Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.

Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych fluktuacji parametrów obiektu sterowania. Fluktuacje te powoduj a odchylenie aktualnej trajektorii stanu od jej przebiegu optymalnego nominalnego). Celem zniwelowania tego odchylenia wprowadzamy nowe wspó lrzȩdne stanu i sterowania xt) := xt) x o t), ut) := ut) u o t) i określamy korektȩ sterowania optymalnego nominalnego) na podstawie rozwi azania problemu liniowo-kwadratowego sterowania optymalnego LKSO) aproksymuj acego problem wyjściowy w otoczeniu procesu optymalnego nominalnego). Aproksymuj acy problem LKSO dla procesów z czasem ci ag lym polega na minimalizacji kwadratowego wskaźnika jakości Gx, u) =.5x T t 1 )Qxt 1 ).5 t1 przy ograniczeniu w postaci liniowego równania stanu x T t)p t)xt) u T t)rt)ut))dt ẋt) = At)xt) Bt)ut), t [, t 1 ], z zadanym warunkiem pocz atkowym x) = x. Zak ladamy, że Q R n n jest macierz a symetryczn a dodatnio pó lokreślon a, P t) R n n jest macierz a symetryczn a dodatnio pó lokreślon a dla t [, t 1 ], Rt) R n n jest macierz a symetryczn a dodatnio określon a dla t [, t 1 ]. Sk ladnik wskaźnika jakości.5x T t 1 )Qxt 1 ) stanowi miarȩ odchylenia stanu końcowego trajektorii od jego wartości optymalnej nominalnej). Dla Q = I jest to suma kwadratów wspó lrzȩdnych stanu końcowego. Sk ladnik wskaźnika jakości.5 t 1 xt t)p t)xt) stanowi miarȩ odchylenia aktualnej trajektorii stanu od jej przebiegu optymalnego nominalnego) w przedziale sterowania [, t 1 ]. Dla P t) = I jest to ca lka z kwadratu odchylenia aktualnej trajektorii od jej przebiegu optymalnego nominalnego) w przedziale 1

sterowania [, t 1 ]. Sk ladnik wskaźnika jakości.5 t 1 ut t)rt)ut) określa koszty sterowania koryguj acego odchylenie aktualnej trajektorii od jej przebiegu optymalnego nominalnego). Sk ladnik ten ogranicza chwilowe wartości sterowania koryguj acego. Równanie stanu jest linearyzacj a wyjściowych, ogólnie bior ac, nieliniowych równań stanu na procesie optymalnym nominalnym). Oznacza to, że At) = f x x o t), u o t), t), Bt) = f u x o t), u o t), t). Określenie korekty sterowania optymalnego nominalnego) w uk ladzie zamkniȩtym nazywa siȩ syntez a optymalnego regulatora stanu. Do rozwi azania tego zadania zastosujemy zasadȩ maksimum. Zapisujemy hamiltonian problemu Hλt), xt), ut), t) =.5x T t)p t)xt)u T t)rt)ut))λ T t)at)xt)bt)ut)) i wydzielamy czȩść hamiltonianu zależn a od sterowania Hλt), xt), ut), t) =.5u T t)rt)ut) λ T t)bt)ut). Maksymalizuj ac hamiltonian wzglȩdem sterowania korzystamy z warunku H u t) = na sterowanie nie s a na lożone ograniczenia chwilowe) oraz ze wzoru na różniczkowanie formy kwadratowej ϕz) =..5z T Kz ϕ z z) =. z T K. Uzyskujemy wiȩc H u t) = u ot t)rt) λ T t)bt) = Rt)u o t) = B T t)λt) u o t) = R 1 t)b T t)λt). Sprawdzamy warunek wystarczaj acy maksimum hamiltonianu drugiego rzȩdu H uu t) = Rt) H uu t) <, co oznacza, że macierz pochodnych cz astkowych hamiltonianu jest ujemnie określona i że wyznaczone rozwi azanie stanowi maksimum. Jest to maksimum globalne, gdyż jest to jedyne rozwi azanie spe lniaj ace warunki optymalności. 2

