STRUKTURY DANYCH. dane wej±ciowe problemu, ewentualne dane po±rednie, dane wynikowe (czyli rozwi zanie problemu).

Transkrypt

1 STRUKTURY DANYCH Jak ju» zostaªo wspomniane, do rozwi zania ró»nego rodzaju problemów sªu» odpowiednie algorytmy (które implementujemy przy pomocy ró»nego rodzaju j zyków programowania wy»szego rz du). Do pracy algorytmu jak dla ka»dego programu komputerowego niezb dne s struktury danych, przechowuj ce niezb dne informacje (dane), czyli: dane wej±ciowe problemu, ewentualne dane po±rednie, dane wynikowe (czyli rozwi zanie problemu). W zale»no±ci od charakterystyki rozwi zywanego problemu oraz od sposobu dziaªania danego algorytmu, struktury te s bardziej lub mniej skomplikowane. Najprostsze struktury to tablica i lista.

2 Tablic okre±lamy zwarty obszar pami ci, gdzie ka»da komórka przechowuje informacje okre±lonego typu i do ka»dej z nich jest bezpo±redni dost p poprzez jej indeks. Zwró my uwag,»e ka»da komórka tablicy mo»e by pojedyncz warto±ci (np. warto±ci danego elementu w Problemie Podziaªu) lub bardziej skomplikowan struktur (np. polem dwuelementowym zawieraj cym rozmiar i warto± konkretnego elementu w Problemie Komiwoja»era, a nawet rozbudowanym zestawem danych osobowych, skªadaj cym si z wielu pól ró»nego typu ªa«cuchów znaków, liczb, dat, ci gów cyfr o okre±lonej strukturze, itp.). Zaªó»my,»e w ogólno±ci tablica zawiera n elementów (komórek). Jaka jest efektywno± podstawowych operacji na takiej strukturze?

3 Dost p do okre±lonego elementu: natychmiastowy, ze wzgl du na indeksowanie ka»dej komórki tablicy O(1). w najgorszym wypadku Wyszukanie elementu o okre±lonej warto±ci: b dziemy musieli odczyta wszystkie n komórek O(n). Wstawienie nowego elementu na okre±lon pozycj : wstawienie nowego elementu na koniec tablicy wymaga po prostu powi kszenia rozmiaru tablicy o 1 i wpisania warto±ci do ostatniej komórki (zatem jest to staªa liczba operacji, niezale»na od liczby elementów, czyli O(1)), jednak wstawienie nowego elementu w ±rodek tablicy wymaga powi kszenia rozmiaru tablicy o 1 oraz przesuni cia wszystkich elementów le» cych na prawo od wstawianego o 1 pozycj w prawo, czyli w najgorszym wypadku (wstawienie elementu na pierwsz pozycj ): staªa liczba operacji zwi kszania rozmiaru tablicy + n przesuni + 1 zapisanie = O(1) + O(n) + O(1) = O(n). Usuni cie elementu: analogicznie do wstawiania, w najgorszym wypadku (usuni cie pierwszego elementu) trzeba przesun n 1 elementów o 1 pozycj w lewo (n 1 operacji) i zmniejszy rozmiar tablicy o 1 (staªa liczba operacji) O(n).

4 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś N I E G

5 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś N I E G Odczyt: TAB[2]?

6 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś N I E G Odczyt: TAB[2] = N

7 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś N I E G Wyszukanie: TAB[i] = N?

8 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś N I E G Wyszukanie: TAB[i] = N?

9 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś N I E G Wyszukanie: TAB[i] = N?

10 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś N I E G Wyszukanie: TAB[i] = N? i = 2.

11 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś N I E G Usuwanie: TAB[2]

12 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś I E G Usuwanie: TAB[2]

13 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś I E G Usuwanie: TAB[2]

14 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś I E G Usuwanie: TAB[2]

15 TAB: [1] [2] [3] [4] Ś I E G Usuwanie: TAB[2]

16 TAB: [1] [2] [3] [4] Ś I E G Wstawianie: TAB[2] = C

17 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś I E G Wstawianie: TAB[2] = C

18 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś I E G Wstawianie: TAB[2] = C

19 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś I E G Wstawianie: TAB[2] = C

20 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś I E G Wstawianie: TAB[2] = C

