Twierdzenie o rozmaitości stabilnej

Transkrypt

1 Uniwersytet Gdański Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Witold Bołt Kierunek studiów: matematyka Numer albumu: Twierdzenie o rozmaitości stabilnej Praca magisterska wykonana pod kierunkiem dr. Piotra Bartłomiejczyka Gdańsk 2008 kompilacja: 26 maja 2008

2 Spis treści Wstęp 3 1 Preliminaria Preliminaria z topologii Preliminaria z analizy matematycznej i algebry liniowej Preliminaria z układów dynamicznych O różnych klasach punktów Stabilność Lapunowa Hiperboliczność Podprzestrzenie stabilne odwzorowań liniowych Zbiory stabilne Twierdzenie o rozmaitości stabilnej i niestabilnej Twierdzenie o lokalnej rozmaitości niestabilnej Twierdzenie o lokalnej rozmaitości stabilnej Globalna rozmaitość stabilna i niestabilna Przykłady Teoria globalna i zbiory hiperboliczne 21 Bibliografia 22 2

3 Wstęp Tu ogólnie będzie jeszcze: krótko o układach dynamicznych, punktach stałych, krótko o stabilności, omówienie układu pracy, odnośniki do innych wersji twierdzenia (częściowo już jest) Praca zawiera podsumowanie i analizę wyników znanych z literatury. Dowód głównego twierdzenia oparto o [2]. W pracy wykorzystujemy wiele faktów i terminów z teorii układów dynamicznych. Wprowadzenie do tej teorii można znaleźć w książkach [2], [8] i [13]. Wynik opisywany w tej pracy jest klasycznym wynikiem z układów dynamicznych i analizy nieliniowej. Pojawia się w różnych wersjach w wielu pozycjach z tych dziedzin. Poniżej wymieniono ważniejsze z nich. W książce [14] udowodniono twierdzenie Hadamarda-Perrona, które jest uogólnieniem opisywanego tu twierdzenia na przypadek odwzorowań określonych na rozmaitościach. W książce [10] przedstawiono dowód tegoż twierdzenia w przypadku odwzorowań określonych na przestrzeniach Banacha. W artykule [7] pokazano zupełnie inną technikę dowodzenia tego twierdzenia w przypadku dwuwymiarowych rozmaitości. W książce [8] można znaleźć dowód twierdzenia dla ciągłych układów dynamicznych dla przypadku dwuwymiarowego. Dalsze uwagi i uogólnienia tej wersji twierdzenia można również znaleźć w książkach [9], [5], [3]. W książce [4] poza samym dowodem twierdzenia zebrano cenne uwagi historyczne odnośnie różnych technik dowodzenia tego twierdzenia. 3

4 Rozdział 1 Preliminaria Informacje przygotowawcze zebrane w tym rozdziale zostały opracowane na bazie podręczników: [6], [11], [12], [1] i [2]. 1.1 Preliminaria z topologii Definicja 1.1 (odwzorowanie zwężające). Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, oraz f : X X pewnym odwzorowaniem. Mówimy, że f jest zwężające, jeśli istnieje stała c < 1, taka, że d(f(x), f(y)) c d(x, y) dla dowolnych x, y X. Definicja 1.2 (przestrzeń zupełna). Przestrzeń X jest zupełna, jeśli każdy ciąg Cauchy ego w tej przestrzeni jest zbieżny. Przykład 1.3. Przestrzeń R n jest przestrzenią zupełną. Twierdzenie 1.4 (Banacha o punkcie stałym). Niech X przestrzeń zupełna oraz f : X X odwzorowanie zwężające. Wtedy istnieje dokładnie jeden punkt x 0 X taki, że f(x 0 ) = x Preliminaria z analizy matematycznej i algebry liniowej Tu będzie jeszcze: ustalenie definicji krzywej :) Twierdzenie 1.5 (Lagrange o wartości średniej). Niech f : R R będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b] i różniczkowalną w (a, b). Wtedy istnieje c (a, b) takie, że: f(b) f(a) b a = f (c). 4

5 ROZDZIAŁ 1. PRELIMINARIA 5 Wniosek 1.6. Niech l : [0, 1] R 2 dowolna krzywa klasy C 1 łącząca punkty postaci (x 0, y), (x 1, y). Wtedy istnieje punkt na krzywej l w którym wektor styczny jest postaci (α, 0). Dowód. Niech l = (l 1, l 2 ), gdzie l i : [0, 1] R. Stosujemy twierdzenie Lagrange a do funkcji l 2 i otrzymujemy t (0, 1) takie, że l 2(t) = 0. Stąd l (t) = (α, 0). Wniosek 1.7. Niech l : [0, 1] R 2 będzie pewną krzywą klasy C 1, która łączy punkty (x 0, y 0 ) i (x 0, y 0) takie, że y 0 y 0 > 1 2 x 0 x 0. Wtedy istnieje punkt na krzywej l w którym wektor styczny ma nachylenie większe niż 1 2. Dowód. Przypadek ten można sprowadzić do tego z poprzedniego wniosku, przez odpowiedni obrót układu współrzędnych, tak aby y 0 = y 0. W otrzymanym w ten sposób punkcie nachylenie w starym układzie współrzędnych jest równe dokładnie y 0 y 0 x 0 x 0, czyli z założenia jest większe niże 1 2. Fakt 1.8. Niech A będzie macierzą rzeczywistą 3 3. Wtedy istnieje odwracalna macierz rzeczywista G, taka, że G 1 AG jest w jednej z postaci: i) α β 0 β α 0, 0 0 λ gdzie β, ɛ 0. ii) λ µ 0, 0 0 η iii) λ ɛ 0 0 λ 0, 0 0 µ iv) λ ɛ 0 0 λ ɛ, 0 0 λ Wniosek 1.9. Niech A będzie macierzą 2 2. Wtedy istnieje odwracalna macierz rzeczywista G, taka, że G 1 AG jest w jednej z postaci: i) α β gdzie β, ɛ 0. β, ii) λ ɛ, iii) λ 0, α 0 λ 0 µ 1.3 Preliminaria z układów dynamicznych O różnych klasach punktów Tu będzie o: punktach stałych, okresowych, rekurencyjnych, łańcuchowo-rekurencyjnych itd Stabilność Lapunowa Tu będzie krótko o: klasycznych definicjach stanu stabilnego i niestabilnego w sensie Lapunowa.

