu... 7 3.3. Wykres Gantta...
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Egzaminy i inne zadania. Semestr II.
Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si
1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d.
11: Twierdzenia Minimaksowe Spis zagadnie«wst p: Kojarzenie Maª»e«stw i i twierdzenia minimaksowe i pokrycia (Tw. Gallai) w grafach (tw. Berge'a) w grafach dwudzielnych (tw. Königa, ) Pokrycia macierzy