Uniwersalność wykresu bifurkacyjnego w uogólnionym odwzorowaniu logistycznym

Transkrypt

1 Uniwersalność wykresu bifurkacyjnego w uogólnionym odwzorowaniu logistycznym Oskar Amadeusz Prośniak pod opieką prof. dr hab. Karola Życzkowskiego 29 września 2015 Instytut Fizyki UJ 1 Wstęp Celem tej pracy jest zestawienie i podsumowanie przeprowadzonych numerycznych symulacji zachowania rodziny funkcji uogólniających odwzorowanie logistyczne, zadanych przepisem f ɛ (x) = rx 1+ɛ (1 x 1 ɛ ) (1) gdzie ɛ (0, 1) jest parametrem uogólniającym. Szczególną uwagę poświęcono uniwersalności wykresu bifurkacyjnego oraz analizie rozkładów prawdopodobieństwa w charakterystycznych punktach występowania chaosu. Klasyczne odwzorowanie logistyczne znajduje zastosowanie w modelowaniu obserwowanych procesów biologicznych, chemicznych, czy ekonomicznych [1]. Wyposażenie tego odwzorowania w dodatkowy, niezależny parametr zwiększa liczbę jego stopni swobody, pozwalając na modelowanie szerszej grupy procesów przy zachowaniu ogólnego podobieństwa modeli. 2 Podstawowe pojęcia Trajektoria to ciąg wartości kolejnych iteracji (złożeń) odwzorowania dla zadanego punktu początkowego. Cykl to charakterystyczna trajektoria lub jej fragment stanowiący zamknięty cykl. Atraktor to zbiór punktów do którego zmierzają trajektorie rozpoczynające się od różnych punktów początkowych. Bifurkacja to w tej pracy utworzenie dwóch odrębnych punktów atraktora z jednego przy ciągłej zmianie parametru; intuicyjnie jest rozdwojeniem wykresu rozpatrywanego odwzorowania w funkcji parametru. Praca roczna wykonana w roku akademickim 2014/

2 3 Klasyczne odwzorowanie logistyczne Klasyczne odwzorowanie logistyczne zadaje równanie [2] f(x) = rx(1 x) (2) gdzie r jest pewną dowolnie wybraną, niezależną stałą. Szczególnie interesujące jest dla x [0, 1] w zakresie parametru r od 3 do 4, gdy na wykresie jego atraktora jako funkcji parametru r doskonale widoczne są powstające bifurkacje (rys. 1). Na zamieszczonym wykresie (rys. 1) nietrudno zauważyć rysujące się ciemniejsze krzywe. Przyczyną ich powstawania jest duże zagęszczenie trajektorii bliskich tej powstającej z krytycznego punktu początkowego x 0 = 0, 5, tzn. rozpoczynających się od punktów bliskich punktowi krytycznemu. Dzieje się tak, ponieważ dla x 0 = 0, 5 pierwsze pochodne funkcji (2), jak również jej kolejnych złożeń równają się zero; f(x) wraz ze swoimi kolejnymi złożeniami jest najmniej stroma [3]. Wzorując się na pracy [3] na rys. 2 zamieszczono wykres pierwszych dziesięciu iteracji odwzorowania logistycznego dla krytycznego punktu początkowego, co pozwoliło na przejrzyste zobrazowanie omawianego fenomenu. Widoczny punkt przecięcia krzywych w okolicy r = 3, 7 to tzw. punkt Misiurewicza [4]. Jest on szczególny nie tylko ze względu na swoją genezę. W klasycznym odwzorowaniu logistycznym jego współrzędna r M stanowi granicę parzystości cykli; dla r r M wszystkie cykle są parzyste (za wyjątkiem punktu stałego) i wszystkie parzyste okresy są realizowane, dla r > r M odwzorowanie przyjmuje nieparzyste cykle [5]. Histogram ukazujący prawdopodobieństwo odwiedzania kolejnych punktów atraktora przy ustalonym parametrze r = r M ukazuje rys. 3. Widoczne na nim maksima odpowiadają granicom wykresu bifurkacyjnego oraz lokalizacji punktu Misiurewicza, co nie jest zaskakujące w świetle procesu, w jakim powstaje. Rys. 1: Wykres bifurkacyjny klasycznego odwzorowania logistycznego. Przyjęte oznaczenie x pionowej osi podyktowane jest prostotą zapisu oraz iteracyjnym sposobem otrzymania tego wykresu; oznacza lim f n (x 0 ), gdzie indeks górny to złożenie funkcji, natomiast x 0 to pewien n punkt początkowy z zakresu (0, 1). W rzeczywistości wykonano 800 złożeń odwzorowania na każdy atraktor, a obliczenia przeprowadzono z dokładnością czterech miejsc po przecinku. 2