6 ROZDZIAŁ 1. PRELIMINARIA Hiperboliczność Pojęcie hiperboliczności jest jednym z centralnych pojęć tej pracy. Dalsze rozważania będziemy ograniczać tylko do tak zwanych hiperbolicznych punktów stałych. Okazuje się, że przy założeniu hiperboliczności można bardzo wiele powiedzieć o specyficznych geometrycznych własnościach odwzorowań. Definicja 1.10 (hiperboliczny punkt stały). Punkt stały p odwzorowania różniczkowalnego F : R n R n nazywamy hiperbolicznym, jeśli macierz Jacobiego DF (p) nie ma wartości własnych o module 1. Uwaga Pojęcie hiperboliczności daje się rozszerzyć na inne klasy punktów. Na przykład bardzo łatwo podać definicję hiperbolicznego punktu okresowego (lub raczej hiperbolicznej orbity okresowej). Okazuje się bowiem, że jeśli p jest punktem okresowym oraz DF (p) nie ma wartości własnych o module 1, to również różniczka kolejnych iteracji spełnia ten warunek. Co więcej okazuje się, że prezentowane w tej pracy wyniki dają się uogólnić na przypadek orbit okresowych (i innych klas punktów). Wyróżniać będziemy trzy rodzaje hiperbolicznych punktów stałych: punkty przyciągające, odpychające i siodłowe. W dalszej części tej pracy pokażemy, iż użyte nazwy wiążą się z charakterystycznymi lokalnymi własnościami tych punktów. I tak oto wszystkie punkty z otoczenia punktu przyciągającego będą, wraz z iterowaniem odwzorowania, przyciągane do punktu stałego. Analogicznie, w przypadku punktu odpychającego, jego otoczenie będzie odpychane przy iterowaniu odwzorowania. Sytuacje takie w bezpośredni sposób nawiązują do pojęcia stabilności opisanego w poprzednim punkcie. Prezentowana tu teoria jest z jednej strony uogólnieniem wcześniej podanych pojęć, a z drugiej daje spojrzenie na ten sam problem z nieco innej perspektywy. Punkty siodłowe będą natomiast sytuacją pośrednią, która ostatecznie okaże się dla nas najbardziej interesująca. Definicja Niech p R n będzie hiperbolicznym punktem stałym odwzorowania różniczkowalnego F : R n R n. Mówimy, że punkt p jest: przyciągającym punktem stałym (zlewem, ściekiem), jeśli wszystkie wartości własne DF (p) są co do modułu mniejsze od 1, odpychającym punktem stałym (źródłem), jeśli wszystkie wartości własne DF (p) są co do modułu większe od 1, punktem siodłowym (siodłem) w pozostałych przypadkach, to znaczy, gdy istnieje przynajmniej jedna wartość własna DF (p), która jest większa co do modułu od 1, oraz przynajmniej jedna, która jest mniejsza od 1.

7 ROZDZIAŁ 1. PRELIMINARIA Podprzestrzenie stabilne odwzorowań liniowych W tym punkcie pokrótce przeanalizujemy zachowanie odwzorowań liniowych w sytuacji, gdy zero jest hiperbolicznym punktem stałym. Poniższe dwa twierdzenia rozwiązują problem w przypadku punktu odpychającego i przyciągającego. Twierdzenie Niech L: R n R n będzie odwzorowaniem liniowym. Jeśli wszystkie wartości własne odwzorowania L są mniejsze co do modułu od 1, to L n (x) 0 przy n dla dowolnego x R n. Dowód. Ustalmy x R n. Sprawdzimy, że L n (x) 0 przy n. Mamy: L n (x) L n x = L n x 0 ponieważ L < 1. Twierdzenie Niech L: R n R n będzie odwzorowaniem liniowym. Jeśli wszystkie wartości własne odwzorowania L są większe co do modułu od 1, to L n (x) 0 przy n dla dowolnego x R n. Dowód. Twierdzenie jest wnioskiem z poprzedniego twierdzenia. Rozważmy bowiem odwzorowanie L 1. W oczywisty sposób wszystkie wartości własne L 1 mają z założenia moduł mniejszy od 1 a co za tym idzie, dla dowolnego x R n mamy (L 1 ) n (x) 0 przy n. Czyli dokładnie L n (x) 0 przy n. Aby uprościć sformułowanie twierdzenia w przypadku punktu siodłowego ograniczmy się do konkretnego przypadku w przestrzeni R 3. Twierdzenie Załóżmy, że L: R 3 R 3 jest odwzorowaniem liniowym, a liczby λ 1, λ 2, λ 3 są wszystkimi jego wartościami własnymi. Niech λ 1 < 1, λ 2 < 1, λ 3 > 1. Wtedy istnieje płaszczyzna W s oraz prosta W u takie, że: 1. jeśli x W s, to L(x) W s oraz L n (x) 0 przy n, 2. jeśli x W u, to L(x) W u oraz L n (x) 0 przy n, 3. jeśli x W s W u, to L n (x) przy n ±. Dowód. Do zrobienia. Uwaga Oczywiście podobne twierdzenia można formułować również dla innych przypadków - gdy na przykład tylko jedna z wartości własnych ma moduł mniejszy niż jeden.

