Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009
Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego 2 Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie 3 Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe
Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Podstawowymi obiektami algebry liniowej są przestrzenie wektorowe. Skupimy się na C n przestrzeni n-krotek liczb zespolonych (z 1,..., z n ). Elementami przestrzeni wektorowej są wektory, oznaczane przez macierze kolumnowe: 1 z.. (1) z n Definiujemy dodawanie: 1 z. z n + z 1. z n z 1 + z 1. z n + z n, (2) i mnożenie przez skalar: z z 1. z n zz 1. zz n. (3)
Wektor zerowy. Podprzestrzenie Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego W mechanice kwantowej wektor oznaczamy przez ket ψ, (4) ψ jest etykietą wektora, symbol wskazanie, że obiekt jest wektorem. Przestrzeń wektorowa zawiera wektor zerowy, oznaczany 0; dla dowolnego wektora v : v + 0 = v, z0 = 0 dla dowolnej liczby zespolonej z. W C n wektorem zerowym jest (0, 0,..., 0). Podprzestrzenią wektorową przestrzeni wektorowej V jest taki jej podzbiór W, że W jest przestrzenią wektorową, czyli jest zamknięta na mnożenie przez skalar i dodawanie.
Notacja Diraca Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Tablica: Podsumowanie notacji Diraca Zapis z ψ ψ φ ψ φ ψ φ ψ A A T A φ A ψ Znaczenie sprzężenie zespolone liczby z, (1 + i) = 1 i wektor, zwany ket wektor dualny do ψ, zwany bra iloczyn skalarny wektorów φ i ψ iloczyn tensorowy φ i ψ skrócony zapis iloczynu tensorowego φ i ψ sprzężenie zespolone macierzy A transpozycja macierzy A sprzężęnie hermitowskie macierzy A, A = (A T ) iloczyn skalarny pomiędzy φ a A ψ lub równoważnie pomiędzy A φ a ψ
Zbiór rozpinający Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Zbiorem rozpinającym przestrzeni wektorowej jest zbiór wektorów v 1,..., v n taki, że dowolny wektor v tej przestrzeni można zapisać jako kombinację liniową v = i a i v i. Przykład Zbiorem rozpinającym dla C 2 jest ( ) 1 v 1 =, v 0 2 = ( ) 0. (5) 1 Istotnie, dowolny wektor z C 2 v = ( a1 a 2 ) (6) można zapisać jako v = a 1 v 1 + a 2 v 2. Mówimy, że v 1 i v 2 rozpinają C 2.
Zbiór rozpinający Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Przestrzeń wektorowa może mieć wiele zbiorów rozpinających. Przykład Innym zbiorem rozpinającym dla C 2 jest v 1 = 1 ( ) 1, v 2 1 2 = 1 ( ) 1 2 1. (7) Istotnie, dowolny wektor v = (a 1, a 2) z C 2 może być zapisany jako v = a1 + a2 2 v 1 + a1 a2 2 v 2. (8)
Liniowa niezależność i bazy Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Zbiór niezerowych wektorów v 1,..., v n jest liniowo zależny, jeżeli istnieje układ liczb zespolonych a 1,..., a n z a i 0 dla przynajmniej jednego i, taki że a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a n v n = 0. (9) Zbiór wektorów jest liniowo niezależny, jeżeli nie jest liniowo zależny. Dowolne dwa liniowo niezależne zbiory wektorów rozpinających przestrzeń wektorową V mają tę samą liczbę elementów; zbiór taki nazywamy bazą dla V. Liczbę elementów bazy nazywamy wymiarem V. W toku wykładu będziemy zainteresowani jedynie skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi.
Operatory linowe Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Operator liniowy pomiędzy przestrzeniami V i W jest to dowolna funkcja A: V W, która jest liniowa na argumencie: ( ) A a i v i = a i A( v i ). (10) i i A( v ) oznaczamy przez A v. A działa na przestrzeń V, jeżeli A jest operatorem liniowym z V do V. Ważnymi operatorami liniowymi na dowolnej przestrzeni V są operator identycznościowy I V, określony jako I V v v dla wszystkich wektorów v (będziemy pomijali index, jeżeli nie będzie możliwości pomyłki); operator zerowy oznaczany 0, odwzorowujący wszystkie wektory na wektor zerowy, 0 v 0.
