KOMBINATORYKA ZADANIA

KOMBINATORYKA ZADANIA Magdalea Rudź 25 marca 2017 1 Zadaie 1. a Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? b Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 1.1 a 1,2...,9 0,1...,9 0,1...,9 0,1...,9 0,1...,9 0,1...,9 Pierwszą cyfrę wybieramy a 9 sposóbów, poieważ ie może być to 0. Natomiast każdą koleją cyfrę a 10 sposobów. Zatem otrzymujemy: 1.2 b 9 10 10 10 10 10 = 9 10 5 = 900000 1,2...,9 0,1...,9 0,1...,9 6 0,1...,9 0,1...,9 Pierwszą cyfrę wybieramy a 9 sposóbów, cyfrę setek a 1 sposób, a pozostałe a 10 sposobów, otrzymujemy więc: 2 Zadaie 2. 9 10 10 10 1 10 = 9 10 4 = 90000 a Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych o iepowtarzających się cyfrach? b Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych o iepowtarzających się cyfrach takich, w których cyfra setek to sześć? 2.1 a Pierwszą cyfrę wybieramy a 9 sposobów, drugą a 10 1 = 9 sposobów, poieważ ie możemy wybrać cyfry, która już została wybraa a pierwszym miejscu. Trzecią cyfrę wybieramy więc a 9 1 = 8 sposobów, itd. : 9 9 8 7 6 5 = 136080 1

2.2 b Pierwszą cyfrę wybieramy a 8 sposobów (ie może być to 0 ai 6, drugą rówież a 8 sposobów a każdą koleją a o jede sposób miej. Natomiast cyfrę setek tylko a 1 sposób. Otrzymujemy: 3 Zadaie 3. 8 8 7 1 6 5 = 13440 Ile liczb trzycyfrowych zawiera 3 lub 7? Rozważmy trzy przypadki: 1 3 lub 7 zajdują się a pierwszym miejscu. Na pozostałych miejscach wybieramy dowole cyfry. 2 10 10 = 200 2 3 lub 7 zajdują się a drugim miejscu. Na pierwszym miejscu mamy 7 możliwości (bez trójki, siódemki oraz zera, a a trzecim miejcu wybieramy dowolą cyfrę. 7 2 10 = 140 3 3 lub 7 zajdują się a trzecim miejscu. Na pierwszym miejscu mamy 7 możliwości (bez trójki, siódemki oraz zera, a a drugim 8 (bez trójki i siódemki. 7 8 2 = 112 Na koiec sumujemy: 200 140 112 = 452 4 Zadaie 4. Ile liczb czterocyfrowych zawiera 0, 3 lub 7? Rozważmy cztery przypadki: 1 3 lub 7 zajdują się a pierwszym miejscu. Na pozostałych miejscach wybieramy dowole cyfry. 2 10 10 10 = 2000 2 0, 3 lub 7 zajdują się a drugim miejscu. Na pierwszym miejscu mamy 7 możliwości (bez trójki, siódemki oraz zera, a a trzecim i czwartym miejcu wybieramy dowolą cyfrę. 2

7 3 10 10 = 2100 3 0,3 lub 7 zajdują się a trzecim miejscu. Na pierwszym i drugim miejscu mamy 7 możliwości (bez trójki, siódemki oraz zera, a a czwartym wybieramy dowolą cyfrę. 7 7 3 10 = 1470 3 0,3 lub 7 zajdują się a czwartym miejscu. Na pozostałych miejscach mamy 7 możliwości (bez trójki, siódemki oraz zera 7 7 7 3 = 1029 Na koiec sumujemy: 2000 2100 1470 1029 = 6599 5 Zadaie 5. Grupa zajomych poszła do ciastkari, w której było osiem rodzajów ciastek. Każdy kupił jedo ciastko. Z ilu osób składała się grupa, jeśi wiadomo, że mogło być 512 różych możliwości wyboru? Pierwsza osoba mogła wybrać ciastko a 8 sposobów, druga i każda koleja tak samo. Zatem przyjmijmy że było k osób, wtedy otrzymujemy: 6 Zadaie 6. 8 k = 512 8 } 8 {{... 8 } = 512 k k = 3 W kawiari, do której przyszło siedem osób było dziesięć gatuków ciastek. Każdy kupił jedo ciastko, przy czym każdy kupił ciastko iego rodzaju. Na ile sposobów moża było kupić ciastka? Pierwsza osoba mogła wybrać ciastko a 10 sposobów, koleja a 9 itd. 7 Zadaie 7. 10 } 9 8 {{ 7 6 5 4 } = 604800 7 Na ile różych sposobów moża ustawić 24 osoby w szereg tak, by a dae trzy osoby stały obok siebie b dae dwie osoby ie stały obok siebie c między daymi dwiema osobami stały dokładie 4 ie osoby? 3