8 ROZDZIAŁ 1. PRELIMINARIA 8 2. Jeśli L: R n R n jest odwzorowaniem liniowym, którego niektóre wartości własne są co do modułu mniejsze od 1 a pozostałe są większe od 1, również istnieją zbiory W s i W u, które są pewnymi podprzestrzeniami liniowymi R n. Wymiary tych przestrzeni są równe odpowiednio liczbie wartości własnych o module mniejszym i większym od jedności. Po udowodnieniu powyższych twierdzeń sens podanej niżej definicji jest oczywisty. Wspominane w treściach twierdzeń zbiory W s i W u nazywać będziemy podprzestrzeniami stabilną i niestabilną. Definicja 1.17 (podprzestrzeń stabilna i niestabilna). Niech L: R n R n będzie odwzorowaniem liniowym. Zbiory W u i W s spełniające warunki: 1. jeśli x W s, to L(x) W s oraz L n (x) 0 przy n ; 2. jeśli x W u, to L(x) W u oraz L n (x) 0 przy n ; 3. jeśli x W s W u, to L n (x) przy n ± ; nazywamy odpowiednio podprzestrzenią niestabilną i stabilną odwzorowania L Zbiory stabilne W tym punkcie uogólnimy pojęcia podprzestrzeni stabilnych i niestabilnych na przypadek dowolnych odwzorowań klasy C r. Oczywiście, gdy rozważamy dowolnego odwzorowania różniczkowalne, to zbiory o których będziemy mówić z reguły nie będą podprzestrzeniami liniowymi. Ich własności i znaczenie będą jednak analogiczne jak w przypadku liniowym. Definicja 1.18 (zbiór stabilny). Niech p R n oraz F : R n R n. Zbiór W s (p) nazywamy zbiorem stabilnym (basenem przyciągania) odwzorowania F w punkcie p, jeżeli dla dowolnego x W s (p) zachodzi F n (x) p przy n. Definicja 1.19 (zbiór niestabilny). Niech p R n oraz F : R n R n. Zbiór W u (p) nazywamy zbiorem niestabilnym odwzorowania F w punkcie p, wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego x W u (p) zachodzi F n (x) p przy n. Uwaga Aby zdefiniować zbiór niestabilny w sposób podany wyżej potrzebujemy albo założenia, że F jest odwzorowaniem odwracalnym (albo przynajmniej lokalnie odwracalnym) lub możemy posłużyć się pojęciem historii punktu p. Otóż historią punktu p nazywamy dowolny zbiór {p n : n N} taki, że F (p n 1 ) = p n oraz p 0 = p. Oczywiście możliwy jest przypadek, że konkretny punkt p przy danym odwzorowaniu F nie ma żadnej historii, jak również przeciwnie, że ma tych historii bardzo wiele. Wobec takich trudności technicznych z tym pojęciem w dalszej części pracy przyjmujemy, że badane odwzorowania są odwracalne (lub ewentualnie lokalnie odwracalne, tam gdzie jest to możliwe). Prezentowane pojęcia w wersjach dla historii punktu można znaleźć w [10].

9 ROZDZIAŁ 1. PRELIMINARIA 9 Poniżej udowodnimy twierdzenia, które gwarantują istnienie zbioru stabilnego i niestabilnego w okolicy punku hiperbolicznego p. Twierdzenie Załóżmy, że p jest punktem stałym przyciągającym odwzorowania F : R 2 R 2. Istnieje wtedy otwarte otoczenie U punktu p, takie, że dla dowolnego x U zachodzi F n (x) p przy n. Dowód. Bez utraty ogólności można założyć, że p = 0 (ogólny przypadek otrzymamy składając F z odpowiednim przesunięciem). Możemy również założyć, że DF (0) jest w jednej z poniższych postaci (por. fakt 1.8): DF (0) = λ 0, gdzie λ, µ < 1, 0 µ DF (0) = λ ɛ, gdzie ɛ > 0 jest odpowiednio małe oraz λ > 1, 0 λ DF (0) = α β, gdzie α 2 + β 2 = 1. β α Niezależnie od przypadku, łatwo sprawdzić, że jeśli v R 2 \{0} to DF (0)v < v. Ponieważ DF zmienia się w sposób ciągły, to istnieje otwarte otoczenie zera U, w którym powyższa nierówność jest spełniona. Niech δ > 0 będzie takie, że jeśli p < δ to p U. Niech p będzie ustalonym punktem spełniającym p < δ i p 0, oraz niech γ będzie odcinkiem łączącym 0 i p, danym wzorem γ(t) = t p, gdzie t [0, 1]. Mamy wówczas F (γ(0)) = 0, F (γ(1)) = F (p), γ(t) U dla dowolnego t [0, 1] i γ (t) 0. Stąd: F (p) = = < (F γ) (t)dt (F γ) (t) dt DF (γ(t))γ (t) dt γ (t) dt = p Załóżmy teraz, że istnieje takie ε > 0, że dla każdego n : F n (p) > ε, oraz ε jest największą możliwą taką liczbą. Innymi słowy ε = inf n N F n (p). Z własności przestrzeni R 2 wynika, że istnieje podciąg F n k (p) ciągu F n (p) zbieżny do pewnego q U, takiego, że q = ε. Z ciągłości F ciąg F (F n k (p)) jest zbieżny do F (q). Z udowodnionej już części twierdzenia mamy F (q) < q = ε, a zatem istnieje podciąg ciągu F n (p) zbieżny do pewnego punktu F (q) o własności F (q) < ε co oznacza że istnieje nieskończenie wiele wyrazów w ciągu F n (p) takich, że F n (p) < ε, co jest sprzeczne z założeniem.