Określamy uk lad równań kanonicznych zasady maksimum niestacjonarnego problemu LKSO ẋt) = H T λ t), x) = x, λt) = H T x t), λ t1 = Qxt 1 ) tj. ẋt) = At)xt) Bt)R 1 t)b T t)λt), t [, t 1 ], x) = x, λt) = A T t)λt) P t)xt), λ t1 = Qxt 1 ). Tak wiȩc warunki konieczne optymalności rozważanego procesu sterowania sprowadzaj a siȩ do uk ladu niestacjonarnych liniowych równań różniczkowych z warunkami dwugranicznymi. Jeden z efektywnych sposobów rozwi azywania tego uk ladu polega na zastosowaniu tzw. niestacjonarnego liniowego podstawienia Riccatiego λt) = Kt)xt), gdzie Kt) R n n jest macierz a Riccatiego wi aż ac a wektor stanu i wektor zmiennych sprzȩżonych niestacjonarnego problemu LKSO. Przewidywanie powi azania tych wektorów w postaci niestacjonarnej liniowej zależności jest uzasadnione przez fakt, że uk lad równań kanonicznych ma postać niestacjonarn a liniow a. Stosujemy podstawienie Riccatiego do uk ladu równań kanonicznych ẋt) = At)xt) Bt)R 1 t)b T t)kt)xt), Kt)xt) Kt)ẋt) = A T t)kt)xt) P t)xt). Pierwsze z tych równań podstawiamy do drugiego Kt)xt)Kt) At)Bt)R 1 t)b T t)kt) ) xt) = A T t)kt)xt)p t)xt). Równanie to bȩdzie spe lnione dla każdego stanu xt), jeśli macierz Kt) bȩdzie spe lniać nastȩpuj ace macierzowe równanie różniczkowe Riccatiego Kt) = Kt)At) A T t)kt) Kt)Bt)R 1 t)b T t)kt) P t) z warunkiem końcowym Kt 1 ) = Q. Ostatni warunek wynika z warunku końcowego dla zmiennej sprzȩżonej λt1 ) = Qxt 1 ) λt 1 ) = Kt 1 )xt 1 ) ) Kt 1 ) = Q. 3

Po wyznaczeniu macierzy Kt) określamy rów nanie optymalnego regulatora stanu u o t) = R 1 t)b T t)kt)xt). Jest to liniowe niestacjonarne równanie macierzowe. Uk lad sterowania z warstw a regulacji sterowanie optymalne Optymalny niestacjonarny regulator stanu R 1 t)b T t)kt) 1 korekta sterowania optymalnego Obiekt sterowania xt) czȩste fluktuacje parametru Macierz Riccatiego posiada nastȩpuj ace w lasności: 1. Macierz Kt) jest symetryczna. 2. Macierz Kt) jest ujemnie określona. Aby wykazać symetryczność macierzy Riccatiego porównamy równanie Riccatiego Kt) = Kt)At) A T t)kt) Kt)Bt)R 1 t)b T t)kt) P t), Kt 1 ) = Q i jego transpozycjȩ K T t) = A T t)k T t) K T t)at) K T t)bt)r 1 t)b T t)k T t) P t), K T t 1 ) = Q. Macierz K T t) jest rozwi azaniem tego samego równania różniczkowego co i macierz Kt) z tym samym warunkiem końcowym. Z twierdzenia o istnieniu 4

