MECHANIKA OGÓLNA Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2016/2017 Licba godin: sem. II *) - wkład 30 god., ćwicenia 30 god. sem. III *) - wkład 30 god., ćwicenia 30 god. (kier. IMM ćwicenia 15 god.) *) egamin Wkładając: prof. dr hab. inż. Edmund Wittbrodt Katedra Mechaniki i Mechatroniki p. 101 (sekretariat p. 102) WM Ćwicenia tablicowe: mgr inż. Gregor Banasek, mgr inż. Krstof Bobrowski, mgr inż. Bartłomiej Bondarcuk, mgr inż. Mateus Glass, mgr inż. Jan Kapliński, mgr inż. Adrian Orechowski, mgr inż. aweł Załuski rof. Edmund Wittbrodt
Charakterstka predmiotu Mechanika ogólna jest predmiotem podstawowm, prgotowującm do studiowania innch predmiotów teoretcnch, takich jak np.: Wtrmałość Materiałów, Mechanika łnów, Termodnamika, odstaw Konstrukcji Masn, Teoria Masn i Mechanimów, odstaw Automatki, Robotka. odcas ajęć studenci aponają się podstawowmi prawami mechaniki ora ucą się rowiąwania adań praktcnch. owiąanie innmi predmiotami Koniecna jest najomość fiki i matematki na poiomie skoł średniej, w tm scególnie: geometrii i trgonometrii, rachunku różnickowego (niejednorodne równania różnickowe wcajne I i II rędu), rachunku wektorowego i macierowego. Egamin jest pisemn, a sprawdeniu podlega najomość teorii, w tm podstawowch twierdeń, asad i wprowadeń worów, a także rowiąwania adań. rof. Edmund Wittbrodt
rogram ramow A. Wkład Mechanika I Wstęp: Organiacja ajęć i literatura predmiotu. Rs historcn. Mechanika, jej rola i podiał. Modelowanie w mechanice: układ recwist, model ficn, model matematcn, ciało idealnie stwne, punkt materialn, siła skupiona. Wielkości skalarne i wektorowe. rawa Newtona. ojęcia pierwotne i aksjomat. Wpadkowa bieżnego układu sił. Moment sił wględem punktu i wględem osi (2). Wpadkowa dwóch sił równoległch. ara sił i jej moment. Moment wpadkowej bieżnego i równoległego układu sił. Równoważne układ sił. Stopnie swobod, wię i ich reakcje. Sił i ich źródła. Sił: cnne i bierne, ewnętrne i wewnętrne (2). Statka: ojęcia podstawowe. Siła główna i moment główn. Niemienniki mechaniki. Warunki równowagi dowolnego prestrennego układu sił. Warunki równowagi dla scególnch prpadków prestrennch układów sił: bieżne i równoległe (2). Warunki równowagi płaskiego układu sił: dowolnego, bieżnego i równoległego. Warunki równowagi sił diałającch na jednej prostej. Reguła dwóch i reguła trech sił (2). Zastępce warunki równowagi. Zasada nieależności diałania sił asada superpocji (2). Siła ciężkości, środek ciężkości i pojęcie momentu statcnego (2). Sił oporu. Tarcie posuwiste (2). Tarcie cięgien i opor tocenia (2). Kratownice. Układ statcnie wnacalne, niewnacalne i chwiejne (2). Kinematka: ojęcia podstawowe kinematki punktu: położenie, prędkość i prspiesenie, równania ruchu. Opis ruchu punktu we współrędnch wektorowch (2). Opis ruchu we współrędnch prostokątnch (kartejańskich) i naturalnch (normalnch), prspiesenie stcne i normalne (2). Opis ruchu punktu we współrędnch biegunowch (2). Scególne prpadki ruchu punktu. Ruch prostoliniow, w tm: jednostajn i jednostajnie prspieson, harmonicn. Ruch tłoka mechanimu korbowo-wodikowego (2). Ruch na płascźnie, w tm: rut ukośn, ruch punktu po okręgu i elipsie. Ruch prestrenn (2). Kinematka brł. ojęcia podstawowe: położenie, prędkość i prspiesenie kątowe brł ora prędkość i prspiesenie punktu brł. Zależności pomięd prędkościami punktów należącch do brł stwnej. Scególne prpadki ruchu brł: ruch postępow i ruch obrotow (2). rof. Edmund Wittbrodt