10 ROZDZIAŁ 1. PRELIMINARIA 10 Mamy więc, że dla dowolnego ε > 0 istnieje N > 0 takie, że dla n > N : F n (p) ε, czyli ciąg F n (p) zbiega do zera. Twierdzenie Załóżmy, że p jest punktem stałym odpychającym odwzorowania F : R n R n. Istnieje wtedy otwarte otoczenie V punktu p, takie, że dla dowolnego x V zachodzi F n (x) p przy n. Szkic dowodu. Powyższe twierdzenie jest prostą konsekwencją poprzedniego twierdzenia i wzoru na normę różniczki odwzorowania odwrotnego. Niech G = F 1. Łatwo sprawdzić, że G spełnia założenia poprzedniego twierdzenia wobec czego istnieje otarty zbiór V zawierający p taki, że dla każdego x V mamy G n (x) p przy n co jest równoważne F n (x) p przy n. Zanim przejdziemy do rozważania sytuacji punktów siodłowych i zaprezentowania uogólnienia twierdzenia 1.15, które okazuje się dużo bardziej skomplikowana i stanowi treść następnego rozdziału (i główny temat tej pracy) przeanalizujemy kilka przykładów odwzorowań i ich zbiorów stabilnych. Chcemy w ten sposób pokazać, że poza udowodnionymi wyżej twierdzeniami, nie wiele można powiedzieć o geometrii tych zbiorów. We wszystkich prezentowanych przypadkach punkt (0, 0) będzie przyciągającym punktem stałym. Zbiory W s ((0, 0)) w każdym przypadku będą jednak posiadać inne (czasem dość zaskakujące) własności. Do przedstawiania graficznego tych zbiorów wykorzystano prosty program komputerowy, wobec czego należy liczyć się z tym, że ze względu na naturalne w tym przypadku błędy numeryczne, przedstawione obrazy mogą odbiegać nieco od rzeczywistości. Przykład Niech F : R 2 R 2 dane będzie wzorem F (x, y) = (x 2, y 2 ). Oczywiście F (0, 0) = (0, 0). Ponadto DF (x, y) = 2x 0, czyli DF (0, 0) jest macierzą zerową, 0 2y ma więc tylko jedną wartość własną równą zero. Punkt (0, 0) jest więc punktem stałym przyciągającym. Łatwo również napisać wzór ogólny na kolejne iteracji F. Ustalmy n N. Wtedy F n (x, y) = (x 2n, y 2n ). Aby więc zbadać, które punkty zbiegają do zera przy n wystarczy zbadać kiedy ciąg x 2n zbiega do zera. Łatwo sprawdzić, że dzieje się to dla x < 1. Zbiorem stabilnym zera jest więc otwarty kwadrat {(x, y) : x, y < 1}. Przykład Niech teraz F dane będzie nieco bardziej skomplikowanym wzorem F (x, y) = ( 1 2 x2 + 1y cos x+cos y, 2xy+ 1 sin xy). Podobnie jak poprzednio F (0, 0) = (0, 0) x + sin x Różniczka ma postać: DF (x, y) = sin y 2. 2y + 1 y cos xy 2x + Stąd DF (0, 0) = 1 x cos xy Macierz ta podobnie jak poprzednio ma dwukrotną wartość własną równą zero. Okazuje się jednak, że w odróżnieniu od poprzedniego przypadku zbiór stabilny ma 0 0 znacznie bardziej skompilowaną strukturę. Przedstawiono go na poniższej ilustracji. Choć

11 ROZDZIAŁ 1. PRELIMINARIA 11 nie podajemy tu formalnego dowodu, przeprowadzone symulacje sugerują, że brzeg tego zbioru jest fraktalem (czyli zbiorem o niecałkowitym wymiarze 1 ) Tu będzie rysunek. Przykład Niech teraz F dane będzie wzorem F (x, y) = (0.2x 2 +2y+0.3 sin xy, 0.25x+ xy cos 2 x + cos y). Podobnie jak w obu poprzednich przykładach F (0, 0) = (0, 0). Różniczka ma tym razem postać: DF (x, y) =. Stąd 0.4x + 0.3y cos xy x cos xy y + 2 cos x sin x x sin y DF (0, 0) = 0 2. Macierz ta ma dwie wartości własne λ 1,2 = ± 1. W tym przypadku zbiór stabilny (podobnie jak poprzedniego zobrazowany komputerowo) posiada jeszcze bardziej skomplikowaną strukturę. W szczególności (na tyle, na ile da się to odczytać z rysunku) jest niespójny. Tu będzie rysunek. Z powyższych przykładów widać więc, że zbiory stabilne przyjmują różne postaci. Od prostych (w sensie prostoty zobrazowania i przeanalizowania) zbiorów otwartych typu kwadrat, do tak zwanych dziwnych 2 zbiorów fraktalnych. 1 Zależnie od definicji może być to wymiar pudełkowy lub Hausdorffa. Niestety trudno znaleźć formalną definicję zbiorów fraktalnych w literaturze. Znacznie łatwiej znaleźć wypowiedź B. Mandelbrota, który mówi o tym, że takiej definicji nie ma. 2 W literaturze zazwyczaj pojęcie dziwny używane jest w kontekście atraktorów (ang. strange attractor).

12 Rozdział 2 Twierdzenie o rozmaitości stabilnej i niestabilnej Pod koniec poprzedniego rozdziału sformułowano twierdzenia opisujące zachowanie się punktów z bliskiego otoczenia punktów stałych przyciągających i odpychających. Celem tego rozdziału jest opisanie sytuacji punktów siodłowych. Będziemy starali się w pewnym sensie uogólnić twierdzenia podane dla odwzorowań liniowych, mówiące o pewnych podprzestrzeniach liniowych (stabilnej i niestabilnej). Okazuje się, że przypadku ogólnym, gdy patrzymy na odwzorowania w sposób lokalny, rolę podprzestrzeni liniowych przyjmują odpowiednie rozmaitości wymiaru takiego jaka jest krotność odpowiedniej wartości własnej. W pierwszej części tego rozdziału podamy i udowodnimy twierdzenie o lokalnej rozmaitości niestabilnej dla odwzorowań określonych na płaszczyźnie. W dalszej części rozdziału omówimy pokrótce twierdzenie o lokalnej rozmaitości stabilnej oraz pojęcia globalnych rozmaitości stabilnej i niestabilnej. Pokażemy też przykłady kilku odwzorowań i ich rozmaitości stabilnych i niestabilnych. 2.1 Twierdzenie o lokalnej rozmaitości niestabilnej Twierdzenie 2.1 (o lokalnej rozmaitości niestabilnej). Niech F : R 2 R 2 będzie odwzorowaniem klasy C 1, oraz p R 2 będzie punktem stałym siodłowym odwzorowania F. Istnieje wówczas ɛ > 0, oraz ciągła krzywa γ : ( ɛ, ɛ) R 2 taka, że: 1. γ(0) = p, 2. obraz γ jest niezmienniczy względem F 1, 3. F n (γ(t)) p przy n, 4. jeśli F n (q) p < ɛ dla wszystkich n 0 to istnieje t ( ɛ, ɛ) takie, że γ(t) = q. Krzywą γ nazywamy lokalną rozmaitością niestabilną w punkcie p. 12

