Obóz Naukowy Olimpiady Matematyczej Gimazjalistów Liga zadaiowa 0/03 Materiały dodatkowe 30 listopada 0 Opowieści o idukcji Wzoreczki w kropeczki I silia Liczbę! defiiujemy jako iloczy liczb aturalych od do. Korzystając z tej defiicji możemy bez trudu zapisać i obliczyć w pamięci wartość 5! : 5! = 35 = 0. Wartości 0! ie będziemy liczyć w pamięci, ale bez trudu zapiszemy odpowiedi iloczy: 0! = 357890. W jedej liijce zmieści am się iloczy defiiujący 3!, chociaż pewie ie będziemy uważie sprawdzać, czy wszystkie czyiki zostały poprawie wypisae: 3!=357890357890357893033. Nawet gdyby pracowicie wypisać wszystkie czyiki wchodzące w skład iloczyu tworzącego 00!, to i tak byśmy wszystkich ie czytali. Wiemy przecież, jak te iloczy ma wyglądać. Wystarczy zapisać jego początek i koiec, a środek zastąpić kropeczkami każdy wie, co się za imi kryje i w razie potrzeby może to uzupełić: 00! = 35...989900. Kolejego iloczyu raczej ikt wypisywać ie zechce, chociaż przy odrobiie cierpliwości moża tylko po co?: 0! = 35...0000. A astępego iloczyu po prostu fizyczie wypisać się ie da liczba tworzących go czyików jest większa od liczby cząstek we wszechświecie. Ale po poprzedich przykładach wyobrażamy sobie, jak te iloczy powiie wyglądać: 0 00! = 35... 0 00 0 00 0 00. Liczba 0 00 jest tak abstrakcyjie duża, że ic ie stoi a przeszkodzie, aby zastąpić ją przez :! = 35.... Nie używając kropeczek, możemy zapisać defiicję sili w postaci rekurecyjej:! =,! =! dla =,3,,... W tej defiicji podajemy wartość!, a astępie pokazujemy, jak obliczyć! zając!, a więc: jak obliczyć! zając!, jak obliczyć 3! zając!, jak obliczyć! zając 3! itd. - -
Wzoreczki w kropeczki II ciąg Fiboacciego W ciągu Fiboacciego F pierwsze dwa wyrazy są rówe, a każdy kolejy jest sumą dwóch poprzedich. Miejsza o kokrete wartości, ale gdybyśmy chcieli zać siódmy wyraz, powiiśmy wykoać astępujące obliczeia: F = F =, F 3 = F F, F = F F 3, F 5 = F 3 F, F = F F 5, F 7 = F 5 F. Zalezieie setego wyrazu to wykoaie astępujących rachuków tu ie wypisaliśmy wszystkich operacji, ale domyślamy się, że w miejscu kropek kryją się 9 dodawaia: F = F =, F 3 = F F, F = F F 3,..., F 99 = F 97 F 98, F 00 = F 98 F 99. W tym momecie ic ie stoi a przeszkodzie, aby 00 zastąpić przez : F = F =, F 3 = F F, F = F F 3,..., F = F 3 F, F = F F. Rekurecyjie moża zdefiiować ciąg Fiboacciego astępująco: F = F =, F = F F dla = 3,,5,... W tej defiicji podajemy wartości F oraz F, a astępie pokazujemy, jak obliczyć F zając F oraz F, a więc: jak obliczyć F 3 zając F oraz F, jak obliczyć F zając F oraz F 3, jak obliczyć F 5 zając F 3 oraz F itd. Wzoreczki w kropeczki III przykład Rozważmy sumę 0 30 5 7, gdzie w miaowikach zajdują się iloczyy par kolejych liczb aturalych. Chcielibyśmy obliczyć wartość tej sumy bez pracochłoego dodawaia wielu ułamków. Zauważmy, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość =. To pozwala zapisać składiki wyjściowej sumy w postaci różic 3 3 5 5 7 7 8 8, 9 gdzie odjemik każdej różicy poza ostatią jest rówy odjemej astępej różicy. Ta obserwacja prowadzi do astępujących uproszczeń: / / / / 3 3 / / / / 5 5 / / / / 7 7 / / 8 8. 9 Wartość wyjściowej sumy jest więc rówa 9 = 8 9. Ta sama procedura zastosowaa do sumy... 9899 9900 000 prowadzi do / / / / 3 3 /... / 98 / / 99 99 00 / / 00 = 00 0 0. - -