7.1 a Trzy osoby stojące obok siebie potraktujemy jako całość. Mamy więc 24 3 = 21 osób, czyli z trójką 22. Te osoby moża ustawić w szereg a 22! sposobów, atomiast trzy osoby stojące obok siebie moża ustawić a 3! sposobów. 7.2 b 22! 3! Sprawdzimy a ile sposobów moża ustawić 24 osoby tak, aby dae dwie osoby stały obok siebie. Mamy 2! sposobów ustawieia tej dwójki oraz 23! sposobów ustawieia pozostałych osób. Odejmijmy to od wszystkich możliwych ustawień: 7.3 c 24! 23! 2! Pomiędzy dwiema osobami muszą stać dokładie cztery ie osoby, taką szóstkę możemy ustawić a 19 sposobów:............ }{{} 24 Dwie osoby moża ustawić a 2! sposobów, a pozostałe osoby a (24 2! = 22! sposobów. Ostateczie: 19 2! 22! 8 Zadaie 8. W grupie liczącej 6 chłopców i 4 dziewczęta rozlosowai 5 biletów do teatru. Na ile sposobów moża rozlosować bilety? Na ile sposobów moża je rozlosować tak, aby co ajmiej dwa przypadły dziewczętom? Losujemy 5 biletów spośród 6 4 = 10 osób: ( 10 = 252 5 Co ajmiej 2 bilety muszą przypaść dziewczętom. Mamy więc trzy przypadki: 1. Dziewczętom przypadą 2 bilety ( ( 4 2 a chłopakom pozostałe 3 6 3 2. Dziewczętom przypadą 3 bilety ( ( 4 3 a chłopakom pozostałe 2 6 2 3. Dziewczętom przypadą 4 bilety ( ( 4 2 a chłopakom jede 6 1 Ostateczie: ( ( ( ( ( ( 4 6 4 6 4 6 = 186 2 3 3 2 2 1 4

9 Zadaie 9. Zaa jest zabawka dla dzieci składająca się z dwuastu sześcieych klocków z aklejoymi a ściakach fragmetami obrazków. Na ile sposobów moża ułożyć te klocki w prostokąt (trzy rzędy po cztery klocki w rzędzie? Klocki moża ustawić a 12! sposobów. Każdy klocek moża postawić a jedej z szeciu ścia i obrócić a4 sposoby. Zatem otrzymujemy: 10 Zadaie 10. 12! (6 4 (6 4... (6 4 }{{} 12 12! 24 12 W turieju szachowym bierze udział 26 zawodików. W pierwszym etapie każdy zawodik gra z każdym. Ile di trzeba przezaczyć a te etap, jeżeli każdego dia może zostać rozegraych 25 partii? Pierwszego uczestika wybieramy a 26 sposobów, a drugiego do pary a 25 sposobów, dzielimy przez 2! (ie jest waża kolejość oraz przez 25: 11 Zadaie 11. 26 22 (2! 25 = 13 Zebrało się 20 szachistów z kraju A i 15 z kraju B. Mają do dyspozycji 9 szachowic. Na ile różych sposobów moża dobrać szachistów do rozegraia pierwszej partii, jeśli przeciwicy muszą pochodzić z różych krajów? Wybieramy 9 osób z 15, 9 osób z 20 i rozdzielamy a 9 szachowic: 12 Zadaie 12. ( 15 9 ( 20 9 9! Trzeba wytypować delegację złożoą z trzech dziewcząt i dwóch chłopców. Ile takich delegacji moża utworzyć jeśli w klasie jest 18 dziewcząt i 12 chłopców? Wybieramy 3 dziewczyy z 18 i dwóch chłopców z 12: ( 18 3 ( 12 2 5