3 Rys. 2: Wykres dziesięciu kolejnych złożeń standardowego odwzorowania logistycznego (2) dla punktu początkowego x 0 = 0, 5. Rys. 3: Histogram ukazujący prawdopodobieństwo P (x) odwiedzenia kolejnych punktów atraktora klasycznego odwzorowania logistycznego przy r = r M wygenerowany na podstawie 10 6 obliczonych wartości tysiąckrotnego złożenia odwzorowania (2) dla losowych wartości początkowych z przedziału [0, 1]. Liczba binów: Uogólnione odwzorowanie logistyczne W związku z dodaniem parametru ɛ uogólniającego odwzorowanie (2) zmianie ulega wielkość r max, będąca wartością parametru r, przy którym trajektoria chaotyczna obejmuje cały przedział [0, 1]. Dla wartości r > r max punkt przyciągania odwzorowania ucieka do nieskończoności. Dzieje się tak, ponieważ dla wspomnianych wartości r funkcja (1) nie odwzorowuje już odcinka [0, 1] w siebie. Aby znaleźć wartość r max w zależności od parametru ɛ wystarczy rozwiązać równanie ze względu na r max f ɛ (x) = 1 (3) 3

4 Po prostych rachunkach uzyskuje się wynik r max = 2 1 ɛ ( ɛ ) ɛ+1 e 1 (4) Na rys. 4 przedstawiono wykresy funkcji (1) dla różnych wartości parametru ɛ. Widoczna jest na nim stopniowa deformacja wykresu spowodowana zaproponowanym uogólnieniem polegająca na przesunięciu punktu krytycznego - maksimum odwzorowania. 1.0 f(x) x Rys. 4: Wykresy uogólnionego odwzorowania logistycznego f ɛ (x) danego wzorem (1) dla parametru ɛ = 0.4, 0.3, 0.2, 0.1, 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 i odpowiednich r max. Obliczono współrzędne punktów krytycznych tego odwzorowania i umieszczono je w tabeli 1. Na rys. 5 zestawiono analogiczne wykresy jak na rys. 2. Mimo dodania parametru uogólniającego nie jest zauważalna deformacja ich kształtu względem klasycznego odwzorowania logistycznego - w szczególności zachowany zostaje charakterystyczny punkt przecięcia odpowiadający punktowi Misiurewicza. Tab. 1: Współrzędne punktów krytycznych uogólnionego odwzorowania logistycznego. x kryt ɛ -0,4 0,4232-0,3 0,4459-0,2 0,4660-0,1 0,4839 0,0 0,5 0,1 0,5147 0,2 0,5281 0,3 0,5404 0,4 0,5519 4