Operatory linowe i macierze Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Niech V, W i X będą przestrzeniami wektorowymi, a A: V W i B : W X operatorami liniowymi. Przez BA oznaczamy złożenie B z A: (BA)( v ) B(A( v )), w skrócie BA v. Macierz A jest operatorem liniowym z C n do C m, gdyż ( ) A a i v i = a i A v i. (11) i i Niech A: V W będzie operatorem liniowym, v 1,..., v m bazą dla V, a w 1,..., w n bazą dla W. Istnieją liczby zespolone A ij, i = 1,..., n, j = 1,..., m, takie, że A v j = i A ij w i. (12) Macierz A ij nazywamy macierzową reprezentacją operatora A.
Macierze Pauliego Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Często używanymi macierzami są cztery macierze Pauliego: ( ) ( ) 1 0 0 1 σ 0 I, σ 0 1 1 σ x X, 1 0 ( ) ( ) 0 i 1 0 σ 2 σ y Y, σ i 0 3 σ z Z. 0 1
Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Przestrzeń z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią unitarną. Standardowo w mechanice kwantowej na oznaczenie iloczynu skalarnego stosuje się v w, gdzie v oznacza wektor dualny do v, czyli liniowy operator z przestrzeni V w C, określony jako v ( w ) v w ( v, w ). Reprezentacją macierzową wektora dualnego jest macierz wierszowa. W mechanice kwantowej pojawia się pojęcie przestrzni Hilberta. Dla przestrzeni skończenie wymiarowych przestrzeń Hilberta jest to dokładnie to samo, co przestrzeń unitarna.
Iloczyn skalarny Algebra liniowa Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Iloczyn skalarny przeprowadza dwa wektory v i w w liczbę zespoloną. Zapiszemy chwilowo iloczyn skalarny wektorów v i w jako ( v, w ). Funkcja (, ): V V C jest iloczynem skalarnym jeżeli spełnia warunki: 1 (, ) jest liniowa w drugim argumencie ( ) v, i λ i w i = i λ i ( v, w i ). (13) 2 ( v, w ) = ( w, v ). 3 ( v, v ) 0, z równością wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny Algebra liniowa Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Przykład W C n iloczyn skalarny określony jest jako ((y 1,..., y n ), (z 1,..., z n )) i yi z i = ( ) y1... yn z 1. z n. (14)
Ortonormalność Algebra liniowa Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Wektory w i v są ortogonalne, jeżeli ich iloczyn skalarny jest zerem. Normę wektora v określamy jako v v v. (15) Wektor jednostkowy to wektor v, dla którego v = 1. v Mówimy, że v jest unormowany, jeżeli v = 1; v nazywamy normalizacją v (dla dowolnego niezerowego wektora). Zbiór i wektorów z indexem i jest ortonormalny, jeżeli każdy wektor jest jednostkowy i różne wektory zbioru są ortogonalne, tj., i j = δ ij.
Procedura Grama Schmidta Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Niech w 1,..., w d będzie bazą przestrzeni wektorowej V z iloczynem skalarnym. Przy pomocy procedury Grama Schmidta możemy utworzyć bazę ortonormalną v 1,..., v d dla V. Określamy v 1 w 1 w 1, (16) i dla 1 k d 1 określamy v k+1 rekurencyjnie jako v k+1 w k+1 k i=1 v i w k+1 v i w k+1 k i=1 v i w k+1 v i. (17)
Relacja zupełności Algebra liniowa Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Niech v będzie z przestrzeni V, a w z przestrzeni W. w v jest operatorem liniowym z V do W określonym jako ( w v )( v ) w v v = v v w. (18) Możemy brać kombinacje liniowe operatorów w v z definicji i a i w i v i w działaniu na v daje i a i w i v i v. Niech i będzie dowolną bazą ortonormalną przestrzeni wektorowej V tak, że dowolny wektor v = i v i i dla liczb zespolnych v i = i v. Stąd ( ) i i v = i i v = v i i = v, (19) i i i z czego wynika relacja zupełności i i = I. (20) i
Nierówność Cauchy ego Schwartza Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Nierówność Cauchy ego Schwartza Dla dowolnych dwóch wektorów v i w zachodzi v w 2 v v w w. Istotnie, budujemy procedurą Grama Schmidta bazę ortonormalną i tak, aby w pierwszym wektorem bazy był. Korzystając z relacji zupełności w w i i = I mamy i v v w w = v i i v w w i v w w v w w w w = v w w v = v w 2. (21) Łatwo pokazać, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy v i w są linowo zależne.
