Pzjścia iędzypasow
Funcja diltyczna Pzjścia iędzypasow związan są z polayzacją cuy ltonowj wwnątz dzni atoowyc - są odpowidzialn za część funcji diltycznj ε Wóćy do foalizu funcji diltycznj: ε las N ( + ε ( - lasyczni z tłuini (N oscylatoów iγ ε ( + ε j, l f l iγ - wantowo, z tłuini (suujy po wszystic ożliwyc pzjściac f l ( E p l E l Wystaczy wyznaczyć odpowidni lnty acizow pzjść
Nalży obliczyć lnty acizow pzjścia poiędzy stanai pasa walncyjngo i pasa pzwodnictwa. Musiy wziąć pod uwagę funcj Bloca dla ltonów w paśi pzwodnictwa w paśi walncyjny: u µ, i p u ' ν, ' i uµ, p uν, ' i i' + i p i' uµ, uν, ' δ ( ' uµ, p uν, ' u (Dugi człon znia, gdyż, ż funcj oaz są otogonaln. Zainiay całowani po pzstzni, na suę cał po oóac lntanyc i ozystay z tgo, ż funcj są piodyczn µ, u ν, u µ u ν,,, E E c ( Pzjścia post (zanidbujy pęd fotonu Pzjścia sośn E v ( np. z udział fononów (fonony pznoszą pęd ngię
Pzjścia post dozwolon u µ, p uν, W piwszy pzybliżniu pzyjujy, ż w lnt acizowy ni zalży od wzbonion u p µ, u ν, W pzybliżniu pzyjujy, u µ, p uν, ' ~ Rozważając pzjścia optyczn poiędzy iędzy stanai dwóc continuu, suujy pzyczyni dla óżnyc wtoów falowyc ε ( + ε p iγ Za absopcję odpowidzialna jst część uojona funcji diltycznj: ε ( I( ε (
( ( Γ + Γ Γ I i ( ( ( ( Γ + Γ Γ + + Γ ν µ Γ ( δ π Γ i I Zbadajy wyażni: Zat ( δ π ε ε p (
Wyni tn ożna zapisać w postaci: π I( ε M δ ε gdzi M uµ uν Jśli ożna założyć, ż M ( ( const Sozystaliśy z tgo, ż p i i zastąpiy suowani po całowani po stfi Billouina z uwzględnini gęstości stanów: π I( ε ε ( π ( ( M δ Jśli znan są powizcni ngtyczn stutuy pasowj E( to całowani po ożna zainić na całowani po powizcniac stałj ngii (częstości d dsd bioąc pod uwagę, ż BZ d ( d d
Dostajy: d dsd ( Stąd po podstawiniu: I( ε π ε π ε M M ( π ( π powizcnia ( ( dsd ( BZ δ ds ( π I( ε ( M J ( ε J ds ( π ( gdzi: ( powizcnia Łączna gęstość stanów (joint dnsity of stats
Osobliwości van Hov J ( Punty osobliw łącznj gęstości stanów noszą nazwę osobliwości van Hov - oczujy, ż wtdy współczynni absopcji a asia Osobliwości van Hov występują gdy: ( ( ( µ ν ( µ ν ( Tzn. nacylnia pasa pzwodnictwa i pasa walncyjngo są idntyczn! Taa sytuacja oż być alizowana w óżny sposób, np.: oba gadinty ( asia, inia oba gadinty al ówn sobi.
Tocę analizy atatycznj W oolicac puntu osobliwgo ożna ozwinąć w szg (człony liniow. Uwzględniając człony dugigo zędu względ, po spowadzniu do osi głównyc: ( ( + α ( + α ( + α ( Punty osobliw lasyfiuj się w zalżności od tgo il współczynniów α jst ujnyc a il dodatnic:. α, α, α > odpowiada iniu - punt M α, α >; α < punt siodłowy - punt M α >; α, α < punt siodłowy - punt M α, α, α < odpowiada asiu - punt M
Twidzni o puntac ytycznyc Funcja N zinnyc, piodyczna w ażdj z nic usi posiadać co najnij puntów ytycznyc typu n w ażdj N - wyiaowj oóc pyitywnj, pzy czy: C N n N!, n!( N n! dla Liczba puntów ytycznyc (w ażdj stfi Billouina w pzstzni o wyiaz N n n n n (M (M (M (M C C C C N jdno iniu tzy punty siodłow tzy punty siodłow jdno asiu C C C N n N jdno iniu dwa punty siodłow jdno asiu C C Dla N ay w sui 8 puntów ytycznyc (część z nic oż być zdgnowana, stąd ożna obswować nijszą ic liczbę N jdno iniu N C n jdno asiu
Podstawowa awędź absopcji, punt M Pzjścia post dozwolon g g E E + + + Engia fotonu w oolicy puntu M : E g ' gdzi, ' Obliczay - asa zduowana ' 4 4 ( 4 ( π π π π ds J Stąd ( ( ( g E J π
Jśli założyć, ż M const Dla pzjść poiędzy pasai µ, ν część uojona funcji diltycznj: ( ( π ε E ( I( ε ( M g ε π ( ( M ε ( E g πε Pzy założniu, ż współczynni załaania (w piwszy pzybliżniu ni zalży od częstości współczynni absopcji: α( ε ( cn Paiętay, ż : ε ( ε ( nκ κ n κ ε α ( c nc
Po podstawiniu ay: ( α ( M g πε nc Wyozystując pojęci siły oscylatoa: α ( f ( E M f ( g 4πε nc Wstawiając współczynnii liczbow 5.7 f c α ( n gdzi ( E g ( [ ] E w V g ( E
Pzjścia post wzbonion M u µ uν Jśli dla M i M ~ f M ~ α ~ ( Eg /