Podkowa Smale a jako klasyk chaosu

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 1/? Podkowa Smale a jako klasyk chaosu Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej, Politechnika Gdańska

Konstrukcja odwzorowania podkowa IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 2/?

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 3/? Odwzorowanie podkowa Definicja Niech S = [0, 1] [0, 1]. Najprostsze odwzorowanie podkowa M h : S R 2 określamy geometrycznie w nastȩpuja cy sposób: 1. dokonujemy kontrakcji kwadratu w kierunku poziomym do szerokości λ, gdzie 0 < λ < 1 2 : S [0, λ] [0, 1] 2. otrzymany prostoka t rozcia gamy w kierunku pionowym do wysokości µ, gdzie 2 + ǫ < µ: [0, λ] [0, 1] [0, λ] [0, µ] 3. prostoka t o wymiarach λ µ zginamy i umieszczamy na wyjściowym kwadracie S w taki sposób, aby przecinał on kwadrat S dwukrotnie - otrzymujemy M h (S) 4. powtarzamy proces używaja c M h (S) zamiast S itd.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 4/? Odwzorowanie podkowa Pierwsza iteracja

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 5/? Odwzorowanie podkowa Druga iteracja

Zbiór niezmienniczy IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 6/?

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 7/? Zbiór niezmienniczy Definicja Zbiorem niezmienniczym odwzorowania f nazywamy zbiór X o własności: x X f(x) X

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 7/? Zbiór niezmienniczy Obraz pierwszej iteracji M h (S):

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 7/? Zbiór niezmienniczy Obraz pierwszej iteracji wstecz M 1 h (S):

Zbiór niezmienniczy W S nie ma atraktora M 2 h (V ij) = H ij IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 7/?

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 8/? Zbiór niezmienniczy Niech: n = Mh n(s) S n = M n h (S) S Wtedy: 1 = V 0 V 1 2 = V 00 V 01 V 11 V 10 1 = H 0 H 1 2 = H 00 H 01 H 11 H 10 Zbiór niezmienniczy odwzorowania podkowa M h uzyskujemy jako: = +, gdzie + = n (S), = n (S). i=0 i=0

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 9/? Zbiór niezmienniczy (H 0 H 1 ) (V 0 V 1 ) (H 00 H 01 H 11 H 10 ) (V 00 V 01 V 11 V 10 ) itd....

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 9/? Zbiór niezmienniczy (H 0 H 1 ) (V 0 V 1 ) (H 00 H 01 H 11 H 10 ) (V 00 V 01 V 11 V 10 ) itd.... Zbiór niezmienniczy jest iloczynem kartezjańskim dwóch zbiorów Cantora.

Dynamika symboliczna IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 10/?

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 11/? Dynamika symboliczna Σ = {0, 1} Z - zbiór wszystkich podwójnie nieskończonych cia gów a = (a n ), n Z z metryka : d(α, β) = k Z α k β k 2 k Punkt x możemy określić za pomoca podwójnie nieskończonego cia gu symboli a: a =...a 3 a 2 a 1.a 0 a 1 a 2..., gdzie: a i = 0, dla M i h (x) H 0; 1, dla M i h (x) H 1. (1)

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 12/? Shift map Shift map σ : Σ Σ a = (a n ), a = σ(a) = (a n+1 ) tj. i a i = a i+1 Z (1) otrzymujemy: a i = 0, dla M i+1 h (x) = M i h (M h(x)) H 0 ; 1, dla M i+1 h (x) = M i h (M h(x)) H 1. (2)

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 13/? Dynamika symboliczna Niech φ : Σ określa zwia zek miȩdzy x, a cia giem symboli a Σ, a = φ(x). Wtedy: σ(a) = φ(m h (x)) M h = φ 1 σ φ Σ σ Σ φ M h φ 1 Dynamikȩ symboliczna odpowiadaja ca odwzorowaniu M h nazywamy przesuniȩciem zupełnym na dwóch symbolach.

Własności odwzorowania podkowa IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 14/?