Mechanika II Ruch płaski. Ruch płaski jako łożenie ruchu postępowego i obrotowego. ojęcie chwilowego środka prędkości. rędkość punktu brł w ruchu płaskim (2). rspiesenie brł i punktu brł w ruchu płaskim. ojęcie chwilowego środka prspiesenia (2). Kinematka prekładni: ębatch, ciernch, pasowch i planetarnch (2). Ruch wględn. rspiesenie Coriolisa (2). Dnamika: ojęcia podstawowe dnamiki punktu materialnego. Równania różnickowe ruchu punktu we współrędnch: wektorowch, prostokątnch, naturalnch i biegunowch. Tp adań w dnamice (2). Scególne prpadki równań ruchu: ruch prostolinijn, rut ukośn, swobodne spadanie uwględnieniem oporów, ruch harmonicn, wahadło matematcne (2). Zasad mechaniki. Zasada d Alemberta. Zasada pędu i popędu. Zasada achowania pędu. Zasada krętu i pokrętu. Zasada achowania krętu (2). Zasada prac i energii. Różnickowa postać asad energii. Zasada achowania energii mechanicnej. raca stałej sił na prostoliniowm premiesceniu ora sił miennej na krwoliniowm premiesceniu. Moc sił. otencjał (2). Dnamika układu punktów materialnch. raca sił diałającch na układ punktów materialnch. ojęcia podstawowe dnamiki brł. Geometria mas: masa, środek mas, masowe moment bewładności (biegunowe, osiowe, płascnowe i dewiacjne) (2). Twierdenie Steinera. Główn układ bewładności i główne moment bewładności (2). Równania różnickowe ruchu postępowego, obrotowego i płaskiego brł (2). ęd brł w ruchu postępowm, obrotowm i płaskim. Kręt brł w ruchu postępowm, obrotowm i płaskim. Energia kinetcna brł w ruchu postępowm, obrotowm i płaskim. Zastosowanie asad d Alemberta do oblicania reakcji łożsk wirników. Wważanie wirników (2). Żroskop. Zderenia środkowe proste i ukośne, środek uderenia (2). Element mechaniki analitcnej. resunięcie prgotowane. Zasada d Alemberta, asada prac prgotowanch (2). Współrędne i sił uogólnione. Równania Lagrange a II rodaju (2). rof. Edmund Wittbrodt
B. Ćwicenia Mechanika I Wielkości skalarne i wektorowe. Rut wektora na oś. Rachunek wektorow: dodawanie, odejmowanie, ilocn skalarn i wektorow dwóch wektorów (2). Wpadkowa układu sił diałającch na brłę. Moment wektora sił wględem punktu i wględem osi (2). Statcna wnacalność układów mechanicnch. Redukcja układu sił do sił głównej i momentu (2). Równowaga układów sił: płaskich, bieżnch i równoległch, a także reguła dwóch i trech sił diałającch na brłę (2). Równowaga prestrennch układów sił diałającch na brł. Zastępce warunki równowagi (2). Oblicanie położenia środka ciężkości (2). Kolokwium I (2). Tarcie posuwiste (2). Tarcie cięgien i opor tocenia (2). Oblicanie kratownic metoda analitcna, metoda prekroi Rittera (2). Oblicanie toru, prędkości i prspieseń punktu we współrędnch prostokątnch (kartejańskich) i naturalnch (2). Oblicanie toru, prędkości i prspieseń punktu we współrędnch biegunowch (2). Oblicanie prędkości i prspieseń punktu w ruchu po okręgu, elipsie, w rucie ukośnm (2). Oblicanie prędkości i prspieseń brł ora punktu brł w ruchu postępowm i obrotowm brł (2). Kolokwium II (2). Mechanika II rędkość brł i punktu brł w ruchu płaskim. Chwilow środek prędkości. Zastosowanie twierdeń dotcącch pola prędkości punktów brł (2). rspiesenie brł i punktu brł w ruchu płaskim. ojęcie chwilowego