i jednoznaczności rozwi azań równań różniczkowych wynika, że musi zachodzić równość K T t) = Kt), co oznacza, że macierz Kt) jest symetryczna. Aby wykazać ujemn a określoność macierzy Riccatiego zapisujemy na podstawie równania Riccatiego zależność = x T t) P t) A T t)kt) Kt)At) Kt)Bt)R 1 t)b T t)kt) Kt) ) xt) = x T t) P t)kt)bt)r 1 t)b T t)kt) At)Bt)R 1 t)b T t)kt)) T Kt) Kt) Kt)At) Bt)R 1 t)b T t)kt)) ) xt) = x T t)p t)xt) x T t)kt)bt)r 1 t)rt)r 1 t)b T t)kt)xt) ẋ T t)kt)xt) x T t) Kt)xt) x T t)kt)ẋt) = x T t)p t)xt)u T t)rt)ut) ẋ T t)kt)xt)x T t) Kt)xt)x T t)kt)ẋt)) tj. czyli x T t)p t)xt) u T t)rt)ut)) = d dt xt t)kt)xt)). Ca lkuj ac ostatnie wyrażenie w granicach od t 1 do t uzyskujemy t t x T s)p s)xs) u T d s)rs)us))ds = t 1 t 1 ds xt s)ks)xs))ds t1 t x T s)p s)xs)u T s)rs)us))ds = x T t 1 )t 1 )Kt 1 )xt 1 ) x T t)kt)xt) = x T t 1 )Qxt 1 ) x T t)kt)xt) 5

i ostatecznie x T t 1 )Qxt 1 ) t1 t x T s)p s)xs) u T s)rs)us))ds = x T t)kt)xt). Ponieważ macierze Q i P t) s a dodatnio pó lokreślone, a macierz Rt) jest dodatnio określona, wiȩc wyrażenie po lewej stronie ostatniego równania jest zawsze dodatnie. Oznacza to, że macierz Kt) po prawej stronie tego wyrażenia jest ujemnie określona dla wszystkich t [, t 1 ]. Równanie Riccatiego rozwi azywane jest metodami numerycznymi jako równanie różniczkowe z zadanym warunkiem końcowym. Symetryczność macierzy Riccatiego jest wykorzystywana do redukcji zmiennych w równaniu Riccatiego - może być to istotne w przypadku uk ladów o dużej liczbie zmiennych stanu. Ujemna określoność macierzy Riccatiego umożliwia jednoznaczne wyznaczenie optymalnego regulatora stanu dla uk ladów stacjonarnych z nieskończonym horyzontem czasowym sterowania. Jeśli fluktuacje parametru obiektu s a stosunkowo rzadkie, to podstaw a do wyznaczenia sterowanie koryguj acego może być rozwi azanie nastȩpuj acego stacjonarnego problemu LKSO: zminimalizować wskaźnik jakości Gx, u) =.5 x T t)p xt) u T t)rut))dt przy ograniczeniach w postaci liniowego stacjonarnego równania stanu ẋt) = Axt) But), t [, ) z zadanym warunkiem pocz atkowym x) = x i końcowym x ) =. Zak ladamy, że macierze P i R s a dodatnio określone. Macierze A i B mog a być uśrednieniami macierzy Jacobiego f x x o, u o t), t), f u x o, u o t), t) wyjściowego równania stanu na procesie optymalnym tj. 1 A = lim τ τ τ f x x o, u o t), t)dt, 6