13 Zadaie 13. Ile jest fukcji ze zbioru {1,2,3} w zbiór {1,2,3,4}, które a są różowartościowe b ie są różowartościowe 13.1 a Dla pierwszego argumetu mamy 4 możliwości, dla drugiego 3, a dla trzeciego dwie: 4 3 2 = 24 13.2 b Od wszystkich fukcji odejmujemy te, które są różowartościowe: 14 Zadaie 14. 4 3 24 = 40 Ile jest fukcji f ze zbioru {x,y,z} w zbiór {1... }? Ile spośród ich spełia waruek f(2 f(4? Ile spełia waruek f(2 = f(4 = 3? Dla każdego argumetu mamy możliwości: = 3 f(2 wybieramy dowolie a, dlla x = 4 mamy o jedą miej możliwość: ( 1 = 2 ( 1 Dla x = 2 oraz x = 4 mamy ustaloą wartość: 15 Zadaie 15. 1 1 = Ile jest fukcji f ze zbioru {1,2,3,4,5} w zbiór {1,2,3,4,5,6,7}? Ile spośród ich spełia waruek f(2 f(4? Ile spełia waruek f(2 = f(4 = 3? Dla każdego argumetu mamy 7 możliwości: 7 7 7 7 7 = 7 5 f(2 wybieramy dowolie a, dlla x = 4 mamy o jedą miej możliwość: 7 7 7 6 7 = 7 4 6 Dla x = 2 oraz x = 4 mamy ustaloą wartość: 7 1 7 1 7 = 7 3 6

16 Zadaie 16. Ile jest fukcji różowartościowych f ze zbioru {1,2,3,4,5} w zbiór {1,2,3,4,5,6,7}? Ile spośród ich spełia waruek f(2 2 Ile spełia waruek f(2 = 2? Dla pierwszego argumetu mamy 7 możliwości, dla drugiego 6, itd.: 7 6 5 4 3 = 2520 Rozważmy przypadek, gdzie f(2 = 2. Wtedy a drugim miejscu jest tylko jeda możliwość: 6 1 5 4 3 = 360 Fukcji różowartościowych, dla których f(2 2 jest: 17 Zadaie 17. 2520 360 = 2160 Na ile sposobów moża rozsadzić a 3 osoby a 3-osobowej karuzeli; b 4 osoby a 4-osobowej karuzeli; c osób a -osobowej karuzeli; UWAGA: dwa rozsadzeia uważamy za róże, jeżeli co ajmiej jeda osoba ma co ajmiej z jedej stroy iego sąsiada. 17.1 a Ustalamy miejce dla jedej osoby a pozostałe dwie moża rozsadzić a 2! = 2 sposobów. 17.2 b Ustalamy miejce dla jedej osoby a pozostałe trzy moża rozsadzić a 3! = 6 sposobów. 17.3 c Ustalamy miejce dla jedej osoby a pozostałe 1 moża rozsadzić a ( 1! sposobów. 18 Zadaie 18. Na ile sposobów moża podzielić grupę 8-osobową a dwie grupy: 5- osobową i 3-osobową? Na ile moża podzielić tę grupę a dwie grupy 4-osobowe? (kolejość grup i uporządkowaie osób w grupach ie ma 7

zaczeia Wybieramy 5 osób z 8 i 3 osoby z pozostałych 3: ( ( 8 3 = 56 5 3 Wybieramy 4 osób z 8 i koleje 4 osoby z pozostałych 4 i dzielimy przez 2!, poieważ kolejość grup ie ma zaczeia: ( 8 ( 4 4 4 = 35 2! 19 Zadaie 19. Na ile sposobów moża utworzyć 5 par spośród 10 osób? Wybieramy 2 osoby z 10, astępie 2 osoby z 10 2 = 8, itd. I dzielimy przez 5! ( kolejość grup ie ma zaczeia: ( 10 ( 2 8 ( 2 6 ( 2 4 ( 2 2 2 = 945 5! 20 Zadaie 20. Komedat policji ma do dyspozycji 15 policjatów. Na ile sposobów może spośród tych policjatów utworzyć cztery partrole dwuosobowe? Na ile sposobów może utworzyć dwa patrole dwuosobowe i trzy trzyosobowe? Wybieramy 2 osoby z 15, astępie 2 osoby z 15 2 = 13, itd. I dzielimy przez 4! ( kolejość patroli ie ma zaczeia: ( 15 ( 2 13 ( 2 11 ( 2 9 2 = 675675 4! Wybieramy 2 osoby z 15, 2 osoby z 13,. A astępie 3 osoby z 11, itd. I dzielimy przez 2! 3! ( kolejość patroli ie ma zaczeia: ( 15 ( 2 13 ( 2 11 ( 3 8 ( 3 5 3 = 63063000 2! 3! 21 Zadaie 21. Na ile sposobów moża podzielić grupę 30-osobową a 7 grup: trzy 4-osobowe, dwie 3-osobowe, jedą 7-osobową oraz jedą 5-osobową? Krótko uzasadić. Wybieramy ile będzie wszystkich takich grup, a astępie dzielimy przez silię liczby powtórzeń daej grupy: ( 30 ( 4 26 ( 4 22 ( 4 18 ( 3 15 ( 3 12 ( 7 5 5 3! 2! 8