Wektory i wartości własne Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Wektorem własnym operatora liniowego A jest niezerowy wektor v taki, że A v = v v, gdzie v jest liczbą zespoloną znaną jako wartość własna operatora A odpowiadająca v. Funkcję charakterystyczną określamy jako c(λ) det A λi (det jest wyznacznikiem macierzy). Funkcja ta zależy jednynie od operatora A, a nie od jego szczególnej reprezenacji macierzowej. Rozwiązania równania charakterystycznego c(λ) = 0 są wartościami własnymi operatora A. Przestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej v jest zbiór wektorów, które mają wartość własną v; jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej, na którą działa A.
Diagonalizacja Algebra liniowa Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Reprezentacją diagonalną operatora A na przestrzeni V jest A = i λ i i i, gdzie i zbiór ortonormalny wektorów własnych A z odpowiadającymi wartościami własnymi λ i. Operator jest diagonalizowalny, jeżeli ma reprezentację diagonalną. Przykład Macierz Pauliego Z ma reprezentację diagonalną: ( ) 1 0 Z = = 0 0 1 1. (22) 0 1 Reprezentacja diagonalna nosi też nazwę rozkładu ortonormalnego.
Zwyrodnienie Algebra liniowa Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Jeżeli przestrzeń własna jest więcej niż jednowymiarowa, to mówimy, że jest zwyrodniała. Przykład Macierz 2 0 0 A = 0 2 0 (23) 0 0 0 ma dwuwymiarową przestrzeń własną odpowiadającą wartości własnej 2. O wektorach własnych (1, 0, 0) i (0, 1, 0) mówimy, że są zwyrodniałe, gdyż są liniowo niezależnymi wektorami własnymi A z tą samą wartością własną.
Sprzężenie hermitowskie Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Niech A będzie operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta V. Istnieje jednoznacznie określony operator A na V, zwany sprzężeniem hermitowskim A, taki, że dla wszystkich wektorów v, w V : ( v, A w ) = (A v, w ). (24) Łatwo sprawdzić, że (AB) = B A. Dla wektora v, v v oraz (A v ) = v A. Reprezentacją macierzową sprzężenia hermitowskiego jest macierz sprzężona i transponowana do A, A (A ) T. Przykład ( ) ( ) 1 + 3i 2i 1 3i 1 i =. (25) 1 + i 1 4i 2i 1 + 4i
Operatory hermitowskie. Projektory Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Operator A, którego sprzężenie hermitowskie jest równe A nazywamy operatorem hermitowskim lub samosprzężonym. Ważną klasą operatorów hermitowskich są projektory. Niech W będzie k-wymiarową podprzestrzenią d-wymarowej przestrzeni wektorowej V. Przy pomocy procedury Grama Schmidta można zbudować bazę ortonormalną 1,..., d dla V tak, że 1,..., k jest ortonormalną bazą dla W. Określamy projektor na podprzestrzeń W jako k P i i. (26) i=1 Definicja ta nie zależy od bazy ortonormalnej 1,..., k dla W. Można pokazać, że v v jest hermitowski dla dowolnego wektora v, więc P jest hermitowski, P = P.
Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Dopełnienie ortogonalne. Operatory normalne i unitarne Przez P często będziemy oznaczać też podprzestrzeń, na którą P jest projektorem. Dopełnieniem ortogonalnym P jest operator Q I P. Q jest projektorem na podprzestrzeń rozpinaną przez wektory k + 1,..., d, którą nazywamy dopełnieniem ortogonalnym podprzestrzeni P. Operator A jest normalny, jeżeli AA = A A. Operator hermitowski jest normalny. Dla operatorów normalnych mamy rozkład spektralny. Macierz U jest unitarna, jeżeli U U = I, podobnie operator U jest unitarny, jeżeli U U = I. Operator jest unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy jego reprezentacja macierzowa jest unitarna. Operator unitarny spełnia UU = I, jest więc normalny.