1 τ B = lim f u x o, u o t), t)dt. τ τ Warunek pocz atkowy x stanowi odchylenie pocz atkowe aktualnego stanu od stanu optymalnego nominalnego). Ponieważ z za lożenia zaburzenia stanu s a stosunkowo rzadkie, wiȩc mamy do dyspozycji d lugi horyzont czasowy dla zregulowania zaistnia lego zaburzenia stanu. Przyjmuj ac idealny przypadek nieskończonego horyzontu czasowego regulacji stanu stawiamy wymaganie pe lnej niwelacji zaburzenia stanu x ) =. Dlatego stan końcowy nie pojawia siȩ we wskaźniku jakości. Stacjonarny problem LKSO rozwi ażemy stosuj ac zasadȩ maksimum. Zapisujemy hamiltonian problemu Hλt), xt), ut)) =.5x T t)p xt) u T t)rut)) λ T t)axt) But)) i wydzielamy jego czȩść zależn a od sterowania Hλt), xt), ut)) =.5u T t)rut) λ T t)but). Maksymalizuj ac hamiltonian wzglȩdem sterowania korzystamy z warunku H u t) = na sterowanie nie s a na lożone ograniczenia chwilowe) oraz ze wzoru na różniczkowanie formy kwadratowej Uzyskujemy wiȩc ϕz). =.5z T Kz ϕ z z). = z T K. H u t) = u ot t)r λ T t)b = Ru o t) = B T λt) i st ad u o t) = R 1 B T λt). Sprawdzamy warunek wystarczaj acy optymalności drugiego rzȩdu H uu t) = R H uu t) <, co oznacza, że macierz pochodnych cz astkowych hamiltonianu jest ujemnie określona i że wyznaczone rozwi azanie stanowi maksimum. Jest to maksimum globalne, gdyż jest to jedyne rozwi azanie spe lniaj ace warunki optymalności. Określamy uk lad równań kanonicznych zasady maksimum stacjonarnego problemu LKSO ẋt) = H T λ t), x) = x, x ) =, λt) = H T x t), 7

tj. ẋt) = Axt) BR 1 B T λt), t [, t 1 ], x) = x, x ) =, λt) = A T λt) P xt). Tak wiȩc warunki konieczne optymalności rozważanego procesu sterowania sprowadzaj a siȩ do uk ladu stacjonarnych liniowych równań różniczkowych z warunkami dwugranicznymi. Jeden z efektywnych sposobów rozwi azywania tego uk ladu polega na zastosowaniu tzw. stacjonarnego liniowego podstawienia Riccatiego λt) = Kxt), gdzie K R n n jest macierz a Riccatiego wi aż ac a wektor stanu i wektor zmiennych sprzȩżonych stacjonarnego problemu LKSO. Przewidywanie powi azania tych wektorów w postaci stacjonarnej liniowej zaleṅości jest uzasadnione przez fakt, że uk lad równań kanonicznych ma postać stacjonarn a liniow a. Stosuj ac stacjonarne podstawienie Riccatiego do pierwszego równania kanonicznego zasady maksimum uzyskujemy równanie stanu zamkniȩtego uk ladu jego regulacji ẋt) = A BR 1 B T K)xt). Stosuj ac to podstawienie do drugiego równania kanonicznego zasady maksimum uzyskujemy równanie dla określenia macierzy K Kẋt) = A T Kxt) P xt) tj. KA BR 1 B T K)xt) = A T Kxt) P xt), co oznacza, że macierz K powinna spe lniać macierzowe algebraiczne równanie Riccatiego KA A T K KBR 1 B T K P =. W teorii równań macierzowych dowodzi siȩ, że macierzowe algebraiczne równanie Riccatiego posiada wśród wielu rozwi azań jedno i tylko jedno rozwi azanie ujemnie określone K <. To w laśnie rozwi azanie stosujemy do określenia optymalnego stacjonarnego regulatora stanu u o t) = R 1 B T Kxt). 8

Uk lad sterowania z warstw a regulacji sterowanie optymalne Optymalny stacjonarny regulator stanu R 1 B T K 1 korekta sterowania optymalnego Obiekt sterowania xt) sporadyczne fluktuacje parametru Przeprowadzimy analizȩ stabilności optymalnego stacjonarnego uk ladu regulacji stanu. W tym celu zdefiniujemy funkcjȩ Lapunowa tego uk ladu w postaci V x) = x T Kx. Ponieważ K <, wiȩc pierwszy i trzeci postulat definicji funkcji Lapunowa jest spe lniony. Celem weryfikacji drugiego postulatu funkcji Lapunowa obliczymy pochodn a tej funkcji wzd luż trajektorii stanu uk ladu V x) = ẋ T Kx x T Kẋ = x T ABR 1 B T K) T Kx x T KABR 1 B T K)x = x T KA A T K KBR 1 B T K KBR 1 B T K)x x T P KBR 1 B T K)x. Macierz P jest z za lożenia dodatnio określona, a wyrażenie x T KBR 1 B T Kx = z T R 1 z jest nieujemnie określone, gdyż macierz R 1 jest dodatnio określona. Jeśli spe lniony jest dodatkowy warunek x z = B T Kx, to ostatnie wyrażenie jest dodatnio określone nawet jeśli macierz P jest tylko nieujemnie określona. Wynika st ad, że optymalny uk lad regulacji stanu jest asymptotycznie stabilny tj. x ) =. Bȩdzie on również asymptotycznie 9