21 TAB: [1] [2] [3] [4] [5] Ś C I E G Wstawianie: TAB[2] = C

22 Lista jest to struktura wykorzystuj ca wska¹niki, gdzie ka»da komórka skªada si z dwóch pól: pola danych (mog cego by jak w przypadku tablicy rozbudowan struktur ) oraz wska¹nika na nast pny element. Ponadto, lista musi mie (co najmniej) jedn wyszczególnion komórk zawieraj c wyª cznie wska¹nik na pierwszy element, tzw. gªow. W porównaniu do tablicy, lista posiada t zalet,»e nie musi by zwartym obszarem pami ci. Jakie s zatem koszty takiego rozwi zania?

23 Dost p do elementu: je»eli element jest umieszczony na ko«cu listy, to aby do niego dotrze, trzeba przejrze wszystkie pozostaªe n 1 elementów O(n). Wyszukanie elementu: jak wy»ej O(n). Wstawienie elementu: nale»y utworzy now komórk O(1), wypeªni warto± pola danych O(1), pole wska¹nika wypeªni warto±ci gªowy O(1), a warto± gªowy wypeªni warto±ci wskazuj c na nowy element O(1) caªkowity czas omawianej operacji wynosi zatem O(1). Usuni cie elementu: warto± wska¹nika elementu poprzedzaj cego nale»y wypeªni warto±ci wskazuj c na element nast pny O(n) (trzeba ten wska- ¹nik znale¹!) i usun z pami ci dany element O(1) O(n).

24 LST: T U J A

25 LST: T U J A

26 LST: T U J A Odczyt: LST[3]?

27 LST: T U J A Odczyt: LST[3]?

28 LST: T U J A Odczyt: LST[3]?

29 LST: T U J A Odczyt: LST[3]?

30 LST: T U J A Odczyt: LST[3] = J

31 LST: T U J A Wyszukanie: LST[i] = J?

32 LST: T U J A Wyszukanie: LST[i] = J?

33 LST: T U J A Wyszukanie: LST[i] = J?

34 LST: T U J A Wyszukanie: LST[i] = J? i = 3.

35 LST: T U J A Usuwanie: LST[3]

36 LST: T U J A Usuwanie: LST[3]

37 LST: T U J A Usuwanie: LST[3]

38 LST: T U J A Usuwanie: LST[3]

39 LST: T U J A Usuwanie: LST[3]

40 LST: T U A Usuwanie: LST[3]

41 LST: T U A Wstawianie: LST[1] = B

42 LST: T U A B Wstawianie: LST[1] = B

43 LST: T U A B Wstawianie: LST[1] = B

44 LST: T U A B Wstawianie: LST[1] = B

45 LST: B T U A Wstawianie: LST[1] = B

46 Istniej te» bardziej zaawansowane postaci list: Lista dwukierunkowa ka»dy element, oprócz warto±ci i wska¹nika na nast pny element zawiera te» wska¹nik na element poprzedzaj cy, a oprócz gªowy zawiera te» (cho nie jest to konieczne) tzw. ogon, czyli wska¹nik na ostatni element struktury. Takie rozwi zanie skraca operacje wyszukiwania elementu (a co za tym idzie wstawiania i usuwania) w najgorszym wypadku o poªow, jednak z punktu widzenia efektywno±ci to nadal jest zªo»ono± tego samego rz du (O(n/2) = O(n)). Lista cykliczna wska¹nik ostatniego elementu wskazuje na pierwszy element.

47 Lista dwukierunkowa: K O T Lista dwukierunkowa cykliczna: K O T

48 Lista smoorganizuj ca si (posortowana) elementy w strukturze s uporz dkowane niemalej co lub nierosn co (wzgl dem warto±ci pól danych). Ró»nica w stosunku do standardowej listy dotyczy operacji dodawania elementu nale»y utworzy now komórk O(1), wypeªni warto± pola danych O(1), pole wska¹nika wypeªni warto±ci wskazuj c na element, który ma by nast pnikiem elementu wstawianego (trzeba znale¹ warto± tego wska¹nika, wyszukuj c element pierwotnie go poprzedzaj cy O(n)), pole wska¹nika elementu poprzedzaj cego wypeªni warto±ci wskazuj c na nowy element O(1) O(n). Korzy±ci pojawiaj si w niektórych szczególnych sytuacjach (gdy np. interesuj nas gªównie maksymalne / minimalne elementy). Zwró my uwag,»e ide listy mo»na zaimplementowa przy pomocy tablicy.