Operatory unitarne. Operatory dotatnie Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Operatory unitarne zachowują iloczyn skalarny: (U v, U w ) = v U U w = v I w = v w. (27) Niech v i będą bazą ortonormalną. Określmy w i = U v i, więc w i też są bazą ortonormalną; U = i w i v i. Z drugiej strony, jeżeli v i i w i są dwiema bazami ortonormalnymi, to U i w i v i jest operatorem unitarnym. A jest operatorem dodatnim, jeżeli dla każdego wektora v, ( v, A v ) jest rzeczywisty, nieujemny. Jeżeli ( v, A v ) jest ostro większy od zera dla wszystkich v 0, to A jest dodatnio określony. Dowolny operator dodatni jest hermitowski i ma reprezentację diagonalną i λ i i i z nieujemnymi wartościami własnymi λ i.
Rozkład spektralny Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Twierdzenie (Rozkład spektralny) Dowolny operator normalny M na przestrzeni wektorowej V jest diagonalny względem pewnej bazy ortonormalnej dla V. Z drugiej strony, dowolny operator diagonalizowalny jest normalny. Dowód. Indukcja względem wymiaru d przestrzeni V. Przypadek d = 1 jest trywialny. Niech λ będzie wartością własną M, P projektorem na przestrzeń własną λ, Q projektorem na jej dopełnienie ortogonalne. Zatem M = (P + Q)M (P + Q) = PMP + QMP + PMQ + QMQ. Oczywiście PMP = λp. Dalej, QMP = 0, bo M przenosi podprzestrzeń P na siebie. Również PMQ = 0. Istotnie, niech v będzie z podprzestrzeni P, wtedy MM v = M M v = λm v, więc M v ma wartość własną λ i należy do P, stąd QM P = 0, biorąc sprzężenie hermitowskie dostajemy PMQ = 0. Zatem M = PMP + QMQ. Musimy dowieść, że QMQ jest normalny.
Rozkład spektralny Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Dowód (dokończenie). Zauważmy, że QM = QM (P + Q) = QMQ i QM = QM (P + Q) = QM Q. Zatem z normalności M i obserwacji, że Q 2 = Q, QMQQM Q = QMQM Q = QMM Q = QM MQ = QM QMQ = QM QQMQ, (28) więc QMQ jest normalny. Przez indukcję, QMQ jest diagonalny względem pewnej bazy ortonornalnej dla podprzestrzeni Q i PMP jest diagonalny względem pewnej ortonormalnej bazy dla P. Z tego wynika, że M = PMP + QMQ jest diagonalny względem pewnej ortonormalnej bazy dla całej przestrzeni wektorowej. Dowód w drugą stronę jest prostym ćwiczeniem.
Rozkład spektralny Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Rozkład spektralny M można zapisać jako M = i λ i i i, gdzie λ i są wartościami własnymi M, i bazą ortonormalną dla V, gdzie każdy i jest wektorem własnym M z wartością własną λ i. W języku projektorów M = i λ ip i, gdzie P i jest projektorem na podprzestrzeń własną λ i. Projektory spełniają relację zupełności i P i = I i relację ortonormalności P i P j = δ ij P i.
Iloczyn tensorowy Algebra liniowa Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Iloczyn tensorowy tworzy z przestrzeni wektorowych większe przestrzenie wektorowe. Konstrukcja ta jest kluczem do mechaniki kwantowej układów wielocząstkowych. Niech V i W będą przestrzeniami wektorowymi o wymiarach odpowiednio m i n. V W jest mn-wymiarową przestrzenią wektorową, jej elementami są liniowe kombinacje iloczynów tensorowych v w elementów v z V i w z W. W szczególności, jeżeli i i j są bazami ortonormalnymi dla przestrzeni V i W, to i j jest bazą dla V W. Często stosujemy skrócony zapis v w, v, w lub vw dla v w. Przykład Jeżeli V jest dwuwymiarową przestrzenią wektorową z wektorami bazowymi 0 i 1, to 0 0 + 1 1 jest elementem z V V.