stabilny nawet jeśli macierz P jest tylko nieujemnie określona, jeśli wartości w lasne macierzy zamkniȩtego uk ladu regulacji maj a ujemne czȩści rzeczywiste. Przyk lad: Wyznaczyć optymalny regulator stanu jeśli mamy do czynienia z czȩstymi fluktuacjami parametru obiektu i problem LKSO jest postaci Gx, u) =.5x 2 t 1 ).5 t1 u 2 t)dt, ẋt) = xt) ut), x) = x. Zestawiamy dane dla równania Riccatiego A = 1, B = 1, Q = 1, P =, R = 1 i zapisujemy to równanie Kt) = 2Kt) K 2 t), Kt 1 ) = 1. Dla takiego szczególnego przypadku znane jest analityczne rozwi azanie równania Riccatiego Kt) = 2/1 e 2 t t1) ). Tak wiȩc równanie optymalnego niestacjonarnego ma postać u o t) = R 1 B T Kt)xt) u o t) = 2xt)/1 e 2 t t1) ). Przyk lad: Wyznaczyć optymalny regulator stanu jeśli mamy do czynienia ze sporadycznymi fluktuacjami parametru obiektu i problem LKSO jest postaci Gx, u) =.5 x 2 1t) u 2 t))dt ) ) 1 ẋt) = xt) ut), 1 x) = x. Zapisujemy dane dla zestawienia równania Riccatiego ) ) ) ) A = 1 k 1 k 2, B =, Q =, P =, R = 1, K = 1 1 k 2 k 3. 1

To macierzowe równanie jest równoważne trzem skalarnym równaniom postaci Zapisujemy macierzowe równanie Riccatiego ) ) ) ) k 1 k 2 1 k 1 k 2 k 2 k 3 1 k 2 k 3 ) ) k 1 k 2 ) ) ) k 1 k 2 1 1 = k 2 k 3 1 k 2 k 3 które maj a rozwi azanie tj. k 2 2 = 1, k 1 k 2 k 3 =, 2k 2 k 2 3 =, k 1 = 2, k 2 = 1, k 3 = 2 K = 2 1 1 2 Macierz K jest ujemnie określona, gdyż jej minory g lówne zmieniaj a znak pocz awszy od znaku ujemnego 1 = 1, 2 = 2 1 = 1. Aby sprawdzić, czy zamkniȩty uk lad regulacji stanu jest asymptotycznie stabilny, wyznaczamy równanie stanu tego uk ladu ẋt) = Ãxt), à = A BR 1 B T K) ) tj. ) 1 2 ẋt) = xt), 2 2 a zatem ) si à = s 1 1 s 2 i wartości w lasne uk ladu regulacji stanu s 1,2 = 1 ± j)/ 2 maj a ujemne czȩści rzeczywiste. Optymalny regulator stanu jest wiȩc asymptotycznie stabilny. 11

