Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie)

Transkrypt

1 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie) (1) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć używając jedynie cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8? (2) Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć używając jedynie cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8? (3) Na ile sposobów można wybrać 4-osobową drużynę, jeśli mamy do wyboru 8 zawodników? (4) Na ile sposobów można wybrać 2-osobową delegację z 39-osobowej klasy? (5) Na ile sposobów można wybrać przewodniczącego, zastępcę i skarbnika z 11-osobowej klasy? (6) Ile jest liczb 8-cyfrowych a) podzielnych przez 250? b) o wszystkich cyfrach parzystych? c) w których nie występuje zero, występują dokładnie dwie dwójki i dokładnie trzy trójki? d) w których występują dokładnie 4 zera, a pozostałe cyfry są nieparzyste i parami różne? e) w których występuje dokładnie pięć trójek a reszta to cyfry parzyste? f) w których nie występują cyfry większe niż 5 i dokładnie połowa cyfr to cyfry parzyste? g) w których suma cyfr wynosi 4? h) w których największa występująca cyfra to 3? i) w których iloczyn cyfr wynosi 12? j) w których iloczyn cyfr wynosi 0? k*) w których cyfry występują w porządku malejącym? (7) Na ile sposobów można ustawić 10 książek na półce tak, aby: a) Dziady stały na trzecim miejscu od lewej? b) Dziady stały obok Pana Tadeusza (w dowolnej kolejności)? c) między Dziadami a Panem Tadeuszem było dokładnie 6 książek? d) Dziady stały bliżej lewej strony niż Pan Tadeusz? (8) Trzech poetów chce wydać wspólny tomik wierszy - każdy po cztery swoje wiersze. Na ile sposobów można ustawić te 12 wierszy, żeby najpierw były cztery wiersze jednego poety, następnie cztery wiersze kolejnego i na końcu 4 wiersze pozostałego? (9) Rzucamy dwiema kostkami. Ile jest możliwości takich, że na żółtej kostce wypadła większa liczba oczek, niż na niebieskiej? (10) Na działce u państwa Konarskich rośnie 6 drzew. Na ile sposób można wyciąć pewną liczbę drzew tak, aby została nieparzysta liczba drzew? (11) Na ile sposobów można umieścić 5 różnych kul w trzech pudełkach tak, aby w pierwszym pudełku była co najmniej jedna kula. Wskazówka - tutaj najlepiej próbować coś odjąć. (12) 4 ludzi o różnych imionach wsiada do windy na parterze, mogą wysiąść na piętrach od 1 do 10. Na ile sposobów mogą wysiąść, jeśli: a) wszyscy wysiadają na dowolnych piętrach? b) każda osoba wysiada na innym piętrze? c) wszyscy wysiadają na parzystych piętrach? d) Agnieszka i Ewelina wysiadają na tym samym piętrze? e) Agnieszka i Ewelina wysiadają na tym samym piętrze, a Bartek i Maciek też na tym samym, ale innym, niż dziewczyny? f) Dwie dowolne osoby wysiadają na tym samym piętrze, a dwie pozostałe też na tym samym, ale innym, niż pierwsze dwie? g) Bartek, Agnieszka, Ewelina wysiadają na tym samym piętrze, a Maciek wysiada dowolnie? (13) W turnieju szachowym bierze udział 10 zawodników. Ile zostanie rozegranych partii, jeśli każdy ma zagrać dokładnie raz z każdym? A ilu zawodników musiałoby wziąć udział, aby łącznie zostało rozegranych 91 partii? (14) Na ile sposobów można wybrać 4-osobową delegację z 15-osobowej klasy wyróżniając w tej delegacji przewodniczącego?