Nie wykoaliśmy wprawdzie wszystkich operacji, ale doskoale wyobrażamy sobie, co dzieje się w miejscu kropek dochodzi do aalogiczych uproszczeń, jak w poprzedim przykładzie. Nic ie stoi teraz a przeszkodzie, aby sumę... zapisać w postaci / / / / 3 3 /... / / / =. Udowodiliśmy więc, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi rówość... =. Na dowód rówości moża też spojrzeć astępująco. Dla = lewa stroa rówości zawiera jede składik, jest więc rówa /. Poieważ prawa stroa też ma wartość /, rówość jest prawdziwa dla =. Niech będzie taką liczbą aturalą, że rówość jest prawdziwa. Gdyby w tej rówości kosekwetie zamieić a, otrzymalibyśmy rówość... =. Udowodimy, że rówość jest prawdziwa, jeżeli założymy. Wychodząc od lewej stroy i korzystając z otrzymujemy... = = = = =, czyli doszliśmy do prawej stroy. Podsumujmy, co się stało. Dla przejrzystości ozaczmy rówość przez T. Wtedy rówość możemy zapisać jako T. W pukcie sprawdziliśmy, że prawdziwe jest T. W pukcie udowodiliśmy, że dla dowolej liczby aturalej prawdziwa jest implikacja T T. Dygresja o implikacji W tym momecie ależy wyjaśić, czym aprawdę jest implikacja i a czym faktyczie polega dowód jej prawdziwości. Otóż implikacja postaci p q jest prawdziwa w astępujących 3 przypadkach: zdaie p jest FAŁSZYWE, zdaie q jest FAŁSZYWE, zdaie p jest FAŁSZYWE, zdaie q jest PRAWDZIWE, zdaie p jest PRAWDZIWE, zdaie q jest PRAWDZIWE, atomiast jest fałszywa tylko w przypadku, gdy zdaie p jest PRAWDZIWE, zdaie q jest FAŁSZYWE. - 3 -
Zdaie p azywamy poprzedikiem, a zdaie q astępikiem implikacji. Matematycze zaczeie implikacji jest ieco odmiee od potoczego rozumieia kostrukcji logiczych z użyciem słowa jeżeli, które to słowo bywa myloe z rówoważością. Implikacja Jeżeli Perzaowo jest stolicą Polski, to... jest prawdziwa bez względu a to, co pojawi się w jej astępiku, gdyż fałszywość poprzedika sama w sobie decyduje o prawdziwości implikacji taka implikacja ie mówi ic o wartości logiczej astępika. Jedak zagadięcie przypadkowego przechodia a ulicy: Jeżeli Perzaowo jest stolicą Polski, to Pa jest mądry, może ie spotkać się z właściwym, z matematyczego puktu widzeia, zrozumieiem. Dwie ajważiejsze rzeczy dotyczące implikacji, a które ależy zwrócić uwagę w kotekście idukcji, są astępujące. Po pierwsze, wiedza o prawdziwości implikacji p q w połączeiu z wiedzą o prawdziwości poprzedika p pozwala am wioskować o prawdziwości astępika q. Po drugie, dowód prawdziwości implikacji p q ie orzeka iczego o prawdziwości zdań p oraz q, pomimo że zwykle zaczyamy go od poczyieia założeia, że poprzedik p jest prawdziwy. Taki dowód ależy rozumieć