13 ROZDZIAŁ 2. TWIERDZENIE O ROZMAITOŚCI STABILNEJ I NIESTABILNEJ 13 Uwaga 2.2. W wymiarach wyższych niż 2, krzywą γ należy zastąpić przez powierzchnię sparametryzowaną w okolicy p przez odwzorowanie φ: U R n, gdzie U jest otwartym podzbiorem R k, a k oznacza liczbę wartości własnych DF (p) większych co do modułu od 1. Do zrobienia - zmienić ten akapit: Zanim zaczniemy dowodzić powyższe twierdzenie pokrótce omówimy poszczególne własności krzywej γ, o której mowa w twierdzeniu. Punkty 1 i 2 mówią o ty, że krzywa γ jest krzywą regularną przechodzącą przez punkt p. Punkt 3 gwarantuje, że wektor styczny do krzywej γ w punkcie p jest również wektorem własnym pochodnej F w tym punkcie. Będziemy dalej mówić, że jest on wektorem własnym niestabilnym, bo odpowiada wartości własnej o module większym niż 1. Jeśli przyjmiemy, że γ oznacza obraz krzywej γ, to punkt 4 można zapisać jako γ = F 1 (γ ). Własność ta jest dla nas ważna ze względu na następne punkty, chcemy bowiem iterować odwzorowanie F 1 i musimy mieć pewność, że punkty z obrazu krzywej pozostaną w tym obrazie podczas kolejnych iteracji. Punkt 5 mówi o tym, że wszystkie punkty krzywej zbliżają się do p wraz z kolejnymi iteracjami F 1, co innymi słowy oznacza, że oddalają się od p wraz z iteracjami F, natomiast punkt 6 gwarantuje, że wszystkie punkty o tej własności są rzeczywiście punktami krzywej γ. Dowód. Zanim przejdziemy do właściwego dowodu zauważmy, że możemy wprowadzić kilka uproszczeń. Po pierwsze możemy założyć, że punkt p o którym mowa w treści twierdzenia jest zerem. Jeśli bowiem udowodnimy twierdzenie w tym przypadku, możemy przejść do przypadku ogólnego przez złożenie F z odpowiednim przesunięciem. Ponadto możemy zakładać, że macierz pochodnej DF (0) jest postaci: λ 0 0 µ, gdzie λ > 2, 0 < µ < 1 2. Jeśli bowiem tak nie jest, możemy zamiast F rozważać odwzorowanie F m, dla pewnego m, tak aby DF m (0) było tej postaci. łatwo sprawdzić, że krzywa uzyskana dla tego odwzorowania jest również dobra dla F. W dalszej części dowodu będziemy używać pewnych specyficznych oznaczeń, które będą pomocne przy zapisie kolejnych iteracji odwzorowania F. Niech q R 2. Będziemy pisać: F n (q) = (x n, y n ) dla n Z. W szczególności więc q = (x 0, y 0 ). Rozważać również będziemy wektory z przestrzeni stycznej T q R 2. Wektor taki zapisywać będziemy: (ξ 0, η 0 ) q, a jego iteracje przez DF (q) jako (ξ 1, η 1 ) F (q), czyli: DF (q) ξ 0 η 0 q = ξ 1 η 1 F (q) Istotne będą dla nas zbiory wektorów z przestrzeni stycznej spełniające pewne określone warunki. Zbiory te będziemy nazywać odpowiednia wiązką stabilną i niestabilną w punkcie

14 ROZDZIAŁ 2. TWIERDZENIE O ROZMAITOŚCI STABILNEJ I NIESTABILNEJ 14 q i definiujemy je jako: { S u (q) = (ξ 0, η 0 ) q : η 0 1 } 2 ξ 0 { S s (q) = (ξ 0, η 0 ) q : ξ 0 1 } 2 η 0 Przy powyższych oznaczeniach, łatwo pokazać, że odwzorowanie DF (0) zachowuje zbiór S u (0), w sensie v S u (0) DF (0)v S u (0). Dzieje się tak dlatego, że ξ 1 = λ ξ 0 > 2 ξ 0. Podobnie (DF (0)) 1 zachowuje S s (0), gdyż η 1 = µ 1 η 0 > 2 η 0. Ponieważ F jest klasy przynajmniej C 1, więc DF (x, y) zmienia się w sposób ciągły, czyli istnieje otoczenie zera, w którym powyższe własności są również spełnione. Oznacza to więc, że istnieje ɛ > 0, taki, że jeśli x, y ɛ, to: 1. DF (x, y) zachowuje S u (x, y) oraz (DF (x, y)) 1 zachowuje S s (x, y); 2. (ξ 0, η 0 ) S u (x, y) ξ 1 2 ξ 0 ; 3. (ξ 0, η 0 ) S s (x, y) η 1 2 η 0. Powyższe warunki opisują pewne specyficzne własności geometryczne odwzowoania F, które możemy określić jako zachowywanie wiązek stabilnych. Poniższej ilustracje prezentują te własności. q u S (q) F u DF(q)(S (q)) F(q) u S (F(q)) Rysunek 2.1: Własności geometryczne odwzorowania F (por. fig 6.7 z s. 225 w [2]). Dalsze rozważania ograniczamy do kwadratu B zadanego przez nierówności: x, y ɛ i skupimy się na analizie tzw. krzywych poziomych zawartych w tym kwadracie. Definicja 2.3 (krzywa pozioma). Niech ɛ > 0, oraz niech B = {(x, y) R 2 : x, y ɛ}. Mówimy, że krzywa γ leżąca w B jest pozioma (horyzontalna), jeśli γ(t) = (t, h(t)) oraz: 1. h jest zdefiniowana i ciągła dla wszystkich t spełniających t ɛ; 2. h(0) = 0; 3. t1,t 2 t 1, t 2 ɛ h(t 1 ) h(t 2 ) 1 t 2 1 t 2.