49 Realizacja listy za pomocą tablicy: [1] [2] [3] [4] [5] [6] Ś N I E Ć

50 Z kolei poni»ej zaprezentowane struktury mo»na zaimplementowa zarówno za pomoc tablicy, jak i listy.

51 Kolejka (bufor) jest struktur typu FIFO (ang. First In First Out), w której odczyt nast puje tylko z pierwszej pozycji, a wstawienie nowego elementu mo»e nast pi tylko na koniec struktury (za ostatni element). Zatem dost p (pobranie) oraz wstawienie nowego elementu zajmuje O(1) czasu, natomiast wyszukanie i usuni cie konkretnego elementu O(n).

52 Stos jest struktur typu LIFO (ang. Last In First Out), czyli tak, w której dost p (bezpo±redni) jest tylko do pierwszego elementu, a dodanie nowego nast puje przed pierwszy (na pierwsz pozycj ). Zatem tak jak w przypadku kolejki zªo»ono± operacji dost pu (pobrania) oraz dodania elementu wynosi O(1), natomiast dla wyszukania i usuni cia konkretnego elementu to O(n).

53 Kolejka: WE WY Stos: WE WY

54 Powy»ej opisane struktury mo»na okre±li jako liniowe i jak zostaªo to przeanalizowane, ka»da z nich posiada okre±lone wady i zalety. Generalnie mo»na stwierdzi,»e w powy»szych strukturach niektóre podstawowe operacje mo»na wykona w czasie O(1) ale inne w czasie O(n). Czy mo»na opracowa struktury, w których ka»d z analizowanych operacji b dzie mo»na wykona w czasie mniejszym ni» O(n)?

55 Rozwa»my struktur inn ni» liniow struktur drzewa. Ogóln denicj drzewa jako szczególnego typu grafu podamy pó¹niej, przy okazji omawiania teorii grafów. Obecnie opiszemy pewien szczególny typ drzewa drzewa ukorzenionego. Drzewo ukorzenione jest struktur hierarchiczn, tzn. ka»dy element posiada element(y) podrz dny(e) i/lub element nadrz dny. Element nadrz dny nazywa si rodzicem, a podrz dny potomkiem. Wymogiem drzewa jest to,»e ka»dy element mo»e posiada co najwy»ej jednego rodzica i (w ogólno±ci) dowoln liczb potomków ( 0). W drzewie wyró»niony jest element zwany korzeniem, który nie posiada rodzica (istnieje dokªadnie jeden taki element). Z kolei elementy nie posiadaj ce potomków zwane s li±ciami.

56 Drzewo korzeń rodzic węzła x x potomek węzła x liście

57 Szczególnym przypadkiem drzewa ukorzenionego jestdrzewo binarne, które charakteryzuje si m.in. tym,»e ka»dy element (nie b d cy li±ciem) posiada co najwy»ej dwóch potomków. Policzmy liczb poziomów, k, drzewa binarnego peªnego, tzn. takiego,»e: ka»dy element z wyj tkiem li±ci posiada dokªadnie 2 potomków, li±cie znajduj si tylko na ostatnim poziomie.

58 Drzewo binarne pełne [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] k = 4 poziomy [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] n = 15 elementów

59 Wychodz c od spostrze»enia,»e w ka»dym kolejnym poziomie drzewa jest dwa razy wi cej elementów ni» w poprzednim, liczb wszystkich elementów mo»na wyznaczy jako sum nast. ci gu: k 1 = n. Korzystaj c ze wzoru na sum ci gu: a 0 + a 0 q + a 0 q a 0 q n 1 = a 0 1 q n 1 q, podstawiaj c a 0 = 1 oraz q = 2 otrzymamy: 2 k 1 = n.

60 Korzystaj c teraz z denicji logarytmu otrzymamy: a zatem k = O(log n). k = log 2 (n + 1),

61 Szczególnym przypadkiem drzewa binarnego jest kopiec, czyli takie drzewo binarne (prawie) peªne, w którym warto± rodzica jest zawsze nie mniejsza (nie wi ksza) od obu potomków (w przypadku elementu n/2 i nieparzystej liczby elementów od jedynego potomka). Dzi ki temu w korzeniu mamy zawsze element maksymalny (minimalny).