środka prspieseń. Zastosowanie twierdeń dotcącch pola prspieseń punktów brł(2). Kinematka prekładni ębatch, ciernch i pasowch (2). Kinematka prekładni planetarnch (2). Ruch wględn. rspiesenie Coriolisa (2). Równania dnamiki punktu materialnego na podstawie praw Newtona (1). Kolokwium I (1). Określanie i rowiąwanie równań dnamiki punktu we współrędnch: wektorowch, prostokątnch, naturalnch i biegunowch (2). Zasad dnamiki punktu materialnego. Zasada d Alemberta. Zasada pędu i popędu. Zasada achowania pędu. Zasada krętu i pokrętu. Zasada achowania krętu (2). Zasada prac i energii punktu materialnego. Różnickowa postać asad energii. Zasada achowania energii mechanicnej. raca stałej sił na prostoliniowm premiesceniu ora sił miennej na krwoliniowm premiesceniu. Moc sił. otencjał (2). Dnamika układu punktów materialnch. Oblicanie masowch momentów bewładności (2). Twierdenie Steinera. Główn układ bewładności i główne moment bewładności (2). Równania dnamiki w ruchu postępowm, obrotowm i płaskim brł (2). Zasada d Alemberta w oblicaniu reakcji dnamicnch łożsk wirników (2). Żroskop. Zderenia środkowe proste i ukośne, środek uderenia (2). Zasada prac prgotowanch. Równania Lagrange a II rodaju (1). Kolokwium II (1). rof. Edmund Wittbrodt
Literatura 1. Wittbrodt E., Sawiak S.: Mechanika ogólna. Teoria i adania. Wdawnictwo olitechniki Gdańskiej, Gdańsk 2017 (wd. VI) 2. Awrejcewic J.: Mechanika. WNT, Warsawa 2007 3. Leko J.: Mechanika ogólna, t. l i 2, WN, Warsawa 1980 4. Osiński Z.: Mechanika ogólna, t. l i 2, WN, Warsawa 1987 5. Ożóg M.: Zbiór adań mechaniki wra rowiąaniami. Skrpt Akademii Rolnico Technicnej w Olstnie, t. l, 2 i 3, 1977 6. Misiak J.: Zbiór adań mechaniki technicnej. Skrpt WSI w Radomiu, t. 1 (statka i kinematka) i t. 2 (dnamika) 7. Misiak J.: Zadania mechaniki ogólnej. WNT Warsawa 1992. C. I (statka), c. II (kinematka) i c. III (dnamika) 8. Niegodiński T.: Mechanika ogólna. WNT, Warsawa 1999 9. Niioł J.: Metodka rowiąwania adań mechaniki. WNT, Warsawa 2002 10. Sawiak S., Wittbrodt E.: Mechanika. Wbrane agadnienia. Teoria i adania. Wd. G, Gdańsk 2007 rof. Edmund Wittbrodt
Strona główna olitechniki Gdańskiej (pg.edu.pl) Wdiał Mechanicn Katedra Mechaniki i Mechatroniki Ddaktka rof. dr hab. inż. Edmund Wittbrodt, prof. w. G Mechanika I Materiał podielone są na bloki 2-godinne: Wkład 1 Wkład 15 Zadania (prkładowe egaminacjne): Zadanie 1 Zadanie 5 Mechanika II Materiał podielone są na bloki 2-godinne: Wkład 1 Wkład 15 Zadania (prkładowe egaminacjne): Zadanie 1 Zadanie 5 Mechanika III Materiał podielone są na bloki 1-godinne: Wkład 1 Wkład 15 lub bepośrednio: http://mech.pg.edu.pl/katedra-mechaniki-i-mechatroniki/ material rof. Edmund Wittbrodt
WSTĘ DO MECHANIKI rof. Edmund Wittbrodt
Rs historcn mechaniki Rs historcn mechaniki predstawion jest w olbrmim skrócie, wmieniając jednie wbrane, najistotniejse dokonania, pocąws od starożtności po cas współcesne. ocątki rowoju Arstoteles (384 322 p.n.e.) starożtn Babilon i Egipt, gdie stosowano masn proste pr budowie piramid filoof, teoria materii, prace dotcące masn prostch (dźwignic), stosowanch w technice ubrojenia i budownictwie Archimedes fik i matematk; składanie i rokładanie sił równoległch, teoria dźwignic, (287 212 p.n.e.) środki ciężkości figur geometrcnch i brł Leonardo da Vinci (1452 1519) malar, architekt, teoretk i technik; równia pochła, tarcie, bloki Mikołaj Kopernik (1473 1543) astronom i matematk; trgonometria, problem układów odniesienia rof. Edmund Wittbrodt
