2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH

2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Typeset by AMS-TEX

2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 7 Zasada bijekcji. Jeżeli istnieje bijekcja f : A B, tj. f jest funkcja różnowartościowa i,,na (tzn. f(a) = B), to zbiory A i B maja taka sama liczbe elementów. Przyk lad 2.1 Oznaczmy przez B n zbiór cia gów binarnych (o elementach ze zbioru dwuelementowego) o d lugości n. Niech P(X) be dzie rodzina wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego X = {x 1, x 2,..., x n }. Wskazać bijekcje mie dzy P(X) a B n. Przyk lad 2.2 Wskazać bijekcje mie dzy zbiorem wszystkich rozmieszczeń k jednakowych kul w n oznaczonych szufladkach, a zbiorem cia gów binarnych z lożonych z k zer i n 1 jedynek. Przyk lad 2.3 Wyobraźmy sobie krate wymiaru k n. Wskazać bijekcje mie dzy zbiorem wszystkich najkrótszych dróg od A do B a zbiorem cia gów binarnych z lożonych z n jedynek i k zer. Przyk lad 2.4 Wskazać bijekcje mie dzy zbiorem cia gów binarnych z lożonych z n jedynek oraz k 1 zer a zbiorem rozwia zań równania x 1 + x 2 +... + x k = n, gdzie każde x i jest nieujemna liczba ca lkowita. Prawo mnożenia. Niech A 1, A 2,..., A n be da zadanymi zbiorami. Wówczas liczba cia gów (a 1, a 2,..., a n ), gdzie a i A i, i = 1, 2,..., n, wynosi A 1 A 2... A n.

8 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Przyk lad 2.5 Ile jest 4-cyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1, 2,..., 9? Przyk lad 2.6 Ile jest 4-cyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1, 2,..., 9, w których żadna cyfra sie nie powtarza? Przyk lad 2.7 Ile spośród 4-cyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1, 2,..., 9, w których żadna cyfra sie nie powtarza, zawiera cyfre 5? Przyk lad 2.8 Ile jest wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego? Przyk lad 2.9 Na ile sposobów można podzielić zbiór {1, 2,..., n} na dwa niepuste zbiory? Przyk lad 2.10 Ile różnych, niepustych paczek z owocami można utworzyć, maja c do dyspozycji jab lka i gruszki przy za lożeniu, że w paczce nie może być wie cej niż n jab lek i nie może być wie cej niż m gruszek? Prawo dodawania. Jeśli A 1, A 2,..., A n sa zbiorami parami roz la cznymi, tzn. A i A j = dla i j, to n A i = i=1 n i=1 A i. Przyk lad 2.11 Ile 4-cyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1, 2,..., 9 zawiera cyfre 5? Przyk lad 2.12 Ile jest ca lkowitych liczb 3 cyfrowych wie kszych od 666, w których pierwsza cyfra nie może być równa ostatniej cyfrze? Schematy wyboru Wariacje z powtórzeniami. k-elementowa wariacja z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego jest cia giem k-elementowym utworzonym z elementów zbioru n-elementowego, przy dopuszczamy możliwość powtarzania sie elementów w tym cia gu.

2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 9 Oznaczaja c przez W k n liczbe wszystkich k-elementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego, na mocy prawa mnożenia, mamy Przyk lad 2.13 W k n = n k Chcemy zapytać sześć przypadkowych osób o dzień tygodnia ich urodzin. Jaki duży jest zbiór wszystkich możliwych odpowiedzi? Wariacje (permutacje) bez powtórzeń. Jeżeli w definicji wariacji z powtórzeniami odrzucimy możliwość powtórzeń elementów w danym cia gu, to mamy do czynienia z poje ciem wariacji bez powtórzeń. Korzystaja c z ogólnego prawa mnożenia otrzymujemy, że liczba V k n wszystkich k-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego jest równa V k n = (n) k = n(n 1)... (n k + 1). W szczególnym przypadku, gdy k = n, wariacje bez powtórzeń nazywamy permutacja (uporza dkowaniem). Zatem n-elementowych permutacji jest P n = 1 2... n = n!. Przyk lad 2.14 Na ile sposobów można ustawić w szeregu 12-osobowa drużyne harcerska tak, by dwaj ustaleni harcerze stali obok siebie? Kombinacje bez powtórzeń. Za lóżmy, że z zadanego n-elementowego zbioru Y wybieramy k elementów, przy czym elementy nie moga sie powtarzać oraz nie jest istotna kolejność (uporza dkowanie) wybieranych elementów. Innymi s lowy, mamy do czynienia z k-elementowymi podzbiorami zbioru Y. Liczbe takich wyborów oznacza sie przez ( n k) i nazywa wspó lczynnikiem dwumianowym. Same zaś wybory be dziemy nazywać kombinacjami bez powtórzeń (lub krótko kombinacjami). Przyk lad 2.15 Mamy do dyspozycji 16 różnych losów. Na ile sposobów można wybrać dwa spośród nich?