jako skrót astępującego przeformalizowaego schematu rozważaia dwóch przypadków: Przypadek I. Poprzedik p fałszywy. Wtedy ie ma czego dowodzić, bo implikacja p q jest prawdziwa. Przypadek II. Poprzedik p prawdziwy. Wtedy astępuje iteresująca część dowodu sprowadzająca się do dowodu prawdziwości q, bo w tym przypadku prawdziwość implikacji p q jest rówoważa prawdziwości astępika q. Prosty przykładzik. Dla dowolej liczby rzeczywistej x, prawdziwa jest implikacja x > 0 x > 0. Patrząc a tę implikację mówimy: No tak, od razu widać, że jeżeli liczba x jest dodatia, to x także. Ale ależy wyraźie podkreślić, że sama implikacja jest prawdziwa także dla ujemych liczb x oraz dla x = 0. Tyle, że w tych przypadkach implikacja ta jest mało ciekawa, bo jej poprzedik jest fałszywy. Po dygresji o implikacji powrót do przykładu Wróćmy do podsumowaia dowodu rówości ozaczoej jako T. Sprawdziliśmy, że prawdziwe jest T. Udowodiliśmy, że dla dowolej liczby aturalej prawdziwa jest implikacja T T. A więc udowodiliśmy astępujące implikacje: T T, T T 3, T 3 T, T T 5, T 5 T itd. - -
Możemy a podstawie tych implikacji wyciągać kolejo astępujące wioski: T T wiosek: skoro sprawdziliśmy T, to prawdziwe jest T, T T 3 wiosek: skoro udowodiliśmy T, to prawdziwe jest T 3, T 3 T wiosek: skoro udowodiliśmy T 3, to prawdziwe jest T, T T 5 wiosek: skoro udowodiliśmy T, to prawdziwe jest T 5, T 5 T wiosek: skoro udowodiliśmy T 5, to prawdziwe jest T itd. Łatwo wyobrazić sobie, że tak jak powyżej mamy wyraźie wypisae wszystkie przesłaki wystarczające do dowodu T, podobie moża byłoby pracowicie wypisać wszystkie implikacje i płyące kolejo z ich wioski składające się a dowód T 00. Wyobrażamy sobie, jak wyglądałaby podoba lista implikacji dowodząca prawdziwości T 0 00, chociaż ich wypisaie jest fizyczie iemożliwe. I podobie, dla dowolej liczby aturalej, wyobrażamy sobie jak wygląda łańcuszek wyikań staowiący dowód prawdziwości T. Na czym polega dowód idukcyjy? Przypuśćmy, że mamy pewe zdaie zależe od liczby aturalej, które to zdaie ozaczymy przez T. Zdaie to może być rówością lub ierówością, ale może też mieć bardziej rozbudoway charakter. Naszym celem jest udowodieie prawdziwości zdaia T dla każdej liczby aturalej. Dowód idukcyjy przeprowadzamy w sytuacji, gdy bezpośredie udowodieie zdaia T apotyka trudości, czy to atury merytoryczej, czy też tylko redakcyjej, atomiast widzimy możliwość powiązaia ze sobą zdań T i T. Podstawowy schemat dowodu idukcyjego wygląda astępująco: Sprawdzamy, że prawdziwe jest T. Dowodzimy, że dla dowolej liczby aturalej prawdziwa jest implikacja T T. 3 Na podstawie i wyciągamy wiosek, że zdaie T jest prawdziwe dla każdej liczby aturalej. Uwagi: Krok z reguły jest tak prosty do wykoaia, że słowo sprawdzamy jest a ogół bardziej odpowiedie iż dowodzimy. W kroku esecja rozumowaia polega a udowodieiu prawdziwości zdaia T zwaego tezą idukcyją przy wykorzystaiu zdaia T zwaego założeiem idukcyjym. Należy przy