15 ROZDZIAŁ 2. TWIERDZENIE O ROZMAITOŚCI STABILNEJ I NIESTABILNEJ 15 Przez H oznaczmy zbiór wszystkich krzywych poziomych w ustalonym wcześniej kwadracie B. W zbiorze tym wprowadzamy metrykę (indukowaną przez normę supremum). Niech γ i (t) = (t, h i (t)) dla i = 1, 2 będą krzywymi z H, wówczas za odległość między γ 1 a γ 2 przyjmujemy: d[γ 1, γ 2 ] := sup h 1 (t) h 2 (t). t ɛ Zbiór H z tak zdefiniowaną metryką d jest przestrzenią metryczną zupełną, ponieważ jest on homeomorficzny ze zbiorem H = {h C[ ɛ, ɛ] : γ(t) = (t, h(t)) H}. Zbiór H jest domkniętym podzbiorem wszystkich ciągłych przekształceń odcinka [ ɛ, ɛ] w siebie, a zatem jest przestrzenią zwartą. Wobec tego H jest przestrzenią zupełną. Lemat 1. Niech γ H. Wtedy zbiór będący przekrojem kwadratu B oraz obrazu krzywej γ przy odwzorowaniu F jest obrazem krzywej poziomej (innymi słowy istnieje krzywa pozioma, której obraz jest tym zbiorem). Dowód. Niech γ będzie krzywą poziomą daną wzorem γ(t) = (t, h(t)). Zauważmy, że jeśli (x 1, y 1 ) = F (ɛ, h(ɛ)), to x 1 2ɛ, co wynika z faktu, że ξ 1 2 ξ 0. Podobnie, jeśli (x 1, y 1 ) = F ( ɛ, h( ɛ)), to x 1 2ɛ. Wobec tego spełniony jest pierwszy z warunków z definicji krzywej poziomej. Oczywiście z warunku F (0, 0) = (0, 0) wynika, że obraz krzywej poziomej przechodzi przez początek układu współrzędnych, co gwarantuje spełnienie warunku drugiego z definicji krzywej poziomej. Załóżmy teraz, że (x 0, y 0 ), (x 0, y 0) są takimi punktami na F (x, h(x)), że y 0 y 0 > 1 2 x 0 x 0. Zakładamy więc, że obraz krzywej poziomej nie spełnia trzeciego warunku z definicji krzywej poziomej. Niech α 1, α 2 będą taki, że (x 0, y 0 ) = F (α 1, h(α 1 )) oraz (x 0, y 0) = F (α 2, h(α 2 )). Niech l będzie odcinkiem łączącym punkt (α 1, h(α 1 )) z punktem (α 2, h(α 2 )). Zauważmy, że w każdym punkcie odcinka l wektor do niego styczny leży w zbiorze S u (0). Odwzorowanie F przekształca odcinek l w krzywą gładką l F, która łączy punkty (x 0, y 0 ) i (x 0, y 0). Z wniosku z twierdzenia Lagrange o wartości średniej (wniosek 1.7), zastosowanego do złożenia l z F wynika, że istnieje punkt na krzywej l F, w którym wektor styczny ma nachylenie większe niż 1, co jednak jest w sprzeczności z doborem 2 ɛ, który był wybrany tak aby DF zachowywało wiązki styczne. Wobec tego wiemy, że również warunek trzeci definicji krzywej poziomej musi być spełniony. Niech Φ będzie odwzorowaniem przestrzeni H w siebie, przyporządkowującym krzywej γ H jej obraz przy przekształceniu F. Zgodnie z powyższym faktem, odwzorowanie Φ jest dobrze określone. Lemat 2. Odwzorowanie Φ jest zwężające, to znaczy, że istnieje liczba c < 1 taka, że dla dowolnych krzywych poziomych γ 1, γ 2 zachodzi d[φγ 1, Φγ 2 ] cd[γ 1, γ 2 ].

16 ROZDZIAŁ 2. TWIERDZENIE O ROZMAITOŚCI STABILNEJ I NIESTABILNEJ 16 Dowód. Niech γ 1, γ 2 będą krzywymi poziomymi postaci γ i (t) = (t, h i (t)), oraz t 0 liczbą rzeczywistą spełniającą t 0 < ɛ. Załóżmy, że Φγ 2 (t 0 ) Φγ 1 (t 0 ) h 2 (t) h 1 (t) dla wszystkich t < ɛ. Niech l będzie odcinkiem łączącym punkt Φγ 1 (t 0 ) z punktem Φγ 2 (t 0 ). Wtedy krzywa zadana przez F 1 (l) łączy punkt γ 1 (τ 1 ) z γ 2 (τ 2 ) dla pewnych τ 1, τ 2. Ponieważ DF 1 zachowuje wiązkę stabilną S s w każdym punkcie l, więc wektory styczne do F 1 (l) leżą w wiązce stabilnej w punkcie γ 1 (τ 1 ). Wynika stąd, że sama krzywa F 1 (l) leży w stożku o wierzchołku γ 1 (τ 1 ) ograniczonym liniami o nachyleniu ±2. Stąd w szczególności wynika, że: h 2 (τ 2 ) h 1 (τ 1 ) τ 2 τ 1 2. (2.1) Ponadto DF 1 działając na wektory styczne, powiększa ich drugie współrzędne nie mniej niż dwukrotnie. Mamy stąd: h 2 (τ 2 ) h 1 (τ 1 ) 2 Φγ 2 (t 0 ) Φγ 1 (t 0 ). (2.2) Zauważmy, że założenie h 2 (τ 1 ) h 1 (τ 1 ) Φγ 2 (t 0 ) Φγ 1 (t 0 ) w połączeniu z powyższą nierównością prowadzi do: Z własności normy możemy napisać: Wykorzystując (2.3) mamy dalej: 1 2 h 2(τ 2 ) h 1 (τ 1 ) h 2 (τ 1 ) h 1 (τ 1 ) (2.3) h 2 (τ 2 ) h 2 (τ 1 ) = h 2 (τ 2 ) h 1 (τ 1 ) + h 1 (τ 1 ) h 2 (τ 1 ) h 2 (τ 2 ) h 1 (τ 1 ) h 2 (τ 1 ) h 1 (τ 1 ) 1 2 h 2(τ 2 ) h 1 (τ 1 ) τ 2 τ 1, przy czym ostatnia nierówność wynika z (2.1). Uzyskaliśmy więc: h 2 (τ 2 ) h 2 (τ 1 ) τ 2 τ 1 co jest w sprzeczności z definicją krzywej poziomej. Założenie Φγ 2 (t 0 ) Φγ 1 (t 0 ) h 2 (t) h 1 (t), dla wszystkich t < ɛ, doprowadziło nas do sprzeczności. Zauważmy, że założenie to jest równoważne zaprzeczeniu warunku z treści twierdzenia. Zaprzeczenie definicji odwzorowania zwężającego ma bowiem postać: c<1 γ1,γ 2 d[φγ 1, Φγ 2 ] > cd[γ 1, γ 2 ],