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe,

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe, dla każdego n N odwzorowanie M h posiada 2 n orbit okresowych o okresie n

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe, dla każdego n N odwzorowanie M h posiada 2 n orbit okresowych o okresie n istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe, dla każdego n N odwzorowanie M h posiada 2 n orbit okresowych o okresie n istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie orbit okresowych jest przeliczalnie wiele

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe, dla każdego n N odwzorowanie M h posiada 2 n orbit okresowych o okresie n istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie orbit okresowych jest przeliczalnie wiele zbiór orbit nieokresowych jest nieprzeliczalny

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe, dla każdego n N odwzorowanie M h posiada 2 n orbit okresowych o okresie n istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie orbit okresowych jest przeliczalnie wiele zbiór orbit nieokresowych jest nieprzeliczalny zbiory punktów okresowych i nieokresowych sa gȩste w

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe, dla każdego n N odwzorowanie M h posiada 2 n orbit okresowych o okresie n istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie orbit okresowych jest przeliczalnie wiele zbiór orbit nieokresowych jest nieprzeliczalny zbiory punktów okresowych i nieokresowych sa gȩste w w M h obserwujemy tzw. "chaos przejściowy"

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 16/? Własności M h W szczególności wiȩc odwzorowanie M h jest chaotyczne: Definicja Deterministyczny układ dynamiczny jest chaotyczny, jeśli dla każdego cia gu Bernoulliego możemy znaleźć stan pocza tkowy, startuja c z którego odtworzymy ten cia g wzglȩdem ustalonej partycji przestrzeni fazowej.

Rozmaitości stabilne i niestabilne IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 17/?

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 18/? Zbiory przycia gania i odpychania Definicja X- zwarta gładka rozmaitość, f : X X - dyffeomorfizm klasy C k, p - punkt stały dla f Rozmaitościa stabilna punktu p nazywamy zbiór: W s (p) := {x X : lim n fn (x) p} Rozmaitościa niestabilna punktu p nazywamy zbiór: W u (p) := {x X : lim n f n (x) p}

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 19/? Zbiory przycia gania i odpychania Definicja Mówimy, że punkt stały p jest hiperboliczny, jeśli leży na przeciȩciu conajmniej jednej rozmaitości stabilnej i conajmniej jednej rozmaitości niestabilnej.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 20/? Przeciȩcie homo- i heterokliniczne Uwagi: rozmaitości stabilne nie moga przecinać siȩ ze soba (niezależnie od tego, czy odpowiadaja temu samemu punktowi stałemu czy też różnym punktom stałym), podobnie rozmaitości niestabilne nie przecinaja siȩ ze soba, rozmaitości stabilne i niestabilne moga siȩ przecinać wzajemnie Definicja Mówimy, że punkt x X jest punktem homoklinicznym, jeśli leży na przeciȩciu rozmaitości stabilnej i niestabilnej odpowiadaja cych temu samemu punktowi stałemu p.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 21/? Przeciȩcie homo- i heterokliniczne Definicja Mówimy, że punkt x X jest punktem heteroklinicznym, jeśli leży na przeciȩciu rozmaitości stabilnej i niestabilnej odpowiadaja cych różnym hiperbolicznym punktom stałym p 1 i p 2. Twierdzenie(Poincaré) Jeśli istnieje jeden punkt homokliniczny (heterokliniczny), to istnieje ich nieskończenie wiele.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 22/? Przeciȩcie homo- i heterokliniczne Przeciȩcie homokliniczne:

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 22/? Przeciȩcie homo- i heterokliniczne Przeciȩcie heterokliniczne:

Uniwersalność dynamiki odwzorowania podkowa IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 23/?

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 24/? Uniwersalna dynamika W 1967 roku Smale udowodnił, że z istnienia przeciȩcia homoklinicznego wynika dynamika typu odwzorowanie podkowa :

Inne odwzorowania typu podkowa IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 25/?

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 26/? Uogólniona n podkowa µ > n + ǫ "zawijamy" n 1 razy i umieszczamy na kwadracie S tak, aby "podkowa" przecinała S n-krotnie

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 27/? Twierdzenie Smale a Twierdzenie(Smale, 1963) Każde odwzorowanie typu odwzorowanie podkowa posiada domkniȩty zbiór niezmienniczy, który zawiera przeliczalnie wiele orbit okresowych o dowolnie długim okresie oraz nieprzeliczalnie wiele orbit nieokresowych, wśród których sa orbity przebiegaja ce dowolnie blisko każdego danego punktu zbioru.