Przyk lad: Minimalizacja zużycia surowca w chemicznym procesie produkcyjnym. W przep lywowym reaktorze chemicznym zachodzi proces przemiany surowca A w produkt użyteczny B i w produkt uboczny C. Wyróżniamy zmienne stanu x 1 t) - stȩżenie surowca A w reaktorze, x 2 t) - stȩżenie produktu użytecznego B w reaktorze, u 1 t) - stȩżenia surowca A w strumieniu wejściowym reaktora, u 2 t) - natȩżenie przep lywu mieszaniny przez reaktor. Należy minimalizować średnie zużycie surowca Gx, u) = 1 τ uwzglȩdniaj ac równania stanu procesu τ u 1 t)u 2 t)dt ẋt) = u 1 t)u 2 t) u 2 t)x 1 t) 3x 2 1t) ax 1 t), ẋt) = u 2 t)x 2 t) 3x 2 1t), ograniczenia technologiczne w postaci zadanego średniego poziomu nieprzereagowanego surowca i średniego poziomu produkcji sk ladnika użytecznego 1 τ τ x i t)dt = 1/3, i = 1, 2, oraz ograniczenia chwilowe stanu i sterowania x i t), u i t) 2, i = 1, 2, przy czym a jest parametrem o nominalnej wartości a = 1, który jednak podlega czȩstym fluktuacjom. Zak ladamy, że proces należy prowadzić na optymalnym poziomie statycznym x o 1, x o 2, ū o 1, ū 2) = 1/3, 1/3, 1, 1). W zwi azku z potrzeb a niwelowania wp lywu fluktuacji parametru a na przebieg procesu formu lujemy problem LKSO stanowi acy podstawȩ syntezy optymalnego niestacjonarnego regulatora stanu: zminimalizować odchylenie procesu aktualnego od procesu optymalnego w skończonym czasie t 1 skorelowanym z czȩstości a fluktuacji parametru x 2 1t 1 ) x 2 2t 1 ) t1 x 2 1t) x 2 2t) u 2 1t) u 2 2t))dt 12

uwzglȩdniaj ac liniow a aproksymacjȩ równań stanu ẋt) = 4 2 1 i zaburzenie stanu pocz atkowego ) xt) 1 2/3 1/3 ) ut) x) = x. Celem wyznaczenia optymalnego regulatora stanu należy rozwi azać nastȩpuj ace równanie różniczkowe Riccatiego ) ) ) k1 t) k2 t) k 1 t) k 2 t) 4 k 2 t) k3 t) k 2 t) k 3 t) 2 1 k 1 t) k 2 t) ) ) k 2 t) 1 2/3 1 k 3 t) 1/3 2/3 1/3 4 2 ) k 1 t) z zadanym macierzowym warunkiem końcowym 1 k 2 t) ) ) k 1 t 1 ) k 2 t 1 ) 1 =. k 2 t 1 ) k 3 t 1 ) 1 ) k 1 t) k 2 t) ) k 2 t) k 3 t) ) ) k 2 t) 1 = k 3 t) Macierzowe równanie różniczkowe Riccatiego z zadanym warunkiem końcowym rozwi azujemy za pomoc a metod numerycznych np. NDSolve w systemie Mathematica. przy użyciu procedury Jeśli fluktuacje parametru obiektu s a sporadyczne, to podstawȩ do syntezy optymalnego stacjonarnego regulatora stanu stanowi rozwi azanie nastȩpuj acego problemu LKSO: zminimalizować odchylenie procesu aktualnego od procesu optymalnego w nieskończonym czasie t 1 = x 2 1t) x 2 2t) u 2 1t) u 2 2t))dt uwzglȩdniaj ac liniow a aproksymacjȩ równań stanu ẋt) = 4 2 1 i zaburzenie stanu pocz atkowego ) xt) 1 2/3 1/3 ) ut) x) = x. 13

Celem syntezy optymalnego stacjonarnego regulatora stanu należy rozwi azać nastȩpuj ace macierzowe algebraiczne równanie Riccatiego ) ) ) ) k 1 k 2 4 4 2 k 1 k 2 k 2 k 3 2 1 1 k 2 k 3 ) ) ) ) ) k 1 k 2 1 2/3 1 k 1 k 2 1 = k 2 k 3 1/3 2/3 1/3 k 2 k 3 1 To macierzowe równanie Riccatiego można również rozwi azywać przy użyciu metod numerycznych np. za pomoc a procedury NSolve w systemie Mathematica. 14