tym zwracać uwagę a staraą redakcję tego kroku i uikać powielaia błędego, ale iestety dość rozpowszechioego sformułowaia. Błęde sformułowaie: Załóżmy, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi T. Ale przecież my mamy udowodić, że dla każdego zachodzi T ie możemy tego ot tak sobie zakładać w trakcie dowodu. Krok 3 jest stadardowym elemetem dowodu, który sprowadza się do przytoczeia formułki o wykorzystaiu idukcji. Często bywa pomijay. - 5 -
Zadaie. Liczby a, b są określoe wzorami Przykład a = b =, a = a b, b = a b dla =,,3,... Udowodij, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi rówość a b =. 3 Rozwiązaie bez wyraźego powoływaia się a idukcję: Bez trudu sprawdzamy, że rówość 3 jest prawdziwa dla =, mamy bowiem a b = = =. Poadto dla dowolej liczby aturalej możemy przeprowadzić astępujący rachuek: a b = a b a b = a a b b a a b b = = a a b b a a b b = a b = a b, otrzymując a b = a b. Korzystając z kolejo dla =,3,,, otrzymujemy a 5 b 5 = a b = a 3 b 3 = a b = a b =, co dowodzi 3 dla = 5. Podobie, korzystając z kolejo dla = 5,,3,,, otrzymujemy a b = a 5 b 5 = a b = = a b = a 3 b 3 a b =, skąd wyika, że 3 zachodzi dla =. Aalogiczie otrzymujemy 3 dla = 00: a 00 b 00 = a 99 b 99 = a 98 b 98 =... = a 3 b 3 = a b = a b =. Nic ie stoi a przeszkodzie, aby taki sam rachuek przeprowadzić dla dowolej liczby aturalej, otrzymując a b = a b =a b =...= a 3 b 3 =a b = a b = lub a b = a b = a b =... = a 3 b 3 = a b = a b = w zależości od parzystości. Rozwiązaie idukcyje: W zasadzie powyższe rozwiązaie zawiera wszystkie potrzebe elemety rachukowe, jedak jego zgraba redakcja astręcza pewe trudości. Te same rachuki moża ubrać w bardziej przejrzysty dowód idukcyjy: Dla = rówość 3 jest prawdziwa, mamy bowiem a b = = =. Niech będzie taką liczbą aturalą, że prawdziwa jest rówość 3. - -
Udowodimy, że wówczas a b =. 5 Wychodząc od lewej stroy rówości 5 i korzystając z założeia idukcyjego, otrzymujemy a b = a b a b = a a b b a a b b = = a a b b a a b b = a b = a b = =, co dowodzi prawdziwości 5. 3 Na mocy zasady idukcji matematyczej rówość 3 jest prawdziwa dla każdej liczby aturalej. Ie spojrzeie a ciągi z przykładu Zapomijmy a chwilę o liczbach a, b zdefiiowaych w przykładzie i przypuśćmy, że iteresuje as zalezieie ieskończeie wielu rozwiązań rówaia b a = ± w liczbach aturalych a, b. Bez trudu zauważamy, że rówaie to jest spełioe przez a = b =, co moża zapisać jako = lub też w ieco dziwie wyglądającej formie =. Niech teraz dla dowolej liczby aturalej liczby a oraz b będą takimi liczbami aturalymi, że = b a. Nietrudo sprawdzić, że tak określoe liczby a, b spełiają rekurecję podaą w przykładzie, otrzymujemy więc ią defiicję tych samych liczb. Poadto = b a, skąd b a = b a b a = =. Tak określoe a, b dają więc ieskończeie wiele rozwiązań rówaia, a przy okazji uzyskaliśmy ie rozwiązaie zadaia z przykładu. Przykład 3 Zadaie. Udowodij, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi rówość F F F =, 7 gdzie F jest ciągiem Fiboacciego zdefiiowaym a stroie. - 7 -