Galileo Galilei (Galileus) fik, astronom i filoof; pojęcie prspiesenia, prawa spadania ciał, (1564 1642) scególn prkład prawa bewładności, sił tarcia, problem wahadła, umiejętność wciągania racjonalnch wniosków doświadceń Johannes Kepler (1571 1630) fik, astronom i filoof; prawa ruchu planet Rene Descartes (Kartejus) filoof i matematk; asada achowania pędu (1596 1650) Chrstian Hugens fik, astronom i matematk; teoria wahadła ficnego, (1629 1695) prspiesenie w ruchu krwoliniowm Isaac Newton fik i matematk; twórca mechaniki klascnej wanej, (1643 1727) od jego nawiska, newtonowską, podał teoretcne podstaw mechaniki ogólnej ściśle oparte na doświadceniu, asad dnamiki, prawo powsechnego ciążenia, rachunek różnickow i całkow nieależnie od Leibnia rof. Edmund Wittbrodt
ierre Varignon mechanik i matematk; pojęcie momentu sił, wielobok snurow, (1654 1722) asad równowagi bieżnego i równoległego układu sił Johann Bernoulli matematk i fik; pojęcie energii kinetcnej, (1667 1748) mechanika analitcna Leonard Euler matematk, fik i astronom; analitcne metod rowiąwania agadnień ruchu, (1707 1783) obrót ciała stwnego wokół nieruchomego punktu Jean d'alembert filoof, matematk i fik; astosowanie asad (1717 1783) obowiąującch w statce do dnamiki, mechanika analitcna Joseph Louis Lagrange (1736 1813) matematk i mechanik; twórca mechaniki analitcnej rof. Edmund Wittbrodt
Ma lanck (1858 1947) aul Dirac (1902 1984) fic; twórc mechaniki kwantowej Albert Einstein (1879 1955) fik; twórca scególnej i ogólnej teorii wględności (mechaniki relatwistcnej) Mechanika ogólna traci ważność w prpadku, gd badane ciała porusają się prędkością bliżoną do prędkości światła (310 8 m/s). rędkości takie w agadnieniach inżnierskich budow masn w asadie nie wstępują. rof. Edmund Wittbrodt
Mechanika, jej rola i podiał Mechanika jest diałem fiki, ajmującm się badaniem ruchu ciał materialnch i ich mechanicnego, wajemnego oddiałwania. Dscplina ta ma dwojakie nacenie: 1) dostarca pewnej sum wiadomości potrebnch następnie w praktce awodowej, wględnie pr studiowaniu innch dscplin; 2) stanowi jednoceśnie wdrożenie umsłu prsłego inżniera do adań, które ten będie musiał rowiąwać w swojej prac (uc ścisłego mślenia). Mechanika jest pierwsą dscpliną, w której wstępują tak ważne w praktce inżnierskiej element (umiejętności) jak: 1) astępowanie realnch cęści masn układami tworów abstrakcjnch (np. astępowanie prętów, pregubów, kół ębatch odpowiednio odcinkami, punktami, brłami stwnmi); 2) pomijanie mniej istotnch cnników (jawisk); 3) opiswanie danego problem a pomoc równań matematcnch; 4) rowiąwanie powżsch równań. Ze wględu na trudności matematcne, prawa mechaniki w swojej użtkowej formie podlegają nacnm ograniceniom, a mimo to są jednmi najogólniejsch praw prrod, stosowanmi pre inżnierów. Mechanika jest jedną podstawowch nauk, na której opierają się inne dscplin: wtrmałość materiałów, podstaw konstrukcji masn, teoria sprężstości i plastcności, hdromechanika i aeromechanika, teoria skrawania, preróbka plastcna i wsstkie nauki konstrukcjne, a nawet termodnamika ora metalonawstwo. rof. Edmund Wittbrodt