5 (a) ɛ = 0, 4 (b) ɛ = 0, 3 (c) ɛ = 0, 2 (d) ɛ = 0, 1 (e) ɛ = 0 (f) ɛ = 0, 1 (g) ɛ = 0, 2 (h) ɛ = 0, 3 (i) ɛ = 0, 4 Rys. 5: Wykresy dziesięciu kolejnych złożeń uogólnionego odwzorowania logistycznego dla punktów początkowych x 0 = x kryt i odpowiednich wartości parametru ɛ. Obliczono współrzędne r tych punktów jako punktów przecięcia wykresów trzeciego i czwartego złożenia funkcji (1), które na wykresie bifurkacyjnym klasycznego odwzorowania logistycznego w przybliżeniu tworzą granicę przestrzeni między punktem pierwszej bifurkacji, a punktem Misiurewicza. Otrzymane wyniki zestawiono w tabeli 2 i na wykresie 6. Tab. 2: Współrzędne r M punktów analogicznych do punktu Misiurewicza w uogólnionym odwzorowaniu logistycznym. r M ɛ -0,4 2,2626-0,3 2,5381-0,2 2,8568-0,1 3,2312 0,0 3,6786 0,1 4,2236 0,2 4,9033 0,3 5,7755 0,4 6,9370 r ϵ Rys. 6: Graficzne przedstawienie danych z tabeli 2 5

6 W celu dalszego sprawdzenia uniwersalności istnienia punktów analogicznych do punktu Misiurewicza w rozważanej rodzinie funkcji uogólniających odwzorowanie logistyczne zbadano rozkłady prawdopodobieństwa analogiczne jak przedstawiony na rys. 3 dla parametrów r z tabeli 2. Histogramy, które je ukazują zestawiono na rys. 7. (a) ɛ = 0, 4 (b) ɛ = 0, 3 (c) ɛ = 0, 2 (d) ɛ = 0, 1 (e) ɛ = 0 (f) ɛ = 0, 1 (g) ɛ = 0, 2 (h) ɛ = 0, 3 (i) ɛ = 0, 4 Rys. 7: Histogramy ukazujące prawdopodobieństwo odwiedzenia kolejnych punktów atraktora uogólnionego odwzorowania logistycznego przy różnych parametrach ɛ i odpowiadającym wartościach r z tabeli 2 wygenerowane analogicznie jak histogram z rys. 3. Podobnie jak na rys. 5 widać brak wpływu parametru uogólniającego na kształt wykresów 7. Odczytano położenia pików zestawionych histogramów i otrzymane współrzędne zamieszczono w tabeli 3 oraz na wykresie 8. 6

7 Tab. 3: Współrzędne x M punktów analogicznych do punktu Misiurewicza w uogólnionym odwzorowaniu logistycznym, równe współrzędnym środkowych pików wykresów 7. x M ɛ -0,4 0,707-0,3 0,713-0,2 0,719-0,1 0,724 0,0 0,728 0,1 0,733 0,2 0,737 0,3 0,741 0,4 0,745 5 Podsumowanie x ϵ Rys. 8: Graficzne przedstawienie danych z tabeli 3 z dopasowaną prostą, w celu lepszego zobrazowania danych. W pracy przedstawiono dane świadczące o istnieniu w rozpatrywanej rodzinie funkcji uogólniających odwzorowanie logistyczne punktów analogicznych do punktu Misiurewicza. Za poprawnością wykorzystanych metod obliczeniowych przemawia zgodność otrzymanych wyników dla parametru ɛ = 0, przy którym rozważane odwzorowanie (1) sprowadza się do klasycznego odwzorowania logistycznego, z danymi znalezionymi w literaturze [5]. Należy również nadmienić, że obliczone opisaną metodą wartości współrzędnych punktów analogicznych do punktu Misiurewicza zostały potwierdzone przez bezpośrednie numeryczne przeczesanie wykresów bifurkacyjnych. 6 Literatura [1] A. G. Radwan, On some generalized discrete logistic maps, J. Adv. Res. 4 (2013), [2] E. Ott, Chaos in Dynamical Systems, wyd. 1 Cambridge University Press, 1993 [3] H. Kr. Sarmah, T. Kr. Baishya, Period doubling route in the periodic and chaotic region of the logistic map, Int. J. Appl. Math. & Stat. Sc. Vol. 2 1 (2013), [4] R. C. Hilborn, Chaos and Nonlinear Dynamics. An Introduction for Scientists and Engineers, wyd. 2 Oxford University Press, 2004 [5] J. C. Sprott, Misiurewicz Point of the Logistic Map, 7