Układy hiperboliczne i niehiperboliczne IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 28/?

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 29/? Hiperboliczność Definicja Odwzorowanie f nazywamy hiperbolicznym, jeśli przecinaja ce siȩ rozmaitości stabilne i niestabilne dowolnych punktów stałych zawsze przecinaja siȩ transwersalnie. Jeśli przecinaja siȩ stycznie, to odwzorowanie jest niehiperboliczne. Odzworowanie podkowa M h jest zatem hiperboliczne.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 30/? Hiperboliczność Rozważania dyskretnego układu dynamicznego: x n+1 = F(x n ) można w pobliżu punktu stałego x sprowadzić do rozważań układu liniowego y n+1 = Ay n, gdzie A = DF(x ). Niech α j bȩda wartościami własnymi A takimi, że α j > 1 oraz u 1, u 2,..., u n(α) odpowiadaja cymi im wektorami własnymi. Wtedy: E u = span(u 1, u 2,..., u n(α) ) - podprzestrzeń niestabilna.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 31/? Hiperboliczność Analogicznie dla β j takich, że β j < 1 E s = span(v 1, v 2,..., v n(β) ) - podprzestrzeń stabilna oraz dla γ j takich, że γ j = 1 E c = span(w 1, w 2,..., w n(β) ) - podprzestrzeń środkowa. Wektory y układu y n+1 = Ay n nazywamy wektorami stycznymi dla odwzorowania F. Przestrzeń, w której leża wektory styczne odwzorowania w punkcie x = x nazywamy przestrzenia styczna i oznaczamy T x.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 32/? Hiperboliczność Definicja Mówimy, że punkt stały x jest hiperboliczny, jeżeli nie istnieje podprzestrzeń środkowa E c. To znaczy, że przestrzeń styczna T x rozkłada siȩ na sumȩ T x = E s E u. Definicja Mówimy, że zbiór niezmienniczy jest hiperboliczny, jeśli w zbiorze istnieje cia gły wzglȩdem x rozkład przestrzeni T x na sumȩ przestrzeni stabilnej i niestabilnej T x = E s x E u x.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 33/? W s (x ) i W u (x ) vs. E s i E u Rozmaitości stabilne i niestabilne W s (x ) i W u (x ) hiperbolicznego układu x n+1 = F(x n ) maja taki sam wymiar jak E s i E u i sa do nich styczne:

Układy hiperboliczne IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 34/?

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 35/? Uogólnione odwzorowanie piekarza Uogólnione odwzorowanie piekarza definiujemy jako nastȩpuja ce przekształcenie kwadratu S = [0, 1] [0, 1]: x n+1 = y n+1 = gdzie β = 1 α i α a + α b = 1. λ a x n, jeżeli y n < α; (1 λ b ) + λ b x n, jeżeli y n > α. y nα, jeżeli y n < α; y n α β, jeżeli y n > α.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 36/? Uogólnione odwzorowanie piekarza Pierwsza iteracja:

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 37/? Uogólnione odwzorowanie piekarza Druga iteracja:

Rozmaitości stabilne sa liniami poziomymi, a niestabilne - pionowymi. IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 38/? Uogólnione odwzorowanie piekarza Dla uogólnionego odwzorowania piekarza macierz Jacobiego ma postać: DM(x) = λ x(y) 0, 0 λ y (y) gdzie wartości własne: λ x (y) = λ y (y) = λ a, jeżeli y < α; λ b, jeżeli y > α. α 1, jeżeli y < α; β 1, jeżeli y > α.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 39/? Odwzorowanie kota Arnolda Odwzorowanie Arnolda dane jest wzorem: x n+1 y n+1 = 1 1 1 2 x n y n mod 1 (3) Jeśli wartości x i y modulo 1 uważać za zmienne ka towe, to odwzorowanie to oddziałuje na powierzchniȩ dwuwymiarowego torusa (gdzie jeden obieg dookoła jest zaznoczony poprzez zwiȩkszenie wartości odpowiedniej zmiennej ka towej o 1 a nie o 2π).