Tematem wkładu jest mechanika ogólna wana również mechaniką klascną, teoretcną lub newtonowską. odiał mechaniki predstawiono na poniżsm rsunku. odiał mechaniki na statkę, kinematkę i dnamikę jest podiałem e wględów ddaktcnch. Mechanika Mechanika ciała stałego (stereomechanika) Mechanika płnów Mechanika ciec (hdromechanika) Mechanika gaów (aeromechanika) Mechanika ciała nieodkstałcalnego (mechanika ogólna lub klascna) Mechanika ciała odkstałcalnego (teoria sprężstości i plastcności, wtrmałość materiałów, reologia) Statka Kinematka Dnamika odiał mechaniki Statka ajmuje się równowagą ciał, kinematka ajmuje się matematcnm opisem ruchu ciał be wnikania w prcn wwołujące ten ruch, natomiast dnamika ajmuje się ruchem ciał pod wpłwem diałającch sił. rof. Edmund Wittbrodt
Modelowanie w mechanice Konstrukcja recwista błęd uprosceń modelu ficnego model ficn błęd wiąane uprosceniami w równaniach model matematcn obsar, którm ajmuje się mechanika błęd wnikające uprosceń stosowanch pr rowiąwaniu (metod numercne, iteracjne itp.) mian werfikacja wników obliceń wnikami pomiarów w konstrukcji recwistej + stop Schemat procesu modelowania rof. Edmund Wittbrodt
Konstrukcją recwistą nawam realn obiekt, któr analiujem, łącnie jego obciążeniem. Modelem ficnm nawam pewne uproscenie konstrukcji recwistej. Model ten powinien dostatecnie dokładnie odwierciedlać jawiska achodące w badanm obiekcie, a jednoceśnie bć możliwie prost do opisu matematcnego. Model ficn, stosowan w mechanice ogólnej, może międ innmi awierać następujące pojęcia abstrakcjne: brł idealnie stwne, punkt materialne, c sił skupione. Brłą idealnie stwną nawam ciało, które pod diałaniem dowolnie wielkich sił nie odkstałca się. unktem materialnm nawam punkt o erowch wmiarach posiadając jednak masę. Siłą skupioną nawam siłę prłożoną do punktu o erowch wmiarach. Modelem matematcnm nawam analitcn opis badanch jawisk achodącch w modelu ficnm. Są to wor matematcne usstematowane w pewien algortm, powalając rowiąać problem. rof. Edmund Wittbrodt
W praktce a ciało doskonale stwne prjmuje się takie, którego odkstałcenie w stosunku do wmiarów jest pomijalne. Wjątkowo, w obliceniach statcnch, każde ciało można uważać a stwne po jego odkstałceniu (asada estwnienia, por. rs.). ciało traktowane jako stwne po odkstałceniu Zasada estwnienia Jeżeli na ciało diałają sił, którch linie diałania precinają się w jednm punkcie (bieżn układ sił), to możem to ciało traktować jako punkt materialn. W praktce cęsto traktujem jako punkt materialn ciała o małch wmiarach, dla którch linie diałania sił w prbliżeniu precinają się w jednm punkcie. rof. Edmund Wittbrodt
rof. Edmund Wittbrodt
WIELKOŚCI SKALARNE I WEKTOROWE Wielkości skalarne wielkości ficne, do określenia którch wstarc podanie ich wartości Np.: temperatura, gęstość, cas, objętość, energia, praca... Wielkości wektorowe wielkości ficne, do określenia którch niebędne jest podanie co najmniej trech wielkości: wartość, kierunek, wrot (casem ważn jest też punkt acepienia) Np.: siła, moment, premiescenie, prędkość, prspiesenie,... Wektor: swobodne wiąane prostą wiąane punktem rof. Edmund Wittbrodt