17 ROZDZIAŁ 2. TWIERDZENIE O ROZMAITOŚCI STABILNEJ I NIESTABILNEJ 17 co jest równoważne: γ1,γ 2 d[φγ 1, Φγ 2 ] d[γ 1, γ 2 ], korzystając z definicji d mamy dalej: γ1,γ 2 t ɛ sup Φγ 1 (t 0 ) Φγ 2 (t 0 ) h 2 (t) h 1 (t), t 0 ɛ co z własności supremum jest równoważne: γ1,γ 2 t ɛ t0 ɛ Φγ 1 (t 0 ) Φγ 2 (t 0 ) h 2 (t) h 1 (t). Jest to dokładnie to co założyliśmy na początku i co doprowadziło nas do sprzeczności. Wobec tego musi być: c<1 γ1,γ 2 d[φγ 1, Φγ 2 ] cd[γ 1, γ 2 ], czyli Φ jest zwężające. Stosując twierdzenie Banach o punkcie stałym dla Φ otrzymujemy krzywą poziomą γ u, która jest jedynym punktem stałym tego odwzorowania. Krzywa γ u jako krzywa pozioma oczywiście przechodzi przez punkt 0 (dla t = 0). Ponadto jeśli punkt (x 0, y 0 ) należy do obrazu krzywej, oraz x 0 0, to z pewnością x 1 > x 0 (DO ZROBIENIA: wyjaśnić dlaczego tak jest!). Stąd podczas iterowania F punkty krzywej γ u albo opuszczają kwadrat B albo oddalają się od zera wzdłuż krzywej. Stąd oczywiście obraz krzywej γ u zawarty jest w zbiorze niestabilnym W u (0). Lemat 3. Niech (x 0, y 0 ) będzie takim punktem B, który nie leży na krzywej γ u. Istnieje wówczas n > 0 takie, że F n (x 0, y 0 ) leży poza B. Dowód. Niech l będzie odcinkiem pionowym łączącym punkt (x 0, y 0 ) z punktem na obrazie krzywej γ u. Krzywa γ u jest poziomowa więc punkt ten wyznaczony jest jednoznacznie i ma współrzędne (x 0, h u (x 0 )). Ponieważ DF 1 powiększa drugą współrzędną wektorów stycznych do l przynajmniej dwukrotnie, to długość krzywej F 1 (l) wzrasta przynajmniej dwukrotnie w stosunku do l, co wynika stąd, że odcinek l leży w wiązce stabilnej S s w punkcie (x 0, h u (x 0 )). Wobec tego odpowiednio wiele iteracji F 1 przeniesie punkt (x 0, y 0 ) poza kwadrat B. Sprawdzić: jak wykluczyć sytuację, że krzywa, która powstaje w ten sposób nie jest np jakąś zwijająca się, coraz dłuższą spiralą?! Z powyższego lematu i wcześniejszych komentarzy na temat γ u wynika, że jest ona dokładnie lokalną rozmaitością niestabilną w zerze. Na początku dowodu poczyniliśmy pewne założenie odnośnie F z komentarzem, że jeśli nie są one spełnione, można wziąć zamiast F pewną iterację F m i otrzymana w ten sposób rozmaitości niestabilna jest również dobra dla F. Sprawdzimy teraz, że tak rzeczywiście jest.