Własności iloczynu tensorowego Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Iloczyn tensorowy ma z definicji następujące własności: 1 Dla dowolnego skalara z i elementów v z V i w z W, z( v w ) = (z v ) w = v (z w ). (29) 2 Dla dowolnych v 1 i v 2 z V oraz w z W, ( v 1 + v 2 ) w = v 1 w + v 2 w. (30) 3 Dla dowolnego v z V oraz w 1 i w 2 z W, v ( w 1 + w 2 ) = v w 1 + v w 2. (31)
Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Operatory działające w iloczynie tensorowym Niech v i w będą wektorami z V i W, a A i B operatorami działającymi odpowiednio na V i W. Definiujemy operator liniowy A B na V W następująco (A B)( v w ) A v B w. (32) Definicję A B rozszerzamy liniowo na V W : ( ) (A B) a i v i w j i a i A v i B w i. (33) i A B jest dobrze określonym operatorem liniowym na V W.
Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Operatory działające w iloczynie tensorowym Jeżeli A: V V i B : W W, to dowolny operator liniowy C odwzorowujący V W w V W może być przedstawiony w postaci C = c i A i B i, (34) i gdzie ( ) c i A i B i v w i i Iloczyn skalarny w V W określamy jako i a i v i w i, j b j v j w j ij c i A i v B i w. (35) a i b j v i v j w i w j. (36)
Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Reprezentacja macierzowa iloczynu tensorowego Reprezentacją macierzową iloczynu tensorowego jest iloczyn Kroneckera. Niech A będzie macierzą m na n, B p na q, wówczas A 11 B A 12 B... A 1n B A A B 21 B A 22 B... A 2n B mp. (37).......................... A m1 B A m2 B... A mn B }{{} nq A 11 B oznacza podmacierz p na q o elementach proporcjonalnych do B z współczynnikiem proporcjonalności A 11. Przez ψ k oznaczamy k-krotny iloczyn tensorowy ψ ze sobą, np. ψ 2 = ψ ψ.
Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Reprezentacja macierzowa iloczynu tensorowego Przykłady Iloczyn tensorowy wektorów (1, 2) i (2, 3): ( ( 1 2 2 1 2 = 1 3 2) 3) 2 2 = 3 4. (38) 2 3 6 Iloczyn tensorowy macierzy Pauliego X i Y : ( ) 0 0 0 i 0 Y 1 Y X Y = = 0 0 i 0 1 Y 0 Y 0 i 0 0. (39) i 0 0 0
Funkcje operatorów Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Można rozszerzyć funkcje f określone na liczbach zespolonych o wartościach zespolonych na operatory normalne. Niech A = a a a a będzie rozkładem spektralnym operatora A. Definiujemy f (A) a f (a) a a. Przykład exp(θz) = ( ) e θ 0 0 e θ. (40)
Ślad Algebra liniowa Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Ważną funkcją macierzową jest ślad macierzy, określony jako suma jej elementów diagonalnych, tr(a) i A ii. (41) Ślad jest cykliczny, tr(ab) = tr(ba) i liniowy, tr(a + B) = tr(a) + tr(b), tr(za) = z tr(a). Z cykliczności wynika, że ślad jest niezmienniczy na przekształcenia podobieństwa A UAU, gdyż tr(uau ) = tr(u UA) = tr(a). Ma więc sens definiowanie śladu operatora A jako śladu dowolnej macierzowej reprezentacji A.
Ślad Algebra liniowa Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Niech ψ będzie wektorem jednostkowym, a A dowolnym operatorem. Aby obliczyć tr(a ψ ψ ) używamy procedury Grama Schmidta, aby rozszerzyć ψ do bazy ortonormalnej i zawierającej ψ jako pierwszy element. Mamy tr(a ψ ψ ) = i i A ψ ψ i = ψ A ψ. (42)
Komutator i antykomutator Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Komutator dwóch operatorów A i B jest określony jako [A, B] AB BA. (43) Jeżeli [A, B] = 0, tj. AB = BA, to mówimy, że A komutuje z B. Podobnie określamy antykomutator: {A, B} AB + BA ; (44) mówimy, że A antykomutuje z B, jeżeli {A, B} = 0. Przypuśćmy, że chcemy równocześnie zdiagonalizować operatory hermitowskie A i B, tj. zapisać A = i a i i i, B = i b i i i, gdzie i są wspólnym ortonormalnym zbiorem wektorów własnych A i B.