10 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Przyk lad 2.16 Na ile sposobów można wybrać trzy spośród 16-tu różnych losów? Powyższe dwa przyk lady sugeruja, że w ogólnym przypadku liczba k-elementowych kombinacji ze zbioru n-elementowego wyraża sie wzorem ( ) n = V n k = (n) k n! = k k! k! k! (n k)!. Przyk lad 2.17 Ile jest najkrótszych dróg od A do B na kracie wymiaru k n z Przyk ladu 2.3? Przyk lad 2.18 Na p laszczyźnie narysowano n prostych tak, by żadne dwie proste nie by ly równoleg le ani żadne trzy nie przecina ly sie w jednym punkcie. Ile otrzymano wszystkich punktów przecie cia? Przyk lad 2.19 W klasie mamy 16 dziewcza t i 15 ch lopców. Ile mamy możliwych wyborów 5-osobowej delegacji w sk lad której wejdzie co najmniej 3 ch lopców? Przyk lad 2.20 W turnieju tenisowym bierze udzia l 10 zawodników. Og loszono konkurs na wytypowanie pierwszej trójki tego turnieju i zapowiedziano dwa losowania nagród. W pierwszym wezma udzia l kupony z poprawnie podana kolejnościa pierwszej trójki, w drugim również te z inna kolejnościa tej trójki. Ile kuponów musimy wype lnić, by mieć pewność brania udzia lu w pierwszym losowaniu? Ile kuponów musimy wype lnić, by brać udzia l w drugim losowaniu? Przyk lad 2.21 Ile rozwia zań ma równanie : x 1 + x 2 +... + x k = n, gdzie każde x i jest dodatnia liczba ca lkowita? Przyk lad 2.22 Ile różnych prostoka tów można utworzyć na n n kracie? Przyk lad 2.23 Wykazać, że liczba prostoka tów, które,,dotykaja co najmniej jednym bokiem prawego lub dolnego brzegu n n kraty wynosi n 3?

2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 11 Kombinacje z powtórzeniami. Jeżeli przez Y = {y 1, y 2,..., y n } oznaczymy zbiór szufladek, to każde rozmieszczenie w nich k jednakowych kul można traktować jako k-elementowa kombinacje z powtórzeniami ze zbioru Y. Taki obiekt kombinatoryczny nie jest ani cia giem, ani zbiorem. Nazywa sie go różnie: zbiorem z powtórzeniami, pseudozbiorem, kolekcja. Maja c na uwadze przyk lad 2.2 stwierdzamy, że liczba wszystkich k-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego jest równa liczbie cia gów binarnych z lożonych z k zer i n 1 jedynek, których jest oczywiście ( ) k + n 1 k Przyk lad 2.24 Na ile sposobów można rozmieścić 20 identycznych kul w pie ciu różnych szufladkach tak, aby w każdej szufladce by ly przynajmniej dwie kule? Przyk lad 2.25 Na ile sposobów można wybrać dziesie ć pi lek spośród nieograniczonej liczby czerwonych, niebieskich i zielonych, jeśli chcemy otrzymać (1) co najmniej pie ć czerwonych pi lek, (2) co najwyżej pie ć czerwonych pi lek? Przyk lad 2.26 Mamy do dyspozycji dziesie ć cyfr: 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 1. Ile różnych 10- cio cyfrowych liczb można utworzyć z tych cyfr? Permutacje z powtórzeniani. W powyższym przyk ladzie mamy do czynienia z permutacjami z powtórzeniami. Sa to permutacje nie zbioru, ale pseudozbioru, a wie c elementy moga sie powtarzać. Permutacje z powtorzeniami zwia zane sa ściśle z tak zwanymi rozbiciami zbioru. Spróbujmy odpowiedzieć na naste puja ce pytanie: Na ile sposobów można rozbić zbiór n-elementowy na r roz la cznych podzbiorów A 1, A 2,..., A r o mocach, odpowiednio, t 1, t 2,..., t r, gdzie t 1 + t 2 +... + t r = n? Stosuja c uogólniona zasade mnożenia mamy, że cia gów A 1, A 2,..., A r o ża danych w lasnościach jest dok ladnie ( )( )( ) ( ) n n t1 n t1 t 2 n t1 t 2... t r 1... = t 1 t 2 t 3 t r n! t 1! t 2!... t r!