22 Zadaie 22. Dzieci bawią się klockami, a których wyrzeźbioe są litery. Układają klocki jede obok drugiego. Ile różych słów mogą utworzyć (wykorzystując wszystkie klocki, gdy układaka składa się z liter słowa: a MARCHEW b ANALFABETA c MATEMATYKA d KONSTANTYNOPOLITAŃCZYKIEWICZÓWNA? 22.1 a Słowo MARCHEW ma 7 liter.żada z ich się ie powtarza więc moża ułożyć 7 6 5 4 3 2 1 = 7! = 5040 słów. 22.2 b Słowo ANALFABETA ma 10 liter. Litera A powtarza się 4 razy więc moża ułożyć 10! 4! = 151200 słów. 22.3 c Słowo MATEMATYKA ma 10 liter. Litery M oraz T powtarzają się 2 razy, a litera A 3 razy więc moża ułożyć 10! 2! 2! 4!=37800 słów. 22.4 d Słowo KONSTANTYNOPOLITAŃCZYKIEWICZÓWNA ma 32 litery. Litery K, Y, C, Z, W powtarzają się 2 razy, litery O, T, A, I 3 razy, a litera N 4 razy więc moża ułożyć 32! 2! 2! 2! 2! 2! 3! 3! 3! 3! 4! słów. 23 Zadaie 23. Wykazać, że wśród dowolych 12 liczb zajdą się dwie, których różica jest podziela przez 11. 12 liczb umieszczamy w szufladkach w zależości od tego jaka jest ich reszta z dzieleia przez 11: [0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][10] }{{} 11 Mamy 12 liczb i 11 szufladek, stąd z zasady szufladkowej Dirichleta przyajmiej w jedej szufladce zajdują się 2 liczby. Są oe postaci x = 11k s, y = 11l s, gdzie s = 0,..., 10 (umer szufladki. Wówczas: x y = 11k s 11l s = 11(k l = 11t, t Z 9

24 Zadaie 24. Niech A będzie ustaloym dziesięcioelemetowym podzbiorem zbioru {1,2,3,...,50}. Wykazać, że w zbiorze A występują dwa róże pięcioelemetowe podzbiory takie, że sumy elemetów każdego z ich są rówe. Obliczmy ajpierw ile jest wszystkich możliwych podziałów zbioru dziesięcioelemetowego a dwa zbiory pięcioelemetowe: ( 10 5 ( 5 5 = 252 Rozważmy wszystkie możliwe sumy: - ajmiejsza suma będzie dla zbioru {1,2,3,4,5}. 1 2 3 4 5 = 15. - ajwiększa suma będzie dla zbioru {46,47,48,49,50}. 4647484950 = 240. Więc wszystkich możliwych sum będzie 240 14 = 226. Czyli mamy 226 szufladek i 252 podziałów, zatem w zbiorze A występują co ajmiej dwa róże pięcioelemetowe podzbiory takie, że sumy elemetów każdego z ich są rówe. 25 Zadaie 25. Ile liczb całkowitych ze zbioru {1,2,3,...,1000} dzieli się przez siedem lub trzyaście? Sprawdzamy ile ilczb jest podzielych przez 7: D 7 = 1000 7 = 142 Sprawdzamy ile ilczb jest podzielych przez 13: D 13 = 1000 13 = 76 Sprawdzamy ile ilczb jest podzielych przez 7 i 13, czyli przez ajmiejszą wspólą wielokrotość tych liczb: Ostateczie: 26 Zadaie 26. D 7 13 = D 91 = 1000 91 = 10 142 76 10 = 208 Ile liczb całkowitych z przedziału od 0 do 349 ie jest podzielych ai przez 4 ai przez 7? Wszystkich liczb w przedziale jest 350. Sprawdzimy ile liczb JEST podzielych przez 4 lub przez 7. Podzielimy przedział 10