62 Kopiec zbudowany z n = 10 elementów: {8, 3, 1, 5, 6, 9, 2, 12, 7, 4} 12 [1] element maksymalny [2] 9 8 [3] 8 max {1, 2} [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] element n/2

63 Dost p do elementu: w kopcu mamy dost p tylko do korzenia O(1). Usuni cie (pobranie) elementu: procedura pobrania (pierwszego) elementu wymaga, po odczytaniu go z korzenia, przywrócenia wªa±ciwo±ci kopca. Polega to na tym,»e ostatni element ze struktury wstawiamy do korzenia (w miejsce pobranego elementu) i sukcesywnie zamieniamy go z wi kszym z potomków dopóki ten potomek jest wi kszy od zamienianego elementu. Zatem w najgorszym wypadku wykonamyo(log n) takich zamian, co stanowi zªo»ono± obliczeniow caªej procedury. Wstawienie elementu: nowy element wstawiamy na koniec struktury i zamieniamy go z rodzicem dopóki rodzic jest mniejszy od wstawionego elementu O(log n). Bior c pod uwag powy»sze, utworzenie poprawnego kopca ze zbioru n losowych warto±ci sprowadza si do n-krotnego wykonania operacji wstawienia elementu O(n log n).

64 Usunięcie elementu z kopca: 12 [1] [2] 9 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 3 6 4

65 Usunięcie elementu z kopca: 12 [1] [2] 9 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 3 6 4

66 Usunięcie elementu z kopca: [1] [2] 9 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 3 6 4

67 Usunięcie elementu z kopca: 4 [1] [2] 9 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 6

68 Usunięcie elementu z kopca: 4 [1] [2] 9 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 6

69 Usunięcie elementu z kopca: 9 [1] [2] 4 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 6

70 Usunięcie elementu z kopca: 9 [1] [2] 4 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 6

71 Usunięcie elementu z kopca: 9 [1] [2] 7 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 6

72 Usunięcie elementu z kopca: 9 [1] [2] 7 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 6

73 Usunięcie elementu z kopca: 9 [1] [2] 7 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 4

74 Usunięcie elementu z kopca: 9 [1] [2] 7 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 4

75 Wstawianie nowego elementu 8 do kopca: 9 [1] [2] 7 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 4

76 Wstawianie nowego elementu 8 do kopca: 9 [1] [2] 7 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 4 [10] 8

77 Wstawianie nowego elementu 8 do kopca: 9 [1] [2] 7 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 4 [10] 8

78 Wstawianie nowego elementu 8 do kopca: 9 [1] [2] 7 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 4 [10] 5

79 Wstawianie nowego elementu 8 do kopca: 9 [1] [2] 7 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 4 [10] 5

80 Wstawianie nowego elementu 8 do kopca: 9 [1] [2] 8 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 4 [10] 5

81 Wstawianie nowego elementu 8 do kopca: 9 [1] [2] 8 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 4 [10] 5

82 Wstawianie nowego elementu 8 do kopca: 9 [1] [2] 8 8 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 3 4 [10] 5

83 PODSUMOWANIE Struktura Dost p Wyszukanie Wstawienie Usuni cie Tablica O(1) O(n) O(n) O(n) Lista O(n) O(n) O(1) O(n) Kolejka O(1) O(n) O(1) O(n) Stos O(1) O(n) O(1) O(n) Kopiec O(1) O(n log n) O(log n) O(log n)

84 Kolejka i Stos s strukturami o specycznych zastosowaniach i tylko dzi ki naªo»onym ograniczeniom posiadaj korzystniejsze czasy dost pu lub wstawiania elementu (w stosunku do Tablicy i Listy). Kopiec ma korzystne czasy wstawiania i usuwania elementów w stosunku do pozostaªych struktur (wprawdzie czasy wstawiania dla Listy, Kolejki i Stosu s szybsze, jednak suma czasów wstawiania i usuwania jest mniejsza wªa±nie dla Kopca). Kopiec nie jest dobr struktur do wyszukiwania elementów. Co zrobi, aby przyspieszy operacj Wyszukiwania?