2 (15) Na ile sposobów można podzielić 6 prezentów między 2 osoby tak, aby każda dostała przynajmniej 1 prezent? (16) W klasie jest 8 dziewczyn i 11 chłopców. Na ile sposobów można stworzyć 8 różnych par do tańca (damsko-męskich)? (17) Po szachownicy 5 5 porusza się pion. W jednym ruchu może iść albo do góry, albo w lewo. Na ile sposobów w 8 ruchach może on dotrzeć z prawego dolnego rogu szachownicy w lewy górny? (18) Rzucamy trzema symetrycznymi sześciennymi kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo, że a) na żadnej kostce nie wypadnie szóstka. b) na co najmniej jednej kostce wypadnie szóstka. c) na dokładnie jednej kostce wypadnie szóstka. d) na co najmniej dwóch kostkach wypadną szóstki. e) na każdej kostce wypadnie inna nieparzysta liczba oczek. f) iloczyn oczek wyniesie 24. g) największą liczbą oczek na pojedynczej kostce będzie 5. h) liczba oczek na jednej z kostek będzie większa niż suma oczek na dwóch pozostałych kostkach. i) suma oczek na wszystkich kostkach przekroczy 15. j) wypadnie tyle samo jedynek, co szóstek. k) iloczyn oczek będzie parzysty. l) iloczyn oczek będzie podzielny przez 4. m) iloczyn oczek będzie podzielny przez 6. n) iloczyn oczek będzie podzielny przez 9. o) iloczyn oczek będzie podzielny przez 12. p) kolejne wyniki rzutu kostką utworzą ciąg rosnący. (19) W pudełku są 3 kule białe, 4 czarne i 5 czerwonych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy jednoczesnym losowaniu trzech kul a) dwie kule będą czarne, a jedna czerwona? b) żadna kula nie będzie biała? c) każda kula będzie innego koloru? d) wszystkie kule będą jednakowego koloru? (20) W pudełku są 3 kule białe. Ile trzeba dołożyć kul czarnych, aby przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czarnych wynosiło 28 55? (21) Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy jednoczesnym rzucie kostką i trzema monetami liczba oczek na kostce będzie równa liczbie wyrzuconych orłów? (22) Wiedząc, że P (A B ) = 0, 9, P (A B) = 0, 65, a zdarzenie A jest dwa razy bardziej prawdopodobne niż zdarzenie B, oblicz P (A \ B). (23) Wykaż, że jeżeli P (A) + P (B) = 1, 3, to P (A B) 0, 3., to P (A B) > (24) Wykaż, że jeżeli P (A B ) < 3 4, oraz P (A B) < 2 3 (25) Ile jest liczb 4-cyfrowych, w których cyfra tysięcy jest parzysta, a iloczyn pozostałych cyfr wynosi 9? (26) Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez 12 i jednocześnie niepodzielnych przez 18? (27) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych 4 osób co najmniej dwie urodziły się tego samego dnia tygodnia? (28) Rzucamy trzema symetrycznymi kostkami sześciennymi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek jest podzielny przez 3, ale niepodzielny przez 6? (29) Rzucamy trzema symetrycznymi kostkami sześciennymi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na dokładnie dwóch kostkach wypadnie taka sama liczba oczek? (30) W klasie jest 2 razy więcej chłopców niż dziewcząt. Ilu jest chłopców jeśli wiadomo, że przy losowym wyborze 2 osób prawdopodobieństwo wylosowania 2 osób róźnej płci jest o 1 30 większe niż prawdopodobieństwo wylosowania 2 chłopców? (31) Na loterii A jest 10 losów, w tym 1 wygrywający. Na loterii B jest 20 losów, w tym 2 wygrywające. Możemy kupić łącznie 2 losy. Po ile losów z każdej loterii należy kupić,

3 aby prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednego losu wygrywającego było największe? (32) Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką otrzymamy tyle samo jedynek, co szóstek? (33) Rzucamy sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy parzystą liczbę oczek? (34) Rzucamy sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy parzystą liczbę oczek pod warunkiem, że nie wypadła jedynka? (35) Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek będzie podzielny przez 3 oraz niepodzielny przez 2? (36) Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek będzie podzielny przez 3 lub niepodzielny przez 2? (37) Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek będzie podzielny przez 6 pod warunkiem, że na pierwszej kostce wypadła parzysta liczba oczek? (38) Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek będzie parzysty pod warunkiem, że suma oczek jest parzysta? (39) Rzucamy dwiema kostkami. Czy zdarzenia: A- iloczyn oczek jest podzielny przez 3 oraz B - iloczyn oczek jest parzysty są niezależne tzn. P (A B) = P (A) P (B)? (40) Rzucamy trzema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo, że nie wypadła żadna szóstka pod warunkiem, że iloczyn oczek jest podzielny przez 24. (41) Z pudełka zawierającego 2 kule złote, 3 srebrne i 5 brązowych losujemy trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy parzystą liczbę kul brązowych pod warunkiem, że liczba wylosowanych kul srebrnych będzie nieparzysta. (42) Stosunek liczby samochodów ciężarowych do liczby samochodów osobowych przejeżdżających szosą, przy której stoi stacja benzynowa, jest równy 1:9. Prawdopodobieństwo tego, że przejeżdżający samochód ciężarowy będzie nabierał paliwo wynosi 0,5, a samochód osobowy 0,2. a) Oblicz prawdopodobieństwo, że następny nadjeżdżający samochód będzie nabierał paliwo. b) Do stacji podjechał po paliwo samochód. Znajdź prawdopodobieństwo tego że ten samochód jest ciężarowy. (43) W pierwszej norze są trzy szczury różowe i 7 zielonych. W drugiej - 4 różowe i 6 zielonych, a w trzeciej - 5 różowych i 5 zielonych. Losowo otwieramy jedną norę i z niej wybiega szczur. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że szczur będzie różowy? b) Szczur okazał się różowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybiegł z trzeciej nory? c*) Szczur okazał się różowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kolejny szczur z tej samej nory będzie różowy? (44) Janusz dojeżdża codziennie do pracy autobusem lub tramwajem, przy czym tramwaj wybiera o 50% częściej. Gdy jedzie autobusem - spóźnia się do pracy w 15% przypadków, a gdy podróżuje tramwajem - jedynie w 5%. a) Oblicz prawdopodobieństwo, że w danym dniu Janusz spóźni się do pracy. b) Oblicz prawdopodobieństwo, że przez cały tydzień (od poniedziałku do piątku) nie spóźni się ani razu. c) Janusz spóźnił się do pracy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jechał autobusem? (45) W szufladzie są 2 kule białe i 3 czarne. Losujemy jedną kulę, zwracamy ją do pudełka i dokładamy do niego jeszcze 5 kul tego samego koloru, co wylosowana. Losujemy jedną kulę ponownie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że teraz wylosujemy kulę białą? (46) W pudełku jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy jedną kulę, zwracamy ją do pudełka i dokładamy do niego jeszcze 5 kul tego samego koloru, co wylosowana. Losujemy teraz trzy kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy wylosowane kule będą białe? (47) Wykaż, że jeżeli P (A) > 0, P (B) > 0 oraz zdarzenia A i B są niezależne, to P (A B) = P (A) = P (A B ) (zdarzenie B nie wpływa na prawdopobieństwo zdarzenia A)