{0, 1, 2,..., 349} a sumę przedziałów: {0} {1, 2,..., 349}. Weźmy pod uwagę przedział {1, 2,..., 349}: Sprawdzamy ile ilczb jest podzielych przez 4: D 4 = 349 4 = 87 Sprawdzamy ile ilczb jest podzielych przez 7: D 7 = 1000 7 = 49 Sprawdzamy ile ilczb jest podzielych przez 4 i 7, czyli przez ajmiejszą wspólą wielokrotość tych liczb: D 4 7 = D 28 = 1000 28 = 12 Ale do każdego z wyików musimy dodać 1 (0 jest podziele przez każdą liczbę całkowitą. Otrzymujemy: 87 1 49 1 (12 1 = 125 Odejmujemy ilość liczb podzielych przez 4 lub 7 w przedziale {0, 1,..., 349} od liczby wszystkich liczb w tym przedziale: 27 Zadaie 27. 350 125 = 225 Ile liczb całkowitych z przedziału od 0 do 538 jest podzielych i przez 5 lub 7 lub 9? Podzielimy przedział {0, 1, 2,..., 538} a sumę przedziałów: {0} {1, 2,..., 538}. Weźmy pod uwagę te drugi: Liczymy dla 5, 7 i 9: D 5 = 538 5 = 107 D 7 = 538 7 = 76 D 9 = 538 9 = 59 Następie dla poszczególych części wspólych: D 5 7 = D 35 = 538 35 = 15 D 5 9 = D 45 = 538 45 = 11 D 7 9 = D 63 = 538 63 = 8 I dla części wspólej 5, 7 i 9: D 5 7 9 = D 315 = 538 315 = 1 Do każdego z wyików musimy dodać 1 (0 jest podziele przez każdą liczbę całkowitą. Otrzymujemy: 107 1 76 1 59 1 (15 1 (11 1 (8 1 1 1 = 210 11

28 Zadaie 28. Ile liczb całkowitych ze zbioru {21,22,23,...,2000} jest podzielych przez 9, 11, 13 lub 15? Rozważmy przedział A={1, 2, 3,..., 2000} = {21, 22, 23,..., 2000} {1, 2, 3,..., 20}. D 9 = 2000 9 = 222 D 1 1 = 2000 11 = 181 D 1 3 = 2000 13 = 153 D 1 5 = 2000 15 = 133 D 9 11 = D 99 = 2000 99 = 20 D 9 13 = D 117 = 2000 117 = 17 D 9 15 = D 45 = 2000 45 = 44 D 11 13 = D 143 = 2000 143 = 13 D 11 15 = D 165 = 2000 165 = 12 D 13 15 = D 195 = 2000 99 = 10 D 9 11 13 = D 1287 = 2000 1287 = 1 D 9 11 15 = D 495 = 2000 495 = 4 D 9 13 15 = D 585 = 2000 585 = 3 D 11 13 15 = D 2145 = 2000 2145 = 0 D 9 11 13 15 = D 6435 = 2000 6435 = 0 Sumując: 222 181 153 133 20 17 44 13 12 10 1 4 3 0 0 = 581 Rozważmy przedział B={1, 2, 3,..., 20}. D 9 = 20 9 = 2 D 1 1 = 20 11 = 1 D 1 3 = 20 13 = 1 D 1 5 = 20 15 = 1 D 9 11 = D 99 = 20 99 = 0 D 9 13 = D 117 = 20 117 = 0 Sumując:. 2 1 1 1 = 5 Wystarczy odjąć ilość rozwiązań w przedziale B od ilości rozwiązań w przedziale A: 581 5 = 576 12

29 Zadaie 29. Ile liczb całkowitych ze zbioru {99,100,101,...,3456} ie jest podzielych ai przez 6, ai przez 7, ai przez 9? Wszystkich liczb w przedziale jest 3456 98 = 3358. Sprawdzimy ile liczb JEST podzielych przez 6 lub przez 7, lub przez 9. Rozważmy przedział A={1, 2, 3,..., 3456} = {99, 100, 101,..., 3456} {1, 2, 3,..., 98}. D 6 = 3456 6 = 576 D 7 = 3456 7 = 493 D 9 = 3456 9 = 384 D 6 7 = D 42 = 3456 42 = 82 D 6 9 = D 18 = 3456 18 = 192 D 7 9 = D 63 = 3456 63 = 54 D 6 7 9 = D 126 = 3456 126 = 27 Sumując: 576 493 384 82 192 54 27 = 1152 Rozważmy przedział B={1, 2, 3,..., 98}. D 6 = 98 6 = 16 D 7 = 98 7 = 14 D 9 = 98 9 = 10 D 6 7 = D 42 = 98 42 = 2 D 6 9 = D 18 = 98 18 = 5 D 7 9 = D 63 = 98 63 = 1 D 6 7 9 = D 126 = 98 126 = 0 Sumując: 16 14 10 2 5 1 0 = 32 Wystarczy odjąć ilość rozwiązań w przedziale B od ilości rozwiązań w przedziale A: 1152 32 = 1120 Odejmujemy ilość liczb podzielych przez 6, 7 lub 9 w przedziale {99, 100, 101..., 3456} od liczby wszystkich liczb w tym przedziale: 30 Zadaie 30. 3358 1120 = 2238 Ile liczb całkowitych ze zbioru {444,...,4444} ie jest podzielych ai przez 6, ai przez 8, ai przez 9? 13