85 Zaawansowane struktury danych W±ród struktur przeznaczonych do wyszukiwania elementów mo»na wymieni drzewo poszukiwa«binarnych (ang. w zªa, x, musi by speªniony nast puj cy warunek: Binary Search Tree, czyli drzewo BST), w którym dla ka»dego warto± ka»dego elementu le» cego w lewym poddrzewie w zªa x jest nie wi ksza ni» warto± w zªa x, natomiast warto± ka»dego elementu le» cego w prawym poddrzewie w zªa x jest nie mniejsza ni» warto± tego w zªa.

86 Przykłady drzew BST dla danych: {8, 3, 1, 5, 6, 9, 2, 12, 7, 4} k = k =

87 Zwró my uwag,»e drzewo BST nie musi by peªne. Zatem jego liczba poziomów, k, mo»e by wi ksza ni» log n (maksymalnie mo»e wynosi n). Mo»na jednak wykaza,»e ±rednia warto± k dla losowo zbudowanego drzewa wynosi O(log n). Dosy ªatwo doj± do tego,»e wyszukanie elementu mo»na wykona w czasie O(k) (zaczynamy w korzeniu i schodzimy pojedyncz ±cie»k w dóª). Operacje wstawiania i usuwania równie» zajmuj O(k) operacji (zasada wstawiania podobna jak przy wyszukiwaniu, usuwania nieco bardziej skomplikowana zob. np. Cormen i in.).

88 W drzewach BST problemem mo»e by zbyt du»a wysoko± drzewa. Problem ten mo»na rozwi za stosuj c drzewa czerwono-czarne. S to takie drzewa BST, w których ka»dy w zeª posiada dodatkowy parametr - kolor, mog cy przyjmowa dwie warto±ci: czerwony lub czarny. Dodatkowo, musz by speªnione nast puj ce warunki: ka»dy li± (NIL) musi by czarny, oba w zªy potomne w zªa czerwonego musz by czarne, wszystkie ±cie»ki z danego w zªa do li±ci maj tyle samo czarnych w zªów. Dzi ki temu ka»da ±cie»ka w drzewie jest co najwy»ej dwa razy dªu»sza ni» dowolna inna, co zapewnia,»e drzewo jest w przybli»eniu zrównowa»one, a jego wysoko± wynosi O(log n).

89 Przykład drzewa czerwono-czarnego NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL

90 Przy okazji zaawansowanych struktur danych warto równie» wspomnie o tablicach haszuj cych. Sªu» one do efektywnego realizowania operacji sªownikowych (wstawianie, wyszukiwanie, usuwanie). Zaªó»my,»e mamy zbiór n elementów o okre±lonych warto±ciach. Tablica haszuj ca zbudowana jest typowo z tablicy wska¹ników o rozmiarze m (gdzie m n). Kluczowym elementem takiej struktury jestfunkcja haszuj ca h(k) zwracaj ca dla okre±lonego elementu o warto±ci k warto± z zakresu [0, m 1]. Dodatkowym wymogiem jest, aby funkcja taka byªa deterministyczna, tzn. zawsze dla elementu o wartosci k musi zwróci t sam warto±.

91 Element, dla którego h(k) = j jest umieszczany w li±cie pod indeksem j (0 j < m) tablicy haszuj cej. Oczywi±cie efektywno± tablicy haszuj cej ±ci±le zale»y odczasu wyliczania funkcji haszujacej. Najlepiej, aby byªo to O(1). Prostym przykªadem takiej funkcji mo»e by h(k) = k mod m. Inn wa»n cech, jak powinna posiada dobra funkcja haszuj ca, jest równomierne haszowanie, tzn. losowo wybrana warto± ma by z jednakowym prawdopodobie«stwem odwzorowywana na ka»d z m pozycji. Dzi ki równomiernemu haszowaniu, wszystkie listy tablicy haszuj cej maj podobn dªugo±, co gwarantuje,»e maksymalny czas wykonywania operacji sªownikowych jest mo»liwie krótki (najkrótszy byªby, gdyby wszystkie listy miaªy identyczn dªugo± ). Wynika to z faktu,»e nie natramy na dªug list, a jak ju» wiemy czas powy»szych operacji zale»y wªa±nie od dªugo±ci listy.

92 Przykładowa tablica haszująca m = 4; n = 9