Rozwiązaie bez idukcji: Dla = mamy F 3 F F = = =. Poadto dla dowolej liczby aturalej zachodzi astępujący ciąg rówości: F F F = F F F F F F = = F F F F F F F = F F F = F F F, czyli F F F = F F F. 8 Wzór 7 a przykład dla = moża udowodić korzystając czterokrotie z rówości 8: F 7 F 5 F = F F F5 = F 5 F 3 F = F F F3 = F 3 F F =. Podobie jest dla pozostałych. Rozwiązaie idukcyje: A tak wygląda uporządkowaie tych rachuków w postaci dowodu idukcyjego: Dla = rówość 7 jest prawdziwa, mamy bowiem F 3 F F = = =. Niech będzie taką liczbą aturalą, że prawdziwa jest rówość 7. Udowodimy, że wówczas F F F =. 9 Wychodząc od lewej stroy rówości 9 i korzystając z założeia idukcyjego, otrzymujemy F F F = F F F F F F = = F F F F F F F = F F F = F F F =, co dowodzi prawdziwości 9. 3 Na mocy zasady idukcji matematyczej rówość 7 jest prawdziwa dla każdej liczby aturalej. Uwaga: W tym wypadku dowód idukcyjy delikatie odbiega od przedstawioego wcześiej stadardowego schematu, a miaowicie dowodzimy twierdzeia dla i w kosekwecji rozpoczyamy od sprawdzeia dowodzoej rówości dla = zamiast =. Podobej modyfikacji dokoujemy zawsze, gdy ajmiejsza rozważaa wartość ie jest rówa. Zmodyfikoway schemat dowodu idukcyjego: Sprawdzamy, że prawdziwe jest T 0. Dowodzimy, że dla dowolej liczby całkowitej 0 prawdziwa jest implikacja T T. 3 Na podstawie i wyciągamy wiosek, że zdaie T jest prawdziwe dla każdej liczby całkowitej 0. - 8 -
Przykład Zadaie. Udowodij, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi ierówość. 0 Rozwiązaie z kropeczkami zamiast idukcji: Sprawdzamy bezpośredio, że dla = dowodzoa ierówość przyjmuje postać rówości: = =. Poadto możemy przeprowadzić rachuki wiążące lewe stroy ierówości 0 dla kolejych wartości :! =!! =!!! = = = /. Otrzymaliśmy = / <. Możemy więc zapisać: =,5 7 7 lub ogóliej: = / 5,5 3/,5 5... 3,5 3,5 To samo moża zapisać w postaci ciągu ierówości: 0 8 < < < 3 < 7 5 3 i odpowiedio: < < <... < 3,5 3,5 3 < 5 < 3,5,5 < 3. < = = 3 < Rozwiązaie idukcyje: Dla = ierówość 0 jest prawdziwa, mamy bowiem =. =. Niech będzie taką liczbą aturalą, że prawdziwa jest rówość 0. Udowodimy, że wówczas. - 9 -
Wychodząc od lewej stroy rówości i korzystając z założeia idukcyjego, otrzymujemy! =!! =!!! = = = / < =, co dowodzi prawdziwości. 3 Na mocy zasady idukcji matematyczej rówość 3 jest prawdziwa dla każdej liczby aturalej. Przykład 5 Zadaie. Udowodij, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość 3... =. Rozwiązaie: Dla = rówość przyjmuje postać =, jest więc prawdziwa. Niech będzie taką liczbą aturalą, że prawdziwa jest rówość. Udowodimy, że wówczas 3... = 3. 3 Wychodząc od lewej stroy rówości 3 i korzystając z założeia idukcyjego, otrzymujemy 3... = = = = 7 = 3, co dowodzi prawdziwości 3. 3 Na mocy zasady idukcji matematyczej rówość jest prawdziwa dla każdej liczby aturalej. Przykład Zadaie. Udowodij, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość 3 3 3 3... 3 3 =. Rozwiązaie: Zadaie to jest częścią rozwiązaia zadaia z Ligi OMG seria IV, paździerik 0. Zaprezetowae tam rozumowaie wprawdzie uika wyraźego powoływaia się a idukcję, jedak odbywa się to kosztem przejrzystości jego redakcji. Poiżej rozwiązaie idukcyje. - 0 -