Wszystkich liczb w przedziale jest 4444 443 = 4001. Sprawdzimy ile liczb JEST podzielych przez 6 lub przez 8, lub przez 9. Rozważmy przedział A={1, 2, 3,..., 4444} = {444,..., 4444} {1, 2, 3,..., 443}. D 6 = 4444 6 = 740 D 8 = 4444 8 = 555 D 9 = 4444 9 = 493 D 6 8 = D 24 = 4444 24 = 185 D 6 9 = D 18 = 4444 18 = 246 D 8 9 = D 72 = 4444 72 = 61 D 6 8 9 = D 72 = 4444 72 = 61 Sumując: 740 555 493 185 246 61 61 = 1357 Rozważmy przedział B={1, 2, 3,..., 443}. D 6 = 443 6 = 73 D 8 = 443 8 = 55 D 9 = 443 9 = 49 D 6 8 = D 24 = 443 24 = 18 D 6 9 = D 18 = 443 18 = 24 D 8 9 = D 72 = 443 72 = 6 D 6 8 9 = D 72 = 443 72 = 6 Sumując: 73 55 49 18 24 6 6 = 135 Wystarczy odjąć ilość rozwiązań w przedziale B od ilości rozwiązań w przedziale A: 1357 135 = 1222 Odejmujemy ilość liczb podzielych przez 6, 8 lub 9 w przedziale {444,..., 4444} od liczby wszystkich liczb w tym przedziale: 31 Zadaie 31. 4001 1222 = 2779 W kolejce do kia stoi osób (kolejość się ie zmieia. Osoby te wpuszczae są do kia w k grupach, z których każda składa się z jedej lub więcej osób. Na ile sposobów moża utworzyć tych k grup? 14

Barierki możemy ustawić po pierwszej osobie, po drugiej,... aż do 1-ej. Więc mamy 1 możliwych ustawień barierek. Spośród tych ustawień musimy wybrać k 1, poieważ żeby utworzyć k grup potrzebujemy k 1 barierek (ostatia grupa wyzaczoa jedozaczie. Otrzymujemy więc: ( 1 k 1 32 Zadaie 32. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 9, gdzie x i jest dodatią liczbą całkowitą? Wyikiem rówaia jest 9, załóżmy że mamy 9 kulek: }{{} 9 Musimy je podzielić a 6 grup (każda grupa musi zawierać co ajmiej 1 kulkę:. Więc spośród 9 1 = 8 możliwych miejsc pomiędzy kulkami musimy wybrać 6 1 = 5 dla barierek, które je oddzielają. Stosujemy wzór z poprzediego zadaia: ( ( 9 1 8 = = 56 6 1 5 33 Zadaie 33. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 9, gdzie x i jest ieujemą liczbą całkowitą? x i są ieujeme, czyli x i 0. Aby móc zastosować wzór ( 1 k 1 musimy do każdego argumetu dodać 1: (x 1 1 (x 2 1 (x 3 1 (x 4 1 (x 5 1 (x 6 1 = 9 6 }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 Ilość rozwiązań rówaia y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 = 15 jest rówa ilości rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 9 i wyosi: ( ( 15 1 14 = = 2002 6 1 5 15

34 Zadaie 34. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 31, gdzie x 1 1, x 2 2, x 3 3, x 4 4, x to liczby całkowite? Od każdego argumetu musimy odjąć odpowiedią liczbę całkowitą tak żeby x i x i 1, i = 1, 2,..., 6 (x 1 (x 2 1 (x 3 2 (x 4 3 (x 5 4 (x 6 5 = 31 1 2 3 4 5 }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 = 16 Ilość rozwiązań rówaia y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 = 16 jest rówa ilości rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 31 i wyosi: ( ( 16 1 15 = = 3003 6 1 5 35 Zadaie 35. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 31, gdzie x 1 > 7, x 2 3, x 3 > 4, x 4 to liczby całkowite? Te waruki rówoważe są warukom: x 1 6, x 2 3, x 3 5, x 4 3, x 5 0, x 6 7 Zamieiamy argumety, tak aby x i x i 1, i = 1, 2,..., 6 (x 1 7 (x 2 2 (x 3 4 (x 4 4 (x 5 1 (x 6 6 = 31 7 2 4 4 1 6 }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 = 31 Ilość rozwiązań rówaia y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 = 31 jest rówa ilości rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 31 i wyosi: ( ( 31 1 30 = = 142506 6 1 5 36 Zadaie 36. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 31, gdzie x 1 3, x 2 = 2, x 3 3, x 4 > 4 to liczby całkowite? Te waruki rówoważe są warukom: x 1 3, x 2 = 2, x 3 3, x 4 5, x 5 4, x 6 = 6 Możemy uprościć rówaie podstawiając liczby za x 2 i x 6 : x 1 2 x 3 x 4 x 5 6 = 31 x 1 x 3 x 4 x 5 = 23 Zamieiamy argumety, tak aby x i x i 1, i = 1, 3, 4, 5 (x 1 2 (x 3 4 (x 4 4 (x 5 5 = 23 2 4 4 5 }{{}}{{}}{{}}{{} y 1 y 3 y 4 y 5 16