Równoczesna diagonalizowalność Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Twierdzenie (Równoczesna diagonalizowalność) Niech A i B będą operatorami hermitowskimi. Wówczas [A, B] = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza ortonormalna taka, że zarówno A jak i B są w tej bazie diagonalne. Dowód. Dowód tego, że jeżeli A i B są diagonalne w tej samej bazie ortonormalnej, to [A, B] = 0 jest prosty. Dla dowodu odwrotnej własności, załóżmy, że a, j jest bazą ortonormalną przestrzeni własnej V a operatora A z wartością własną a. Zachodzi AB a, j = BA a, j = ab a, j, (45) więc B a, j należy do V a. Niech P a będzie projektorem na V a, określmy B a = P abp a. Ograniczenie B a do V a jest hermitowskie na V a, więc ma rozkład spektralny na zbiór ortonormalny wektorów rozpinających V a, oznaczmy te wektory a, b, k.
Równoczesna diagonalizowalność Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Dowód (dokończenie). B a, b, k należy do V a, więc B a, b, k = P ab a, b, k, co więcej, P a a, b, k = a, b, k, więc B a, b, k = P abp a a, b, k = b a, b, k. (46) Zatem a, b, k jest wektorem własnym B z wartością własną b, więc a, b, k jest ortonormalnym zbiorem wektorów własnych zarówno A jak i B, rozpinającym całą przestrzeń wektorową, na której A i B są określone. A i B są równocześnie diagonalizowalne.
Równoczesna diagonalizowalność Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Przykład [X, Y ] = ( 0 1 1 0 ) ( 0 i i 0 ) ( 0 i i 0 więc X i Y nie mają wspólnych wektorów własnych. ) ( ) ( ) 0 1 1 0 = 2i = 2iZ, 1 0 0 1 (47)
Rozkład biegunowy Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Twierdzenie (Rozkład biegunowy) Niech A będzie operatorem liniowym na przestrzeni wektorowej V. Istnieją wówczas operatory unitarny U i dodatnie J i K takie, że A = UJ = KU, (48) gdzie jedyne operatory dodatnie J i K spełniające to równanie są określone jako J A A i K AA. Co więcej, jeżeli A jest odwracalny, to U jest jedyny.
Rozkład biegunowy Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Dowód. J A A jest operatorem dodatnim, więc ma rozkład spektralny J = i λi i i (λi 0). Określmy ψi = A i. Z definicji ψi ψi = λ2 i. Rozważmy tylko te i, dla których λ i 0. Definiujemy dla nich e i ψ i λ i ; e i są ortonormalne, gdyż dla i j mamy e i e j = i A A j λ i λ j = i J2 j λ i λ j = 0. Rozważyliśmy i takie, że λ i 0. Procedurą Grama Schmidta rozszerzymy zbiór ortonormalny e i do bazy ortonormalnej, oznaczonej też e i. Niech operator unitarny U ei i. Gdy λi 0, to i UJ i = λ i e i = ψ i = A i. Gdy λ i = 0, to UJ i = 0 = ψ i. Działanie A i UJ zgadza się na bazie i, więc A = UJ. J jest jedyny, gdyż mnożenie A = UJ z lewej przez A = JU daje J 2 = A A, skąd J = A A, jednoznacznie. Jeżeli A jest odwracalny, to i J, więc U jest określone jednoznacznie przez U = AJ 1. Dla prawego rozkładu biegunowego A = UJ = UJU U = KU, gdzie K UJU jest operatorem dodatnim. Ponieważ AA = KUU K = K 2, więc K = AA.
Rozkład względem wartości osobliwych Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Wniosek (Rozkład względem wartości osobliwych) Niech A będzie macierzą kwadratową. Istnieją macierze unitarne U i V oraz macierz diagonalna D o elementach nieujemnych taka, że A = UDV. (49) Elementy diagonalne macierzy D nazywamy wartościami osobliwymi A. Dowód. Z rozkładu biegunowego A = SJ, dla unitarnego S i dodatniego J. Z twierdzenia spektralnego J = TDT, dla unitarnego T i diagonalnego D o elementach nieujemnych. Biorąc U ST i V T mamy tezę.