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 40/? Odwzorowanie kota Arnolda Inaczej odwzorowanie Arnolda zwane jest "wyżymaniem kota"

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 41/? Odwzorowanie kota Arnolda Wartości własne macierzy w odwzorowaniu (??) wynosza : λ 1 = 3 + 5 2 > 1 oraz λ 2 = 3 5 2 < 1. Kierunki stabilne i niestabilne sa zatem jednowymiarowe i równoległe do odpowiednich wektorów własnych (1, λ 1 1) i (1, λ 2 1). "Typowe warunki pocza tkowe" daja pocza tek orbicie, która ostatecznie dochodzi dowolnie blisko do dowolnego punktu na torusie oraz odwiedza równe pola z równa czȩstotliwościa - sta d naturalna miara niezmiennicza jest jednostajna.

Odwzorowanie kota Arnolda IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 42/?

Układy niehiperboliczne IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 43/?

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 44/? Odwzorowanie Hénona Odwzorowanie Hénona dane jest wzorem: x n+1 = 1 ax 2 n + y n y n+1 = bx n (standardowy wybór dla parametrów a i b to a = 1.4 i b = 0.3). Istnieja punkty na atraktorze Hénona, w których rozmaitość stabilna W s oraz niestabilna W u sa styczne. W tych punktach styczności nie możemy wyznaczyć przestrzeni E s i E u - atraktor Hénona nie jest hiperboliczny.

Odwzorowanie Hénona IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 45/?

Odwzorowanie Hénona IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 46/?

Własności układów hiperbolicznych IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 47/?

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 48/? Strukturalna stabilność Definicja (X, d) - p. metryczna f : X X- homeomorfizm Mówimy, że odwzorowanie f jest strukturalnie stabilne, jeśli istnieje otoczenie V w zbiorze Homeo(X) takie, że każdy element V jest topologicznie sprzȩżony z f. Definicja M- zwarta gładka rozmaitość f : M M - dyffeomorfizm klasy C k Mówimy, że odwzorowanie f jest strukturalnie stabilne, jeśli istnieje otoczenie V w zbiorze Diff k (M) takie, że każdy element V jest topologicznie sprzȩżony z f.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 49/? Własności układów hiperbolicznych dynamikȩ na zbiorze niezmienniczym możemy badać za pomoca dynamiki symbolicznej (przesuniȩcie zupełne lub niezupełne na podwójnie nieskończonym cia gu symboli),

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 49/? Własności układów hiperbolicznych dynamikȩ na zbiorze niezmienniczym możemy badać za pomoca dynamiki symbolicznej (przesuniȩcie zupełne lub niezupełne na podwójnie nieskończonym cia gu symboli), jeżeli hiperboliczny zbiór niezmienniczy jest atraktorem, to istnieje miara naturalna,

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 49/? Własności układów hiperbolicznych dynamikȩ na zbiorze niezmienniczym możemy badać za pomoca dynamiki symbolicznej (przesuniȩcie zupełne lub niezupełne na podwójnie nieskończonym cia gu symboli), jeżeli hiperboliczny zbiór niezmienniczy jest atraktorem, to istnieje miara naturalna, zbiór niezmienniczy i jego dynamika sa strukturalnie stabilne tzn. małe gładkie zaburzenia zachowuja dynamikȩ.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 50/? Ukł. hiperboliczne vs niehiperboliczne Dla hiperbolicznych układów możliwe jest uzyskanie wielu ścisłych wyników. Można je opisywać analitycznie oraz statystycznie.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 50/? Ukł. hiperboliczne vs niehiperboliczne Dla hiperbolicznych układów możliwe jest uzyskanie wielu ścisłych wyników. Można je opisywać analitycznie oraz statystycznie. Niestety rzeczywiste zjawiska chaotyczne obserwowane w układach doświadczalnych sa przeważnie niehiperboliczne.

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 51/? Bibliografia 1. E. Ott, Chaos w układach dynamicznych, WNT, Warszawa 1997. 2. S. Smale, Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967) 3. M. Shub, What is... a Horseshoe?, Notices of AMS, vol. 52. 4. C. Beck, F. Schlogl Thermodynamics of chaotic systems, Cambridge University Press 1993. 5. J.P. Eckmann, D. Ruelle Ergodic theory of chaos and strange attractors, Reviews of Modern Physics, vol. 57, No.3 6. M. Branson, The Smale Horseshoe as a Fractal Structure in Dynamical Systems, Lecture Notes.