y 1 y 3 y 4 y 5 = 26 Ilość rozwiązań rówaia y 1 y 3 y 4 y 5 = 26 jest rówa ilości rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 31 i wyosi: ( ( 26 1 25 = = 2300 4 1 3 37 Zadaie 37. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 17, gdzie x 1 4, x 2 = 3, x 3 > 2, x 4 = 1, x 5 5, x 6 > 1, x 7 2 to liczby całkowite? Te waruki rówoważe są warukom: x 1 4, x 2 = 3, x 3 3, x 4 = 1, x 5 5, x 6 0, x 7 1 Możemy uprościć rówaie podstawiając liczby za x 2 i x 4 : x 1 3 x 3 1 x 5 x 6 x 7 = 17 x 1 x 3 x 5 x 6 x 7 = 13 Zamieiamy argumety, tak aby x i x i 1, i = 1, 3, 5, 6, 7 (x 1 3 (x 3 2 (x 5 4 (x 6 1 (x 7 2 = 13 3 2 4 1 2 }{{}}{{}}{{}}{{}}{{} y 1 y 3 y 5 y 6 y 7 y 1 y 3 y 5 y 6 y 7 = 7 Ilość rozwiązań rówaia y 1 y 3 y 5 y 6 y 7 = 7 jest rówa ilości rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 y 7 = 17 i wyosi: ( ( 7 1 6 = = 15 5 1 4 38 Zadaie 38. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 99, gdzie x 1 2, x 2 > 5, x 3 3, x 4 = 4, x 5 > 5, x 6 1, x 7 = 1 to liczby całkowite? Te waruki rówoważe są warukom: x 1 2, x 2 4, x 3 3, x 4 = 4, x 5 6, x 6 1, x 7 = 1 Możemy uprościć rówaie podstawiając liczby za x 4 i x 7 : x 1 x 2 x 3 4 x 5 x 6 1 = 99 x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 = 96 Zamieiamy argumety, tak aby x i x i 1, i = 1, 2, 3, 5, 6 (x 1 1 (x 2 5 (x 3 2 (x 5 5 (x 6 2 = 96 1 5 2 5 2 }{{}}{{}}{{}}{{}}{{} y 1 y 2 y 3 y 5 y 6 y 1 y 2 y 3 y 5 y 6 = 95 Ilość rozwiązań rówaia y 1 y 2 y 3 y 5 y 6 = 95 jest rówa ilości rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 y 7 = 99 i wyosi: ( ( 95 1 94 = = 3049501 5 1 4 17

39 Zadaie 39. Stosując każdą z podaych metod pokazać, że ( 2 ( 2 ( 2 ( 2 ( 2... = 0 1 2 a Zastosować rowzwiięcie wyrażeia (1 x 2. b Rozważyć wybór osób ze zbioru 2 osób, który składa się z mężczyz i kobiet. c Zliczyć ajkrótsze drogi w odpowiediej kracie. 39.1 b Treść: Spośród 2 osób ( kobiet i mężczyz wybieramy osób. Na ile sposobów możemy to zrobić? Sposób 1. Wybieramy osób z 2 ( 2 = P. Sposób 2. Możemy wybrać: - 0 kobiet ( ( 0 musimy wybrać mężczyz - 1 kobietę ( ( 1 musimy wybrać 1 mężczyz 1. - kobiet ( ( musimy wybrać 0 mężczyz 0 Więc mamy : ( ( ( (... 0 1 1 ale ze wzoru ( ( k = k otrzymujemy: ( ( ( ( 0 0 ( 1 1... Ostateczie L = P, czyli : ( 2 ( 0 1 40 Zadaie 40. 2 ( = ( 2... 2 ( 2 0 Pokazać, że: a ( ( = ; k k b ( 1 = k ( ( 2 = ( ( ; k k 1 18 ( 0 ( 2... 1 ( 2 ( 2 = L.