4 (48) Ile kul czarnych trzeba dorzucić do pudełka zawierającego jedynie 3 kule białe, aby przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo wylosowania obu kul czarnych było nie mniejsze niż 7 15? (49) Ile jest liczb czterocyfrowych, w których cyfra tysięcy jest nieparzysta, a pozostałe są parzyste oraz cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek, a cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności? (50) Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy jednoczesnym rzucaniu jedną kostką sześcienną i trzema monetami liczba oczek na kostce będzie równa liczbie wyrzuconych orłów? (51) Wiedząc, że P (A B ) = 0, 54, P (A B) = 0, 16 oraz P (B) = 5P (A B) oblicz P (A). (52) Udowodnij, że jeżeli P (A \ B) = 0, 4, a P (B \ A) = 0, 3, to P (A B) 0, 3 Odpowiedzi: (1) 4096 (8 4 ) (2) 1680 ( ) (3) 70 (4) 741. (5) 990. (6) a) , b) = , c) , d) 4200, e) 6475, f) 35( ) = , g) 120, h) = 44778, i) 280, j) = , k) ( 10) 8 = 45. (7) a) 9!, b) 2 9!, c) 6 8!, d) 10! 2. (8) 3! (4!) 3. (9) 15. (10) 32. (11) 211. (12) a) 10000, b) 5040, c) 625, d) 1000, e) 90, f) 270, g) 100. (13) 45 partii, 14 zawodników. (14) (15) 62. (16) 11! 3!. (17) ( 8 4) = 70. (18) a) , b) , o), p) 5 (19) a) 3 22 (20) 8 (21) 7 48 (22) 0, 4 (23) dowód (24) dowód (25) 24 (26) 50 (27) (28) 19 25, c) 72, d) 2 27, e) 1 36, f) , g), h) 5 18, i) , j) 27, k) 7 8, l) , m) 54., b) 21 55, c) 3 11, d) 3 44 (29) 5 12 (30) 21 uczniów (31) 2 losy z loterii A (P = 1 5 przy losowaniu dwóch losów z B (32) , n) 39 ). Przy losowaniu jednego losu z A, i jednego z B, P = 200. A

5 (33) 1 2 (34) 3 5 (35) 5 36 (36) 2 3 (37) 5 9 (38) 0, 5 (39) są niezależne, P (A) = 5 9, P (B) = 3 4 (40) 3 17 (41) (42) a) 0, 23, b) 5 23 (43) a) 0, 4, b) , c) 54 (44) a) 0,09, b) (0, 91) 5, c) 2 3 (45) 0, 4 (46) (47) dowód (48) Co najmniej 7 kul. (49) 50 liczb, P (A B) = (50) 7 48 (51) 0,58 (52) dowód: P (A \ B) + P (B \ A) + P (A B) = P (A B) 1 Edukacja Karol Suchoń kontakt@karolsuchon.pl