Katedra Fzyk SGGW Nazwsko... Data... Nr na śce... Imę... Wydzał... Dzeń tyg.... Godzna... Ćwczene 410 Wyznaczane modułu ounga metodą zgnana pręta Pomary rozmarów pręta Rodzaj pręta Długość* Szerokość Grubość C, [m] a, [mm] h, [mm] [m -1 ] *Uwaga: Długość pręta czona jest pomędzy punktam podparca. Pomary strzałk ugęca Rodzaj pręta Masa obcążena Wskazana mkromerza, [mm], przy obcążenu Strzałka ugęca, Q Średna, k Q Moduł ounga, Teoretyczny Moduł ounga, [g] rosnącym maejącym [mm] [N/m] [N/m] [GPa] [GPa] 0 0 0
Katedra Fzyk SGGW 1 Ćwczene 410. Wyznaczane modułu ounga metodą zgnana pręta CL Ceem tego ćwczena jest wyznaczene modułu ounga meta drewna metodą zgnana płaskownka za pomocą pomaru strzałk ugęca. TORIA Prawo Hook a Jeże na uneruchomone cało sprężyste podzałamy słą, to powstaną w tym cee naprężena, wywołujące jego odkształcene. Naprężene w pręce o przekroju poprzecznym A, na który dzała sła F (prostopadła bądź styczna do A) równe jest stosunkow sły do poa przekroju pręta: F A (1) Naprężenu stawają opór sły mędzycząsteczkowe wewnątrz materału. Rozróżna sę zwyke trzy rodzaje naprężeń: rozcągające (wydłużają cało), ścskające (skracają cało) ścnające (deformują postać cała). W ostatnm przypadku sła dzała styczne do powerzchn przekroju. Zmana długośc pręta spowodowana rozcąganem ub ścskanem jest proporcjonana do jego długośc. Jeś, na przykład, pręt o długośc, rozcągany słą F, zwększa swoją długość o, rys. 1, to marą odkształcena jest wzgędna zmana długośc:. () Gdy po usunęcu sły F cało wraca do swych wymarów, to odkształcene nazywamy sprężystym. Przy małych odkształcenach, jest proporcjonane do : 1. () A jest modułem sprężystośc (nazywanym modułem ounga) danego materału. Moduł ounga jest równy czbowo naprężenu, przy którym wzgędna zmana długośc pręta byłaby równa jednośc. Moduł ounga wyraża sę, tak jak naprężene czy cśnene, w paskaach:. Lnowa zaeżność pomędzy naprężenem a odkształcenem znana jest, jako F Rys.1 prawo Hooke a. Po podstawenu do () wzorów defnujących, otrzymamy: 1 A F. (4) A zatem, prawo Hooke a stwerdza, że podczas rozcągana ub ścskana zmana długośc jest proporcjonana do dzałającej sły. Najprostszy sposób wyznaczena modułu ounga poega na pomarze przyrostu długośc pręta o długośc pou przekroju A, umocowanego jednym końcem rozcąganego słą F. Jednak w przypadku grubszych prętów trudno jest uzyskać ch merzane wydłużena, z uwag na koneczność użyca bardzo dużych sł. Z tego wzgędu wykorzystujemy odkształcena złożone, do których naeży zgnane pręta umocowanego z jednej strony ub podpartego na obu końcach. Ugęce pręta Zgnane bek można sprowadzć do jednoczesnego jej rozcągana ścskana. Wzdłuż wygętej bek występuje warstwa, zwana powerzchną neutraną, której długość przy wygęcu ne uega zmane. Powyżej tej powerzchn sły deformujące mają kerunek rozcągający warstwy górne, ponżej kerunek przecwny powodują ścskane warstw donych. powerzchna neutrana w wygętej bece
Katedra Fzyk SGGW Sły te występują param tworzą moment zgnający M wzgędem n neutranej. Można wyprowadzć następującą zaeżność pomędzy momentem zgnającym modułem sprężystośc bek: M I Wycnek przekroju. (5) R podłużnego bek We wzorze tym R jest promenem krzywzny ugętej bek (jest to promeń okręgu, którego fragment stanow ugęta beka) natomast I oznacza moment bezwładnośc przekroju. Moment bezwładnośc przekroju okreśony jest przez rozkład eementów powerzchn przekroju wzgędem n neutranej. Jeże przez z wyrazmy odegłość eementu powerzchn przekroju ds od n neutranej, to I zdefnowany jest wzorem: I z ds. z S Obczając tę całkę powerzchnową da przekroju prostokątnego o szerokośc a grubośc h otrzymamy następujący wzór na moment bezwładnośc przekroju: a h I 1. (6) Przekrój poprzeczny pręta Rozpatrzymy ugęce bek o długośc podpartej na obu końcach obcążonej po środku masą m o cężarze Q. Każda z podpór dzała na bekę słą reakcj równą Q, a środkowa część bek pozostaje pozoma. Ugęce bek rozpatrzymy wzgędem układu współrzędnych, którego początek umejscowmy w środku bek. Moment sły reakcj dzałającej na konec bek, czony wzgędem punktu eżącego w odegłośc x od środka bek, wynos (przy newekch ugęcach): Q M x. Promeń krzywzny R ugętej bek okreśony jest równanem, którego przybżona postać, w naszym przypadku, jest następująca: 1 d y. R dx Po podstawenu ostatnch dwóch wzorów do zaeżnośc (5) otrzymamy równane, którego rozwązane okreśa nę ugęca bek y f x. Jeże w funkcj y f x podstawmy za x wartość współrzędnej w punkce podparca, x, otrzymamy maksymaną wartość współrzędnej y ymax. Wartość współrzędnej y w mejscu podparca nazywamy strzałką ugęca. Wzór na strzałkę ugęca ugętej bek jest następujący: Q. 48I Da przekroju prostokątnego otrzymamy: Q Q - strzałka ugęca. (7) 4ah Q/ h na neutrana y y s 0 a / / Q z x rozcągane ścskane dz na neutrana Q/ x