c ( ( 1 k = ; k k 1 d ( k 1 = k 1 ( k 0 ( 1 k 1 ( k 1 ( 1 k 2 ( k 2 ( 1 k 3 ( k... k 1 ( 1 0 ; e ( ( 2 1 2 f ( ( 0 k ( 1 ( 1 k 1 ( ( 3... = 2 1 ; 3 ( 2 ( 2... k 2 ( k ( ( k = 2 k ; 0 k 40.1 a Treść: Na ile sposobów moża wybrać k osób z? Sposób 1. ( k = L. Sposób 2. Wybieramy osoby, które ie zostaą wybrae: ( k = P. Stąd L = P, czyli ( ( = k k 40.2 b Treść: Na ile sposobów moża wybrać z grupy 1 osób, z której jeda to starosta, k osób? Sposób 1. ( 1 k = L. Sposób 2. Rozważmy dwa przypadki: - Starosta ależy do grupy ( k 1 - Starosta ie ależy do grypy ( k Zdarzeia są rozłącze, więc ( ( k 1 k = P. Stąd L = P, czyli: ( ( ( 1 = k k k 1 19

40.3 c Treść: W pewej szkole jest osób. Na ile sposobów moża wybrać spośród ich k osób, które otrzymają stypedium oraz jedą spośród agrodzoych, która dostaie ideks? Sposób 1. Wybieramy k osób z i dodatkowo jedą z k osób: ( k( l 1 = ( k k = L. Sposób 2. Wybieramy osobę która otrzyma ideks, a z pozostałych wybieramy resztę agrodzoych: ( 1 k 1 = P. Ostateczie L = P, czyli : 40.4 d ( ( 1 k = k k 1 Treść: W jedym z wagoów pociągu jest k miejsc siedzących, w tym jedo dla iwalidy. Na stacji wsiada do iego k kobiet oraz mężczyz, w tym jede iwalida (który zajmuje swoje miejsce. Na ile sposobów moża posadzić resztę osób? Sposób 1. Ze wszstkich osób wybieramy osoby, które usiądą: ( k 1 = L. Sposób 2. Możemy wybrać: - 0 kobiet ( ( k 1 0 k 1-1 kobietę ( k 1 ( 1 k 2 = P. Osta-. - k 1 kobiet ( ( k 1 k 1 0 Zdarzeia są rozłącze, więc ( ( k 1 ( 0 k 1 k 1 teczie L = P, czyli : ( ( ( ( ( k 1 k 1 k 1 = k 1 0 k 1 1 k 2 40.5 e ( 1 k 2... ( k k 1 ( 1 k 1 0 ( ( ( ( k 1 k 1... 2 k 3 k 1 0 Treść: Na loterii jest losów, w tym część wygrywających (jede z ich upraia do poowego losowaia. Na ile sposobów moża wyciągąć te jede los? Ozaczmy przez k liczbę wygrywających losów. ( ( 1 Sposób 1. 1 1 }{{} k=1 ( ( 2 2 1 }{{} k=2 ( (... 1 }{{} k= = ( 1 2 ( 2... ( = L. Sposób 2. Ze wszystkich losów wybierzmy los uprawiający do astępego losowaia, o każdym astępym decydujemy czy jest wygrywający, czy ie: ( 1 2 2... 2 }{{} 1 = 2 1 = P. 20

Ostateczie L = P, czyli : ( ( ( ( 2 3... = 2 1 1 2 3 40.6 f Treść: W meu jest potraw, a ile sposobów możemy zamówić k z ich i o każdej z zamówioych potraw zdecydować czy ją zjemy czy ie? Sposób 1. Wybieramy k potraw z i o każdej decydujemy czy zostaie zjedzoa czy ie: ( k 2 2... 2 }{{} Sposób 2. Możemy zjeść: - 0 potraw ( 0( k - 1 potrawę ( ( 1 1 k 1 k = ( k 2 k = P.. - k potraw ( ( k k 0 Zdarzeia są rozłącze, więc ( ( 0( k ( 1 ( 1 k 1... ( k k 0 = L. Ostateczie L = P, czyli : ( ( ( ( ( ( ( ( ( 1 2 k... = 2 k 0 k 1 k 1 2 k 2 k 0 k 21