rawa Newtona rawo pierwse unkt materialn, na któr nie diałają żadne sił, poostaje w spocnku lub porusa się ruchem jednostajnm po linii prostej. rawo drugie rspiesenie a punktu materialnego jest proporcjonalne do sił ma, (1.16) diałającej na ten punkt i ma kierunek sił m a gdie współcnnik proporcjonalności m jest masą punktu materialnego. rawo trecie Sił wajemnego oddiałwania dwóch punktów materialnch są równe co do wartości, leżą na jednej prostej i są preciwnie skierowane (są wektorami preciwnmi) m1 21 12 m2 gdie: 12 masie m 1. 12 21, (1.17) siła, jaką punkt o masie m 1 diała na punkt o masie m 2, 21 siła, jaką punkt o masie m 2 diała na punkt o rof. Edmund Wittbrodt
ojęcia pierwotne w mechanice Mechanika operuje seregiem pojęć, którch w asadie definiować nie można. Są to tak wane pojęcia pierwotne. Współcesna nauka uważa jednak, że wielkość ficna jest definiowana, jeżeli potrafim ją mierć. odstawowm pojęciem pierwotnm w mechanice jest siła. Możem ją mierć popre pomiar skutków jej diałania (nadanie ciału prspiesenia lub deformowanie ciała). Dla celów praktcnch umawiam się nawać siłami oddiałwanie jednego ciała na drugie. Oddiałwanie to może odbwać się popre bepośredni kontakt dwóch ciał lub na odległość (sił grawitacji, magnetcne i elektrostatcne). Jeżeli mówim w mechanice o sile diałającej na roważane ciało, to awse musim sobie dawać sprawę, jakie inne ciało tę siłę wwiera. rof. Edmund Wittbrodt
Aksjomat w mechanice Aksjomatu, cli pewnika, nie można udowodnić teoretcnie, ale można wkaać jego słusność a pomocą doświadcenia. Aksjomat 1 Siła jest wektorem wiąanm prostą. Wnikają tego następujące konsekwencje: 1) siłę można presuwać wdłuż linii jej diałania 2) sił diałające na punkt sumuje się wektorowo 3) dwie sił prłożone do ciała stwnego równoważą się (ich wpadkowa jest równa ero), gd leżą na jednej prostej, są równe i preciwnie skierowane dwójka erowa sił Na podstawie tej cech sformułowane ostało twierdenie o dwóch siłach. Twierdenie Dwie sił prłożone do ciała stwnego równoważą się, gd leżą na jednej prostej, są równe i preciwnie skierowane. rof. Edmund Wittbrodt
4) diałanie układu sił nie mieni się, gd do układu prłożm w sposób dowoln dwie sił równe, leżące na jednej prostej i preciwnie skierowane (jest to tw. dwójka erowa sił),,... 1 2 1 2 3 Aksjomat 2 Każdemu diałaniu towars równe co do wartości i preciwnie skierowane wdłuż tej samej prostej preciwdiałanie (wnika treciego prawa Newtona) BA AB B A, BA AB gdie: siła, jaką ciało B diała na ciało A, AB siła, jaką ciało A diała na ciało B. BA rof. Edmund Wittbrodt
Aksjomat 3 Każde ciało nieswobodne możem oswobodić od więów, astępując pr tm ich diałanie odpowiednimi reakcjami. Dalej można ropatrwać ciało jako swobodne, podlegające diałaniu wsstkich sił, łącnie reakcjami 1 2 1 2 A B A R A B R B gdie: R siła, jaką podłoże oddiałuje na ciało w punkcie A; R siła, jaką podłoże oddiałuje na ciało w punkcie B. A B rof. Edmund Wittbrodt
rof. Edmund Wittbrodt SIŁA (wektor) 2 2 2 ), cos(, ), cos(, ), cos( k j i
MOMENT WEKTORA (SIŁY) wględem punktu i wględem osi r O M o M M r 0 0 def. - moment wględem punktu (bieguna) O Jeżeli: r r, r, r ], to [, 1. lub 2. M r i j k r 0 k, gdie: M r r r r 1) M M r sin M i M j M,, M r r, M r r - moment wględem osi:,, 0 0 2) kierunek M r M 0 0 3) wrot godn regułą śrub prawoskrętnej rof. Edmund Wittbrodt
M O r M i M j M k gdie: M r r r M r r r M r r r O r ora onacono: onacono:, r r Reguła śrub prawoskrętnej (reguła prawej ręki) łascna składowa na płascźnie składowa prostopadła do r ramię składowej wględem osi r M r oś rof. Edmund Wittbrodt