12 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Wyrażenie stoja ce po prawej stronie powyższej równości oznacza sie przez ( n t 1,..., t r i nazywa wspó lczynnikiem wielomianowym. W przypadku kiedy r = 2 wspó lczynnik wielomianowy redukuje sie do wspó lczynnika dwumianowego Przyk lad 2.27 Ile jest różnych rozdań w brydżu? Prawdopodobieństwo. Niech, dla danego doświadczenia losowego, Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } be dzie zbiorem zdarzeń elementarnych. Jeżeli przyjmiemy, że wszystkie zdarzenia elementarne sa jednakowo prawdopodobne, a wie c P ({ω 1 }) = P ({ω 2 }) =... = P ({ω n }) = 1 n, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A sk ladaja cego sie z k zdarzeń elementarnych (tj. zdarzeń sprzyjaja cych zajściu zdarzenia A) wyraża sie wzorem ) P (A) = k n Wzór ten nosi nazwe klasycznej,,definicji prawdopodobieństwa. Przyk lad 2.28 Spośród wszystkich 12 600 liczb utworzonych w Przyk ladzie 2.26, wybieramy losowo jedna liczbe. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jest ona liczba parzysta? Przyk lad 2.29 Ze zbioru macierzy zero jedynkowych wymiaru n n wybrano jedna macierz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana macierz ma na g lównej przeka tnej i powyżej niej same zera? Przyk lad 2.30 Jakie jest prawdopodobieństwo wybrania pary,,pasuja cych do siebie kostek domina z zestawu, w którym najwie ksza liczba oczek na jednej po lówce kostki wynosi sześć?

2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 13 Zasada w la czania - wy la czania Prawo dodawania, które już omówiliśmy, zachodzi tylko dla parami roz la cznych zbiorów. W przypadku ogólnym stosujemy naste puja cy wzór: Wzór Sylwestra. Dla dowolnych zbiorów A 1,..., A n n A i = i=1 n ( 1) k 1 S (n) k=1 k gdzie S (n) k = A i I [n] k i I a [n] k oznacza rodzine k-elementowych podzbiorów zbioru {1, 2,..., n}. Przyk lad 2.31 Ile jest dodatnich, ca lkowitych liczb mniejszych lub równych 500, które nie sa podzielne ani przez 3, ani przez 5? Przyk lad 2.32 Wśród 200-tu studentów drugiego roku matematyki po 80-ciu studentów zapisa lo sie na wyk lady z analizy, algebry i rachunku prawdopodobieństwa. Co wie cej, na każde dwa z tych wyk ladów zapisa lo sie po 30-tu studentów, a na wszystkie trzy 15-tu studentów. (1) Ilu studentów nie zapisa lo sie na żaden z tych wyk ladów? (2) Ilu studentów zapisa lo sie tylko na rachunek prawdopodobieństwa? Przyk lad 2.33 W pie ciu ponumerowanych szufladkach roz lożono w sposób losowy r rozróżnialnych kul. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna szufladka pozosta la pusta? Przeformu lujemy teraz wzór Sylwestra na,,je zyk w lasności, które moga posiadać lub nie obiekty rozważanych zbiorów. Dostajemy wówczas tak zwana klasyczna zasade w la czania-wy la czania.

14 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Zasada w la czania-wy la czania. Dla danego skończonego zbioru obiektów, z których każdy może mieć lub nie w lasność 1, 2,..., n, niech N(i 1, i 2,..., i k ) be dzie liczba tych obiektów, które maja co najmniej k w lasności i 1, i 2,..., i k. Wówczas liczba obiektów maja cych co najmniej jedna w lasność wynosi Przyk lad 2.34 N(1) + N(2) +... + N(n) N(1, 2) N(1, 3)... N(n 1, n) + N(1, 2, 3) + N(1, 2, 4) +... + N(n 2, n 1, n)... + ( 1) n 1 N(1, 2,..., n) Ile spośród liczb od 2 do 1000 jest pierwiastkami kwadratowymi, sześciennymi lub każdego wie kszego stopnia? Przyk lad 2.35 Ile jest permutacji n-elementowych nie posiadaja cych punktów sta lych? Przyk lad 2.36 Na ile sposobów można posadzić n par ma lżeńskich wokó l okra g lego sto lu tak, by żadne ma lżeństwo nie siedzia lo obok siebie?