18 ROZDZIAŁ 2. TWIERDZENIE O ROZMAITOŚCI STABILNEJ I NIESTABILNEJ 18 Wiemy, że istnieje krzywa γ u niezmiennicza względem F m. Jeśli γ u nie jest również F 1 -niezmiennicza, to przynajmniej F 1 (γ u ) też jest F m -niezmienniczy, bo: F m (F 1 (γ u )) = F m (F 1 (F m (γ u ))) = F m 1+m (γ u ) = F 1 (γ u ). Ponieważ jednak γ u było wyznaczone jednoznacznie więc jest jedyną niestabilną krzywą niezmienniczą względem F m, więc γ u musi być F 1 -niezmiennicza. Z dotychczasowych rozważań wynika, że γ u jest lokalną rozmaitością niestabilną dla F. Uwaga 2.4. Można pokazać, że jeśli F jest klasy C r, r > 0, to również γ jest klasy C r. Szkic dowodu dla r = 1. Korzystamy tu z tych samych oznaczeń i definicji co w dowodzie twierdzenia o lokalnej rozmaitości niestabilnej. Zdefiniujmy na początku pole linii poziomych jako parę funkcji ζ(x) = (γ(x), M(x)), gdzie γ jest pewną krzywą poziomą, a M jest funkcją ciągłą o wartościach rzeczywistych, taka, że M(x) 1 dla x ɛ. Funkcję 2 ζ interpretujemy geometrycznie jako krzywą γ wraz z doczepionymi prostymi (bądź odcinkami) przechodzącymi przez punkty γ(x) o nachyleniu M(x). Ponieważ założyliśmy, że M(x) 1 2 więc wektor kierunkowy każdej takiej prostej należy do Su. Oznaczmy przez H 1 zbiór wszystkich pól linii poziomych w B. Na H 1 określamy metrykę wzorem: d[ζ 1, ζ 2 ] = sup( γ 1 (x) γ 2 (x), M 1 (x) M 2 (x) ). x ɛ Definiujemy również rozszerzoną wersję przekształcenia Φ, które dane będzie wzorem: Φ 1 (ζ) = (Φγ, ˆM) gdzie ζ = (γ, M), Φ było zdefiniowane wcześniej natomiast ˆM jest nachyleniem prostej o współczynniku M przekształconej przez DF. Dokładniej, jeśli γ(x) = (t, h(x)) i v jest wektorem o nachyleniu M(x), to ˆM jest nachyleniem wektora DF (γ(x))v. Tak zdefiniowane Φ 1 jest przekształceniem H 1 w siebie (odwzorowanie DF zachowuje wiązki S u, czyli jeśli M(x) 1, to również 2 ˆM(x) 1. Ponadto można pokazać, że 2 jeśli ζ 1 = (γ, M 1 ), ζ 2 = (γ, M 2 ) są polami linii poziomych opartymi na tej samej krzywej poziomej, to zachodzi: d[φ 1 ζ 1, Φ 1 ζ 2 ] < d[ζ 1, ζ 2 ]. Z tego, oraz z faktu, że Φ jest kontrakcją, można wywieść, że Φ 1 posiada dokładnie jeden punkt stały w H 1. Punkt ten jest postaci ζ u = (γ u, M u ), gdzie γ u jest krzywą wyznaczoną w dowodzie twierdzenia. Można pokazać, że M u (x) jest nachyleniem wektora stycznego do γ u w punkcie x. Zrobić to!.

19 ROZDZIAŁ 2. TWIERDZENIE O ROZMAITOŚCI STABILNEJ I NIESTABILNEJ 19 Uwaga 2.5. Dodatkowo można pokazać, że krzywa uzyskana w sposób przedstawiony w poprzednim dowodzie jest regularna, to znaczy γ (t) 0 dla wszystkich t ( ɛ, ɛ). Można też pokazać, że γ (0) jest wektorem własnym DF (p) odpowiadającym wartości własnej o większym module. 2.2 Twierdzenie o lokalnej rozmaitości stabilnej Do zrobienia: poprawić treść. Twierdzenie 2.6 (o lokalnej rozmaitości stabilnej). Niech F : R 2 R 2 będzie odwzorowaniem klasy C 1, oraz p R 2 będzie punktem stałym siodłowym odwzorowania F. Istnieje wówczas ɛ > 0, oraz krzywa γ : ( ɛ, ɛ) R 2 klasy C 1, taka, że: 1. γ(0) = p, 2. dla każdego t ( ɛ, ɛ) zachodzi γ (t) 0, 3. wektor γ (0) jest wektorem własnym odwzorowania DF (p) odpowiadającym wartości własnej o module mniejszym niż 1, 4. obraz γ jest niezmienniczy względem F, 5. F n (γ(t)) p przy n, 6. jeśli F n (q) p < ɛ dla wszystkich n 0 to: t ( ɛ,ɛ) γ(t) = q. Krzywą γ nazywamy lokalną rozmaitością stabilną w punkcie p. Do zrobienia: Komentarz o dowodzie i komentarz o transwersalności rozmaitości stabilnej i niestabilnej w punkcie p. 2.3 Globalna rozmaitość stabilna i niestabilna Definicja 2.7 (rozmaitość niestabilna i stabilna). Niech p będzie punktem stałym hiperbolicznym odwzorowania F, oraz niech γ u będzie lokalną rozmaitością niestabilną w punkcie p. Rozmaitość niestabilną w punkcie p, oznaczmy W u (p) i definiujemy: W u (p) = n>0 F n (γ u ).

20 ROZDZIAŁ 2. TWIERDZENIE O ROZMAITOŚCI STABILNEJ I NIESTABILNEJ 20 Analogicznie, jeśli γ s jest lokalną rozmaitością stabilną w punkcie p, to rozmaitość stabilną W s (p) definiujemy: W s (p) = n>0 F n (γ s ). 2.4 Przykłady Tu będzie: przykład 6.7, 6.8, 6.9 z Devaneya s

21 Rozdział 3 Teoria globalna i zbiory hiperboliczne Tu będzie: następny rozdział z Devaneya + center manifolds. 21

22 Bibliografia [1] Marceli Stark Andrzej Mostowski. Algebra liniowa, wydanie trzecie. PWN, [2] Robert L. Devaney. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Second Edition. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, [3] Saber N. Elaydi. Discreet Chaos. Chapman and Hall / CRC, [4] P. Hartman. Ordinary Differential Equations. John Wiley and Sons, New York, [5] H. Kocak J. Hale. Dynamics and Bifurcations. Springer-Verlag, [6] Kazimierz Kuratowski. Rachunek różniczkowy i całkowy. PWN, [7] Stefano Luzzatto Mark Holland. A new proof of the stable manifold theorem for hyperbolic fixed points on surfaces. Journal of Difference Equations and Applications, 11(6), maj [8] Robert L. Devaney Morris W. Hirsch, Stephen Smale. Differential equations, dynamical systems and an introduction to chaos. Elssevier, [9] Lawrrence Perko. Differential Equations and Dynamical Systems. Springer, [10] Clark Robinson. Dynamical Systems, Stability, Symbolic Dynamics and Chaos Second Edition. CRC Press, [11] Walter Rudin. Analiza rzeczywista i zespolona. PWN, [12] Karol Sieklucki Ryszard Engelking. Wstęp do topologii. PWN, [13] Tadeusz M. Sękowski. Zagadnienia matematycznej teorii chaosu. Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin, [14] Wiesław Szlenk. Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych. PWN,