Katedra Fzyk SGGW Ze wzoru na strzałkę ugęca wynka, że ugęce bek jest odwrotne proporcjonane do momentu bezwładnośc przekroju jeże beka ma przekrój prostokątny, to strzałka jest odwrotne proporcjonana do grubośc bek h podnesonej aż do trzecej potęg. Powyższe wnosk sugerują, że aby konstruować mocne, ekke eementy, wększość materału pownno okazować sę możwe daeko od powerzchn neutranej. Np. dwuteownk epej opera sę momentom sł zgnających dzałających w kerunku prostopadłym do jego długośc anże beka o kwadratowym przekroju poprzecznym wykonana z tej samej ośc materału. Pomar strzałk ugęca da danego obcążena Q pozwaa wyznaczyć moduł ounga materału, z którego pręt wykonano. Przekształcając wzór (7) otrzymujemy: Q 4ah. (8) POTRZBN WPOSAŻNI Płaske pręty metaowe drewnane Dwa statywy z kompetem zacsków Suwmarka Beka poprzeczna Taśma pomarowa Czujnk mkrometryczny tarczowy Kompet odważnków o mase 10 g 50 g Katetometr do ustawana wysokośc podpór podtrzymujących pręty Wykonane zadana 1. Przygotowane układu pomarowego Sprawdzamy, czy układ pomarowy jest przygotowany zgodne z załączonym zdjęcem. Wyberamy dwa ub trzy pręty do pomarów. Pręty są metaowe (żeazo, mosądz) drewnane.. Pomar rozmarów pręta Merzymy marką mmetrową odegłość pomędzy środkam podpór. Wynk jest marą efektywnej długośc ugnanego pręta. Strzemączko weszak do podweszana obcążena Sprawdzamy suwmarką szerokość a grubość h wybranych prętów. Pręty mogą meć następujące szerokośc, w [mm]: 10; 15; 0 grubośc, w [mm]: 1,5;,0;,0; 5,0. Obczamy stałą pręta C:. Wyznaczane stosunku Q C 4 ah. Ważymy weszak na odważnk, sprawdzamy masę załączonych odważnków. Badany pręt kładzemy na podporach zamocowanych przy statywach. Na środek pręta nakładamy strzemączko ustawamy je pod czujnkem mkrometrycznym tak, aby jego końcówka operała sę na wgłębenu na górnej powerzchn strzemączka.
Katedra Fzyk SGGW 4 Uwaga: Ne naeży ugnać pręta, aby podsunąć go pod końcówkę czujnka, tyko podneść końcówkę czujnka uchwytem nad tarczą. Odczytujemy wskazana mkromerza y 0. Jest to odczyt zerowy (da pręta obcążonego tyko strzemączkem). Uwaga: wskazana czujnka mkrometrycznego da pręta ze strzemączkem pownny wynosć około 5 mm, gdy strzemączko znajduje sę na pręce o grubośc mm. W raze potrzeby naeży zgłosć prowadzącemu zajęca koneczność reguacj wysokośc podpór. Do strzemączka podweszamy perwsze obcążene Q 1 (weszak cężark). Wartość obcążena pownna wynosć od 100 g do 150 g. Odczytujemy wskazane mkromerza y 1. Uwaga: Podczas obcążana pręta strzemączko może poruszyć sę, datego naeży przy każdej zmane obcążena sprawdzć położene końcówk czujnka mkrometrycznego wzgędem strzemączka. Różnca 1 y1 y0 daje perwszą strzałkę ugęca 1. Pomary strzałek ugęca y y0 przeprowadzamy jeszcze dwa razy, zwększając obcążene za każdym razem o 100 g (ub wg wskazań prowadzącego zajęca). Najperw wyznaczamy strzałk ugęca przy obcążenach rosnących, a następne maejących. Z dwóch uzyskanych wynków da danej wartośc obcążena obczamy wartość średną, którą przyjmujemy, jako właścwą wartość strzałk ugęca. Da każdego obcążena obczamy oraz Q, Obczamy średną wartość Q. Jeś wprowadzmy oznaczene da pojedynczego pomaru: k Q oraz da wartośc średnej k Q, to możemy ją wyrazć następująco: k k k k 4. Obczane modułu ounga Zgodne z wzorem (8) oczyn stałej pręta C wartośc k (średnego stosunku Q do ) równy jest modułow ounga da danego pręta o przekroju prostokątnym: Rachunek błędów 1, (9) C k. (11) Błąd pomaru k, obczamy, jako błąd bezwzgędny maksymany pomędzy wartoścą średną k każdym z trzech pomarów k : k max k k ; 1,,. Pozostałe błędy złożonych wekośc fzycznych okreśamy metodą pochodnej ogarytmcznej. C h a. C h a Przyjmujemy: Δ = 4mm, a = 0,05mm, h = 0,05mm. k C. k C Obczamy także błąd wzgędny procentowy modułu ounga: 100%. Wnosk Porównujemy obczone wartośc modułu ounga z wartoścam tabcowym. Obczamy błędy wzgędem wartośc tabcowej. Porównujemy te błędy z wartoścam z rachunku błędów. B p