Dla = rówość przyjmuje postać =, jest więc prawdziwa. Niech będzie taką liczbą aturalą, że prawdziwa jest rówość. Udowodimy, że wówczas 3 3 3 3... 3 3 3 =. 5 Wychodząc od lewej stroy rówości 5 i korzystając z założeia idukcyjego, otrzymujemy 3 3 3 3... 3 3 3 = 3 = = = =, co dowodzi prawdziwości 5. 3 Na mocy zasady idukcji matematyczej rówość jest prawdziwa dla każdej liczby aturalej. Przykład 7 Zadaie. Udowodij, że dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość Rozwiązaie: 5 5 3 5... 5 5 < 3 3. Dla = ierówość przyjmuje postać <, jest więc prawdziwa. 3 Niech będzie taką liczbą aturalą, że prawdziwa jest ierówość. Udowodimy, że wówczas 5 5 3 5... 5 5 5 < 3 3. 7 Wychodząc od lewej stroy ierówości 7 i korzystając z założeia idukcyjego, otrzymujemy 5 5 3 5... 5 5 5 < 3 3 5 = 3 3 = = 3 3 < 3 3 8 = 3 3, co dowodzi prawdziwości 7. 3 Na mocy zasady idukcji matematyczej ierówość jest prawdziwa dla każdej liczby aturalej. Iteresuje as ierówość Przykład 8. 8 Niestety, dla małych ta ierówość ie jest prawdziwa, gdyż p. dla = przyjmuje oa postać. - -
Mając adzieję a udowodieie tej ierówości dla dużych, rozpoczyamy redagowaie dowodu idukcyjego od drugiego kroku idukcyjego. Załóżmy, że liczba aturala spełia ierówość 8. Chcemy wykazać, że wówczas. 9 W tym celu wychodzimy od lewej stroy ierówości 9 i wykoujemy ciąg przekształceń i oszacowań, wykorzystując po drodze założeie idukcyje 8, a także korzystamy dwukrotie z dodatkowego założeia, że. = = 3 = < = =. Wykazaliśmy więc awet ieco więcej, a miaowicie, że z ierówości 8 oraz założeia wyika ostra wersja ierówości 9: <. Jeżeli przez T ozaczymy ierówość 8, to udowodiliśmy astępujące wyikaia: T T 7, T 7 T 8, T 8 T 9, T 9 T 0, T 0 T, T T, T T 3, T 3 T, T T 5, T 5 T, T T 7, T 7 T 8, T 8 T 9,... Z powyższych implikacji ic ie wyika o prawdziwości poszczególych zdań T, dopóki ie dokoamy jakiegokolwiek sprawdzeia. Okazuje się, że pierwszy krok idukcyjy powiie wyglądać astępująco: Dla = ierówość 8 jest rówością, gdyż wówczas = = = =. Uwaga: Stąd wyika, że T jest fałszywe dla =,7,8,...,5, gdyż z prawdziwości ierówości 8 dla którejkolwiek z tych wartości wyikałaby prawdziwość ostrej wersji ierówości 8 dla =, co jedak ie ma miejsca, gdyż w przypadku = ierówość 8 jest rówością. 3 Na mocy zasady idukcji matematyczej ierówość 8 jest prawdziwa dla każdej liczby aturalej. Ie spojrzeie a przykład 8 Nierówość 8 jest rówoważa ierówości a, gdzie a =. Nietrudo sprawdzić, że ciąg a maleje do wyrazu a, a astępie rośie. Rachuki w kroku moża przeorgaizować tak, aby wykazać ierówość a <a dla. Wobec tego, że a =, łatwo widać, że ierówość 8 jest prawdziwa dla, a fałszywa dla =,7,8,...,5. - -